Xây dựng mối quan hệ giữa các bài toán tổ hợp và xác suất

Đó cũng chính là 10 bài toán đầu tiên của phần bài tậpvận dụng ở chương một với sự vận dụng linh hoạt sáng tạo đã chuyểnthành 10 bài toán về xác suất với số khả năng thuận lời của biến c

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS NGUYỄN MINH TUẤN

HÀ NỘI - NĂM 2015

Mục lục

1.1 Tổ hợp 5

1.1.1 Phép đếm 5

1.1.2 Hoán vị 8

1.1.3 Chỉnh hợp 11

1.1.4 Tổ hợp 13

1.1.5 Công thức tính số phần tử của hợp hai hoặc ba tập hợp 16

1.2 Xác suất 19

1.2.1 Biến cố 19

1.2.2 Các quy tắc tính xác suất 21

2 Các bài toán Tổ hợp 30 2.1 Các dạng bài toán tổ hợp 30

2.2 Bài tập vận dụng 48

3 Các bài toán Xác suất 53 3.1 Một số dạng bài toán làm rõ mối quan hệ giữa các bài toán tổ hợp và xác suất 53

3.2 Các dạng bài toán xác suất 69

3.3 Bài tập vận dụng 79

Mở đầu

Trong những năm gần đây, nhu cầu phải tìm các ứng dụng của Toánhọc trong cuộc sống ngày càng trở nên quan trọng và cấp thiết Mộtcách tự nhiên trong lĩnh vực, mà ở đó Toán học dễ tìm thấy các ứngdụng và các dạng toán thực tế đưa đến sự hấp dẫn và lý thú cho ngườihọc Toán

Toán Tổ hợp và Xác suất là ngành Toán học có nhiều ứng dụng rộngrãi trong nhiều lĩnh vực khoa học, công nghệ, kinh tế, Đặc biệt, nó cónhiều nội dung khá đa dạng, phong phú được ứng dụng rộng rãi trongthực tế đời sống Trong toán sơ cấp, lý thuyết Tổ hợp và Xác suất đãđược đưa vào giảng dạy trong chương trình Toán trung học phổ thôngnhằm cung cấp cho học sinh những kiến thức cơ bản của ngành Toánhọc quan trọng này

Tổ hợp và Xác suất cũng xuất hiện trong nhiều bài toán lý thú với

độ khó khá cao, khi giải các bài toán Tổ hợp và Xác suất người quantâm sẽ cảm thấy rất hấp dẫn, bổ ích và đòi hỏi phải có tư duy, suy luậnđộc đáo và chính xác Đặc biệt, nó còn chiếm vị trí quan trọng trongcác kỳ thi tốt nghiệp, cao đẳng, đại học và thi học sinh giỏi

Với bản thân là một giáo viên dạy môn Toán trung học phổ thông đãnhiều năm Khi giảng dạy đến chuyên đề này, tôi đã mong muốn ngườithầy đóng vai trò điều khiển và học sinh chủ động chiếm lĩnh kiến thức,vận dụng sáng tạo kiến thức để đưa ra lời giải hay cho một bài toán Tổhợp và Xác suất Từ đó thấy rằng giữa chúng có mối quan hệ mật thiếtvới nhau Chính vì thế tôi đã nghiên cứu và đưa ra cuốn luận văn

"Xây dựng mối quan hệ giữa các bài toán Tổ hợp và Xác suất".Luận văn nhằm bắt đầu tìm hiểu về các định nghĩa, tính chất của lýthuyết Tổ hợp và Xác suất Từ những kiến thức cơ bản được vận dụng

vào giải các dạng bài tập ứng với từng đơn vị kiến thức đã được giớithiệu Luận văn được chia làm ba chương với nội dung:

Chương 1 Tổ hợp và Xác suất

Chương này trình bày các kiến thức cơ bản của lý thuyết Tổ hợp vàXác suất: phép đếm, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, tính chất của tổ hợp,biến cố, các quy tắc tính xác suất Bên cạnh đó, còn có ví dụ minh họacho từng đơn vị kiến thức

Chương 2 Các dạng bài toán Tổ hợp

Chương này trình bày tiếp tục 20 bài toán thực tế với lời giải chi tiết,minh họa cho từng đơn vị kiến thức về Tổ hợp đã đưa ra trong chươngmột và 30 bài toán vận dụng

