Phương pháp tọa độ và các ứng dụng

LI CM N Em xin chõn thnh cm n thy Nguyn Nng Tõm ó tn tỡnh giỳp em sut thi gian em thc hin ti Xin chõn thnh cỏc thy, cỏc cụ t Hỡnh hc - Khoa toỏn, Trng i hc S phm H Ni II ó to mi iu kin giỳp em hon thnh ti ny Xin chõn thnh cm n gia ỡnh v bn bố ó to mi iu kin thun li cho em quỏ trỡnh thc hin ti Em xin chõn thnh cm n Xuõn Hũa, ngy 05 thỏng 05 nm 2013 Sinh viờn inh Th Ly LI CAM OAN Tụi xin cam oan khúa lun l cụng trỡnh nghiờn cu ca riờng tụi Trong nghiờn cu, tụi ó tha k nhng thnh qu nghiờn cu ca cỏc nh khoa hc, nh nghiờn cu vi s chõn trng v bit n Nhng kt qu nờu khúa lun cha c cụng b trờn bt kỡ cụng trỡnh no khỏc Xuõn Hũa, ngy 05 thỏng 05 nm 2013 Sinh viờn inh Th Ly LI NểI U Lý chn ti Toỏn hc cú vai trũ quan trng i sng thc tin, cng nh nghiờn cu khoa hc Toỏn hc l c s nn tng nghiờn cu cỏc mụn khoa hc khỏc Trong quỏ trỡnh hc tp, em c nghiờn cu v chuyờn nghnh hỡnh hc õy l mụn hc cú tớnh cht ch, tớnh lụgic, tớnh tru tng húa cao nờn nú l mụn hc tng i khú Vi mi bi hỡnh hc li cú th cú nhiu phng phỏp gii khỏc nhau: phng phỏp ta , phng phỏp vect, phng phỏp tng hp Vic s dng phng phỏp ta gii toỏn cung cp cho hc sinh cỏch nhỡn mi, kin thc mi v toỏn hc hin i Giỳp cho cỏc em thy c mi quan h 1-1 gia i s v hỡnh hc nhm phỏt trin t ton din cho hc sinh Phng phỏp ta khụng ch giỳp chỳng ta gii quyt cỏc bi toỏn qu tớch khú hoc cỏc bi toỏn chng minh m ta khụng gii c bng suy lun, cu cỏnh ta mi bớ, hiu qu cũn ớt thi gian vỡ dự tớnh toỏn cú hi phc nhng ta khụng cn ngh nhiu Bt ngun t lũng say mờ ca bn thõn v c s giỳp ch bo ca thy Nguyn Nng Tõm em chn ti PHNG PHP TA V NG DNG lm khúa lun tt nghip ca mỡnh Mc ớch nghiờn cu Tỡm hiu v phng phỏp ta v ng dng ca phng phỏp ta vic gii cỏc bi toỏn s cp v chng minh mt s nh lớ hỡnh hc x nh Nhim v nghiờn cu - Nghiờn cu phng phỏp ta - Nghiờn cu mt s ng dng ca phng phỏp ta i tng v phm vi nghiờn cu - i tng: phng phỏp ta v ng dng - Phm vi nghiờn cu: hỡnh hc afin, hỡnh hc clit, hỡnh hc x nh Phng phỏp nghiờn cu - Nghiờn cu lý lun, ti liu tham kho - Phõn tớch, tng hp kin thc phc v cho mc ớch nghiờn cu Cu trỳc Ngoi phn m u, kt lun, ti liu tham kho, khúa lun tt nghip gm hai chng: - Chng 1: Phng phỏp ta - Chng 2: Mt s ng dng gii toỏn bng phng phỏp ta MC LC LI NểI U Lý chn ti Mc ớch nghiờn cu Nhim v nghiờn cu 4 i tng v phm vi