Luận văn sư phạm Phương pháp tọa độ và các ứng dụng

LỜI CẢM ƠN Em xin chân thành cảm ơn thầy Nguyễn Năng Tâm tận tình giúp đỡ em suốt thời gian em thực đề tài Xin chân thành thầy, tổ Hình học - Khoa toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội II tạo điều kiện giúp đỡ em hoàn thành đề tài Xin chân thành cảm ơn gia đình bạn bè tạo điều kiện thuận lợi cho em trình thực đề tài Em xin chân thành cảm ơn Xuân Hòa, ngày 05 tháng 05 năm 2013 Sinh viên Đinh Thị Ly LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan khóa luận cơng trình nghiên cứu riêng tơi Trong nghiên cứu, thừa kế thành nghiên cứu nhà khoa học, nhà nghiên cứu với chân trọng biết ơn Những kết nêu khóa luận chưa cơng bố cơng trình khác Xuân Hòa, ngày 05 tháng 05 năm 2013 Sinh viên Đinh Thị Ly LỜI NÓI ĐẦU Lý chọn đề tài Tốn học có vai trị quan trọng đời sống thực tiễn, nghiên cứu khoa học Toán học sở tảng để nghiên cứu môn khoa học khác Trong trình học tập, em nghiên cứu chuyên nghành hình học Đây mơn học có tính chặt chẽ, tính lơgic, tính trừu tượng hóa cao độ nên mơn học tương đối khó Với tập hình học lại có nhiều phương pháp giải khác nhau: phương pháp tọa độ, phương pháp vectơ, phương pháp tổng hợp Việc sử dụng phương pháp tọa độ để giải toán cung cấp cho học sinh cách nhìn mới, kiến thức tốn học đại Giúp cho em thấy mối quan hệ 1-1 đại số hình học nhằm phát triển tư toàn diện cho học sinh Phương pháp tọa độ khơng giúp giải tốn quỹ tích khó tốn chứng minh mà ta không giải suy luận, cứu cánh ta bí, hiệu cịn thời gian dù tính tốn có phức tạp ta khơng cần nghĩ nhiều Bắt nguồn từ lịng say mê thân giúp đỡ bảo thầy Nguyễn Năng Tâm em chọn đề tài PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ VÀ ỨNG DỤNG để làm khóa luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu phương pháp tọa độ ứng dụng phương pháp tọa độ việc giải toán sơ cấp chứng minh số định lí hình học xạ ảnh Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu phương pháp tọa độ - Nghiên cứu số ứng dụng phương pháp tọa độ Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng: phương pháp tọa độ ứng dụng - Phạm vi nghiên cứu: hình học afin, hình học Ơclit, hình học xạ ảnh Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lý luận, tài liệu tham khảo - Phân tích, tổng hợp kiến thức phục vụ cho mục đích nghiên cứu Cấu trúc Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận tốt nghiệp gồm hai chương: - Chương 1: Phương pháp tọa độ - Chương 2: Một số ứng dụng giải toán phương pháp tọa độ MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu 4 Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Cấu trúc CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ 1.1 MỘT VÀI NÉT VỀ HỆ TỌA ĐỘ 1.2 KHÔNG GIAN AFIN 1.2.2 Mặt phẳng A không gian A 1.3.1 Định nghĩa 10 1.3.2 Một số tính chất 12 1.3.3 Một số công thức hệ tọa độ Đêcac vng góc 13 1.4 KHƠNG GIAN XẠ ẢNH 18 1.4.1 Định nghĩa 18 CHƯƠNG MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ VÀO GIẢI TOÁN 20 2.1 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ 20 2.2 MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC GIẢI BẰNG HỆ TỌA ĐỘ AFIN 21 2.2.1 Một số tốn hình học phẳng 21 2.2.2 Các tốn khơng gian 25 2.3 MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC GIẢI BẰNG HỆ TỌA ĐỘ TRỰC CHUẨN 31 2.3.1 Trong mặt phẳng 31 2.3.2 Trong không gian 39 2.4 ỨNG DỤNG CỦA MỤC TIÊU XẠ ẢNH 46 KẾT LUẬN 53 MỘT SỐ TÀI LIỆU THAM KHẢO 54 CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ 1.1 MỘT VÀI NÉT VỀ HỆ TỌA ĐỘ Hệ tọa độ tập hợp điều kiện để xác định vị trí điểm đường thẳng, mặt phẳng hay không gian Khái niệm hệ tọa độ đưa vào địa chất thiên văn để xác định vị trí mặt đất bầu trời Vào kỷ XIV, nhà toán học người Pháp N.Oresme (1323-1382) sử dụng hệ tọa độ mặt phẳng để dựng đồ thị Ông dùng khái niệm kinh độ vĩ độ ứng với khái niệm tung độ hoành độ ta Vào kỷ XVII nhờ cơng trình nhà toán học người Pháp Descarter, người ta thấy rõ ý nghĩa phương pháp tọa độ: cho phép chuyển tốn hình học ngơn ngữ giải tích ngược lại cho phép mô tả kết khác tốn học giải tích hình học Ơng mở thời kỳ cho toán học Tọa độ điểm số thứ tự, đặc trưng cho vị trí điểm đường thẳng, mặt phẳng hay không gian Tọa độ điểm gắn liền với hệ tọa độ xác định, bao gồm gốc tọa độ trục tọa độ Tùy theo tính chất việc khảo sát đối tượng hay đối tượng khác mà người ta chọn hệ tọa độ khác 1.2 KHÔNG GIAN AFIN 1.2.1 Định nghĩa Định nghĩa Cho tập A   không gian vectơ V n trường số K Giả sử có ánh xạ:  : A  A  V n thỏa mãn hai điều kiện:  i) Với M  A v V n có N  A cho:   M , N   v ii) Với M , N , P  A có:   M , N     N , P     M , P  Khi đó, ba  A, ,V n  gọi không gian afin liên kết với V n ánh xạ liên kết    Kí hiệu: An  V n , An   A, ,V n  , MN    M , N  , M  An  M  A ,    v  An  v  V n Định nghĩa Trong không gian afin n chiều An , trường số K cho        điểm O sở  e1 , e2 , , en  An Ta gọi số O; e1 , e2 , , en  hệ tọa độ afin An Điểm O gọi gốc hệ tọa độ    Cơ sở  e1 , e2 , , en  gọi sở hệ tọa độ Định nghĩa Trong không gian afin n chiều An với hệ tọa độ    O; e1, e2 , , en  cho điểm M Khi biểu thị     OM  x1.e1  x2 e2   xn en Thì số  x1 , x2 , , xn  gọi tọa độ afin điểm M hệ tọa độ cho Ký hiệu: M   x1 , x2 , , xn  hay M  x1 , x2 , , xn  Định nghĩa Trong không gian afin n chiều