Mô hình xạ ảnh của không gian afin và không gian ơclit

LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan trước hội đồng khoa học Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 và hội đồng bảo vệ khóa luận tốt nghiệp khoa Toán: Khóa luận “Mô hình xạ ảnh của không gian afin và

Đặc biệt em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy giáo Đinh VănThủy, quý thầy cô, bạn bè đã cổ vũ, động viên em trong suốt thời gian hoàn thành khóa luận

Một lần nữa em xin gửi lời cảm ơn và kính chúc sức khỏe tới các thầy cô!

Hà Nội, tháng 5năm 2013

Sinh viên

Nguyễn Thị Thu Hiền

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan trước hội đồng khoa học Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 và hội đồng bảo vệ khóa luận tốt nghiệp khoa Toán:

Khóa luận “Mô hình xạ ảnh của không gian afin và không gian ơclit” do tôi viết, đó là kết quả của sự tìm tòi, tổng hợp từ các tài liệu tham khảo và sự hướng dẫn của thầy Đinh Văn Thủy, những trích dẫn trong khóa luận là trung thực

Khóa luận không trùng với các khóa luận của các tác giả khác

Hà Nội, tháng 5năm 2013

Sinh viên

Nguyễn Thị Thu Hiền

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

NỘI DUNG 3

Chương I: MÔ HÌNH XẠ ẢNH CỦA KHÔNG GIAN AFIN 3

1.1.Xây dựng mô hình 3

1.2.Một số khái niệm cơ bản của hình học afin thể hiện trên mô hình 4

1.2.1 Tọa độ afin và mục tiêu afin 4

1.2.2 Các m – phẳng afin 6

1.2.3 Sự cùng phương của các phẳng afin 8

1.2.4 Phép biến đổi afin 8

1.2.5 Tỉ số kép 10

1.2.6 Siêu mặt bậc hai afin trong An = Pn \ Pn-1 12

1.3 Mô hình xạ ảnh của mặt phẳng afin 13

1.3.1 Mô hình xạ ảnh của mặt phẳng afin 13

1.3.2 Thể hiện afin của các đường conic trong A 2 13

Chương 2 15

MÔ HÌNH XẠ ẢNH CỦA KHÔNG GIAN ƠCLIT 15

2.1 Xây dựng mô hình 15

2.1.1 Cái tuyệt đối của không gian xạ ảnh P n 16

2.2.Một số khái niệm cơ bản của hình học ơclit thể hiện trên mô hình 16 2.2.1 Sự vuông góc của hai đường thẳng 16

2.2.2 Siêu cầu 17

2.2.3 Phép đồng dạng 18

2.3 Mô hình xạ ảnh của mặt phẳng Ơclit 20

2.3.1 Mô hình xạ ảnh của mặt phẳng Ơclit 20

2.3.2 Một số thể hiện trên mô hình 20

Chương 3: BÀI TẬP 23Dạng 1: Áp dụng mô hình xạ ảnh của mặt phẳng afin vào giải các bài toán 23Dạng 2: Áp dụng mô hình xạ ảnh của mặt phẳng Ơlit vào giải các bài toán sơ cấp 35KẾT LUẬN 42TÀI LIỆU THAM KHẢO 43

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Hình học xạ ảnh là một trong những môn học chuyên ngành dành cho sinh viên ngành toán tại các trường đại học sư phạm trong cả nước Mục đích của môn học này là cung cấp cho sinh viên cái nhìn tổng quan

về các hình học và mối quan hệ giữa chúng Đồng thời hình học xạ ảnh giúp chúng ta có một phương pháp suy luận, phương pháp giải và sáng tạo một số bài toán ở trường trung học phổ thông

Việc ứng dụng hình học xạ ảnh vào giải và sáng tạo những bài toán hình học afin và hình học ơclit là một vấn đề cơ bảnvà cũng là một trong những mục đích, yêu cầu quan trọng dành cho các sinh viên khi học môn hình học xạ ảnh

Nhằm tìm hiểu rõ hơn về hình học xạ ảnh đồng thời ứng dụng nó vào việc giải các bài toán hình học afin và hình học ơclittôi đã chọn đề tài nghiên cứu khoa học là: “Mô hình xạ ảnh của không gian afin và không gian ơclit”

2 Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu mô hình xạ ảnh của không gian afin và không gian ơclit