nghiờn cu Phng phỏp nghiờn cu Cu trỳc CHNG PHNG PHP TA 1.1 MT VI NẫT V H TA 1.2 KHễNG GIAN AFIN 1.2.2 Mt phng A v khụng gian A 1.3.1 nh ngha 10 1.3.2 Mt s tớnh cht 12 1.3.3 Mt s cụng thc c bn h ta ờcac vuụng gúc 13 1.4 KHễNG GIAN X NH 18 1.4.1 nh ngha 18 CHNG MT S NG DNG CA PHNG PHP TA VO GII TON 20 2.1 PHNG PHP TA 20 2.2 MT S BI TON HèNH HC GII BNG H TA AFIN 21 2.2.1 Mt s toỏn hỡnh hc phng 21 2.2.2 Cỏc bi toỏn khụng gian 25 2.3 MT S BI TON HèNH HC GII BNG H TA TRC CHUN 31 2.3.1 Trong mt phng 31 2.3.2 Trong khụng gian 39 2.4 NG DNG CA MC TIấU X NH 46 KT LUN 53 MT S TI LIU THAM KHO 54 CHNG PHNG PHP TA 1.1 MT VI NẫT V H TA H ta l hp cỏc iu kin xỏc nh v trớ ca mt im trờn ng thng, trờn mt phng hay khụng gian Khỏi nim v h ta u tiờn c a vo a cht v thiờn xỏc nh v trớ trờn mt t v trờn bu tri Vo th k XIV, nh toỏn hc ngi Phỏp N.Oresme (1323-1382) s dng h ta trờn mt phng dng th ễng dựng khỏi nim kinh v v ng vi khỏi nim tung v honh ca ta hin Vo th k XVII nh cỏc cụng trỡnh ca nh toỏn hc ngi Phỏp Descarter, ngi ta thy rừ ý ngha ca phng phỏp ta : cho phộp chuyn cỏc bi toỏn hỡnh hc v ngụn ng gii tớch v ngc li cho phộp mụ t cỏc kt qu khỏc toỏn hc gii tớch bng hỡnh hc ễng ó m mt thi k mi cho toỏn hc Ta ca mt im l mt b s c sp th t, c trng cho v trớ ca mt im trờn ng thng, trờn mt phng hay khụng gian Ta ca mt im luụn gn lin vi mt h ta xỏc nh, bao gm gc ta v cỏc trc ta Tựy theo tớnh cht ca vic kho sỏt i tng ny hay i tng khỏc m ngi ta chn cỏc h ta khỏc 1.2 KHễNG GIAN AFIN 1.2.1 nh ngha nh ngha Cho A v khụng gian vect V n trờn trng s K Gi s cú ỏnh x: : A A V n tha hai iu kin: i) Vi bt k M A v bt kỡ v V n u cú nht N A cho: M , N v ii) Vi bt kỡ M , N , P A u cú: M , N N , P M , P Khi ú, b ba A, ,V n gi l mt khụng gian afin liờn kt vi V n bi ỏnh x liờn kt Kớ hiu: An V n , An A, ,V n , MN M , N , M An M A , v An v V n nh ngha Trong khụng gian afin n chiu An , trờn trng s K cho im O v mt c s e1 , e2 , , en ca An Ta gi b s O; e1 , e2 , , en l mt h ta afin ca An im O c gi l gc ca h ta C s e1 , e2 , , en gi l c s ca h ta nh ngha Trong khụng gian afin n chiu An vi h ta O; e1, e2 , , en cho im M bt k Khi ú cú th biu th OM x1.e1 x2 e2 xn en Thỡ b s x1 , x2 , , xn c gi l ta afin ca im M i vi h ta ó cho Ký hiu: M x1 , x2 , , xn hay M x1 , x2 , , xn nh ngha Trong khụng gian afin n chiu An vi h