An với hệ tọa độ      O; e1, e2 , , en  cho vectơ v Khi vectơ v biểu thị dạng:     v  v1.e1  v2 e2   en  Bộ số  v1 , v2 , ,  gọi tọa độ afin vectơ v   hệ tọa độ chọn Ký hiệu: v   v1 , v2 ,  hay v  v1 , v2 ,   Nếu M  x1 , x2 , , xn  N  y1 , y2 , , yn  MN  y1  x1 , , yn  xn  1.2.2 Mặt phẳng A không gian A Mặt phẳng A   Hệ tọa độ afin bao gồm điểm gốc O hai vectơ sở e1 , e2   Trong e1 , e2 khác vectơ khơng khơng phương x y O Không gian A    Hệ tọa độ afin gồm điểm gốc O ba vectơ sở e1 , e2 , e3    Trong e1 , e2 , e3 khác vectơ không không đồng phẳng x y z O 1.3 KHÔNG GIAN ƠCLIT 1.3.1 Định nghĩa Định nghĩa Cho không gian vectơ thực V ánh xạ  :V  V  ฀ mà    ta ký hiệu   x , y  x y Nếu ánh xạ thỏa mãn bốn điều kiện sau ta gọi  hàm tích vơ hướng V   i) x y  y.x         x1  x2  y  x1 y  x2 y; ii)      x. y1  y2   x y1  x y2      iii)  kx  y  k  x y   x. ky     iv) x.x  x.x  x        (với x , x1 , x2 , y , y1 , y2  V k  ฀ )    Số thực x y gọi tích vơ hướng hai vectơ x , y  Cặp E  V ,  gọi không gian vectơ Ơclit Định nghĩa Không gian Ơclit không gian afin liên kết với không gian vectơ Ơclit hữu hạn chiều 10 z C O N x M A y B Hình 10 Khi khoảng cách hai đường thẳng OM CN :    OM , CN  OC   d   OM , CN    2 d 0 1 1 0   1 1 1 2 40 2  Bài tốn 2: Cho hình chóp S A BCD có SA   ABCD  A , có đáy A BCD nửa lục giác nội tiếp đường trịn đường kính AB  2a , SA  a vng góc với đáy a, Tính góc hai mặt phẳng ( SAD ) ( SBC ) b, Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( SBC ) Lời giải Vì giả thiết cho SA   ABCD  A Do đó, ta chọn hệ trục toạ độ Đêcác vng góc Oxyz cho A  O Giả sử điểm B  Ox , S  Oz Khi đó: A(0,0,0) , B(2a,0,0) Do A BCD nửa lục giác nên suy C( 3a a a a , ,0) , D( , ,0) , S (0,0, a 3) 2 2 z S B A y D x C Hình 11   a) Gọi n1 ( x1 , y1 , z1 ) , n2 ( x2 , y2 , z2 ) theo thứ tự vectơ tuyến mặt phẳng ( SAD ) , ( SBC ) 41    a a  n1  SA  SA (0,0,  a 3) , a 3)  n1 ( 3, 1,0) SD ( , , Với    2 n1  SD    3a a  n2  SB  , a 3)  n2 ( 3,1, 2)    Với SB (2a,0, a 3) , SC ( , 2 n2  SC Khi đó, gọi  góc tạo hai mặt phẳng ( SAD ) ( SBC )   n1.n2 1  cos        n1 n2    4 2  b) Mặt phẳng ( SBC ) qua B  2a,0,0  có vectơ pháp tuyến n2 ( 3,1, 2) Do phương trình mặt phẳng ( SBC ) có dạng: 3. x  2a   1. y    2. z     3.x  y  2.z  2a  Khi khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( SBC ) xác định sau: d  A,  SBC    3.0   0.2  2a 3 1  a Bài tốn 3: Cho hình lập phương ABCD A1 B1C1 D1 Gọi G trọng tâm tam giác ฀ BDA1 Chứng minh A , G , C thẳng hàng Lời giải Chọn hệ tọa độ Đêcác vng góc Oxyz cho A  O Các điểm B , D , A1 thuộc trục Ox , Oy , Oz 42 z A1 C1 B1 D1 G A D B y C x Hình 12 Ta