Ứng dụng CNTT trong dạy học khái niệm phương pháp tọa độ trong mặt phẳng lớp 10 theo phương pháp dạy học tích cực

- PPDH tình huống điển hình trong quá trình dạy học các môn học: + Mơn tốn: PPDH định nghĩa khái niệm, PPDH định lí toán học, PPDH quy tắc và phương pháp tốn học, PPDH bài tập tốn học; +

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Trong xã hội chúng ta hiện nay việc Ứng dụng công nghệ thông tin (CNTT) đã được áp dụng ở hầu hết các lĩnh vực hoạt động của xã hội và mang lại hiệu quả thiết thực đối với ngành giáo dục và đào tạo, CNTT đã và đang mang lại hiệu quả to lớn trong việc đổi mới phương pháp dạy học, hình thức dạy học và quản lý giáo dục

Cùng với việc đổi mới chương trình và sách giáo khoa thì việc đổi mới phương pháp dạy học để nâng cao chất lượng giáo dục là hết sức cần thiết, hiện nay, ngoài các phương pháp dạy học truyền thống, việc ứng dụng CNTT trong dạy học đã góp phần làm cho giờ học trở nên sinh động, hiệu quả, kích thích được tính tích cực, sáng tạo của học sinh

Qua nghiên cứu chương trình sách giáo khoa môn Toán ở trung học phổ thông (THPT), bản thân tôi nhận thấy có nhiều nội dung khi dạy học rất cần sự hỗ trợ của CNTT để tiết kiệm thời gian trên lớp, đảm bảo nội dung cần truyền đạt, làm đơn giản hóa các vấn đề mang tính trừu tượng cao, phát huy tính tích cực của học sinh nhằm nâng cao hiệu quả của việc dạy học Trong môn Toán ở trường THPT, phân môn phương pháp tọa độ trong mặt phẳng là một trong những nội dung khá khó đối với nhiều học sinh Để có thể dạy tốt môn Toán nói chung cũng như phân môn hình học trong mặt phẳng nói riêng,

tôi đã lựa chọn đề tài “Ứng dụng CNTT trong dạy học khái niệm “ phương pháp tọa độ trong mặt phẳng” lớp 10 theo phương pháp dạy học tích cực”

làm khóa luận tốt nghiệp của mình

2 Mục đích nghiên cứu

 Nhằm phát huy được hứng thú và tính tích cực của học sinh đối với việc học tập nội dung khái niệm về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

 Bước đầu giúp cho giáo viên và học sinh tiếp cận với phương pháp dạy học hiện đại, từ đó nâng cao chất lượng và hiệu quả dạy học

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

 Nghiên cứu lí luận:

- PPDH tích cực;

- ƯDCNTT trong dạy học;

- Dạy học khái niệm Toán học và nội dung dạy học khái niệm phần phương tọa độ trong mặt phẳng hình học 10

 Ứng dụng thực tiễn: Thiết kế và xây dựng bài giảng điện tử, tổ chức dạy học các khái niệm về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng – Hình học 10 nâng cao

4 Phương pháp nghiên cứu

 Nghiên cứu lý luận các tài liệu về PPDH tích cực, về phương pháp dạy học môn Toán…

 Tổng kết kinh nghiệm tham khảo các giáo án, bài giảng theo phương pháp dạy học này

 Nghiên cứu cách sử dụng một số phần mềm ứng dụng để thiết kế bài giảng điện tử theo PPDH tích cực:

- Phần mềm trình diễn MS PowerPoint, Violet…

- Phần mềm hình học động Cabri Geometry, Geometer’s Sketchpad

 Nghiên cứu nội dung chương trình, sách giáo khoa môn Toán phần phương pháp tọa độ trong mặt phẳng- Hình học 10 nâng cao

- Phương pháp dạy học (PPDH) tích cực để chỉ những PPDH theo hướng phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của người học

- PPDH tích cực còn có thể được hiểu một cách ngắn gọn là PPDH hướng tới hoạt động học tập chủ động, chống lại thói quen học tập thụ động 1.1.2 Hệ thống phân loại các PPDH

- Hệ thống phân loại các PPDH hiện nay không thống nhất, nó tùy thuộc vào việc người ta có thể xem xét PPDH dưới các phương diện khác nhau, từ đó đưa ra các loại phương pháp khác nhau

- PPDH với cách truyền thông tin tới HS bằng hoạt động bên ngoài: PPDH thuyết trình; PPDH giảng giải minh họa; PPDH gợi mở-vấn đáp; PPDH trực quan

- PPDH tình huống điển hình trong quá trình dạy học các môn học: + Môn toán: PPDH định nghĩa khái niệm, PPDH định lí toán học, PPDH quy tắc và phương pháp toán học, PPDH bài tập toán học;

+ Môn vật lý: PPDH định nghĩa khái niệm, PPDH định luật vật lý, PPDH bài tập vật lý, PPDH thực hành thí nghiệm,…

