Mô hình xạ ảnh của mặt phẳng afin và ứng dụng luận văn tốt nghiệp đại học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH -------------------------------------------- BÙI THỊ TIẾN MÔ HÌNH XẠ ẢNH CỦA MẶT PHẲNG AFIN VÀ ỨNG DỤNG KHÓA LUẬN CỬ NHÂN KHOA HỌC NGÀNH TOÁN HỌC VINH - 2011 1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH -------------------------------------------- BÙI THỊ TIẾN MÔ HÌNH XẠ ẢNH CỦA MẶT PHẲNG AFIN VÀ ỨNG DỤNG NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS NGUYỄN HỮU QUANG VINH - 2011 LỜI NÓI ĐẦU 2 Trong chương trình cử nhân toán học, chúng ta được làm quen với môn học Hình học xạ ảnh và bước đầu thấy được mối liên hệ mật thiết giữa hình học sơ cấp và hình học xạ ảnh. Trong hình học sơ cấp có những tính chất xạ ảnh nhiều khi ẩn náu đằng sau những tính chất không xạ ảnh. Nếu ta có thể phân biệt rõ ràng những tính chất xạ ảnh với những tính chất không xạ ảnh thì ta có thể áp dụng hình xạ ảnh vào hình sơ cấp một cách hiệu quả. Ví dụ: Trong khái niệm hình tròn, hình elip, hình parabol hay hypebol mà ta đã gặp ở phổ thông hay trong giải tích thì tính chất “là tròn”, “là elip”, “là parabol”, “là hypebol” không phải là những tính chất xạ ảnh nhưng tính chất “là đường bậc hai” là một tính chất xạ ảnh. Hay trong khái niệm “đường thẳng ở vô tận” thì tính chất “ở vô tận” không phải là tính chất xạ ảnh nhưng khái niệm “đường thẳng” thì là một khái niệm xạ ảnh và đường thẳng này đóng vai trò bình đẳng so với các đường thẳng khác. Hay trong khái niệm tọa độ Đêcac thì những độ dài và góc tham gia vào việc xác định các tọa độ đó là những khái niệm không xạ ảnh nhưng khái niệm tỉ số kép mà ta có thể dùng biểu diễn theo tọa độ Đêcac thì cũng là một khái niệm xạ ảnh. Hình học xạ ảnh tuy nghèo nàn về các tính chất hình học thuần túy (các tính chất liên quan đến số đo sẽ không được xét đến, tính song song giữa các phẳng cũng không có) nhưng tổng quát hơn các hình học khác. Trong hình học xạ ảnh chủ yếu là quan hệ liên thuộc. Theo một nghĩa nhất định có thể coi hình học sơ cấp là hình học của thước kẻ và compass còn hình học xạ ảnh là hình học của chỉ thước kẻ. Hình học xạ ảnh cho ta cái nhìn tổng quát các bài toán hình học phẳng liên quan đến tính đồng quy, tính thẳng hàng. Các định lý liên quan đến đường conic giúp chúng ta nhìn lại các bài toán ở phổ thông trung học một cách hệ thống. Nhờ đó chúng ta có thể giải và sáng tạo các bài toán sơ cấp. 3 Trong bản khóa luận tốt nghiệp này, chúng tôi trình bày một cách hệ thống, chi tiết về mô hình xạ ảnh của mặt phẳng afin và đưa một số bài toán trong mặt phẳng xạ ảnh về những bài toán sơ cấp. Khóa luận được chia làm ba mục chính: 1.Mặt phẳng xạ ảnh. Trong mục này chúng tôi trình bày những khái niệm ban đầu liên quan đến mặt phẳng xạ ảnh như: định nghĩa, mục tiêu và toạ độ xạ ảnh… 2.Mô hình xạ ảnh của mặt phẳng afin. Trong mục này chúng tôi trình bày mô hình xạ ảnh của mặt phẳng afin. 3.