Mối liên hệ giữa các bài toán trong mặt phẳng xạ ảnh và mặt phẳng afin

1 Trờng đại học vinh Khoa toán ----------- đặng thị thuỳ dung mối liên hệ giữa các bài toán trong mặt phẳng xạ ảnh và mặt phẳng Afin Khoá luận tốt nghiệp đại học Ngành cử nhân khoa học toán Vinh 2006 2 Lời nói đầu Từ một không gian Afin đã cho ta có thể xây dựng một mô hình của không gian xạ ảnh bằng cách thêm vào không gian Afin những điểm vô tận. Ngợc lại, nếu ta có một không gian xạ ảnh thì bằng cách bỏ đi một siêu phẳng nào đó thì ta có thế xây dựng đợc một không gian Afin. Nh vậy, giữa không gian Afin và không gian xạ ảnh có sự liên quan mật thiết. Bởi vậy, hiển nhiên giữa hình học Afin và hình học xạ ảnh cũng có sự liên hệ. Mối quan hệ giữa hình học Afin và hình học xạ ảnh đã đợc trình bày nhiều trong các tài liệu về hình học cao cấp (chẳng hạn [1], [2], [3], ) và đã đợc các sinh viên ở các khoá học trớc tìm hiểu và nghiên cứu. Trong bản luận văn này, chúng tôi lại tiếp tục công việc đó bằng cách tổng hợp và hệ thống các mối quan hệ giữa một số tính chất của hình học Afin và hình học xạ ảnh trong hai mô hình và trình bày ứng dụng của chúng. Luận văn này đợc chia làm 4 mục: Đ 1: Mô hình xạ ảnh của không gian Afin. Trong mục này, chúng tôi trình bày việc xây dựng mô hình xạ ảnh trở thành không gian Afin 2 chiều cùng một số thể hiện cơ bản trên mô hình nh mục tiêu và toạ độ, tỉ số kép, phơng trình đờng thẳng, đờng Cônic Đ 2: ứng dụng của mô hình xạ ảnh của không gian Afin. Trong mục này, chúng tôi trình bày ứng dụng của mô hình A 2 để chuyển một số bài toán trong mặt phẳng xạ ảnh thành những bài toán trong không gian Afin nh: Định lý PaPuýt, định lý Đờdác thứ nhất, định lý Mênêlaúyt và định lý Xêva Đ 3: Mô hình Afin của mặt phẳng xạ ảnh Trong mục này, chúng tôi trình bày việc xây dựng mô hình cùng một số thể hiện xạ ảnh nh mục tiêu và toạ độ, phơng trình đờng thẳng, đờng bậc 2, . 3 Đ 4: ứng dụng của mô hình Afin của mặt phẳng xạ ảnh Trong mục này, chúng tôi trình bày ứng dụng của P 2 để chuyển một số bài toán Afin sang bài toán xạ ảnh bằng cách thêm một đờng thẳng vô tận . Luận văn này đợc hoàn thành tại khoa Toán trờng Đại học Vinh với sự hớng dẫn của thầy giáo PGS.TS Nguyễn Hữu Quang. Nhân dịp này, tôi xin đợc bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy, đồng thời tôi xin cảm ơn các thầy cô giáo, gia đình và bạn bè đã tận tình giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và rèn luyện tại trờng Đại học Vinh. Tác giả 4 Kết luận Trong bản luận văn này chúng tôi đã trình bày đợc các sự kiện sau đây: + Trình bày việc xây dựng mô hình xạ ảnh của không gian Afin cùng với một số thể hiện cơ bản nh: toạ độ và mục tiêu, tỉ số kép, phơng trình đờng thẳng, phép biến đổi Afin, đờng Cônic. + Trình bày chi tiết việc thể hiện một Cônic về đờng bậc hai Afin trong từng trờng hợp cụ thể. + Xây dựng mô hình Afin của mặt phẳng xạ ảnh cùng với một số thể hiện xạ ảnh nh: mục tiêu và tọa độ, phơng trình đờng thẳng, đờng bậc hai. + Trình bày các bài toán ứng dụng của 2 mô hình: . Từ một số định lý nh định lý Papúyt, định lý Đờdác thứ nhất, một số trờng hợp đặc biệt của định lý Pascal, định lý Briăngsông chuyển về định lý trong hình học phổ thông. . Từ một số bài toán trong hình học phổ thông ta đa về các bài toán của hình học xạ ảnh. Với đề tài này, chúng tôi hy vọng sẽ tiếp tục trình bày mô hình xạ ảnh của không gian ơclít. 