+ Môn văn: PPDH kể chuyện văn học, PPDH thơ ca, PPDH phân tích tác phẩm văn học …

1.1.3 Đặc trưng của phương pháp dạy học tích cực

- Dạy học phải kích thích nhu cầu và hứng thú học tập của HS

Theo tâm lí học thì tư duy của con người chỉ tích cực khi họ có nhu cầu hứng thú với hoạt động đó Nhà tâm lí học Xô Viết V.P Simonov đã mô tả tính tích cực hoạt động học tập của HS phụ thuộc vào mức độ hấp dẫn và lôi cuốn của nhiệm vụ học tập - nhu cầu là một hàm phụ thuộc vào hiệu số của kiến thức cần thiết và kiến thức đã có theo công thức:

T = N(KCT - KĐC )

Ở đây:

T là mức độ tích cực của HS;

N là nhu cầu nhận thức;

KCT là kiến thức, kĩ năng cần thiết của HS;

KĐC là kiến thức, kĩ năng đã có của HS

Do đó, trong đạy học theo phương pháp tích cực GV cần thiết và trước tiên phải làm cho HS có nhu cầu học tập và bị cuốn hút vào nhiệm vụ học tập

- Dạy học chú trọng rèn luyện phương pháp tự học

Phương pháp tự học tức là rèn luyện cho người học có được phương pháp, kĩ năng, thói quen, ý chí tự chiếm lĩnh tri thức, ví dụ như biết tự lực phát hiện, đặt ra và giải quyết những vấn đề gặp phải trong thực tiễn, biết linh hoạt vận dụng những điều đã học vào những tình huống mới, từ đó sẽ tạo cho người học lòng ham học, ham hiểu biết Do vậy, trong quá trình dạy học cần chú ý dạy cho người học phương pháp tự học, tạo ra sự chuyển biến từ việc học tập thụ động sang việc học tập chủ động

- Tăng cường học tập cá thể, phối hợp với học tập hợp tác

Trong học tập, không phải mọi tri thức, kĩ năng, thái độ đều được hình thành hoàn toàn bằng con đường độc lập cá nhân Thông qua việc thảo luận, tranh luận trong tập thể, ý kiến của mỗi cá nhân được bộc lộ, khẳng định hay

bác bỏ, qua đó người hoc nâng kiến thức của mình lên một trình độ mới Nhờ

đó, kĩ năng cũng như phương pháp học tập của HS dần được nâng cao và ngày càng phát triển hơn

Trong nhà trường, phương pháp học tập hợp tác được tổ chức là hoạt động hợp tác trong nhóm nhỏ Học tập hợp tác làm tăng hiệu quả học tập, nhất là giải quyết những vấn đề gay cấn, lúc xuất hiện thực sự nhu cầu phối hợp giữa các cá nhân để hoàn thành nhiệm vụ chung Trong hoạt động nhóm nhỏ sẽ không có hiện tượng ỷ lại, tính cách năng lực của mỗi thành viên được bộc lộ, uốn nắn, phát triển tình bạn, ý thức tổ chức, tinh thần tương trợ, giúp

đỡ nhau cùng tiến bộ

- Kết hợp sự đánh giá của GV với sự đánh giá của HS

Trong dạy học, việc đánh giá HS là một việc quan trọng, nhằm mục đích đánh giá thực trạng và điều chỉnh hoạt động của đồng cả HS và GV

Trong PPDH tích cực, GV phải hướng dẫn HS tự đánh giá kiến thức của mình để tự điều chỉnh cách học tập, cũng như phải tạo điều kiện để các

HS tham gia vào việc đánh giá lẫn nhau Từ đó hình thành cho HS biết tự đánh giá đúng và điều chỉnh kịp thời các hoạt động học tập của mình Đó chính là năng lực rất cần thiết mà nhà trường cần phải trang bị cho các HS giúp họ có thể thành công trong học tập cũng như trong cuộc sống

- Dạy học thông qua các hoạt động học tập của HS

Trong dạy học, theo quan điểm tích cực, GV phải đặt HS vào những tình huống thực tiễn, tình huống gợi vấn đề và HS được trực tiếp quan sát, thảo luận, làm thí nghiệm và tự rút ra kết luận cần thiết

Đối với môn toán, GV tạo ra và đặt HS vào các tình huống toán học thực tiễn, đồng thời tổ chức để cho HS có thể trực tiếp tham gia trải nghiệm vào các dạng khác nhau của hoạt động toán học sau đây:

+ Hoạt động trí tuệ chung: Quan sát, so sánh, phân tích, tổng hợp, tương tự hóa, khái quát hóa, trìu tượng hóa,…

+ Hoạt động nhận dạng và thể hiện kiến thức toán học

+ Hoạt động toán học phức hợp: Chứng minh toán học, định nghĩa khái niệm toán học, giải bài toán (giải phương trình, giải toán dựng hình, giải toán tìm tập hợp điểm, …)

+ Hoạt động trí tuệ phổ biến của toán học: Lật ngược vấn đề, xét tính giải được, mô hình hóa và thể hiện, …

