Khai thác bài tập toán, phần phương pháp tọa độ trong không gian

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM Hà NộI KHOA TOáN ******** LÊ THỊ LIỄU KHAI THÁC BÀI TẬP TOÁN PHẦN PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành : Phƣơng pháp dạy học môn Toán Ngƣời hƣớng dẫn khoa học ThS Nguyễn Văn Hà Hà NộI - 2010 Khoá luận tốt nghiệp LỜI CẢM ƠN Bản khóa luận tốt nghiệp bước em làm quen với việc nghiên cứu khoa học Trong thời gian nghiên cứu hoàn thành khóa luận tốt nghiệp em nhận giúp đỡ nhiệt tình thầy cô tổ phƣơng pháp bạn sinh viên khoa Đặc biệt, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo Nguyễn Văn Hà, thầy trực tiếp giảng dạy, giúp đỡ, hướng dẫn em hoàn thành khóa luận Em xin trân trọng cảm ơn thầy cô giáo! Hà Nội, tháng 05 năm 2010 Sinh viên Lê Thị Liễu Lê Thị Liễu K32G – Toán Khoá luận tốt nghiệp LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan toàn kết khóa luận em nghiên cứu hướng dẫn thầy cô tổ phƣơng pháp, đặc biệt thầy giáo Thạc sĩ Nguyễn Văn Hà Và kết khóa luận em không trùng lập với kết khác Hà Nội, tháng 05 năm 2010 Sinh viên Lê Thị Liễu Lê Thị Liễu K32G – Toán Khoá luận tốt nghiệp PHẦN 1: MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Hình học môn học khó, có tính hệ thống, chặt chẽ, logic, trừu tượng hoá cao Đặc biệt phần hình học không gian (HHKG) Để giải toán HHKG đòi hỏi học sinh phải có kiến thức thật vững Với toán nói chung toán HHKG nói riêng có nhiều cách giải khác nhau, phương pháp tổng hợp (PPTH), phương pháp vectơ, hay phương pháp tọa độ (PPTĐ) Trong có phần lớn toán HHKG giải PPTĐ PPTĐ cho ta cách giải nhanh chóng, xác tránh yếu tố trực quan, suy diễn phức tạp PPTH, phương tiện hiệu để giải toán hình học Vì vậy, nhiều năm gần PPTĐ xem nội dung trọng tâm chương trình toán trung học phổ thông Xuất phát từ say mê thân, ham muốn học hỏi, tìm tòi, nghiên cứu sâu HHKG, với mong muốn có kiến thức vững HHKG để chuẩn bị cho việc giảng dạy sau trường, với động viên khích lệ thầy giáo Nguyễn Văn Hà mà em chọn đề tài : “Khai thác tập toán phần PPTĐ không gian” Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu chủ yếu đề tài là: - Cho học sinh thấy tương quan HHKG HHGT không gian - Giúp cho học sinh có thêm phương pháp để giải toán HHKG - Nghiên cứu sâu HHKG làm tài liệu tham khảo cho học sinh giáo viên Lê Thị Liễu K32G – Toán Khoá luận tốt nghiệp Nhiệm vụ nghiên cứu Đề tài nghiên cứu với nhiệm vụ: - Nghiên cứu lý luận chung + Bài toán tập toán học + Phương pháp tọa độ không gian - Hệ thống hoá phương pháp giải dạng tập dạng nâng cao nhằm phục vụ cho việc giảng dạy: “PPTĐ lớp 12 THPT theo phân phối chương trình” Phƣơng pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lý luận : Dựa vào tài liệu sẵn có, thành tựu nhân loại lĩnh vực khác để vận dụng vào phương pháp dạy học môn Toán - Phương pháp quan sát điều tra: Là phương pháp tri giác tượng để thu lượm số liệu, tài liệu cụ thể đặc trưng cho trình diễn biến tượng - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Thực chất đánh giá khái quát kinh