Phương pháp toạ độ và các ứng dụng

Trường ĐHSP Hà Nội Khoa Tốn Khóa luận tốt nghiệp Mục lục Trang Lời nói đầu……………………………………………………………………… Chương 1: Một số kiến thức liên quan……………………………………3 A Khái niệm tính chất bản………………………………… …3 I Các khái niệm …………………………………………………….3 II Một số tính chất E E ………………………………….4 B Một số công thức tọa độ Đêcác vng góc……………….6 I Xét E …………………………………………………… II Xét E ………………………………………………………8 Chương 2: Một số ứng dụng giải tóan phương pháp tọa độ…………14 Bài 1: Phương pháp tọa độ……………………………………………… 14 Bài 2: Lớp toán giải phương pháp tọa độ…………….15 I: Lớp tốn tính góc khoảng cách………………………… 15 II: Lớp tốn chứng minh tính vng góc………………….24 III: Lớp tốn chứng minh thẳng hàng, đồng phẳng……… 30 IV: Lớp tóan tìm quỹ tích…………………………………… 38 V: Lớp tốn định tính chứng minh mối liên hệ đại số…………46 VI: Lớp toán chứng minh bất đẳng thức đại số……………52 Kết luận: ……………………………………………………………………… 59 Tài liệu tham khảo:………………………………………………………………60 Hoàng Thị Ngọc Anh K29A Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khoa Tốn Hồng Thị Ngọc Anh Khóa luận tốt nghiệp K29A Tốn lời nói đầu Hình học mơn học có tính hệ thống chặt chẽ, tính lơgic tính trừu tượng hóa cao Vì hình học mơn học khó học sinh Với tập hình học có nhiều phương pháp giải khác nhau: Phương pháp tổng hợp, phương pháp vectơ, phương pháp tọa độ… Việc sử dụng tọa độ để giải toán cung cấp cho học sinh kiến thức cách nhìn tốn học đại Giúp cho em thấy mối tương quan -1 đại số hình học, nhằm phát triển tư toàn diện cho học sinh đứng trước tốn, hình thành cho hướng tư đắn, phù hợp Để góp phần đạt mục tiêu luận văn đưa hệ thống lý thuyết phù hợp, số dạng tốn thường gặp thơng qua phương pháp chung ví dụ minh họa, bước đầu giúp học sinh thấy tầm quan trọng ứng dụng tọa độ giải toán Coi công cụ hiệu Bắt nguồn từ lòng say mê thân giúp đỡ bảo tận tình thầy Bùi Văn Bình em chọn đề tài: Phương pháp tọa độ ứng dụng làm khoá luận tốt nghiệp Qua em xin gửi lời cảm ơn tới tất thầy giáo tổ hình học tạo điều kiện giúp đỡ em trình nghiên cứu, đặc biệt em xin chân trọng cảm ơn thầy Bùi Văn Bình trực tiếp giảng dạy, giúp đỡ, hứơng dẫn em trình thực đề tài Tuy có nhiều cố gắng song lực thân điều kiện tài liệu thời gian hạn chế nên khố luận khơng thể tránh khỏi sai sót Em hy vọng nhận bảo thầy cô bạn Hà Nội, ngày 19 tháng năm 2007 Sinh viên Hoàng Thị Ngọc Anh Chương I: số kiến thức liên quan A khái niệm tính chất I Các khái niệm Định nghĩa hệ tọa độ uur uur uur Trong không gian Eukleides n chiều En (n 1) gọi sở trực chuẩn uu ur  e  ,en ,e ur uur  , nghĩa e e  , O điểm cho trước i j ij đó: E n  i, j  i j i = j 1 uur uur uur tập hợp 0, hay , ,en 0,e ,e được gọi hệ tọa độ trực chuẩn hay hệ tọa độ Đêcác vng góc 2.Tọa độ véctơ  uur uur uur Trong không gian Eukleides n chiều En với hệ tọa độ 0,e ,e , ,en r vectơ v Khi đó, ln tồn số (x1,…,xn) cho: r ur uur uur  , cho r v x1e1 x2e2  Bộ số (x1, x2, ,xn) gọi toạ độ vectơ v đối xn en với hệ tọa độ cho r Kí hiêụ: v (x , , x ) n Tọa độ điểm Trong không gian Eukleides n chiều En với hệ tọa độ điểm M Tọa độ vectơ OM