+ Hoạt động ngôn ngữ: HS phát biểu, trình bày nội dung kiến thức toán học dưới các dạng khác nhau hoặc lập luận biến đổi mệnh đề, chứng minh mệnh đề toán học

Đặc điểm của môn toán là khoa học suy diễn, trong đó mọi kiến thức toán học đều được rút ra từ các tiên đề hoặc đều đã biết bằng suy luận logic

Do đó, nhiệm vụ hàng đầu của dạy học toán ở trường phổ thông là phải dạy cho HS suy nghĩ một cách đúng đắn, hợp lý Vì vậy, dạy học toán ở trường phổ thông bằng các hoạt động toán học thực chất là cho HS trực tiếp được tập dượt cách suy nghĩ thông qua việc trải nghiệm các hoạt động toán học phức hợp

Từ những nghiên cứu trên, ta thấy một vấn đề có ý nghĩa thực tiễn đối với sự đổi mới PPDH Toán là GV cần phải có nhận thức đúng đắn, rõ ràng,

cụ thể về tổ chức dạy học theo PPDH tích cực đối với các tình huống dạy học

điển hình của môn toán Quan điểm đó là dạy học các tình huống Toán học như thế nào được coi là tích cực và như thế nào được coi là thụ động (hay ít tích cực)?

+ Phân tích tìm các dấu hiệu đặc trưng

của khái niệm toán học

+ Hình thành định nghĩa khía niệm và

nêu định nghĩa khái niệm

+ Hoạt động luyện tập củng cố

+ Công bố định nghĩa khái niệm toán học

+ Hoạt động luyện tập củng cố khái niệm toán học

+ Hoạt động gợi động cơ suy đoán

định lí- Nêu nội dug định lí

+ Phân tích tìm đường lối chứng minh

+ Tóm tắt nội dung bài toán

+ Phân tích tìm đường lối chứng minh

toán học

+ Hoạt động chứng minh toán học

+ Kiểm tra và khai thác bài toán

+ Tóm tắt nội dung bài toán + Hoạt động chứng minh toán học

Kết luận: Như vậy chúng ta thấy quan điểm nổi bật của PPDH tích cực đối với môn Toán ở trường phổ thông là tổ chức các hoạt động học tập cho HS theo phương châm coi trọng việc tìm ra đường lối chứng minh toán học, không chú trọng vào việc dạy học chứng minh toán học

1.2 ƯDCNTT đối với sự đổi mới PPDH Toán

1.2.1 Thực tiễn việc ứng dụng CNTT trong dạy học hiện nay

Thực tế ở các trường THPT hiện nay đều được trang bị phòng máy, phòng đa năng, nối mạng internet, tin học được đưa vào giảng dạy chính thức với vai trò là một môn học trong suốt ba năm lớp 10, 11, 12 ở trường THPT Một số trường còn trang bị thêm các thiết bị ghi âm, chụp hình, quay phim, máy quét hình, và một số thiết bị khác, tạo cơ sở hạ tầng CNTT tương đối tốt cho GV có thể sử dụng thuận tiện vào quá trình dạy học

Hiện nay, việc ứng dụng CNTT vào giảng dạy ở trường phổ thông mới chỉ là bước khởi đầu, các tiết dạy có ứng dụng CNTT chưa phổ biến Thông thường chỉ những tiết thao giảng hoặc tiết hội thi giáo viên dạy giỏi các cấp mới có ứng dụng CNTT Nhiều tiết dạy học toán khi ứng dụng CNTT thường

dễ lạm dụng, trong đó diễn ra có việc trình chiếu toàn bộ nội dung bài giảng, nên dẫn tới việc đạt hiệu quả không cao

Các kiến thức, kĩ năng về CNTT ở một bộ phận giáo viên còn hạn chế, chưa đủ vượt ngưỡng để có thể đam mê và sáng tạo, thậm trí còn né tránh Công tác đào tạo, bồi dưỡng, tự bồi dưỡng đội ngũ giáo viên chỉ mới dừng lại ở việc xóa mù tin học nên họ chưa đủ kiến thức, kĩ năng và năng lực để có thể ứng dụng CNTT Việc nghiên cứu ứng dụng thành tựu của CNTT để đổi mới PPDH chưa được nghiên cứu kĩ, dẫn đến việc ứng dụng nó không nhiều Việc đánh giá một tiết dạy có ứng dụng CNTT còn lúng túng, chưa xác định hướng ứng dụng CNTT trong dạy học Chính sách, cơ chế quản lí còn bất cập, chưa tạo được sự đồng bộ trong thực hiện Các phương tiện, thiết bị phục vụ cho dạy học như máy chiếu projecter, … còn thiếu và chưa đồng bộ nên chưa triển khai rộng khắp Việc kết nối và sử dụng internet chưa được thực hiện triệt để và có chiều sâu, sử dụng không thường xuyên do thiếu kinh phí, tốc độ đường truyền hạn chế, …