nghiệm, từ phát vấn đề cần nghiên cứu, khám phá mối liên hệ có tính quy luật tượng giáo dục - Phương pháp thực nghiệm giáo dục: Cho phép ta tạo nên tác động giáo dục, từ xác định đánh giá kết tác động Cấu trúc khoá luận Phần 1: Mở đầu Phần 2: Nội dung, bao gồm chương: Chương 1: Cơ sở lý luận Chương 2: ứng dụng dạy học Lê Thị Liễu K32G – Toán Khoá luận tốt nghiệp PHẦN 2: NỘI DUNG CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN A BÀI TOÁN VÀ BÀI TẬP TOÁN HỌC Khái niệm Theo G.POLYA: Bài toán việc đặt cần thiết tìm kiếm cách có ý thức phương tiện thích hợp để đạt đến mục đích định trông thấy rõ ràng, đạt Bài tập toán có yêu cầu đặt cho người học nhằm đạt mục đích dạy học Vai trò, ý nghĩa tập toán học a Củng cố kiến thức cho học sinh Trong thực tế toán chứa đựng nhiều kiến thức khái niệm toán học kết luận toán học Khi giải toán đòi hỏi ta phải phân tích kiện toán, huy động kiến thức cho đề toán kiến thức biết khác có liên quan đến toán, tổng hợp lại để đề kiến thức nữa…Cuối cùng, đến lời giải toán Như giải toán kiến thức có toán mà hệ thống kiến thức liên quan tới toán củng cố qua lại nhiều b Rèn luyện phát triển tư cho học sinh Đặc điểm bật môn toán môn khoa học suy diễn, xây dựng phương pháp tiên đề Do nên lời giải toán hệ thống hữu hạn thao tác có thứ tự chặt chẽ để đến mục đích rõ rệt Lê Thị Liễu K32G – Toán Khoá luận tốt nghiệp Vì giải toán có tác dụng trực tiếp rèn luyện cho ta lực sử dụng phép suy luận hợp logic: Suy luận có đúng, suy luận tuân theo quy tắc suy diễn… Chúng ta biết có phương pháp chung để giải toán Mỗi toán có hình, vẻ khác nhau, muốn tìm lời giải toán phải biết phân tích, phải biết cách dự đoán kết quả, kiểm tra kết quả, biết cách liên hệ tới vấn đề tương tự gần giống nhau, biết cách suy luận tổng hợp khái quát hoá… Như qua việc giải toán lực tư sáng tạo rèn luyện phát triển c Rèn luyện kĩ vận dụng kiến thức toán học cho học sinh Một yêu cầu việc nắm vững kiến thức của môn khoa học hiểu, nhớ vận dụng kiến thức môn khoa học vào việc giải nhiệm vụ đặt ra, tức giải toán đặt lĩnh vực khoa học Trong việc giảng dạy toán toán lại tham gia vào tình trình dạy học môn toán Trong giảng dạy khái niệm toán học: Bài toán sử dụng để tổ chức gây tình để dẫn dắt cho học sinh đến định nghĩa khái niệm Bài toán sử dụng nêu làm ví dụ phản ví dụ minh họa cho khái niệm Bài toán sử dụng để luyện tập, củng cố vận dụng khái niệm Trong giảng dạy định lý toán học: Bài toán sử dụng để tổ chức gây tình dẫn dắt học sinh phát nội dung định lý toán học Bài toán sử dụng học sinh tập vận dụng định lý, đặc biệt Lê Thị Liễu K32G – Toán Khoá luận tốt nghiệp việc tổ chức hướng dẫn học sinh chứng minh định lý việc tổ chức hướng dẫn học sinh tập tìm lời giải chương môn học Trong luyện tập toán học : Bài toán phương tiện chủ yếu tiết luyện tập toán học Trong người giáo viên phải xây dựng hệ thống tập có liên quan chặt chẽ với để nhằm giúp học sinh củng cố kiến thức hình thành số kĩ d Bồi dưỡng phát triển nhân cách cho học sinh Đặc biệt tính cách người là: Mọi hoạt động có mục đích rõ ràng Khi giải toán ta có định hướng mục đích rõ rệt, việc giải toán góp phần tích cực vào việc rèn luyện lực hoạt động người Để giải toán toán khó ta phải vượt qua nhiều khó khăn, phải kiên trì nhẫn lại nhiều ta phải có tâm lớn để giải toán Nói theo cách G.POLYA : “Khát vọng tâm giải toán nhân tố chủ yếu trình giải toán” Do ta thấy : Hoạt động giải toán nhân tố chủ yếu trình hình thành phát triển nhân cách người Phân loại toán a Phân loại theo hình thức toán: - Bài toán chứng minh: Là toán mà kết luận đưa cách rõ ràng đề toán - Bài toán tìm tòi: Là toán kết luận chưa sẵn sàng đề toán b Phân loại theo phương pháp giải toán: Lê Thị Liễu K32G – Toán Khoá luận tốt nghiệp - Bài toán có angôrit giải: Là toán mà phương pháp giải theo angôrit mang tính chất angôrit - Bài toán angôrit giải: Là toán mà phương pháp giải không theo angôrit không mang tính chất angôrit c Phân loại theo nội dung toán: Bài toán số học Bài toán đại số Bài toán hình học d Phân loại theo ý nghĩa giải toán: - Bài toán củng cố kỹ năng: Là toán nhằm củng cố trực tiếp sau học vài kiến thức hay kỹ - Bài toán phát triển tư duy: Là toán nhằm củng cố hệ thống kiến thức kỹ đòi hỏi phải có khả tư phân tích, tổng hợp vận dụng cách sáng tạo Phƣơng pháp giải toán Phương pháp tìm lời giải toán: Dựa theo bước G.POLYA a Bước 1: Tìm hiểu đề Trước giải toán ta phải phân tích đề toán, tìm hiểu thấu đáo nội dung toán câu hỏi sau : - Những biết ? Cái chưa biết toán ? - Tìm yếu tố cố định, yếu tố không đổi, yếu tố thay đổi biến thiên toán - Xác định ẩn giá trị toán - Dữ kiện toán có đủ để xác định chưa biết hay không ? b Bước : Xây dựng chương trình giải Lê Thị Liễu K32G – Toán Khoá luận tốt nghiệp Chúng ta tiến hành xây dựng chương trình giải theo phương pháp sau: - Phương pháp xuôi: Xuất phát từ giả thiết toán lấy làm tiền đề Bằng suy luận hợp logic tìm hệ logic tiền đề Tiếp tục chọn lọc để lấy hệ gần gũi với kết luận toán làm tiền đề Lại suy luận hợp logic tìm hệ logic gần gũi với kết luận… Cứ tiếp tục trình tìm hệ logic trùng với kết luận toán Khi ta tìm lời giải toán Phương pháp mô tả theo sơ đồ sau: A  B  X C  D (trong A,C giả thiết, X kết luận ) - Phương pháp ngược: Đó trình xuất phát từ kết luận toán Bằng suy luận hợp logic ngược lên để tìm tiền đề logic kết luận Tiếp tục chọn lọc để lấy tiền đề gần gũi với giả thiết toán làm kết luận Lại suy luận hợp logic tìm tiền đề logic kết luận này… Cứ tiếp tục trình tìm tiền đề logic trùng với giả thiết toán Khi ta tìm lời giải toán Phương pháp mô tả theo sơ đồ sau: C  A X  D  B (trong A,B giả thiết, X kết luận) c Bước : Thực chương trình giải Lê Thị Liễu K32G – Toán Khoá luận tốt nghiệp h= 2(1 - t) - + 2t - 2(3 + t) + 22 + 1+ 22 = 21 - t Theo giả thiết h = Ta có : 21 - t  t =4 2  t -1 3    t =-2 Vậy : Có điểm I1  -3; 5;  , I2  3; -7; 1 b) Tìm giao điểm A d với mp(P) : Điểm A thuộc d nên A = (1 - t ; -3 + 2t ; + t) Điểm A thuộc mp(P) nên ta có : 2(1 - t) + (-3 + 2t) - 2(3 + t) + = t=1 Vậy A = (0 ; -1 ; 4)  + Mp(P) có VTPT n =  2; 1; -2   Đường thẳng d có VTCP u =  -1; 2; 1 Do  