5 Tài liệu tham khảo [1]. Văn Nh Cơng. Hình học xạ ảnh. NXB Giáo dục - 1999. [2]. Văn Nh Cơng - Kiều Huy Luân. Hình học cao cấp. . NXB Giáo dục - 1976. [3]. Phạm Bình Đô. Bài tập hình học xạ ảnh. NXB ĐHSP - 2003. [4]. Nguyễn Mộng Hy. Bài tập hình học cao cấp. NXB Giáo dục - 2003. [5]. Nguyễn Hữu Quang - Trơng Đức Hinh. Bài tập hình học xạ ảnh. . NXB Giáo dục - 2000. [6]. Nguyễn Cảnh Toàn. Hình học cao cấp. NXB Giáo dục - 1979. 6 Mục lục Lời nói đầu .1 Đ1: Mô hình xạ ảnh của không gian Afin .3 1.1. Xây dựng A trở thành không gian Afin .3 1.2. Các thể hiện cơ bản trong mặt phẳng Afin 4 Đ2: ứng dụng của mô hình xạ ảnh của không gian Afin 11 2.1. Định lý Papuýt 11 2.2. Định lý Đờdác thứ nhất 14 2.3. Định lý Mênêlauýt và định lý Xêva .15 2.4. Định lý Pascan .16 2.5. Định lý Briăngsông 18 Đ3: Mô hình Afin của mặt phẳng xạ ảnh .19 3.1. Xây dựng mô hình 19 3.2. Mục tiêu và toạ độ xạ ảnh 20 3.3. Tỷ số kép trong P 2 20 3.4. Phơng trình đờng thẳng 21 3.5. Đờng bậc hai 22 Đ4: ứng dụng của mô hình Afin của mặt phẳng xạ ảnh 24 Kết luận 31 Tài liệu tham khảo .32 7 Lời nói đầu Từ một không gian Afin đã cho ta có thể xây dựng một mô hình của không gian xạ ảnh bằng cách thêm vào không gian Afin những điểm vô tận. Ngợc lại, nếu ta có một không gian xạ ảnh thì bằng cách bỏ đi một siêu phẳng nào đó thì ta có thể xây dựng đợc một không gian Afin. Nh vậy, giữa không gian Afin và không gian xạ ảnh có sự liên quan mật thiết. Bởi vậy, hiển nhiên giữa hình học Afin và hình học xạ ảnh cũng có sự liên hệ. Mối quan hệ giữa hình học Afin và hình học xạ ảnh đã đợc trình bày nhiều trong các tài liệu về hình học cao cấp (chẳng hạn [1], [2], [3], ) và đã đợc các sinh viên ở các khoá học trớc làm đề tài luận văn tốt nghiệp. Trong bản luận văn này, chúng tôi lại tiếp tục công việc đó bằng cách tổng hợp và hệ thống các mối quan hệ giữa một số tính chất của hình học Afin và hình học xạ ảnh trong hai mô hình và trình bày ứng dụng của chúng. Luận văn này đợc chia thành 4 mục: Đ 1: Mô hình xạ ảnh của không gian Afin. Trong mục này, chúng tôi trình bày việc xây dựng mô hình xạ ảnh trở thành không gian Afin 2 - chiều cùng một số thể hiện cơ bản trên mô hình nh mục tiêu và toạ độ, tỉ số kép, phơng trình đờng thẳng, đờng Cônic Đ 2: ứng dụng của mô hình xạ ảnh của không gian Afin. Trong mục này, chúng tôi trình bày ứng dụng của mô hình A 2 để chuyển một số bài toán trong mặt phẳng xạ ảnh thành những bài toán trong không gian Afin nh: Định lý PaPuýt, định lý Đờdác thứ nhất, định lý Mênêlaúyt và định lý Xêva Đ 3: Mô hình Afin của mặt phẳng xạ ảnh Trong mục này, chúng tôi trình bày việc xây dựng mô hình cùng một số thể hiện xạ ảnh nh mục tiêu và toạ độ, phơng trình đờng thẳng, đờng bậc 2, . Đ 4: ứng dụng của mô hình Afin của mặt phẳng xạ ảnh Trong mục này, chúng tôi trình bày ứng dụng của P 2 để chuyển một số bài toán Afin sang bài toán xạ ảnh bằng cách thêm một đờng thẳng vô tận . 