1.2.2 Tác động của CNTT đối với sự đổi mới PPDH Toán

 CNTT trợ giúp cho giáo viên dạy toán có thể dễ dàng tạo được sự thu hút với HS và lôi cuốn HS một cách mạnh mẽ vào các nhiệm vụ học toán, từ đó làm cho họ có hứng thú hơn và say mê hơn đối với môn Toán:

+ Khai thác mạng máy tính internet, để chọn ra các hình ảnh thực tế trong cuộc sống có liên quan tới bài học Đây là phương tiện hiệu quả để cho

GV tổ chức hoạt động gợi động cơ mở đầu trong dạy học toán

+ Tạo ra các hình vẽ, đồ thị có tính chuẩn mực cao, trực quan và hấp dẫn đối với HS Tạo ra các bảng biểu, sơ đồ, biểu đồ thay thế việc sử dụng bảng phụ của GV

+ Đặc biệt tạo ra được các hình vẽ động, mô phỏng đúng các tình huống toán học trong thực tiễn có chứa các đối tượng chuyển động Nhờ đó

mà HS dễ dàng quan sát, nhận biết được các mối quan hệ đích thực giữa các đối tượng của tình huống đó

 GV sử dụng phần mềm dạy học toán đã tạo điều kiện cho HS có cơ hội thuận lợi để trải nghiệm các phép suy đoán gợi giả thuyết, phân tích tìm đường lối chứng minh toán học:

+ Dự đoán được các kết luận, gợi lên giả thuyết, tạo tiền đề thuận lợi

để tìm đường lối chứng minh toán học

+ Kết hợp với lời nói của GV sẽ hỗ trợ thể hiện việc phân tích tìm đường lối chứng minh toán học, mô tả các bước thuật toán một cách rõ ràng

+ Dễ dàng khai thác các kết quả qua các hoạt động toán học phức hợp

 Sử dụng ứng dụng CNTT trong dạy học sẽ giúp GV tiết kiệm được thời gian trong việc tổ chức dạy học từng hoạt động toán học

+ Tạo tình huống có vấn đề cho HS trong dạy học toán

+ Phân tích tình huống để tìm đường lối chứng minh toán học

Ví dụ: Ứng dụng CNTT trợ giúp dự đoán kết quả và tìm lời giải bài

toán: “Cho góc xOy và hai điểm M, N chuyển động lần lượt trên hai tia Ox,

Oy sao cho OM + ON = k >0 (k- không đổi) Chứng minh rằng đưởng thẳng trung trực d của MN luôn đi qua một điểm cố định”

Để giải bài toán này thì khó khăn đầu tiên và cơ bản nhất là phải biết cách dự đoán điểm cố định cần tìm

Khi sử dụng phần mềm tin học ta sẽ nhanh chóng dự đoán được điểm

cố định bằng cách vẽ hình mô tả bài toán

Ta di chuyển để điểm MO và NO và tạo vết cho đường thẳng d Cho điểm D chuyển động trên đoạn AB thấy vết của d đi qua điểm cố định I nằm trên đường phân giác của góc xOy

1.2.3 Phương pháp sử dụng phần mềm tin học trong dạy học toán

 Phần mềm Microsoft PowerPoint

Phần mềm Microsoft PowerPoint là phần mềm trình diễn chuyên nghiệp, thuận tiện và đơn giản trong sử dụng PowerPoint cho phép trình diễn với nhiều mục đích khác nhau: báo cáo khoa học, báo cáo trong các hội nghị, hội thảo chuyên môn, báo cáo chuyên đề, bảo vệ luận văn, … Muốn sử dụng PowerPoint để dạy học hiệu quả thì GV không những phải có kiến thức tối thiểu về phần mềm PowerPoint và kiến thức về lí luận dạy học và các phương pháp dạy học tích cưc, bên cạnh đó, người GV cũng phải có sự linh hoạt sáng tạo trong thiết kế các trang trình chiếu thông qua việc xây dựng nội dung bài giảng trên các slide và tạo ra các hiệu ứng thích hợp với tình huống dạy học

Một số chú ý trong việc soạn bài giảng bằng PowerPoint:

- Dành một trang để nêu tên bài học

- Sử dụng cỡ chữ, kiểu chữ, màu chữ thống nhất theo từng loại đề mục của bài học Cỡ chữ ghi nội dung cụ thể nhỏ hơn các đề mục Sự thống nhất này nên giữ từ đầu đến cuối bài giảng, cho dù nội dung dạy học chuyển sang trang mới

- Mỗi trang cần thiết kế tạo điều kiện thuận lợi cho việc quay về các trang trước (sử dụng hyperlink liên kết) giúp cho nội dung bài giảng được liên tục

- Nội dung được trình chiếu phải được chọn lọc, không nên đưa quá nhiều thông tin vì như vậy sẽ làm cho HS “bị nhiễu”, mất tập trung vào nội dung chính