thuộc mp(P) vuông góc với d nên có VTCP    l = n,u  =  5; 0; 5  1; 0; 1 Vậy  qua A với VTCP (1 ; ; 1) có phương trình là: x = t   y = -1 z = + t  Bài 14 Cho mặt cầu(S): x + y + z - 10x + 2y + 26z - 113  đường x + y - z + 13 = = , thẳng d: -3  x = -7 + 3t  d':  y = -1 - 2t z =  Lê Thị Liễu K32G – Toán 74 Khoá luận tốt nghiệp a) Viết phương trình mp(P) tiếp xúc với (S) vuông góc với d b) Viết phương trình mp(Q) tiếp xúc với (S) song song với d, d‟ (Bài 87-Trang137-SBTNC học12) Giải  a) Ta có VTCP d u =  2; -3;  Mp(P) vuông góc với d, có phương trình (P): 2x - 3y + 2z + D = Mặt cầu (S) có tâm I = (5; -1; -13) bán kính R = 308 Vì vậy: (P) tiếp xúc với (S) : d  I,  P   = 308  10 + - 26 + D 4+9+4  308  D - 13  17.308  D  13  5236 Tóm lại, có hai mp(P) thỏa mãn yêu cầu toán là: 2x - 3y + 2z + 13 ± 5236    b) VTCP d u =  2; -3;  VTCP d‟ u' =  3; -2;     Mp(Q) cần tìm có VTPT là: n = u,u' =  4; 6; 5 Vì : Phương trình mp(Q) có dạng: 4x + 6y + 5z + D = Điều kiện để (Q) tiếp xúc với (S) là: Lê Thị Liễu K32G – Toán 75 hình Khoá luận tốt nghiệp d  I,  Q   = 308 20 - - 65 + D  16 + 36 + 25 = 308  D - 51 = 23716 = 154  D = -103    D = 205 Vậy: Có hai mp(Q) cần tìm: 4x + 6y + 5z - 103 = 4x + 6y + 5z + 205 = Bài 15 Cho mp(P): 2x + 3y - 3z + = 0, đường thẳng d có phương trình : x-3 y z+5 = = điểm A(4; 0; 3), B(-1; -1; 3), C(3; 2; 6) a) Viết phương trình mặt cầu (S) qua điểm A, B, C có tâm thuộc mp(P) b) Viết phương trình mp(Q) chứa đường thẳng d cắt mặt cầu (S) theo đường tròn có bán kính lớn (Đề tham khảo khối B-2008) Giải a) Viết phương trình mặt cầu (S) qua A, B, C có tâm I thuộc (P) Gọi tọa độ tâm I (x; y; z) Ta có: IA = IB = IC hay  x-4 +y2 +  z-3 =  x + 1 +  y + 1 +  z - 3 =  x - 3 +  y - 2 +  z -  Rút gọn phương trình ta được: 2 2 2 5x + y =  4x + 3y + 3z = 19 Mặt khác I thuộc (P) nên : 2x + 3y - 3z = -1 Vây : (x; y; z) nghiệm hệ: Lê Thị Liễu K32G – Toán 76 Khoá luận tốt nghiệp 5x + y =  4x + 3y + 3z = 19 2x + 3y - 3z = -1  Giải hệ ta : x = 1, y = 2, z = Vậy : Tâm I mặt cầu có tọa độ I(1; 2; 3) Bán kính mặt cầu : R = IA =   1    2  3  3 2  13 Phương trình mặt cầu là:  x - 1 +  y -  +  z - 3 = 13 2 b) Để giao tuyến (Q) (S) đường tròn có bán kính lớn nhất, điều kiện cần đủ (Q) chứa tâm I mặt cầu (S)  Mà (Q) chứa đường thẳng d nên VTPT n (Q) vuông góc với VTCP   u d (2; 9; 1) d, đồng thời vuông góc với IM=  2; -2; -8 với M  3; 0; 5  d    -2 -8 -8 2 -2  ; ; Ta có:  IM,u d  =   =  70; -18; 22  =  35; -9; 11 1 2    Mp(Q) chứa điểm I đường thẳng d nên có VTPT n =  35; -9; 11 Phương trình (Q) là: 35(x - 1) - 9(y - 2) + 11(z - 3) =  35x - 9y + 11z - 50 = Bài 16 2 Cho mặt cầu (S): x + y + z - 2x + 4y + 2z -  mặt phẳng (P): 2x - y + 2z - 14 = a) Viết phương trình mp(Q) chứa trục Ox cắt (S) theo đường tròn bán kính Lê Thị Liễu K32G – Toán 77 Khoá luận tốt nghiệp b) Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt cầu (S) cho d  M,(P)  max (Đề thi ĐH khối B2007) Giải a) Mặt cầu (S):  x - 1 +  y +  +  z + 1  2 Có tâm I(1; -2; -1), bán kính R = Mp(Q) cắt (S) theo đường tròn có bán kính nên (Q) chứa tâm I   Mà (Q) lại chứa Ox nên (Q) có cặp VTCP là: OI 1; -2; -1 , i 1; 0;  VTPT (Q) :     -2 -1 -1 -2  n = i , OI  =  ;;  =  0; -1;  0 1   Phương trình mp(Q) là: 0(x - 1) - (y + 2) + 2(z + 1) =0  -y + 2z = b) Gọi d đường thẳng qua I vuông góc với (P), cắt (P) H, d cắt mặt cầu điểm A, B M   S : d  M, P   max AH; BH Phương trình đường thẳng d qua I(1; -2; -1), VTCP (2; -1; 2) là: x-1 y+2 z+1 = = -1 Tọa độ A, B nghiệm hệ :  x - 12 +  y + 2 +  z + 12 =  x - y + z + = =   -1 Giải hệ ta A(-1; -1; -3), B(3; -3; 1) Lê Thị Liễu K32G – Toán 78 Khoá luận tốt nghiệp Khi : d A, P   -2 + - - 14 d B, P   + 3+ - 14 4+1+4 4+1+4 =7 =1 Vậy: max d  M, P    M  A tức M(-1; -1; -3) M   S  Bài 17 Cho mặt cầu(S) : x + y + z - 2x - 4y - 6z - 11  mặt phẳng (P) : 2x - 2y - z - = Chứng minh mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn Xác định tọa độ tâm bán kính đường tròn (Đề thi ĐH khối A-2009) Giải Mặt cầu (S) có tâm I(1; 2; 3) bán kính R = Khoảng cách d từ I tới mp(P) là: d I,(P) = 2-4-3-4 22 + 22 + 12   R Suy ra: Mp(P) cắt mặt cầu (S) Gọi H r tâm bán kính đường tròn giao tuyến Ta có: IH = d  I,(P)  , r = R - IH  25- = Phương trình đường thẳng IH là: x = + 2t , y = - 2t , z = - t H giao điểm đường thẳng mp(P)  x = + 2t  y = - 2y  nên H(x; y; z) thỏa mãn hệ:  z = - t 2x - 2y - z - = Lê Thị Liễu  H(3; 0; 2) K32G – Toán 79 Khoá luận tốt nghiệp Vậy : Đường tròn giao tuyến có tâm H(3; 0; 2) bán kính r = Bài 18 Cho điểm A(-2; 1; 2), B(0; 4; 1), C(5; 1; -5), D(-2; 8; -5) đường thẳng d : x + y + 11 z - = = -4 a) Chứng minh A, B, C, D đỉnh tứ diện b) Tính thể tích khối tứ diện ABCD c) Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD d) Tìm tọa độ giao điểm M, N đường thẳng d với mặt cầu (S) e) Viết phương trình mp tiếp xúc với mặt cầu (S) M, N Tính góc tạo hai mp (Bài 93-Trang140-SBTNC học12) Giải    a) Ta có : AB =  2; 3; -1 , AC=  7; 0; -7  , AD =  0; 7; -7       Suy :  AB,AC =  -21; 7; -21  AB,AC AD  49  147  Do : A, B, C, D đỉnh tứ diện b) Thể tích khối tứ diện là:    196 98 VABCD =  AB,AC  AD   6 c) Gọi I(x; y; z) tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Ta có: IA = IB2  2 IA = IC IA = ID   x = -2 , y = 1, z = -5 Vậy: I = (-2; 1; -5) R = IA = Do đó: Mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD có phương trình (S):  x +  +  y - 1 +  z - 5  49 2 Lê Thị Liễu K32G – Toán 80 hình Khoá luận tốt nghiệp  x = -5 + 3t  d) Dạng tham số đường thẳng d là:  y = -11 + 5t z = - 4t  Tọa độ (x; y; z) giao điểm d (S) thỏa mãn hệ:  x = -5 + 3t  y = -11 + 5t  z = - 4t   x + 2 +  y - 12 +  z - 2 = 49    3t - 3 +  5t - 12  +  -4t + 14   49 2 t =  t - 5t +    t = Khi t = thì: x = 1; y = -1; z = Ta điểm M(1; -1; 1) Khi t = thì: x = 4; y = 4; z = -3 Ta điểm N(4; 4; -3) Vậy : d cắt (S) điểm M(1; -1; 1) N(4; 4; -3) e) Gọi (P), (Q) mp tiếp xúc với mặt cầu (S) M, N   + Mp(P) qua M(1; -1; 1) có VTPT n P = IM =  3; -2;  có phương trình: 3(x - 1) - 2(y + 1) + 6(z - 1) =  3x - 2y + 6z - 11 =   + Mp(Q) qua N(4; 4; -3) có VTCP n Q = IN =  6; 3;  có phương trình là: 6x + 3y + 2z - 30 = Gọi  góc hai mp (P), (Q)  n P n Q 18   12 24 cos      Ta có :   36 36   49 nP nQ Bài 19 Trong không gian Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A‟B‟C‟ với A(0; 3; 0), B(4; 0; 0), C(0; 3; 0), B‟(4; 0; 4) Lê Thị Liễu K32G – Toán 81 Khoá luận tốt nghiệp a) Tìm tọa độ đỉnh A‟,C‟ Viết phương trình mặt cầu có tâm A tiếp xúc với mp(BCC‟B‟) b) Gọi M trung điểm A‟B‟ Viết phương trình mp(P) qua điểm A, M song song với BC‟ Mp(P) cắt đường thẳng A‟C‟ điểm N Tính độ dài đoạn MN (Đề thi ĐH khối B-2005) Giải a) Do đáy ABC chứa mp(Oxy) nên đáy (A‟B‟C‟) chứa mp z = Suy : A‟(0; -3; 4), C‟(0; 3; 4)   Ta có : BC =  -4; 3;  , BB' =  0; 0;     Mp(BCC‟B‟) có VTPT n =  BC,BB' = 12; 16;  Phương trình mp(BCC‟B‟) : 12(x - 4) + 16y =  3x + 4y - 12 = Khoảng cách từ A tới mp : d= -12 - 12 +4 = 24 = bán kính mặt cầu Vậy: Phương trình mặt cầu cần tìm 576  24  x +  y+3 + z =   = 25   2 b) Trung điểm M A‟B‟ : M = (2; - ; 4)     Ta có : AM =  2; ;  , BC' =  -4; 3;       +Mp(P) có VTPT n = AM,BC' =  -6; -24; 12  = -6 1; 4; -2  Phương trình mp(P) : x + 4(y + 3) - 2z =  x + 4y - 2z +12 = Dễ thấy B = (4 ;0 ;0)  (P) nên (P) qua A, M song song BC‟ Lê Thị Liễu K32G – Toán 82 Khoá luận tốt nghiệp  +Ta có : A'C' =  0; 6;  x =  Phương trình tham số A‟C‟ :  y = -3 + 6t z =  Giao điểm N(x; y; z) A‟C‟ với mp(P) nghiệm hệ phương trình : x = x =  y = -1  y = -3 + 6t    z =  z =   x  4y - 2z  12  t =  Khi : N = (0; -1; 4) 2   MN =  -  +  - + 1 +  -  =   Vậy : 17 Bài 20 Cho hình lập phương ABCD.A‟B‟C‟D‟ với điểm A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0; 1; 0), A‟(0; 0; 1) Gọi M, N trung điểm AB, CD a) Tính khoảng cách A‟C MN b) Viết phương trình mp chứa A‟C tạo với mp(Oxy) góc  cho cosα = (Đề thi ĐH khối A-2006) Giải a) Gọi (P) mp chứa A‟C song song MN Khi đó: d A'C,MN  = d  M, P  2 Ta có : C(1; 1; 0), M( ; 0; 0), N( ; 1; 0), Lê Thị Liễu K32G – Toán 83 Khoá luận tốt nghiệp     A'C 1; 1; -1 , MN 0; 1;   A'C, MN  = 1; 0;  Mặt phẳng (P) qua A‟(0; 0; 1) có VTPT (1; 0; 1) nên có phương trình : 1(x - 0) + 0(y - 0) + 1(z - 1)=0  x + z - 1=0 Vậy : d A'C,MN  = d M, P  = +0-1 12 + 02 + 12 = 2 = b) Gọi mp cần tìm (Q) : ax + by + cz + d = ( a + b2 + c2  ) Vì mp(Q) chứa A‟(0; 0; 1) C(1; 1; 0) nên Ta có : c + d =  c = -d = a + b  a + b + d = Do : Phương trình (Q) có dạng ax + by + (a + b)z - (a + b) =  Khi : VTPT (Q) : n =  a; b; a + b   Ta có : VTPT (ABCD) AA' = k = (0; 0; 1) Ta có :   n.k    cosα  cos n , k =   = n.k   a+b a + b2 + (a + b)2  6(a + b)2 = 2(a + b2 + ab) a = -2b   b = -2a Với a = -2b, chọn b = -1 Ta có mp(Q) : 2x - y + z - = Với b = -2a, chọn a = Ta có mp(Q‟) : Lê Thị Liễu x - 2y - z + = K32G – Toán 84 Khoá luận tốt nghiệp PHẦN : KẾT LUẬN Với toán có nhiều cách giải với toán tìm cách giải tối ưu Việc giải toán HHKG PPTĐ phương pháp giúp giải toán HHKG cách nhanh chóng, ngắn gọn dễ hiểu so với PPTH Khóa luận cố gắng hoàn thành nhiệm vụ đặt : + Nghiên cứu lý luận chung toán, lời giải, phương pháp giải toán + Xây dựng hệ thống hoá tập dạng tập nâng cao Đề tài bước đầu giúp em làm quen với