ta O; e1, e2 , , en cho vect v Khi ú vect v c biu th nht di dng: v v1.e1 v2 e2 en B s v1 , v2 , , c gi l ta afin ca vect v i vi h ta ó chn Ký hiu: v v1 , v2 , hay v v1 , v2 , Nu M x1 , x2 , , xn v N y1 , y2 , , yn thỡ MN y1 x1 , , yn xn 1.2.2 Mt phng A v khụng gian A Mt phng A H ta afin bao gm mt im gc O v hai vect c s e1 , e2 Trong ú e1 , e2 khỏc vect khụng v khụng cựng phng x y O Khụng gian A H ta afin gm mt im gc O v ba vect c s e1 , e2 , e3 Trong ú e1 , e2 , e3 khỏc vect khụng v khụng ng phng x y z O 1.3 KHễNG GIAN CLIT 1.3.1 nh ngha nh ngha Cho khụng gian vect thc V v mt ỏnh x :V V m ta ký hiu x , y hoc x y Nu ỏnh x ny tha bn iu kin sau thỡ ta gi l mt hm tớch vụ hng trờn V i) x y y.x x1 x2 y x1 y x2 y; ii) x. y1 y2 x y1 x y2 iii) kx y k x y x. ky iv) x.x v x.x thỡ x (vi mi x , x1 , x2 , y , y1 , y2 V v mi k ) S thc x y c gi l tớch vụ hng ca hai vect x , y Cp E V , c gi l mt khụng gian vect clit nh ngha Khụng gian clit l khụng gian afin liờn kt vi khụng gian vect clit hu hn chiu 10 z C O N x M A y B Hỡnh 10 Khi ú khong cỏch gia hai ng thng OM v CN l : OM , CN OC d OM , CN 2 d 1 2 1 0 1 1 2 40 2 Bi toỏn 2: Cho hỡnh chúp S A BCD cú SA ABCD ti A , cú ỏy A BCD l na lc giỏc u ni tip ng trũn ng kớnh AB 2a , SA a v vuụng gúc vi ỏy a, Tớnh gúc gia hai mt phng ( SAD ) v ( SBC ) b, Tớnh khong cỏch t im A n mt phng ( SBC ) Li gii Vỡ gi thit cho SA ABCD ti A Do ú, ta cú th chn h trc to ờcỏc vuụng gúc Oxyz cho A O Gi s im B Ox , S Oz Khi ú: A(0,0,0) , B(2a,0,0) Do A BCD l na lc giỏc u nờn suy C( 3a a a a , ,0) , D( , ,0) , S (0,0, a 3) 2 2 z S B A x D C y Hỡnh 11 a) Gi n1 ( x1 , y1 , z1 ) , n2 ( x2 , y2 , z2 ) theo th t l vect tuyn ca cỏc mt phng ( SAD ) , ( SBC ) 41 a a n1 SA SA (0,0, a 3) SD ( , , a 3) n1 ( 3, 1,0) Vi , 2 n1 SD 3a a n2 SB , a 3) n2 ( 3,1, 2) Vi SB (2a,0, a 3) , SC ( , 2 n2 SC Khi ú, gi l gúc to bi hai mt phng ( SAD ) v ( SBC ) n1.n2 cos n1 n2 4 2 b) Mt phng ( SBC ) qua B 2a,0,0 v cú vect phỏp tuyn n2 ( 3,1, 2) Do ú phng trỡnh mt phng ( SBC ) cú dng: 3. x 2a 1. y 2. z 3.x y 2.z 2a Khi ú khong cỏch t im A n mt phng ( SBC ) c xỏc nh nh sau: d A, SBC 3.0 0.2 2a 3 a Bi toỏn 3: Cho hỡnh lp phng ABCD A1 B1C1 D1 Gi G l trng tõm ca tam giỏc BDA1 Chng minh rng A , G , C thng hng Li gii Chn h ta ờcỏc vuụng gúc Oxyz cho A O Cỏc im B , D , A1 ln lt thuc cỏc