- Cố gắng sắp xếp nội dung của một mục (hoặc một số mục) trong cùng một trang trình chiếu Tuy nhiên trong một trang trình chiếu không nên

có quá nhiều chữ và cần tránh các sai sót về lỗi chính tả

- Cần trình bày các trang trình chiếu sao cho HS dễ theo dõi, đồng thời các trang trình chiếu phải mang tính thẩm mĩ để kích thích sự hứng thú học tập của HS

- Cỡ chữ không nên quá nhỏ hoặc quá lớn, thông thường cỡ chữ 24 hoặc 28 là vừa đủ

- Chú ý sử dụng màu sắc để nổi bật những nội dung quan trọng, tuy nhiên trong một trang trình chiếu không nên sử dụng quá nhiều màu sắc, nên

sử dụng nhiều nhất là 5 màu trong một bài giảng

- Sử dụng các hiệu ứng để các trang trình chiếu thêm sinh động, thu hút sự chú ý của HS Tuy nhiên, chỉ sử dụng các hiệu ứng ở mức độ vừa phải, phù hợp, không nên lạm dụng các hiệu ứng gây phân tán chú ý của HS (chỉ nên dùng các hiệu ứng phù hợp với tính sư phạm cho bài giảng)

Trong dạy học hình học ở trường THPT chúng ta có thể trình diễn trên các slide những hình ảnh thực tế khai thác được, hình vẽ tĩnh, các bước dựng hình, các bước phân tích chứng minh toán học, …

 Phần mềm Cabri (Cabri Geometry II Plus và Cabri 3D)

Phầm mềm Cabri cho phép vẽ các hình hình học thông qua việc tạo ra các đối tượng cơ bản như: Điểm, đoạn thẳng, đường thẳng, mặt phẳng (trong

không gian), đường tròn, mặt cầu (trong không gian), xác đinh trung điểm của đoạn thẳng, xác định đường thẳng trung trực, mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng (trong không gian), vẽ đường thẳng và mặt phẳng song song hoặc vuông góc (trong không gian) với đường thẳng và mặt phẳng cho trước, … Cho phép đo đạc, tính toán trên các đối tượng tạo ra

Ngoài việc tạo ra các hình vẽ tĩnh nhanh chóng và chính xác, phần mềm Cabri còn có thể tạo ra được hình vẽ động cho phép mô phỏng đúng những bài toán hình học có đối tượng chuyển động và biết được kết quả của bài toán yêu cầu

 Phần mềm Geometer’s Sketchpad

Geometer’s Sketchpad (viết tắt GSP) là một phần mềm hình học nổi tiếng và đã được sử dụng rộng rãi tại rất nhiều nước trên thế giới Ý tưởng của GSP là biểu diễn động các hình hình học GSP là một công cụ cho phép tạo ra các hình hình học dành cho đối tượng phổ thông bao gồm giáo viên, học sinh, các nhà nghiên cứu Phần mềm có chức năng chính là vẽ đồ thị, vẽ hình, mô phỏng quỹ tích, các phép biến đổi của hình học phẳng (ví dụ như phép tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm, phép quay, phép vị tự, …) Phần mềm này

có tiện ích tạo công cụ cho người dùng Nó cho phép người dùng tạo công cụ riêng cho mình để thay thế một loạt thao tác vẽ mà hình vẽ được lặp lại nhiều lần

Phần mềm GSP đã được sử dụng rộng rãi trong việc thiết kế bài giảng môn toán Giáo viên đưa ra các mô hình, ví dụ, hình vẽ trực quan sinh động

về các đối tượng hình học (hình ảnh GSP đẹp và rõ nét hơn Cabri), từ đó HS

có thể đo đạc, quan sát, phân tích, suy đoán, trìu tượng hóa, khái quát hóa để tìm được các dấu hiệu đặc trưng làm cơ sở để hình thành nên kiến thức mới

mà HS cần chiếm lĩnh

Không giống như nhiều phần mềm giáo dục khác, thường chỉ là công

cụ hỗ trợ giáo viên tạo ra các bài giảng sinh động, trực quan để giảng dạy cho

HS Học sinh có thể tìm hiểu để giải bài tập, xét các trường hợp riêng của một bài toán hình ở mọi góc độ, vị trí khác nhau, làm các thử nghiệm, sáng tạo theo cách của riêng mình

1.3 Dạy học khái niệm toán học

1.3.1 Đại cương về định nghĩa khái niệm

a Khái niệm

Khái niệm là một hình thức tư duy phản ánh tư tưởng chung, tư tưởng

chung đặc trưng bản chất của lớp đối tượng hoặc quan hệ giữa các đối tượng Như vậy có hai loại khái niệm:

+ Khái niệm về lớp đối tượng

Chẳng hạn như khái niệm : “Hình chóp”, “Hình chóp đều”, …

- Hình chóp: “Trong mặt phẳng ( ) cho đa giác A1A2A3…An và điểm

S không thuộc mp ( ) Hình tạo bởi n miền tam giác SA1A2, SA2A3, …,

SAnA1 và miền đa giác A1A2A3 … An gọi là hình chóp S.A1A2A3…An”;