PPTĐ việc giải toán không gian Cho em hình dung PPTĐ ? Với toán áp dụng ? Và đặc biệt cho em thấy mối quan hệ HHKG HHGT không gian Do thời gian chuẩn bị không nhiều cộng với vốn kiến thức kinh nghiệm nghiên cứu thân hạn chế nên đề tài không tránh khỏi thiếu xót Em mong góp ý, trao đổi thầy cô bạn sinh viên để khóa luận hoàn thiện Em xin trân trọng cảm ơn thầy cô giáo ! Lê Thị Liễu K32G – Toán 85 Khoá luận tốt nghiệp MỤC LỤC Trang Phần : Mở đầu Phần : Nội dung Chương : Cơ sở lý luận A Bài toán tập toán học B Phương pháp tọa độ không gian 10 Chương :ứng dụng dạy học 13 Nội dung chương trình 13 a kiến thức 13 B Các dạng tập 17 Dạng : Các toán liên quan tới vectơ 17 Dạng : Phương trình mặt phẳng 24 Dạng : Phương trình đường thẳng 31 Dạng : Các vị trí tương đối 39 Dạng : Các toán khoảng cách góc 45 Dạng : Mặt cầu-phương trình mặt cầu 50 C Bài tập luyện tập 56 Phần : Kết luận 78 Lê Thị Liễu K32G – Toán 86 Khoá luận tốt nghiệp TÀI LIỆU THAM KHẢO Hình học nâng cao 12 - NXB giáo dục Bài tập hình học nâng cao 12 - NXB giáo dục Hình học nâng cao 12- Sách giáo viên - NXB giáo dục PPVT PPTĐ giải biện luận toán hình học - Tài liệu viết tay Phương pháp toán sơ cấp - Thạc sĩ Nguyễn Văn Hà PPTĐ chứng minh toán không gian - Tài liệu viết tay Đề thi tuyển sinh ĐH-CĐ toàn quốc, 2009 - NXB Hà nội Toán nâng cao hình học 12 - NXB sư phạm - Nguyễn vĩnh Cận Tuyển chọn 400 tập hình học 12 Lê Thị Liễu K32G – Toán 87 Khoá luận tốt nghiệp Lê Thị Liễu K32G – Toán 88 [...]... kớnh R = a 2 + b2 + c2 - d 2 Mc ớch yờu cu ca vic ging dy : PPT trong khụng gian a V kin thc : - Chng 3 nhm cung cp cho hc sinh nhng kin thc c bn v khỏi nim v ta trong khụng gian v nhng ng dng ca nú + Ta vect v ta im + Biu thc ta ca cỏc phộp toỏn vect + Tớch vụ hng ca 2 vect + Phng trỡnh mt cu - Gii thiu v phng trỡnh mt phng trong khụng gian + Vect phỏp tuyn ca mt phng + Phng trỡnh tng quỏt ca mt... 4: Chuyn kt qu t ngụn ng ta sang ngụn ng hỡnh hc CHNG 2 :ng dng dy hc Ni dung chng trỡnh Chng 3 : Phng phỏp ta trong khụng gian (20 tit) Bi 1 : H ta trong khụng gian (5 tit) Bi 2 : Phng trỡnh mt phng (5 tit) Lờ Th Liu K32G Toỏn 15 Khoỏ lun tt nghip Bi 3 : Phng trỡnh ng thng trong khụng gian (8 tit) ễn tp chng 3 (2 tit) A CỏC KIN THC C BN 1 Ta ca vect v ca im Ta cú : u = (x; y; z) u = x.i +... hai mt phng song song, vuụng gúc + Khong cỏch t mt im n mt ng thng - Phng trỡnh ng thng trong khụng gian + Phng trỡnh tham s ca ng thng Lờ Th Liu K32G Toỏn 13 Khoỏ lun tt nghip + iu kin hai ng phng song song + iu kin hai ng phng chộo nhau + iu kin hai ng phng ct nhau b V k nng - Xỏc nh c cỏc vect trong khụng gian - Vn dng c cỏc tớnh cht gii bi tp - Chng minh c hai mt phng: song song, vuụng gúc... cỏch nhỡn mi v hỡnh hc T ú, cỏc em cú th sỏng to ra nhiu bi toỏn hoc nhiu dng toỏn mi Kt lun : Khi hc xong chng ny, hc sinh cn lm tt cỏc bi tp sỏch giỏo khoa v cỏc bi kim tra trong chng 3 Phng phỏp gii bi toỏn bng ta PPT trong khụng gian l phng phỏp gii cỏc bi toỏn HHKG m ú ta quy vic gii chỳng v kho sỏt nhiu phng trỡnh (h phng trỡnh) Cỏc bc gii bi toỏn