Ứng dụng mô hình xạ ảnh. Trong mục này chúng tôi xuất phát từ các định lý, bài toán trong xạ ảnh để đưa về các bài toán trong hình sơ cấp. Để hoàn thành khóa luận này, ngoài sự cố gắng nỗ lực của bản thân, tôi còn nhận được sự hướng dẫn tận tình chu đáo của thầy giáo PGS.TS Nguyễn Hữu Quang, sự góp ý chân thành của bạn bè và những lời động viên quý báu của gia đình, người thân. Nhân dịp này cho phép tôi được bày tỏ lòng biết ơn đến thầy và toàn thể mọi người. Vinh, tháng 5 năm 2011. Tác giả §1.Mặt phẳng xạ ảnh 4 Ở mục này, chúng tôi trình bày các kiến thức ban đầu liên quan đến mặt phẳng xạ ảnh như: định nghĩa, mục tiêu và tọa độ xạ ảnh… để sử dụng trong bài khóa luận này. 1.1: Định nghĩa. Giả sử V là một không gian vectơ thực 3-chiều. Ta kí hiệu [V] là tập hợp các không gian vectơ con một chiều của V. Giả sử tập P khác rỗng và có một song ánh p: [V] → P thì ta nói bộ ba (P, p, V) là một mặt phẳng xạ ảnh thực được kí hiệu là P. Mỗi phần tử A ∈ P được gọi là một điểm. Nếu điểm M ∈ P, M = p(V) và ≠ ∈ V; sao cho V = <>,khi đó ta gọi là vectơ đại diện cho điểm M (hai vectơ cùng đại diện cho một điểm thì cộng tuyến với nhau). 1.2: Mục tiêu và tọa độ xạ ảnh. • Trong mặt phẳng xạ ảnh P hệ điểm {M, M, M} được gọi là hệ điểm độc lập nếu hệ các vectơ đại diện tương ứng của chúng {, , } độc lập tuyến tính. • Hệ điểm{A, A, A; E} được gọi là một mục tiêu ứng với cơ sở đại diện {, , } trong P nếu{A, A, A} độc lập và = + + ≠( ở đây là vectơ đại diện của E và là vectơ đại diện cho A, I =1, 2, 3). • Giả sử {A, A, A ;E} là mục tiêu ứng với cơ sở {, , } và M ∈ P có là vectơ đại diện.Ta có sự biểu diễn = x+ x+ x. Khi đó ( x, x , x) được gọi là tọa độ điểm M đối với mục tiêu đã cho và được kí hiệu M(x, x , x). 1.3: Đường thẳng trong mặt phẳng xạ ảnh . • Như ta đã biết (xem tài liệu [1]), tập hợp p([V]) ⊂ P,(V ∈ V) được gọi là đường thẳng trong mặt phẳng xạ ảnh và được kí hiệu là P hoặc ∆ . 5 • Giả sử đường thẳng ∆ đi qua hai điểm phân biệt M, M ∈ P và điểm X(x, x , x) ∈ ∆ . Khi đó ta có : [X] = t[M] + t[M] , ( t + t ≠ 0) với [X], [M], [M] là các ma trận toạ độ cột của các điểm X, M, M. Từ đó ta có phương trình của ∆ là : ax + ax + ax = 0 (a, a, a không đồng thời bằng 0). Bộ số (a, a, a) được gọi là tọa độ của đường thẳng ∆ đối với mục tiêu đã chọn. 1.4: Tỉ số kép trong P . • Tỉ số kép của bốn điểm thẳng hàng : Trong P với mục tiêu cho trước có bốn điểm phân biệt A, B, C, D cùng thuộc một đường thẳng. Ta có: [C] = k[A] + l[B] , [D] = k[A] + l[B] với l ≠ 0 thì tỉ số kép của bốn điểm A, B, C, D được kí hiệu là [A, B, C, D] và được xác định bởi: [A, B, C, D] = : . Nếu [A, B, C, D] = -1 ta nói A, B, C, D là một hàng điểm điều hòa (hay cặp C, D chia điều hòa cặp điểm A, B). • Tỉ số kép của chùm bốn đường thẳng : Cho chùm bốn đường thẳng phân biệt α, β, γ, δ trong P. Với mục tiêu cho trước, giả sử bốn đường thẳng α, β, γ, δ có ma trận tọa độ lần lượt là [α], [β], [γ], [δ]. Ta có: [γ] = µ[α] + λ[β] , [δ] = µ[α] + λ[β] thì tỉ số kép của chùm bốn đường thẳng trên được xác định bởi: [α, β, γ, δ] = : . Nếu [α, β, γ, δ] = -1 ta nói α, β, γ, δ lập thành chùm đường thẳng điều hòa (hay cặp γ, δ chia điều hòa cặp α, β). 6 • Ta nhận thấy rằng, nếu chùm bốn đường thẳng α, β, γ, δ bị cắt bởi một đường thẳng tương ứng tại bốn điểm A, B, C, D thì [α, β, γ, δ] = [A, B, C, D] 1.5: Hình bốn cạnh toàn phần. Khái niệm: Trong mặt phẳng xạ ảnh P hình gồm bốn đường thẳng trong đó không có ba đường nào đồng quy gọi là hình bốn cạnh toàn phần. mỗi đường thẳng là một cạnh, giao điểm của hai cạnh gọi là một đỉnh, hai đỉnh không nằm trên một cạnh gọi là hai đỉnh đối diện, đường thẳng nối hai đỉnh đối diện là đường chéo. 1.6: Các đường bậc hai trong P . Như ta đã biết (xem tài liệu [1]), một tập hợp S các điểm X(x, x , x) ∈ P, thỏa mãn phương trình: ax + ax + ax + 2axx + 2axx + 2axx = 0 (trong đó các a không đồng thời bằng 0 và a = a với i,j=1, 2, 3) thì S được gọi là đường bậc hai trong P. Bằng cách chọn mục tiêu thích hợp, một đường bậc hai trong P có phương trình chuẩn tắc là một trong năm dạng sau: 1. Đường Ôvan ảo : x + x +x = 0. 2. Đường conic: x + x - x = 0. 3. Cặp đường thẳng ảo: x + x = 0. 4. Cặp đường thẳng phân biệt: -x + x = 0. 5. Cặp đường thẳng trùng nhau: x = 0. §2.Mô hình xạ ảnh của không gian afin. Trong mục này chúng tôi trình bày cách xây dựng mặt phẳng xạ ảnh từ mặt phẳng afin cho trước và một số thể hiện trong mô hình mới. 2.1: Mô hình xạ ảnh của không gian afin. 7 Ta xét không gian xạ ảnh P với nền là không gian vectơ thực V và đường thẳng ∆ ⊂ P.Ta đặt A =P\ ∆ . Trong P ta chọn mục tiêu{A, A, A; E} sao cho{A, A} ∈ ∆ . Khi đó, đường thẳng ∆ có phương trình x = 0 và X(x, x , x) ∈ A thì x ≠ 0. Ta đặt X = và X = thì bộ số (X , X) được gọi là tọa độ không thuần nhất của điểm X đối với mục tiêu xạ ảnh đã cho và ta viết X=(X, X). Khi đó có một song ánh từ tập A vào R bằng cách ta cho mỗi điểm thuộc A tương ứng với tọa độ không thuần nhất của nó. Gọi V là không gian vectơ 2 chiều trên trường số thực R với cơ sở {, } và ta xét ánh xạ: ϕ : A × A → R (X,Y) → ϕ (X,Y) = = ⇔ = (Y - X, Y - X) thì ánh xạ ϕ thỏa mãn hai tiên đề của không gian afin. Thật vậy: +)∀ X ∈ A, X = (X, X) và = (v, v) ∈ R . Khi đó có duy nhất điểm Y(Y, Y) với Y= X+ v , Y=X + v và ϕ(X,Y) = . +) ∀ X, Y, Z ∈ A : X = (X, X), Y = (Y, Y), Z = (Z, Z). Ta có : ϕ (X,Z) = = (Z - X, Z - X) = (Z - Y, Z - Y) + (Y - X , Y - X) = + = ϕ(Z, Y) + ϕ(Y, X). Ta gọi A là mô hình xạ ảnh của mặt phẳng afin. 2.2: Mục tiêu và tọa độ afin trong A . 