- Hình chóp đều: “Hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên

bằng nhau được gọi là hình chóp đều”

+ khái niệm về quan hệ đối tượng

Chẳng hạn như khái niệm: “Phương trình tương đương”, “Hai hình bằng nhau”, …

- Phương trình tương đương: “Hai phương trình (cùng ẩn) được gọi

là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm”;

- Hai hình bằng nhau: “Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một

phép dời hình biến hình này thành hình kia”

b Nội hàm và ngoại diên của khái niệm

+ Ngoại diên của khái niệm: Tập hợp các đối tượng hoặc lớp đối tượng

phản ánh trong định nghĩa khái niệm;

+ Nội hàm của khái niệm: Tập hợp các thuộc tính chung của lớp đối

tượng hoặc quan hệ đối tượng

Ví dụ1: Xét khái niệm “Hình vuông là hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau”

Ta thấy rằng ngoại diên của khái niệm trên là tập hợp tất cả các hình vuông, nội hàm của khái niệm trên là hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau

Giữa nội hàm và ngoại diên có một mối quan hệ mang tính quy luật, nội

hàm càng được mở rộng thì ngoại diên càng bị thu hẹp và ngược lại Thật vậy, nếu ta mở rộng nội hàm của khái niệm hình bình hành, chẳng hạn bằng cách

bổ sung đặc điểm “có một góc vuông” thì ta sẽ được lớp các hình chữ nhật là một bộ phận thực sự của lớp các hình bình hành

Nếu ngoại diên của khái niệm A là một bộ phận của khái niệm B thì

khái niệm A được gọi là một khái niệm chủng của B, còn khái niệm B được gọi là một khái niệm loại của A

c Định nghĩa khái niệm

Định nghĩa một khái niệm là một thao tác logic nhằm phân biệt lớp đối

tượng xác định khái niệm này với các đối tượng khác, thường bằng cách vạch

ra nội hàm của khái niệm đó

Các định nghĩa thường có cấu trúc sau:

Ví dụ: “Hình vuông là hình chữ nhật có hai cạnh bên liên tiếp bằng nhau”

Trong định nghĩa trên, từ mới là hình vuông, loại hay miền đối tượng là hình chữ nhật, còn sự khác biệt về chủng là hai cạnh liên tiếp bằng nhau Miền đối tượng (loại) và các thuộc tính về chủng tạo thành đặc trưng

của khái niệm Đặc trưng của khái niệm là điều kiện cần và đủ để xác định khái niệm đó Nói chung, có nhiều cách nêu đặc trưng của cùng một khái niệm, tức là có thể định nghĩa cùng một khái niệm theo nhiều cách khác nhau Chẳng hạn, hình vuông ngoài định nghĩa đã nêu trong ví dụ trên, còn

có thể được định nghĩa theo một cách khác như “Hình vuông là hình thoi có một góc vuông”

Khi xét một đối tượng xem có thuộc ngoại diên của một khái niệm nào

đó hay không, người ta thường quan tam những thuộc tính của đối tượng đó: Những thuộc tính nào nằm trong nội hàm của khái niệm đang xét thì được coi là thuộc tính bản chất, còn những thuộc tính nào không thuộc nội hàm của khái niệm đó thì được coi là thuộc tính không bản chất đối với khái niệm đang xem xét

Giả sử cho tứ giác ABCD (hình vẽ)

Nếu xét xem tứ giác ABCD có phải là một hình vuông hay không thì

“AB = CD” là một trong các thuộc tính bản chất, còn nếu xét xem tứ giác đó

có phải là hình bình hành hay không thì thuộc tính đó là không bản chất

Trong định nghĩa theo cấu trúc đã nêu ở đầu mục này, từ chỉ miền đối tượng hay loại phải tương ứng với một khái niệm đã biết Một khả năng vi phạm điều kiện này là đưa ra những định nghĩa vòng quanh, ví dụ “phép cộng là tìm tổng của hai hay nhiều số”; “tổng của hai hay nhiều số là kết quả thực hiện phép cộng”

d Khái niệm không định nghĩa

Định nghĩa một khái niệm mới thường dựa vào một hay nhiều khái

niệm đã biết Ví dụ để định nghĩa hình vuông ta cần định nghĩa hình chữ nhật;

để định nghĩa hình chữ nhật ta cần định nghĩa hình bình hành; để định nghĩa hình bình hành ta cần định nghĩa tứ giác; …Tuy nhiên, quá trình này không

thể kéo dài vô hạn, tức là phải có khái niệm không định nghĩa, được thừa nhận làm điểm xuất phát, gọi là những khái niệm nguyên thủy, chẳng hạn người ta thừa nhận điểm, đường thẳng, mặt phẳng là những khái niệm nguyên thủy trong Toán học

Ở trường phổ thông, chúng ta thấy có một số khái niệm cũng không được định nghĩa vì lí do sư phạm, mặc dù chúng có thể được định nghĩa trong Toán học