HHKG bng PPT : Bc 1: Chn h ta thớch hp Bc 2: Chuyn... nhau, hoc chng minh 2 gúc no ú bng nhau õy ta thy gi thit ca bi toỏn cho bit ng thc liờn h v gúc, ta s chng minh tam giỏc ú cú hai gúc no ú bng nhau Hn na ta thy trong ng thc ó cho thỡ vai trũ ca gúc A v C l nh nhau Do ú ta s chng minh trong ABC cú gúc A = C Bin i ng thc ó cho bng cỏch lm mt s cú mt ca gúc B bng cỏch thay B = 180o - (A+C) Sau ú s dng cụng thc bin i lng giỏc, ta cú ng thc sau : sinA.sinC... 2 Nhn xột cỏch gii: tớnh tng S (hoc P) l cỏc tng hu hn gm n s hng, ta nhõn tng ú vi a, ri xột hiu : aS - S hoc S - aS T õy ta tớnh c S Lờ Th Liu K32G Toỏn 11 Khoỏ lun tt nghip B PHNG PHỏP TA TRONG KHễNG GIAN (Hỡnh hc12) 1 Ni dung chớnh + Phng trỡnh tng quỏt ca mp : Ax + By + Cz +D = 0 VTPT ca mp l : n = (A; B; C) (1) (vi A2 +B2 +C2 0 ) + Phng trỡnh ng thng: i qua M0 = (x 0 ; y0 ; z0 ) vi VTCP... xõy dng chng trỡnh gii, ta dựng cỏc phộp suy lun hp logic xut phỏt t gi thit ca bi toỏn, cỏc mnh toỏn hc ó bit ta suy dn ra ti kt lun ca bi toỏn d Bc 4 : Nhn xột li gii v khai thỏc bi toỏn Th li kt qu ca bi toỏn, th li cỏc lp lun trong li gii ó tỡm c ca bi toỏn Tỡm cỏc cỏch gii khỏc nu cú ca bi toỏn Nghiờn cu cỏc bi toỏn cú liờn quan Vớ d 1: Phõn tớch quỏ trỡnh tỡm li gii bi toỏn sau: Chng minh rng... A(1; 2; -1), B(2; -1; 3), C(-4; 7; 5) Tớnh di ng phõn giỏc trong ca tam giỏc k t nh B (Bi 23-Trang118-SBTNC hc12) Lờ Th Liu K32G Toỏn 24 hỡnh Khoỏ lun tt nghip Gii uuur uuur uur Ta cú: AB(1; -3; 4), AC(-5; 5; 6), BC(-6; 8; 2) Gi D l chõn ng phõn giỏc k t B, gi s D(x; y; z) Ta cú: DA BA = = DC BC 26 1 = 104 2 Vỡ D nm gia A, C (phõn giỏc trong) nờn uuur uuur uuur 1 uuur DA = - DC hay CD = 2DA 2 ớù... 0' d (,') = u ,u' B cỏc dng BI TP Lờ Th Liu K32G Toỏn 19 Khoỏ lun tt nghip DNG 1: CỏC BI TOỏN LIấN QUAN TI vect Bi tp c bn Bi 1 Cho 2 im A(a; b; c) v B(a; b; c) Tỡm ta im M sao cho: MA = kMB trong ú k 1 (Bi 6-Trang81-SGKNC hỡnh hc12) Gii Gi s M(x; y; z) MB MA Ta cú = (a - x; b - y; c - z); = (a - x; b - y; c - z) Khi ú : MA = kMB x = a - x = k(a' - x) b - y = k(b' - y) y = c -... AB, OC vuụng gúc AB.OC 0 2sin5t + 3cos3t + sin3t 0 3 1 cos3t + sin3t 0 2 2 - t= +k 24 4 sin5t sin(3t + ) ; 2 3 t = + l 3 sin5t + (k,l ) Bi 3 r r ur Xột s ng phng ca 3 vect u, v, w trong cỏc trng hp sau: r r ur a) u(4; 3; 4), v(2; -1; 2), w(1; 2; 1) r r ur b) u(1; -1; 1), v(0; 1; 2), w(4; 2; 3) r r ur c) u(4; 2; 5), v(3; 1; 3), w(2; 0; 1) (Bi 9-Trang81-SGKNC hỡnh hc12) Gii r r ổ3 ... Nguyn Vn H m em ó chn ti : Khai thỏc bi toỏn phn PPT khụng gian Mc ớch nghiờn cu Mc ớch nghiờn cu ch yu ca ti l: - Cho hc sinh thy c s tng quan gia HHKG v HHGT khụng gian - Giỳp cho hc sinh cú... : Phng phỏp ta khụng gian (20 tit) Bi : H ta khụng gian (5 tit) Bi : Phng trỡnh mt phng (5 tit) Lờ Th Liu K32G Toỏn 15 Khoỏ lun tt nghip Bi : Phng trỡnh ng thng khụng gian (8 tit) ễn chng (2... t ra, tc l gii quyt c cỏc bi toỏn t lnh vc khoa hc ú Trong vic ging dy toỏn thỡ bi toỏn li tham gia vo mi tỡnh ca quỏ trỡnh dy hc mụn toỏn Trong ging dy khỏi nim toỏn hc: Bi toỏn c s dng t chc