tọa độ uuuur uur uur uur 0,e1,e2, ,encho gọi tọa độ điểm M hệ uuuur Như vậy, OM (x1 , x2 , … , xn) tức là: uuuur OM = ur uur uur số (x1 , x2 , … , xn ) gọi tọa độ x1e1 x2 e2   xn en điểm M Kí hiệu: M (x1 , x2 , … , xn ) II Một số tính chất E E Xét E ur Cho hệ tọa độ Đêcác vng góc Oxy Khi có vectơ u(x ; y ) , 1 r x y số k R ta có: ;  ) 2 v( ; ) ur r 2  u v (     Khi : ur u  ur x x y y k.u ( kx ; ky ) 1  ur r u.v  y y x x 2 ur 2 u xy 1 x y 11 ur r cos ( u,v ) =  ur r r x x  y ur r y 2 ( u,v khác ) x y x  y 11 2 ur r  u v  u.v 0 x x y y 2 0 Cho điểm M( x1, y1) N ( x2 , y2)   y ) x 2; x 1 y uuuur Khi đó, tọa độ vectơ MN ( Xét ur r E Cho hệ tọa độ Đêcác vng góc Oxyz, cho vectơ u(x , y , ),v(x , y , z ) z 1 2 số k R Khi ur r ta có:  u v ( x    ; ;  )  x2 y1 y2 z1 z ur k.u (kx ;ky ;kz ) 1 ur r u.v  y  z z x x y 2 uur x y z u 1 ur Khi : u  x y  z 111 ur r  cos ( u,v ) = r x x  y  z ur r y z 2 ( u,v khác ) x y  z x y z 111 2  Cho điểm M( x1, y1, z1) N ( x2 , y2, z2) uuuur  x  x  y z z y 1 Tích có hướng vectơ ur r ur y z z x x y  u,v w  1 1 1   y z ; z x ; x y   2 ur Vectơ w có tính chất ur ur +, w u ur ur 2 r ; w v ur r r +, w 0  u // ur ur r v +, Với u 2 // ur r ur r  u v sin(u,v) v w r v ur ur r ur w S(u,v) ur r u ur r ( S(u,v) diện tích hình bình hành dựng ur r ur u,v )  Ba vectơ u,v, đồng phẳng tích hỗn hợp tạp ur r ur w ur r ur   vectơ : D( u,v, w ) u,v w =   = B Một số công thức tọa độ Đêcác vuông góc I Xét E Cơng thức tí nh khoảng cách 1.1Khoảng cách điểm  Trong mặt phẳng cho điểm M1( x1, y1) M2 (x2 , y2) Khi khoảng uuuuuuuur tính cơng thức cách d giữ điểm M1 M2 độ dài vectơ M M1 uuuuuur sau: d = M M = (x x )2 ( y y)2 21 21 1.2Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng  Trong mặt phẳng khoảng cách từ điểm M1( x1, y1) đến đường thẳng  có phương trình : A x + B y + C = By C tính theo cơng thức sau: d(M , )Ax 11 A2  B2 Chia m ột đoạn thẳng theo tỉ số cho trước Trong E , điểm M (x, y) chia đoạn thẳng M1M2 theo tỉ số k có nghĩa: uuuuuur uuuuuur , đó: M k MM M  x  kx x   1k  y  Với M1( x1, y1) M2 (x2 , y2) ky  12  y  1k  Đặc biệt, k = -1 M trung điểm đoạn thẳng M1M2 , tọa  x x x  12 độ điểm M xác định sau :  y y  12  y   3.Cơng thức tí nh góc : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcác vng góc Oxy, cho đường thẳng có phương trình : (d1) : A1x + B1y + C1 = (d2) : A2x + B2y + C2 = Gọi là góc đường thẳng d1, d2 A A B B 21 Khi ta có : cos A B A  B 1 2 d d  A A B B = Hai đường thẳng 2 cơsin phương Trong E , góc vectơ r v(x, y) chiều dương trục Ox, Oy a2  b2 c2  a2 Vậy bất đẳng thức chứng minh Ví dụ : Cho số thực a, b, c, d thỏa mãn điều kiện: 4b - a2 0 4d c2 Tìm giá trị lớn f(x) ; 0 f(x) = x2 ax b - x2 cx d Với Giải Ta có : f(x) = (x a)2 4b a2 - (x c )2 4d c2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ta chọn A(x,0); B ( a 4b a2 )  ; 2 C (  ; 4d c ) 2 c (x a)2 4b a2 uuur Khi : AB = AB = uuur (x c )2 4d c2 AC = AC = uuur BC = BC = (a c)2 ( 4d c2 4b a2 )2 4 Với điểm A, B, C ta ln có: AB AC + BC  AB - AC BC Từ ta thấy: f(x) = AB( -AC (a c)2 4d c2 4b a2 )2 4 f(x)   Khi : f(x) đạt giá trị lớn (max) (a c)2 ( 4d c2 4b a2 )2 f (x)max = f (x)max 4 uuur uuur AB  Hay AC = k AB  C thuộc c  Khi ta có : a  x 2 k(2 x)  2  4d c k.