Đối với những khái niệm không định nghĩa ở trường phổ thông, cần mô

tả, giải thích thông qua những ví dụ cụ thể để học sinh hình dung được những khái niệm này, hiểu được chúng một cách trực giác

1.3.2 Vị trí của khái niệm và yêu cầu dạy học khái niệm

a Vị trí của dạy học khái niệm

Trong việc dạy học Toán, cũng như việc dạy học bất cứ một khoa học nào ở trường phổ thông, điều quan trọng bậc nhất là hình thành một cách vững chắc cho học sinh một hệ thống khái niệm Đó là cơ sở của toàn bộ kiến

thức Toán học của học sinh, là tiền đề quan trọng để xây dựng cho họ khả năng vận dụng các kiến thức đã học

Quá trình hình thành các khái niệm có tác dụng lớn đến việc phát triển trí tuệ, đồng thời góp phần giáo dục thế giới quan cho HS qua việc nhận thức đúng đắn quá trình phát sinh và phát triển của các khái niệm Toán học

b Yêu cầu của dạy học khái niệm

Việc dạy học các khái niệm Toán học ở trường trung học phổ thông phải làm cho học sinh dần dần đạt được các yêu cầu sau:

 Nắm vững các đặc điểm đặc trưng cho một khái niệm;

 Biết nhận dạng khái niệm, tức là biết phát hiện xem một đối tượng cho trước có thuộc phạm vi một khái niệm nào đó hay không, đồng thời biết thể hiện khái niệm;

 Biết phát biểu rõ ràng, chính xác định nghĩa của một số khái niệm;

 Biết vận dụng khái niệm trong những tình huống cụ thể trong hoạt động giải Toán và ứng dụng vào thực tiễn;

 Biết phân loại khái niệm và nắm được mối quan hệ của một khái niệm với những khái niệm khác trong một hệ thống khái niệm

Các yêu cầu trên đây có mối quan hệ chặt chẽ với nhau Song vì lí do

sư phạm, các yêu cầu trên luôn được đặt ra với mức độ như nhau đối với từng khái niệm

Ví dụ đối với những khái niệm như “hình bình hành”, “đạo hàm”, … học sinh phải phát biểu định nghĩa một cách chính xác và vận dụng được các

định nghĩa đó trong khi giải bài tập, còn đối với khái niệm “chiều” của vectơ,

chương trình lại không đòi hỏi HS phải nêu định nghĩa tường minh mà chỉ cần hình dung định nghĩa này một cách trực giác dựa vào kinh nghiệm sống của bản thân mình

1.3.3 Một số hình thức định nghĩa khái niệm thường gặp ở phổ thông

a Định nghĩa theo phương pháp loài- chủng

 Nội dung: Định nghĩa theo phương pháp loài-chủng là một hình thức định nghĩa nêu lên khái niệm loài và đặc tính của chủng

Khái niệm được định nghĩa = Khái niệm loài + Đặc tính của chủng

- Ví dụ 1: “Hình thoi là hình bình hành có hai cạnh liên tiếp bằng nhau” Trong định nghĩa này:

+ Hình bình hành là khái niệm loài;

+ Hai cạnh liên tiếp bằng nhau là đặc tính của chủng

- Ví dụ 2: “Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 và chỉ có hai ước số

là 1 và chính nó” Ở đây:

+ Số tự nhiên là khái niệm loài;

+Chỉ có hai ước số là 1 và chính nó là đặc tính của chủng

- Ví dụ 3: Trong mặt phẳng, cho một điểm cố định và một số k không

đổi khác 0, phép biến hình biến mỗi điểm M thành M’ sao cho ′⃗ = k ⃗

được gọi là phép vị tự tâm O tỉ số k Kí hiệu V(O,k)

Ở định nghĩa này, ta thấy:

+ Phép biến hình là khái niệm loài;

+ Số k không đổi khác 0, O cố định, ′⃗ = k ⃗ là đặc trưng của chủng

b Định nghĩa bằng quy ước

 Nội dung: Định nghĩa bằng quy ước là hình thức định nghĩa gán cho

đối tượng cần định nghĩa tên gọi hay một đối tượng cụ thể nào đó đã biết

Ví dụ: a 0 = 1( đối tượng cần định nghĩa là a 0 = 1)

c Định nghĩa bằng phương pháp tiên đề

 Nội dung: Người ta chọn ra một đối tượng cơ bản, quan hệ cơ bản

và thừa nhận chúng gọi là các tiên đề Từ đó đi định nghĩa các khái niệm

khác, chứng minh các tính chất khác bằng suy luận hợp logic

+Khi định nghĩa khái niệm một đối tượng bằng phương pháp tiên đề,

người ta chỉ ra chỉ ra hệ thống tiên đề làm cơ sở định nghĩa khái niệm cần định nghĩa, sau đó chỉ ra đối tượng cần định nghĩa thỏa mãn hệ thống tiên đề