8 Luận văn này đợc hoàn thành tại khoa Toán trờng Đại học Vinh với sự hớng dẫn của thầy giáo PGS.TS Nguyễn Hữu Quang. Nhân dịp này, tôi xin đợc bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy, đồng thời tôi xin cảm ơn các thầy cô giáo, gia đình và bạn bè đã tận tình giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và rèn luyện tại trờng Đại học Vinh. Tác giả 9 Đ 1. mô hình xạ ảnh của không gian afin Nh ta đã biết, một không gian afin là một tập A mà các phần tử của nó đ- ợc gọi là điểm và nếu có ánh xạ : A x A V, ( ) MN = NM, , với M, N A, MN V (V là không gian véctơ) thoả mãn hai tiên đề sau: i) Với M A và véctơ Vu có duy nhất điểm N A sao cho uMN = . ii) Với mọi ba điểm M, N, P A có MPNPMN =+ . Khi đó không gian afin (A, , V) đợc gọi là không gian afin A liên kết với không gian véctơ V hay không gian afin trên trờng K. Xuất phát từ mặt phẳng afin A 2 ta xây dựng mô hình của không gian xạ ảnh P 2 bằng cách thêm vào A 2 những điểm vô tận. Ngợc lại, từ không gian xạ ảnh P 2 hãy bỏ bớt đi một đờng thẳng nào đó ta thu đợc mô hình của không gian afin. Ta chọn trong P 2 một đờng thẳng nào đó và đặt A = P 2 | là tập hợp những điểm của P 2 mà không thuộc . Bây giờ ta xây dựng A trở thành không gian afin 2 - chiều. 1.1. Xây dựng A trở thành không gian afin Trong P 2 chọn mục tiêu { } EAAA ;,, 321 sao cho các điểm A 1 , A 2 thuộc và do đó điểm A 3 không thuộc . Khi đó, đối với mục tiêu đã chọn đờng thẳng có phơng trình: x 3 = 0. Rõ ràng, nếu X (x 1 , x 2 , x 3 ) A 2 thì x 3 0 (vì X không thuộc ). Lúc này X đ- ợc xác định bởi hai số (X 1 , X 2 ) với 3 2 2 3 1 1 ; x x X x x X == . Bộ số (X 1 , X 2 ) đợc gọi là tọa độ không thuần nhất của điểm X và ta viết X (X 1 , X 2 ). Nh vậy, có một song ánh từ tập A vào tập R 2 bằng cách đặt mỗi điểm X của A tơng ứng với toạ độ không thuần nhất (X 1 , X 2 ) của nó. Giả sử X (x 1 , x 2 ); Y (y 1 , y 2 ) là hai điểm của A, ta xét ánh xạ : A x A R 2 (X, Y) (y 1 - x 1 ; y 2 - x 2 ) 10 (ở đây R 2 là không gian véctơ thực 2 - chiều với các phép toán thông thờng). Để chứng minh A là không gian afin ta cần kiểm tra hai điều kiện sau đây: i) Với mọi X (x 1 , x 2 ) R 2 và mọi ( ) 21 ,uuu R 2 , ! Y(y 1 ,y 2 ) A sao cho ( ) uXYYX == , . Thật vậy Y có toạ độ không thuần nhất là ( u 1 + x 1 ; u 2 + x 2 ) A ii) Với mọi ba điểm X (x 1 , x 2 ); Y (y 1 , y 2 ), Z (z 1 , z 2 ) ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ZX xzxz yzxyyzxy yzyzxyxyZYYX , ; ; ;;,, 2211 22221111 22112211 = = ++= +=+ Hay . Vậy A là một không gian afin 2 chiều liên kết với không gian véctơ R 2 . 1.2. Các thể hiện cơ bản trong mặt phẳng afin 1.2.1. Toạ độ afin và mục tiêu afin Trong không gian xạ ảnh P 2 cho mục tiêu tọa độ xạ ảnh { } EAAA ;,, 321 và điểm X (x 1 , x 2 , x 3 ). Gọi E 1 và E 2 lần lợt là giao điểm của A 1 A 3 và A 2 A 3 với . Nh vậy, E 1 (1,0), E 2 (0,1), A 3 (0,0) Nếu đặt 223113 ; eEAeEA == thì { } 213 ,; EEA là mục tiêu afin trong A 2 và đợc gọi là mục tiêu afin sinh bởi mục tiêu xạ ảnh { } EAAA ;,, 321 . Giả sử với mọi X A 2 , X (x 1 , x 2 ) thì 22113 exexXA += . Khi đó (x 1 , x 2 ) đợc gọi là toạ độ afin của X đối với mục tiêu afin sinh bởi mục tiêu xạ ảnh. 1.2.2. Tỷ số kép Trong P 2 cho 4 điểm A, B, C, D phân biệt thẳng hàng. Đối với mục tiêu đã chọn ta giả sử A (a 1 , a 2 , 1); B (b 1 , b 2 , 1). Nh vậy [ ] [ ] [ ] BAC 11 à += [ ] [ ] [ ] BAD 22 à += Do đó ( ) 1121211111 ;; ààà +++ babaC ( ) 2222221212 ;; ààà +++ babaD AX,Y,Z;XZYZXY =+