3 Đối tượng nghiên cứu

Mô hình xạ ảnh của không gian xạ ảnh An và En

4 Mức độ và phạm vi nghiên cứu

Tìm hiểu tổng quan về mô hình xạ ảnh của không gian afin và không gian ơclit

5 Nhiệm vụ nghiên cứu

 Tìm hiểu cách xây dựng mô hình xạ ảnh của không gian afin

và không gian ơclit

 Tìm hiểu về một số khái niệm cơ bản hình học afin và hình học ơclit thể hiện trên mô hình

 Tìm hiểu mô hình xạ ảnh của mặt phẳng afin và mặt phẳng ơclit

 Một số bài toán chọn lọc áp dụng mô hình xạ ảnh của hình học trong A2, E2

NỘI DUNG Chương I: MÔ HÌNH XẠ ẢNH CỦA KHÔNG GIAN AFIN

An sẽ có tọa độ xạ ảnh là (x1, x2, , xn+1) trong đó xn+1≠0 và có tọa độ xạ ảnh không thuần nhất là (X1, X2, ,Xn) trong đó Xi = Khi đó có một song ánh từ tập An vào Rnbằng cách ta cho mỗi điểm thuộc An tương ứng với tọa độ không thuần nhất của nó Gọi Vn là không gian vectơ n chiều trên trường số thực R với cơ sở{ , } và ta xét ánh xạ:

φ : An x AnVn

(X,Y)φ(X,Y) = =(Y1 – X1, Y2 – X2, ,Yn – Xn )∕ { }

Thì ánh xạ φ thõa mãn 2 tiên đề không gian afin, thật vậy:

Vậy Anđược gọi là mô hình xạ ảnh của không gian afin

1.2.Một số khái niệm cơ bản của hình học afin thể hiện trên mô hình

1.2.1 Tọa độ afin và mục tiêu afin

Ta xét mục tiêu xạ ảnh

{Ai; E}của không gian xạ ảnh

Pn Gọi Ei là giaocủa đường

thẳng AiAn+1 với siêu

phẳngchứa các đỉnh Ai còn lại

của mục tiêuvà điểm E, còn Xi

là giao điểm củađường thẳng

đó với các siêu phẳngchứa các

điểm Ai còn lại và điểm X

En= (0, , 1,1)

Ta suy ra tọa độ xạ ảnh không thuần nhất của các điểm đó là:

E1= (1,0, ,0)

E2= (0,1,0, ,0)

Hình 1

Điểm An+1(0,0, ,0,1) có tọa độ xạ ảnh không thuần nhất là:

An+1=(0,0, ,0)

Do cách đặt tương ứng khi xây dựng mô hình ta có:

= (1,0, ,0) = = (0,1,0, ,0) =

= (0, ,0,1) =

Ta nhận thấy các vectơ chính là các vectơ cơ sở trong không gian vectơ Vn Do đó ta có thểdùng bộ điểm{An+1; E1,E2, , En} làm mục tiêu afin của không gian afin An= Pn\ Pn-1 Mục tiêu afin này được sinh ra bởi mục tiêu xạ ảnh {Ai; E} đã cho

Nếu một điểm XAn= Pn\ Pn-1có tọa độ xạ ảnh không thuần nhất

là (X1, X2, , Xn ) thì vectơ có tọa độ là:

= (X1 – 0 , X2 – 0, ,Xn – 0) = (X1, X2, , Xn)

Điều đó chứng tỏ rằng (X1, X2, , Xn) là tọa độ afin của điểm X đối với mục tiêu afin {An+1; Ei}, i = 1,2, ,n Vậy :

Kết luận: Tọa độ xạ ảnh không thuần nhất của một điểm X thuộc

An đối với mục tiêu xạ ảnh {Ai ; E} chính là tọa độ afin của điểm X đó đối với mục tiêu afin {An+1; Ei}, i= 1,2, ,n, còn mục tiêu afin {An+1; Ei} gọi là được sinh ra bởi mục tiêu xạ ảnh {Ai ; E} cho trước

Ví dụ: Trong mặt phẳng afin A2 = P2\P1, ta thấy mục tiêu afin {A3; E1,E2} được sinh ra bởi mục tiêu xạ ảnh {A1, A2,A3; E} Trong trường hợp này đường thẳngP1 = A1A2 là đường thẳng vô tận có phương trình x3 =0 nên không có trong mặt phẳng mặt afin Các đường thẳng