giả sử: A B = a , A D = b , AA1 = c Khi đó, ta có: A(0,0,0) , B(a,0,0) , D(0, b,0) , A1 (0,0, c) , C1 (a, b, c) Theo giả thiết G trọng tâm tam giác ฀ A1 BD     Do đó: 3AG  AB  AD  AA1    Ta có: AB (a,0,0) , AD (0, b,0) , AA1 (0,0, c) Suy ra:     AG  AB  AD  AA1   a,0,0    0, b,0    0,0, c   Suy ra: AG   a, b, c     Mặt khác, AC1   a, b, c  suy AG  AC1 Vậy A , G , C thẳng hàng 43 Bài toán 4: Cho tam giác VA BC cạnh a gọi D điểm đối xứng với A qua BC Trên đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (A BC ) D lấy điểm S cho SD = a Chứng minh  SAB    SAC  Lời giải (A BC ) D Vậy ta Giả thiết cho đường thẳng d vng góc với chọn hệ trục tọa độ Đêcac vng góc Dxyz với A Ỵ Dx , B C đối xứng qua Dx z S B D A x C y Hình 13 Khi đó, ta có : tam giác VA BC : A , D đối xứng với qua BC Þ A D ^ BC A D = , OA = a 44 Þ D (0, 0, 0) , A (a 3, 0, 0) , B (a -a a a a , , 0) , C ( , , 0) , S (0, 0, ) 2 2 ur r Gọi n , n vecto pháp tuyến (SA B ) (SA C ) ur ìï ï n ^ (SA B ) Þ Ta có: ïí ur1 ïï n ^ (SA C ) ïỵ ur uur ur uuur ìï ìï ïï n ^ SA ï n ^ AB uur ïí ur1 uuur í ur ïï n ^ SA ïï n ^ A C ïỵ ïỵ uur ỉ ïïì ur - a ửữ ỗ ữ ùùù n ^ SA ỗỗỗa 3, 0, ÷ ÷ ur ÷ è ø ï Þ í Þ n 1, - 3, uuur ổ- a a ữ ùù ur ỗ ùù n ^ A C ỗỗ , , 0ữ ữ ữ ữ ỗố ứ ùợù ur uur Ta thấy: n 1.n = 1.1 - 3 + 2 = ( Þ ) (SA B ) ^ (SA C ) Như vậy, việc sử dụng phương pháp tọa độ vào giải toán làm cho lời giải toán đơn giản, dễ hiểu Giúp ta giải toán mà phương pháp suy luận khó tìm lời giải 45 2.4 ỨNG DỤNG CỦA MỤC TIÊU XẠ ẢNH Mục tiêu xạ ảnh đến rộng rãi để giải toán sơ cấp hệ tọa độ afin hay hệ tọa độ Đêcac vng góc lại công cụ hữu hiệu việc chứng minh số định lý tốn học.Chẳng hạn như: Định lí Steiner Xét mặt phẳng xạ ảnh thực a) Cho hai điểm cố định S1 S nằm đường ôvan điểm M thay đổi đường ơvan Khi ánh xạ f : S1  S  biến đường thẳng S1M thành đường thẳng S M ánh xạ xạ ảnh khác với phép xuyên trục b) Ngược lại : Cho ánh xạ xạ ảnh f : S1  S  hai chùm phân biệt S  S  Nếu f phép chiếu xuyên trục tập hợp giao điểm đường tương ứng đường ôvan Chứng minh d2 m' S1 a' M d0 E S0 d1 S2 m a Hình 14 46 a) Gọi d đường thẳng qua S S ; d1 d2 tiếp tuyến ôvan S S , S0  d1  d Lấy điểm E cố định ôvan khác với S S Nếu chọn S0 , S1 , S ; E làm mục tiêu xạ ảnh phương trình ơvan là: x02  x1.x2  Nếu điểm M nằm ôvan, khác với S S tọa độ  x0 : x1 : x2  thỏa mãn phương trình x0  Do x1  Bởi vậy: x2 x0  x0 x1 Nên gọi a  S1 E , a '  S E , m  S1M , m '  S M dễ dàng thấy rằng:  d , d , a, m   x2 x ,  d1 , d , a ', m '  x0 x1 Suy ra:  d , d , a, m    d1 , d , a ', m ' Do f ánh xạ xạ ảnh d khơng tự ứng nên f phép chiếu xuyên trục b Gọi d đường thẳng qua S S , f (d )  d1 , f 1 (d )  d Vì f khơng phải phép chiếu xun trục nên d khơng tự ứng, d , d1 , d2 đơi phân biệt Vì ba điểm S0  d1  d , S , S ba điểm độc lập Gọi a đường thẳng chùm S1 khác với d d2 , a '   a  , E  a  a ' Ta chọn S0 , S1 , S ; E làm mục tiêu xạ ảnh Với đường thẳng m  S1 m '  f  m   S  , ta đặt m  m '  X   x0 : x1 : x2  Khi đó: d  (1: : 0) , d1  (0 :1: 0) , d  (0 : :1) , a  (1: : 1) , a '  (1:1: 0) , m  ( x2 : :  x0 ) , m '  ( x1 : x0 : 0) Từ suy ra:  d , d , a, m   x2 x  d1 , d , a ', m '  x0 x1 47 a' m' d2 S0 a S1 E d0 m d1 S2 Hình 15 Nhưng f ánh xạ xạ ảnh nên:  d , d , a, m    d1 , d , a ', m ' Vậy x2 x0  hay x02  x1.x2  x0 x1 Đó phương trình đường ơvan tiếp xúc với d1 d2 S S2 Định lí Pappus Trong  cho ba điểm phân biệt A , B , C thuộc đường thẳng d ba điểm phân biệt A ' , B ' , C ' thuộc đường thẳng d ' Giả sử d  d ' d  d '  S0 khơng trùng với sáu điểm cho Khi ba điểm   BC ' B ' C ,   AC ' A ' C ,   BA ' B ' A thẳng hàng Chứng minh 48 Chọn mục tiêu xạ ảnh S0 , S1 , S ; E , S1  d , S  d ' với S không trùng với ba điểm A , B , C S không trùng với ba điểm A ' , B ' , C ' , E điểm tùy ý Khi ta có: A(a :1: 0) , B(b :1: 0) , C (c :1: 0) , A '(a ' : :1) , B '(b ' : :1) , C '(c ' : :1) d C B A S0  A'   B' C' d' Hình 16 Từ ta tính được:   BC ' B ' C  (bb ' cc ' : b ' c ' : b  c)   AC ' A ' C  (cc ' aa ' : c ' a ' : c  a)   AB ' A ' B  (aa ' bb ' : a ' b ' : a  b) Cộng ba dòng tọa độ a , b , g lại ta  : :  nên bb ' cc ' b ' c ' b  c cc ' aa ' c ' a ' c  a  aa ' bb ' a ' b ' a  b Do a , b , g thẳng hàng 49 Định lí Staud Trong P cho đường bậc hai không suy biến (G ), hai cặp đỉnh đối diện hình bốn cạnh tồn phần liên hợp với (G ) cặp đỉnh đối diện cịn lại liên hợp với (G ) Chứng minh Giả sử  A, A ' ,  B, B ' ,  C , C ' ba cặp đỉnh đối diện hình bốn cạnh tồn phần mà A liên hợp với A ' B liên hợp với B ' (G ) Chọn mục tiêu xạ ảnh  A, A ', B; B ' giả sử (G ) có phương trình: a00 x02  a11 x12  a22 x22  2a01 x1 x2  2a02 x0 x2  2a12 x1 x2  Ta có A(1: : 0) , A '(0 :1: 0) , B(0 : :1) , B '(1:1:1) Từ ta tính C (1: :1) C '(0 :1:1) Đặt F  x0 , x1 , x2 , y0 , y1 , y2   a00 x0 y0  a11 x1 y1  a22 x2 y2  a01  x0 y1  x1 y0   a02  x0 y2  x2 y0   a12  x1 y2  x2 y1  Vì A liên hợp với A ' nên F (1,0,0,0,1,0)  a01  Vì B liên hợp với B ' nên F (0,0,0,0,1,1)  a22  a02  a12  Với hai điểm C C ' ta có F (1,0,1,0,1,1)  a22  a02  a12  , tức C liên hợp với C ' Định lí hình bốn đỉnh tồn phần Trong hình bốn đỉnh toàn phần, hai điểm chéo nằm đường chéo chia điều hòa cặp giao điểm đường chéo với cặp cạnh qua điểm chéo thứ ba 50 Chứng minh Giả sử A BCD hình bốn đỉnh tồn phần Ba điểm chéo là: P  AB  CD , Q  