trc Ox , Oy , Oz 42 z A1 C1 B1 D1 G A D B y C x Hỡnh 12 Ta gi s: A B = a , A D = b , AA1 = c Khi ú, ta cú: A(0,0,0) , B(a,0,0) , D(0, b,0) , A1 (0,0, c) , C1 (a, b, c) Theo gi thit G l trng tõm tam giỏc A1 BD Do ú: 3AG AB AD AA1 Ta cú: AB (a,0,0) , AD (0, b,0) , AA1 (0,0, c) Suy ra: AG AB AD AA1 a,0,0 0, b,0 0,0, c Suy ra: AG a, b, c Mt khỏc, AC1 a, b, c suy AG AC1 Vy A , G , C thng hng 43 Bi toỏn 4: Cho tam giỏc u VA BC cnh a gi D l im i xng vi A qua BC Trờn ng thng d vuụng gúc vi mt phng (A BC ) ti D ly im S cho SD = a Chng minh rng SAB SAC Li gii (A BC ) ti D Vy ta Gi thit cho ng thng d vuụng gúc vi chn h trc ta ờcac vuụng gúc Dxyz vi A ẻ Dx , B v C i xng qua Dx z S B D A x C y Hỡnh 13 Khi ú, ta cú : tam giỏc VA BC u : A , D i xng vi qua BC ị A D ^ BC v A D = , OA = a 44 ị D (0, 0, 0) , A (a 3, 0, 0) , B (a -a a a a , , 0) , C ( , , 0) , S (0, 0, ) 2 2 ur r Gi n , n ln lt l vecto phỏp tuyn ca (SA B ) v (SA C ) ur ỡù ù n ^ (SA B ) ị Ta cú: ùớ ur1 ùù n ^ (SA C ) ùợ ur uur ur uuur ỡù ỡù ùù n ^ SA ù n ^ AB uur v ùớ ur1 uuur ur ùù n ^ SA ùù n ^ A C ùợ ùợ uur ổ ùỡù ur - a 6ử ữ ỗ ữ ùù n ^ SA ỗỗa 3, 0, ữ ữ ur ỗ ùù ữ ố ứ ị ị n 1, - 3, uuur ổ- a a ữ ùù ur ỗ ùù n ^ A C ỗỗ , , 0ữ ữ ữ ùù ữ ỗố ứ ợ ur uur Ta thy: n 1.n = 1.1 - 3 + 2 = ( ị ) (SA B ) ^ (SA C ) Nh vy, vic s dng phng phỏp ta vo gii toỏn lm cho li gii ca bi toỏn n gin, d hiu hn Giỳp ta gii quyt nhng bi toỏn m bng phng phỏp suy lun rt khú cú th tỡm li gii 45 2.4 NG DNG CA MC TIấU X NH Mc tiờu x nh khụng c bit n rng rói gii cỏc bi toỏn s cp nh h ta afin hay h ta ờcac vuụng gúc nhng õy li l cụng c rt hu hiu vic chng minh mt s nh lý toỏn hc.Chng hn nh: nh lớ Steiner Xột mt phng x nh thc a) Cho hai im c nh S1 v S nm trờn mt ng ụvan v mt im M thay i trờn ng ụvan ú Khi ú ỏnh x f : S1 S bin ng thng S1M thnh ng thng S M l mt ỏnh x x nh khỏc vi phộp xuyờn trc b) Ngc li : Cho ỏnh x x nh f : S1 S gia hai chựm phõn bit S v S Nu f khụng phi l phộp chiu xuyờn trc thỡ hp giao im ca cỏc ng tng ng l mt ng ụvan Chng minh d2 m' S1 a' M d0 E S0 d1 S2 m a Hỡnh 14 46 a) Gi d l ng thng i qua S v S ; d1 v d2 ln lt l tip tuyn ca ụvan ti S v S , S0 d1 d Ly mt im E c nh trờn ụvan v khỏc vi S v S Nu chn S0 , S1 , S ; E lm mc tiờu x nh thỡ phng trỡnh ca ụvan l: x02 x1.x2 Nu im M nm trờn ụvan, khỏc vi S v S thỡ ta x0 : x1 : x2 ca nú tha