8 Ta vẫn xét mục tiêu xạ ảnh trong P như trên và gọi E, E lần lượt là giao điểm của đường thẳng AA, AA với đường thẳng ∆ . Tọa độ không thuần nhất của E, E và A là: E = (1, 0), E = (0, 1), A = (0, 0) . Ta đặt = và = thì {A; E, E} là mục tiêu afin trong A (nó được gọi là mục tiêu afin sinh bởi mục tiêu xạ ảnh{A, A, A; E}). Khi đó, ∀X ∈ A, X=(X, X) thì ta có : = X. + X Và ta nói (X , X) là tọa độ afin của X đối với mục tiêu afin{A; E, E} sinh bởi mục tiêu xạ ảnh{A, A, A ;E}. 2.3:Đường thẳng trongA. • Giả sử d là đường thẳng trong P và không trùng với ∆ . Khi đó thì d’= d\ ∆ là một đường thẳng trong A . Thật vậy, với mục tiêu xạ ảnh như trên, giả sử đường thẳng d có phương trình: ax + ax + ax = 0 (1). Vì d là đường thẳng không trùng với ∆ nên mỗi X ∈ d, X=(x, x ,x) thì x ≠ 0. Ta chia hai vế (1) cho x thì tọa độ không thuần nhất của X thỏa mãn phương trình: aX + aX + a = 0 (2). Từ (2) suy ra d’ là đường thẳng trong A . • Ta gọi d,d là 2 đường thẳng phân biệt trong P khác ∆ , I = d∩d và trong A = P\ ∆ gọi d’,d’ là các đường thẳng tương ứng với d, d. Ta có kết quả sau: Nếu I ∈ ∆ thì d’//d’. Nếu I ∉ ∆ thì d’∩d’ = I. 2.4: Tỉ số kép trong A . Trong không gian P lấy bốn điểm A, B, C, D thẳng hàng. Với 9 A(a, a, 1), B( b, b, 1) thì tọa độ C và D lần lượt là: C( k.a + l.b, k.a + l.b, k + l ), D( k.a + l.b, k.a + l.b, k + l ). Trong P tỉ số kép của bốn điểm A, B, C, D là: [ABCD] = : Trong A= P\ ∆ thì tọa độ của bốn điểm trên là: A(a, a), B( b, b), C(c, c) và D(d, d). Trong đó : c = và d = (I = 1,2). Suy ra a - c = và b - c = - (I = 1, 2). Do đó : = - ⇒ [ABC] = - . Tương tự ta có: [ABD] = - . Vì vậy [ABCD] = . Vậy trong A ta có thể xem tỉ số kép của bốn điểm thẳng hàng A, B, C, D là tỉ số đơn của [ABC] và [ABD]. Đặc biệt nếu C hoặc D nằm trên ∆ , giả sử là D thì ta có: [ABCD] = [ABC∞] = [ABC] = . Tương tự ta cũng có thể tính được tỉ số kép trên trong trường hợp C ∈ ∆ . 2.5:Thể hiện afin của các đường conic trong A. • Trong P cho đường bậc hai S và đường thẳng ∆ sao cho S∩ ∆ = ∅. Khi đó trong mô hình afin A = P\ ∆ ta sẽ thu được một elip (E). Thật vậy, giả sử conic S có phương trình: x + x - x = 0 (1) và đường thẳng ∆ có phương trình : x = 0 thì ta có S∩ ∆ = ∅ . Với điểm X(x, x, x) ∈ S và X ∉ ∆ thì x ≠ 0 nên ta chia hai vế (1) cho x sẽ thu được phương trình : ( ) + ( ) - 1 = 0 10 . xạ ảnh 2 .Mô hình xạ ảnh của mặt phẳng afin. Trong mục này chúng tôi trình bày mô hình xạ ảnh của mặt phẳng afin. 3 .Ứng dụng mô hình xạ ảnh. Trong mục này. môn học Hình học xạ ảnh và bước đầu thấy được mối liên hệ mật thiết giữa hình học sơ cấp và hình học xạ ảnh. Trong hình học sơ cấp có những tính chất xạ