đồng quy tại A1 hoặc A2 nằm trên P1trở thành những đường thẳng song song với nhau trong mặt phẳng afin (H.2)

Hình 2

1.2.2 Các m – phẳng afin

Ta hãy xét một m – phẳng Pmnào đócủa Pnmà không nằm trong siêu phẳng Pn-1 Giả sử đối với mục tiêu xạ ảnh đã chọn sao cho Pn-1có phương trình xn+1=0, khi đó Pmcó phương trình:

1 ij 1

n j j

a x





 , j=1,2, ,n – m Trong đó ma trận [ aij ] có hạng bằng n – m

Gọi Am là tập hợp những điểm X thuộc Pm mà không thuộc Pn-1 có nghĩa là :

Khi đó mỗi điểm X của Am có tọa độ xạ ảnh không thuần nhất là (

X1, X2, , Xn) với Xi =

X(x1,x2, ,xn+1) Am với xn+1≠0

Chia hai vế của phương trình m – phẳng cho xn+1 ta có:

ij 1

n j j

Vì Pm không thuộc Pn-1 nên hệ này có hạng bằng n – m+1 Gọi A

là ma trận của hệ, ta có hạng của A phải bằng n – m+1 :

A=

Nếu ma trận [aij] có hạng nhỏ hơn n – m thì ma trận A sẽ có hạng nhỏ hơnn – m +1 là điều vô lý

Vậy hệ phương trình ij

1

n

j j

a X



 + ai,n+1 =0 , i=1,2, , n –m có hạng bằng n – m, là phương trình của một m – phẳng afin

Vậy: Mỗi m – phẳng afin Am chính là một m – phẳng xạ ảnh

Pm(không thuộc Pn-1) sau khi bỏ đi những điểm nằm trên siêu phẳng Pn-1

1.2.3 Sự cùng phương của các phẳng afin

Trong Pn cho hai cái phẳng Pr và Ps phân biệt (r ≥ s ) đều không thuộc Pn-1 nhưng có giao là một cái phẳng s – 1 chiều thuộc Pn-1 vìPn-

1

Ps = Ps-1

Giả sử PrPs = Qs-1Pn-1

ThìPr \ Pn-1 và Ps \ Pn-1 là hai phẳng afin song song

Ví dụ: Trong A2 = P2 \ P1 hai đường thẳng a, b song song với nhau nghĩa là hai đường thẳng đó cắt nhau tại một điểm nằm trên P1 Một tứ đỉnh toàn phần ABCD có AB  DC và AD  BC thuộc P1 thì tứ đỉnh toàn phần đó biểu thị cho hình bình hành ABCD trong mặt phẳng afin ( H.4)

a b

Hình 4

1.2.4.Phép biến đổi afin

Trong tập hợp tất cả những phép biến đổixạ ảnh của Pnta hãy xét những phép biến đổi biến siêu phẳng Pn-1 thànhchính nó Mỗi phép biến đổi như vậy biến mỗi điểm có tọa độ xạ ảnh (x1,x2, ,xn+1) thành điểm có tọa độ xạ ảnh (x’1,x’2, ,x’n+1) sao cho nếu xn+1 = 0 thì x’n+1 = 0 và nếu

xn+1 ≠ 0 thì x’n+1 ≠ 0 Muốn vậy trong phương trình của phép biến đổi xạảnh cần có phương trình x’n+1 = xn+1 Do đó phương trình của phép biến đổi xạ ảnh có dạng :

Trong đó ma trận A’ = [aij], i,j = 1,2, ,n là ma trận vuông cấp n không suy biến và như vậy ta có phép biến đổi afin

Kết luận: Mỗi phép biến đổi xạ ảnh của Pn biến Pn-1 thành chính

nó sẽ sinh ra trên An một phép biến đổi afin

Ngược lại mỗi phép biến đổi afin của không gian afin An đều có thể xem như được sinh ra bởi một phép biến đổi xạ ảnh của Pn biến siêu phẳng Pn-1 thành chính nó

Thật vậy nếu ta có một phép biến đổi afin thì bằng cách chuyển từ tọa độ afin sang tọa độ xạ ảnh ta sẽ có n phương trình đầu của phép biến đổi xạ ảnh với điều kiện xn+1 ≠ 0 Sau đó ta thêm vào n phương trình

đómột phương trình x’n+1 =xn+1 và xem xn+1 có thể bằng 0 thì ta được phương trình của phép biến đổi xạ ảnh sinh ra phép biến đổi afin nói trên Phép biến đổi xạ ảnh này biến siêu phẳng Pn-1 thành chính nó