phng trỡnh ú v x0 Do ú x1 Bi vy: x2 x0 x0 x1 Nờn gi a S1 E , a ' S E , m S1M , m ' S M thỡ d dng thy rng: d , d , a, m x2 x , d1 , d , a ', m ' x0 x1 Suy ra: d , d , a, m d1 , d , a ', m ' Do ú f l ỏnh x x nh v vỡ d khụng t ng nờn f khụng phi l phộp chiu xuyờn trc b Gi d l ng thng i qua S v S , f (d ) d1 , f (d ) d Vỡ f khụng phi l phộp chiu xuyờn trc nờn d khụng t ng, ú d , d1 , d2 ụi mt phõn bit Vỡ vy ba im S0 d1 d , S , S l ba im c lp Gi a l ng thng ca chựm S1 khỏc vi d v d2 , a ' a , v E a a ' Ta chn S0 , S1 , S ; E lm mc tiờu x nh Vi mi ng thng m S1 v m ' f m S , ta t m m ' X x0 : x1 : x2 Khi ú: d (1: : 0) , d1 (0 :1: 0) , d (0 : :1) , a (1: : 1) , a ' (1:1: 0) , m ( x2 : : x0 ) , m ' ( x1 : x0 : 0) T ú suy ra: d , d , a, m x2 x v d1 , d , a ', m ' x0 x1 47 a' S1 m' d2 E d0 S2 S0 d1 m a Hỡnh 15 Nhng vỡ f l ỏnh x x nh nờn: d , d , a, m d1 , d , a ', m ' Vy x2 x0 hay x02 x1.x2 x0 x1 ú l phng trỡnh ca ng ụvan tip xỳc vi d1 v d2 ln lt ti S v S2 nh lớ Pappus Trong cho ba im phõn bit A , B , C thuc ng thng d v ba im phõn bit A ' , B ' , C ' thuc ng thng d ' Gi s d d ' v d d ' S0 khụng trựng vi sỏu im ó cho Khi ú ba im BC ' B ' C , AC ' A ' C , BA ' B ' A thng hng Chng minh 48 Chn mc tiờu x nh S0 , S1 , S ; E , ú S1 d , S d ' vi S khụng trựng vi ba im A , B , C cũn S khụng trựng vi ba im A ' , B ' , C ' , E l im tựy ý Khi ú ta cú: A(a :1: 0) , B(b :1: 0) , C (c :1: 0) , A '(a ' : :1) , B '(b ' : :1) , C '(c ' : :1) d C B A S0 A' B' C' d' Hỡnh 16 T ú ta tớnh c: BC ' B ' C (bb ' cc ' : b ' c ' : b c) AC ' A ' C (cc ' aa ' : c ' a ' : c a ) AB ' A ' B (aa ' bb ' : a ' b ' : a b) Cng ba dũng ta ca a , b , g li ta c : : nờn bb ' cc ' b ' c ' b c cc ' aa ' c ' a ' c a aa ' bb ' a ' b ' a b Do ú a , b , g thng hng 49 nh lớ Staud Trong P cho mt ng bc hai khụng suy bin (G ), nu hai cp nh i din ca mt hỡnh bn cnh ton phn liờn hp vi i vi (G ) thỡ cp nh i din cũn li cng liờn hp vi i vi (G ) Chng minh Gi s A, A ' , B, B ' , C , C ' l ba cp nh i din ca hỡnh bn cnh ton phn no ú m A liờn hp vi A ' cũn B liờn hp vi B ' i vi (G ) Chn mc tiờu x nh A, A ', B; B ' v gi s (G ) cú phng trỡnh: a00 x02 a11 x12 a22 x22 2a01 x1 x2 2a02 x0 x2 2a12 x1 x2 Ta cú A(1: : 0) , A '(0 :1: 0) , B(0 : :1) , B '(1:1:1) T ú ta tớnh c C (1: :1) v C '(0 :1:1) t F x0 , x1 , x2 , y0 , y1 , y2 a00 x0 y0 