đó

+ Ví dụ 1: Quan hệ tương đương được định nghĩa như sau:

Cho tập X cùng quan hệ tương đương , (X, ) được gọi là quan hệ tương đương nếu thỏa mãn 3 tính chất sau:

i) Tính chất phản xạ

ii) Tính chất đối xứng

iii) Tính chất bắc cầu

+ Ví dụ 2: Ta định nghĩa khái niệm nhóm như sau:

Tập X (X ≠ ∅) cùng phép toán hai ngôi ∗ được gọi là nhóm nếu

∗: X  X → X (a,b) → c thỏa mãn:

i) ∗ có tính chất kết hợp;

ii) Có phần tử đơn vị e X sao cho  x X : x ∗ = e ∗x= x;

iii) Tồn tại phần tử nghịch đảo xX , x -1X :x ∗x -1 = x -1 ∗x=e

d Định nghĩa bằng phương pháp mô tả

 Nội dung: Định nghĩa bằng phương pháp mô tả là hình thức định

nghĩa chỉ ra những đối tượng trong thực tiễn có hình ảnh gần gũi với đối

tượng, quan hệ cần định nghĩa hoặc chỉ ra quy trình tạo ra chúng (mô tả theo

kiểu kiến thiết)

+ Ví dụ 1: Các khái niệm “điểm trong mặt phẳng, đường thẳng, mặt phẳng” là các khái niệm không định nghĩa, chúng được định nghĩa theo phương pháp mô tả

+ Ví dụ 2: Góc lượng giác trong Đại số 10 (định nghĩa theo quy trình tạo ra chúng) Cho hai tia Ou, Ov Nếu tia Om quay chỉ theo chiều dương (hay chỉ theo chiều âm) xuất phát từ tia đầu Ou đến trùng với tia cuối Ov thì

ta nói: Tia Om quét một góc lượng giác tia đầu Ou, tia cuối Ov

1.3.4 Các quy tắc định nghĩa khái niệm

a Quy tắc 1: Định nghĩa phải tương xứng

Nội dung của quy tắc này đòi hỏi phạm vi của khái niệm định nghĩa

và khái niệm được định nghĩa phải bằng nhau

Định nghĩa không tương xứng là định nghĩa mà phạm vi của khái niệm quá hẹp hay quá rộng so với khái niệm được định nghĩa

+ Ví dụ 1: “Số vô tỉ là số thập phân vô hạn không tuần hoàn” là định nghĩa đúng, phù hợp, định nghĩa tương xứng vì ngoại diên của nó bằng nhau + Ví dụ 2: “Số vô tỉ là căn số của những số hữu tỉ trong trường hợp những số này không thể khai căn được”

Định nghĩa số vô tỉ như trên vi phạm quy tắc định nghĩa không tương xứng vì khái niệm được định nghĩa có phạm vi hẹp hơn so với phạm vi khái

niệm định nghĩa, ví dụ số e và số là những số vô tỉ nhưng không là kết quả

của phép khai căn nào

+ Ví dụ 3: “Số vô tỉ là số thập phân vô hạn” là định nghĩa không tương xứng vì khái niệm được định nghĩa có phạm vi rộng hơn khái niệm định

nghĩa, chẳng hạn có những số thập phân vô hạn như , , … nhưng chúng

không phải là số vô tỉ mà là các số hữu tỉ

b Quy tắc 2: Định nghĩa không được vòng quanh

Nội dung của quy tắc này đòi hỏi định nghĩa phải dựa vào khái niệm đã biết, đã được định nghĩa

+ Ví dụ 1: Định nghĩa về số đo góc: “độ là của góc vuông, góc vuông

là góc có số đo 90o”

Định nghĩa trên vi phạm quy tắc định nghĩa không được vòng quanh + Ví dụ 2: Định nghĩa “Góc nhị diện là góc tạo bởi hai nửa mặt phẳng đi qua một đường thẳng”

Định nghĩa này không đúng vì khái niệm góc chưa xác định Vì thế, ta phải định nghĩa góc nhị diện như sau: “Góc nhị diện là phần không gian giới hạn bởi hai nửa mặt phẳng cùng đi qua một đường thẳng”

c Quy tắc 3: Định nghĩa phải tối thiểu

Nội dung của quy tắc này đòi hỏi trong nội dung khái niệm định nghĩa không chứa những thuộc tính có thể suy ra được những thuộc tính còn lại

+ Ví dụ 1: Định nghĩa “hình bình hành là tứ giác phẳng có các cạnh song song và bằng nhau”

Định nghĩa trên vi phạm quy tắc này vì ở định nghĩa thừa một trong hai điều kiện song song hoặc bằng nhau

+ Ví dụ 2: Định nghĩa “Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 và chỉ có hai ước số là 1 và chính nó”

Định nghĩa trên thừa điều kiện “là 1 và chính nó” nhưng vì lí do sư phạm nên người ta đưa vào trong định nghĩa để HS hiểu rõ hai ước đó là hai ước cụ thể nào