( 4b a )  c a ( < k < 1) x  k(x  )    2  2  4d c k.( 4b a ) +) Nếu 4d - c =0 4d = c 4b = a a c k  với k (0, 1) Khi : x  (1k) Nếu c a dấu “ =” không xảy +) 4b  a2 Nếu 4d - c > : k 4d  c2 a 4b a2 c  4d  c2 x= 4b  a2 4d c2 1 Nhận xét: Đối với tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số f(x) mà biểu thức f(x) có chứa nhiều giá trị tham số, ta giải theo phương pháp biến đổi thông thường dài dòng, nhiều thiếu trường hợp Bằng phương pháp tọa độ với việc chọn tọa độ thích hợp ta chuyển thành tốn hình học giải theo phương pháp tọa độ, toán trở nên ngắn gọn áp dụng kết ví dụ trên, ta toán sau f(x) = x2 bx 4 - x2 bx 10 x R Khi đó: a = - ; b = 34 ; c = - ; d = 10 Thỏa mãn điều kiện:  4b a 4.34 36 100 0   4d c 4.10 36 0 f(x)  4 02 ( 100 4)2 f = x = (x)max Chứng minh: < x2 x 1 - x2 x 1 < áp dụng kết với : a = b = d = ; c = -1 Thỏa mãn điều kiện : 4b - a = – > ; 4d - c = - > Khi f(x) = x2 x 1 - x2 x 1 =1  3)2 1 f1( (x)  Dấu “ =” xảy , f(x) < Kết luận: Thông thường mở rộng khái niệm ta có phương pháp mới, công cụ để giải tóan Khái niệm tọa độ đời cho ta phương pháp để giải toán cách hiệu Nhờ có phương tốn chứng minh vng góc, thẳng hàng, tìm quỹ tích… nói chung giải ngắn gọn dễ dàng Nhờ có phương pháp hình học với sở phương pháp tọa độ ta nghiên cứu hình học ngơn ngữ, phương pháp đại số Ta nghiên cứu toán bất đẳng thức phương pháp hình học Trong tóan học khơng có chìa khóa vạn có tốn có nhiều phương pháp giải Có thể lời giải mà đưa chưa phải tối ưu song minh họa cho ứng dụng phương pháp Mặc dù có nhiều cố gắng song lần em làm quen với việc nghiên cứu khoa học nên tránh khỏi thiếu sót Em mong muốn thầy cơ, bạn sinh viên, độc giả đóng góp ý kiến trao đổi để luận văn hoàn thiện tốt thực tài liệu tham khảo bổ ích giáo viên, sinh viên, học sinh trung học Ngày 19 tháng năm 2007 Sinh viên Hoàng Thị Ngọc Anh Một số tài liệu tham khảo Nguyễn Mộng Hy, Các tóan phương pháp vectơ phưưong pháp tọa độ, NXB GD 2002 Lê Hồng Đức, Lê Bích Ngọc, Lê Hữu Trí, Phương pháp giải tốn tọa độ, NXB HN, 2003 Lê Hồng Đức, Lê Bích Ngọc, Đào Thiện Khải, Phương pháp giải tốn hình học, NXB ĐHSP 2004 Lê Hồng Đức, Lê Hữu Trí, Phương pháp giải tốn giải tích khơng gian, NXB HN 2005 Lê Hồng Đức, Lê Hữu Trí, Phương pháp giải tốn giải tích mặt phẳng, NXB HN 2005 Văn Như Cương, Tạ Mân, Hình học 12 NXB 2000 ... Chương II: Một số ứng dụng giải toán phương pháp tọa độ Bài 1: Phương pháp tọa độ 1 .Các bước giải toán phương pháp tọa độ: Khi tốn cho có vấn đề tính khoảng cách, tính góc, chứng minh vng góc... hình học có nhiều phương pháp giải khác nhau: Phương pháp tổng hợp, phương pháp vectơ, phương pháp tọa độ Việc sử dụng tọa độ để giải toán cung cấp cho học sinh kiến thức cách nhìn toán học... 1.4Khoảng cách đường thẳng chéo Trong không gian muốn tính khoảng cách đường thẳng chéo a b ta có phương pháp sau: Phương pháp 1: Nếu biết độ dài đoạn vng góc chung AB đường thẳng chéo AB = d(a,b) Phương