a11 x1 y1 a22 x2 y2 a01 x0 y1 x1 y0 a02 x0 y2 x2 y0 a12 x1 y2 x2 y1 Vỡ A liờn hp vi A ' nờn F (1,0,0,0,1,0) ú a01 Vỡ B liờn hp vi B ' nờn F (0,0,0,0,1,1) ú a22 a02 a12 Vi hai im C v C ' ta cú F (1,0,1,0,1,1) a22 a02 a12 , tc l C liờn hp vi C ' nh lớ v hỡnh bn nh ton phn Trong hỡnh bn nh ton phn, hai im chộo nm trờn mt ng chộo chia iu hũa cp giao im ca ng chộo ú vi cp cnh i qua im chộo th ba 50 Chng minh Gi s A BCD l hỡnh bn nh ton phn Ba im chộo ca nú l: P AB CD , Q AD BC v R AC BD Gi M AD PR , N BC PR Ta phi chng minh: P, R, M , N Trong mt phng P cha hỡnh bn nh ta chn mc tiờu x nh S , S , S ; E , cho: S0 A (1: : 0) , S1 B (0 :1: 0) , E D (1:1:1) N C Q R M A D B P Hỡnh 17 ng thng A B cú phng trỡnh x2 , nờn im P cú ta l ( x0 : x1 : 0) Mt khỏc, ba im P , D , C thng hng nờn: x0 x1 1 hay x0 x1 suy P 1:1: Tng t ta tớnh c: R 1: :1 51 Phng trỡnh ng thng PR l: x0 1 x1 x2 hay x0 x1 x2 Cũn ng thng BC cú phng trỡnh: x0 Suy ta im l: N :1: Phng trỡnh ng thng A D l: x0 1 x1 x2 hay x2 x1 Ta im M AD PR :1:1 T ú ta cú: M P R v N P R hay P, R, M , N Nh vy, bng vic s dng mc tiờu x nh cỏc nh toỏn hc ó chng minh c cỏc nh lớ toỏn hc õy l cụng c hu ớch vic nghiờn cu khụng gian x nh 52 KT LUN Khỏi nim h ta i cho ta mt phng phỏp mi gii toỏn mt cỏch hiu qu hn Nh cú phng phỏp ny m cỏc bi toỏn chng minh vuụng gúc, thng hng, tỡm qu tớch c gi quyt ngn gn d dng hn Khụng nhng th õy cũn l mt phng phỏp rt hu ớch vic chỳng minh cỏc nh lớ toỏn hc Khụng cú phng phỏp no l chỡa khúa nng vic gii tt c cỏc bi toỏn, mt bi toỏn cú th cú nhiu cỏch gii Cú th li gii em a cha thc s ti u v cũn rt nhiu nh lớ khỏc khụng gian x nh c chng minh nh phng phỏp ta song cỏc bi toỏn hay cỏc nh lớ em a bi khúa lun l minh cho ng dng ca phng phỏp ny Mc dự, ó cú nhiu c gng song õy l ln u tiờn em lm quen vi vic nghiờn cu khoa hc nờn khụng th trỏnh c nhng thiu sút Em mong mun cỏc thy cụ, cỏc bn sinh viờn úng gúp ý kin trao i lun hon thin tt hn Ngy 05 thỏng 05 nm 2103 Sinh viờn inh Th Ly 53 MT S TI LIU THAM KHO Phm Khc Ban- Phm Bỡnh ụ, Hỡnh hc afin v hỡnh hc clit trờn nhng vớ d v bi tp, NXB HSP Vn Nh Cng- T Mõn, Hỡnh hc afin v hỡnh hc clit, NXB i hc quc gia H Ni 1998 Vn Nh Cng, Hỡnh hc x nh, NXBGD 1999 Phm Bỡnh ụ, Bi hỡnh hc x nh, NXBHSP T in Toỏn hc, Hong Hu Nh, Lờ ỡnh Thnh dch, NXBKH v KT 1993 Http: Ebook.ringring.vn 54