1.2.5 Tỉ số kép

a) Giả sử A, B, C, D là bốn điểm phân biệt nằm trên một đường thẳng xạ ảnh ℓ của Pn nhưng không có điểm nào trong bốn điểm thuộc siêu phẳng Pn-1

Ta chọn mục tiêu xạ ảnh {Ai,E}sao cho An+1 ≡ A, A1 = ℓ Pn-1 Khi đó các điểm B, C, D có tọa độ biểu thị

tuyến tính qua tọa độ của An+1 và A1

Tương tự ta tính được tọa điểm C và D

Bây giờ ta tính tỉ số kép (ABCD) Ta có:

= 1 + 1 ; = 2 + 2

 (ABCD) = :

A

ℓ

A1

B C D

Pn-1

Thay tọa độ của các điểm A, B, C, D vào công thức định nghĩa của tỉ số kép ta có:

=

=

Do đó (ABCD) = :

Nếu chuyển tọa độ xạ ảnh của các điểm A, B, C, D sang tọa độ afin ta có:

A = (0,0, ,0)

B = (b,0, ,0)

C = (c,0, ,0)

D = (d,0, ,0)

Ta tính được tọa dộ của các véctơ sau đây: = ( -c,0, ,0) ; = (-d,0, ,0)

= (b-c,0, ,0) ; = (b-d,0, ,0)

Do đó (ABC) = - và (ABD) =

-Nên: (ABCD) =

Như vậy tỉ số kép (ABCD) của bốn điểm A, B, C, D bằng tỉ số của hai tỉ số đơn (ABC) và (ABD)

b) Nếu một trong bốn điểm A, B, C, D là điểm vô tận, ví dụ điểm Dthuộc siêu phẳng Pn-1 thì khi đó D ≡ A1 và ta có :

= - +

nên (ABCD) = : = - = (CAB)

Vậy (ABCD∞) = (ABC)

Đặc biệt nếu (ABCD) = -1 và D là điểm vô tận thì khi đó C là trung điểm của đoạn AB

(ABCD∞) = (ABC) = -1

1.2.6 Siêu mặt bậc hai afin trong An = Pn\ Pn-1

Trong mô hình xạ ảnh của không gian afin An = Pn\ Pn-1, siêu mặt bậc hai afin (S’) sinh ra bởi siêu mặt bậc hai xạ ảnh (S): (S’) = (S) \ Pn-1là tập hợp những điểm thuộc siêu mặt xạ ảnh (S) mà không thuộc siêu phẳng Pn-1

a) Hai điểm của An được gọi là liên hợp với nhau đối với (S’) nếu chúng liên hợp với đối với (S) Từ đó suy ra: tập hợp các điểm của Ancùng liên hợp với điểm I (I không phải là tâm của (S’)) là một siêu phẳng

’ của An, ta gọi là siêu phẳng đối cực của điểm I đối với (S’) Dễ thấy rằng ’ = \ Pn-1 trong đó  là siêu phẳng đối cực của điểm I đối với (S)

b) Nếu hai điểm P, Q của Pn liên hợp với nhau đối với (S) và đường thẳng < P, Q > cắt (S’) tại hai điểm M, N Khi đó Q là điểm vô tận của An khi và chỉ khi P là trung điểm của đoạn thẳng MN Từ đó suy ra: Điểm I của Anlà tâm của (S’) khi và chỉ khi nó liên hợp với mọi điểm của Pn-1 đối với (S) Đặc biệt, nếu (S) không suy biến và không tiếp xúc với Pn-1 thì (S’) có tâm duy nhất, đó là điểm đối cực của Pn-1 đối với (S)

c) Gọi C = (0:c1:c2: :cn) là một điểm thuộc (S)Pn-1, nó xác định

một phương: = (c1:c2: :cn) của An, vì khi đó ij

1.3 Mô hình xạ ảnh của mặt phẳng afin

1.3.1 Mô hình xạ ảnh của mặt phẳng afin

Từ xây dựng trên với n = 2 ta có A2 = P2 \ ∆ là mô hình xạ ảnh của mặt của mặt phẳng afin

1.3.2.Thể hiện afin của các đường conic trong A 2

Nếu (S) là đường ôvan trong mặt phẳng xạ ảnh P2 thì trong mặt phẳng afin A2 = P2\ ∆, tập (S) \ ∆ sẽ là:

● Đường elip, nếu (S) không cắt ∆

●Đường parabol, nếu (S) tiếp xúc với ∆

● Đường hypebol, nếu (S) cắt ∆ tại hai điểm phân biệt

H S

I

J



Chương 2

MÔ HÌNH XẠ ẢNH CỦA KHÔNG GIAN ƠCLIT

2.1.Xây dựng mô hình

Xét không gian xạ ảnh thực Pn, một siêu phẳng Pn-1 của Pn, thì có

mô hình xạ ảnh An = Pn \ Pn-1 của không gian afin thực n chiều

Ta chọn trong không gian En đó một mục tiêu trực chuẩn {An+1;

Đối với mục tiêu trực chuẩn đã chọn hai vectơ = (u1,u2, ,un)

và = (v1,v2, ,vn) sẽ có tích vô hướng là:

= [u]*[v]

Khi đó An trở thành một không gian Ơclit n- chiều và gọi là mô hình xạ ảnh của không gian Ơclit n chiều

2.1.1.Cái tuyệt đối của không gian xạ ảnh P n

Trong Pn với mục tiêu xạ ảnh {Ai; E} ta chọn siêu phẳng Pn-1 có phương trình xn+1=0 Trong siêu phẳng Pn-1 ta lấy mục tiêu (A1,A2, ,An ; E’) trong đó E’ là giao của đường thẳng An+1E với siêu phẳng Pn-1 Ta hãy xét một siêu mặt trái xoan không T có phương trình đối với mục tiêu (A1,A2, ,An ; E’) là:

[x]*[x] =

2 1

n i i

x



 = 0 Siêu mặt trái xoan không T gọi là cái tuyệt đối của không gian xạ ảnh

Pn

2.2.Một số khái niệm cơ bản của hình học ơclit thể hiện trên mô hình

2.2.1 Sự vuông góc của hai đường thẳng

Định lý: Điều kiện cần và đủ để hai đường thẳng d và d’ vuông góc với nhau là hai điểm vô tận của chúng liên hợp với nhau đối với cái tuyệt đối T

Chứng minh : Ta dựng qua gốc

An+1 của mục tiêu trực chuẩn

{ An+1;Ei} hai đường thẳng d1 và d’1

lần lượt song song với d và d’ Trên d1

và d’1 ta lần lượt lấy hai điểm X và X’

khác với An+1 có tọa độ là

(X1,X2, ,Xn) và (X’1,X’2, ,X’n)

Gọi A∞ và A’∞ lần lượt là hai

điểm vô tận của d1 và d’1 (cũng là

điểm vô tận của d và d’ ) ( H.6)

Khi đó ta có tọa độ xạ ảnh của A∞ và A’∞ là Hình 6





 = R2 (1) Trong đó ( , , , là tọa độ của tâm siêu cầu và R là bán kính của siêu cầu Bằng cách chuyển sang tọa độ xạ ảnh ta đưa phương trình siêu cầu trên về dạng:

2 0 0

Muốn tìm giao của siêu cầu với siêu phẳng vô tận có phương trình

xn+1 = 0, ta thay xn+1 = 0 vào phương trình (3) ta có:

2

1 1

n

n i i

x  x



2 1

n i i

x



Đó chính là phương trình của cái tuyệt đối T Vậy mọi siêu cầu của En đều cắt siêu phẳng vô tận theo cái tuyệt đối T

Ngược lại giả sử (S) là một siêu mặt bậc hai nào đó của En có phương trình đối với cơ sở trực chuẩn {An+1;Ei} là:

Pn sao cho cái tuyệt đối T được giữ nguyên

Chứng minh: Đối với mục tiêu trực chuẩn đã chọn, mỗi phép afin của En sẽ có phương trình:

X’i =

1 ij 1

n

j j

b X





trong đó ma trận B = [bij] không suy biến

Lại có phép afin đó được sinh ra bởi phép biến đổi xạ ảnh sau đây của

[x’]*(BB*)-1[x’] = 0 (13) Hay [x’]*[x’] = 0 (14) Nghĩa là (x’1,x’2, ,x’n) cũng nằm trên cái tuyệt đối T Vậy T biến thành chính nó

Ngược lại nếu phép biến đổi (9) biến T thành chính nó thì phương trình (13) phải trùng với phương trình (14) nên:

(BB*)-1 = kI với k≠ 0