AD  BC R  AC  BD Gọi M  AD  PR , N  BC  PR Ta phải chứng minh:  P, R, M , N   1 Trong mặt phẳng P chứa hình bốn đỉnh ta chọn mục tiêu xạ ảnh S , S , S ; E , cho: S0  A  (1: : 0) , S1  B  (0 :1: 0) , E  D  (1:1:1) N C Q R M A D B P Hình 17 Đường thẳng A B có phương trình x2  , nên điểm P có tọa độ ( x0 : x1 : 0) Mặt khác, ba điểm P , D , C thẳng hàng nên: x0 x1 1  hay x0  x1 suy P 1:1:  Tương tự ta tính được: R 1: :1 51 Phương trình đường thẳng PR là: x0 1 x1 x2  hay x0  x1  x2  Còn đường thẳng BC có phương trình: x0  Suy tọa độ điểm là: N  :1: 1 Phương trình đường thẳng A D là: x0 1 x1 x2  hay x2  x1  Tọa độ điểm M  AD  PR   :1:1 Từ ta có:  M    P    R   N    P    R  hay  P, R, M , N   1 Như vậy, việc sử dụng mục tiêu xạ ảnh nhà toán học chứng minh định lí tốn học cơng cụ hữu ích việc nghiên cứu khơng gian xạ ảnh 52 KẾT LUẬN Khái niệm hệ tọa độ đời cho ta phương pháp để giải toán cách hiệu Nhờ có phương pháp mà tốn chứng minh vng góc, thẳng hàng, tìm quỹ tích giả ngắn gọn dễ dàng Khơng cịn phương pháp hữu ích việc chúng minh định lí tốn học Khơng có phương pháp chìa khóa vạn việc giải tất toán, tốn có nhiều cách giải Có thể lời giải em đưa chưa thực tối ưu cịn nhiều định lí khác khơng gian xạ ảnh chứng minh nhờ phương pháp tọa độ song tốn hay định lí em đưa khóa luận để minh họa cho ứng dụng phương pháp Mặc dù, có nhiều cố gắng song lần em làm quen với việc nghiên cứu khoa học nên tránh thiếu sót Em mong muốn thầy cơ, bạn sinh viên đóng góp ý kiến trao đổi để luận văn hoàn thiện tốt Ngày 05 tháng 05 năm 2103 Sinh viên Đinh Thị Ly 53 MỘT SỐ TÀI LIỆU THAM KHẢO Phạm Khắc Ban- Phạm Bình Đơ, Hình học afin hình học Ơclit ví dụ tập, NXB ĐHSP Văn Như Cương- Tạ Mân, Hình học afin hình học Ơclit, NXB Đại học quốc gia Hà Nội 1998 Văn Như Cương, Hình học xạ ảnh, NXBGD 1999 Phạm Bình Đơ, Bài tập hình học xạ ảnh, NXBĐHSP Từ điển Tốn học, Hồng Hữu Như, Lê Đình Thịnh dịch, NXBKH KT 1993 Http: Ebook.ringring.vn 54 ... MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ VÀO GIẢI TOÁN Ở chương em đưa số ví dụ để minh họa cho ứng dụng phương pháp tọa độ 2.1 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ Phương pháp tọa độ phương pháp giải toán cách gắn... Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu phương pháp tọa độ - Nghiên cứu số ứng dụng phương pháp tọa độ Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng: phương pháp tọa độ ứng dụng - Phạm vi nghiên cứu: hình học... hóa cao độ nên mơn học tương đối khó Với tập hình học lại có nhiều phương pháp giải khác nhau: phương pháp tọa độ, phương pháp vectơ, phương pháp tổng hợp Việc sử dụng phương pháp tọa độ để giải