Chương 3 Các dạng bài toán Xác suất

Chương này trình bày 20 bài toán thực tế với lời giải chi tiết, minhhọa cho từng đơn vị kiến thức về Xác suất đã đưa ra trong chương một,trong đó có 10 bài toán đầu tiên đưa ra mối quan hệ giữa bài toán Tổhợp và Xác suất Đó cũng chính là 10 bài toán đầu tiên của phần bài tậpvận dụng ở chương một với sự vận dụng linh hoạt sáng tạo đã chuyểnthành 10 bài toán về xác suất với số khả năng thuận lời của biến cố làkết quả của bài toán tổ hợp Trong đó còn xin giới thiệu các bài toántính phần trăm cũng chính là bài toán xác suất cùng với 30 bài toánvận dụng

Luận văn này được hoàn thành với sự hướng dẫn tận tình của PGS

TS Nguyễn Minh Tuấn - Trường Đại học Giáo Dục - ĐHQG Hà Nộicùng với sự nỗ lực của bản thân và sự giúp đỡ động viên của thầy cô,đồng nghiệp và bạn bè

Qua đây, tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc tới Thầyhướng dẫn đã chỉ bảo trong suốt thời gian qua Đồng thời tác giả cũngxin cảm ơn đến Ban giám hiệu, các thầy cô trường THPT Yên Viên đãtạo điều kiện cho tác giả hoàn thành cuốn luận văn này Xin cảm ơn giađình, người thân, bạn bè đã động viên giúp đỡ tôi trong suốt quá trìnhlàm luận văn

Cuối cùng, mặc dù đã rất cố gắng nhưng do thời gian và kiến thức

lý luận còn hạn chế nên luận văn không tránh khỏi những sai sót Tácgiả rất mong nhận sự đóng góp từ thầy cô, bạn bè, đồng nghiệp để hoànthiện hơn

Hà Nội, ngày 10 tháng 10 năm 2015

Tác giả

Dương Ngọc Ánh

Chương 1

Tổ hợp và Xác suất

Trong chương này đưa ra các kiến thức cơ bản về lý thuyết Tổ hợp

và Xác suất: phép đếm, hoán vị, tổ hợp, tính chất của tổ hợp, biến cố,xác suất của biến cố, các quy tắc tính xác suất Bên cạnh những kiếnthức đó là những ví dụ về những bài toán thực tế ứng với từng đơn vịkiến thức Nội dung của chương chủ yếu được hình thành từ các tài liệu

[1], [3], [5], [7] và [8]

a Quy tắc cộng

Nếu có m1 cách chọn đối tượnga1, m2 cách chọn đối tượnga2, , mn

cách chọn đối tượng an, trong đó cách chọn đối tượng ai (1 ≤ i ≤ n)

không phụ thuộc vào bất kì cách chọn đối tượng aj nào (1 ≤ j ≤ n,

i 6= j), thì sẽ có

n

X

k=1

mk cách chọn đối tượng a1, hoặc a2, , hoặc an

Để vận dụng có hiệu quả, ta chuyển thể quy tắc này sang ngôn ngữtập hợp như sau:

Cho n tập hợp Ak(1 ≤ k ≤ n) với |Ak| = mk và ∀i, j (1 ≤ i, j ≤ n)

Ai∩ Aj = ∅, khi i 6= j Khi đó số cách chọn a1, hoặc a2, , hoặc an sẽbằng số cách chọn phần tử a thuộc

nhiêu số có bốn chữ số khác nhau từ tập A và trong mỗi số nhất thiếtphải có chữ số 1?

Lời giải Gọi số phải tìm là abcd (a, b, c, d ∈ A; a 6= 0) Vì trong số abcd

nhất thiết phải có chữ số 1, nên ta xét các tập A1, A2, A3, A4 là tậpcác số dạng 1bcd, a1cd, ab1d, abc1 tương ứng

|A1| + |A2| + |A3| + |A4| = 60 + 48 + 48 + 48 = 204

b Quy tắc nhân

Cho n đối tượng a1, a2, , an Nếu có m1 cách chọn đối tượng a1

và với mỗi cách chọn a1 có m2 cách chọn đối tượng a2, sau đó vớimỗi cách chọn a1, a2 có m3 cách chọn a3, Cuối cùng với mỗi cáchchọn a1, a2, , an−1 có mn cách chọn đối tượng an Như vậy sẽ có

m1.m2 mn−1.mn cách chọn các đối tượng a1, rồi a2, rồi a3, , rồi

Ví dụ 1.1.2 ([8]) (Đề thi Đại học QGTP Hồ Chí Minh 1999).

Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy có 6 chỗ ngồi.Người ta xếp chỗ ngồi cho 6 học sinh trường A và 6 học sinh trường Bvào bàn trên Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi trong mỗi trường hợpsau:

i) Bất kì 2 học sinh ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau thì kháctrường

ii) Bất kì 2 học sinh ngồi đối diện nhau thì khác trường

Lời giải Đánh số các ghế theo hình vẽ sau

i) Hai học sinh ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau thì khác trường

Vậy số cách xếp 2 học sinh ngồi cạnh hoặc đối diện phải khác trườnglà

12.6.52.42.32.22.12 = 1036800

ii) Hai học sinh ngồi đối diện thì phải khác trường

Vậy số cách xếp hai học sinh ngồi đối diện phải khác là

của năm số đã cho Bởi vậy, số các số có thể lập bằng số hoán vị củanăm phần tử, tức là P5 = 5! = 120.

P (n1, n2, , nk) = n!

n1!n2! nk!·

Thậy vậy, xét một hoán vị có lặp của n phần tử thuộc loại k, màcác phần tử loại i (1 ≤ i ≤ k) xuất hiện ni lần Nếu ta thay thế tất cảcác phần tử giống nhau bằng những phần tử khác nhau, thì số hoán vịkhác nhau của n phần tử giống nhau mà ta có thể lập được từ hoán vị

có lặp đang xét theo quy tắc nhân bằng n1!n2! nk! Làm như vậy chomỗi hoán vị có lặp của n phần tử thuộc loại k, mà các phần tử loại i(1 ≤ i ≤ k) xuất hiện ni, ta sẽ tìm được tất cả n! hoán vị của n phần

Lời giải Xét một số x tùy ý, x = 140525345 và kí hiệu vị trí các chữ

số của x một cách hình thức, ta có: x = a1a2a3a4a5a6a7a8a9 (trong đó

a1 6= 0 và các vị trí còn lại thỏa mãn yêu cầu bài toán) Khi đó, mỗi số x

tương ứng với một hoán vị của chín phần tửa1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8, a9

Số các hoán vị khác của chín phần tửai(1 ≤ i ≤ 9)là9!doa2 = a8 =

4, nên khi đổi chỗ a2 và a8 cho nhau, thì hoán vị a1a2a3a4a5a6a7a8a9

vẫn chỉ cho số x Tương tự, đổi chỗ hai trong ba phần tử a4, a6, a9 chonhau vẫn chỉ cho ta số x

Như vậy, khi ta thực hiện 2! hoán vị a2, a8 và 3! hoán vị a4, a6, a9, tachỉ được một số cần tìm x

Pn(k, n − k) = Cnk

Thật vậy, chứng minh đẳng thức này không dựa vào công thức hoán

vị có lặp của n phần tử thuộc k loại, mà các phần tử thuộc loại k(0 ≤ k ≤ n) xuất hiện nk lần Một hoán vị có lặp của hai phần tử của

n phần tử là (k, n − k) được tạo thành bởi k phần tử và n − k phần tử

Nó hoàn toàn xác định bởi cách chọn vị trí của phần tử thứ nhất Vìtổng số vị trí bằng k + n − k = n, và phần tử thứ nhất chiếm k vị trí,nên có thể chọn các vị trí theo Cnk cách

Ví dụ 1.1.5 ([8]) Có bao nhiêu cách đặt 2 đèn xanh và 4 đèn đỏ thànhmột hàng?

Lời giải Mỗi cách đặt 2 đèn xanh và 4 đèn đỏ thành một hàng là mộthoán vị có lặp của hai phần tử của 6 phần tử là (2, 4) Vậy số cách đặt

2 đèn và 4 đèn thành một hàng bằng số hoán vị lặp hai phần tử của 6phần tử là (2, 4) và bằng

(2, 4) = C62 = 6.5

1.2 = 15.

Vậy có 15 cách đặt hai đèn xanh và bốn đèn đỏ thành một hàng.

c Hoán vị vòng quanh

Định nghĩa 1.1.3 Cho n phần tử, số hoán vị vòng quanh của n phần

tử khác nhau (Qn) được tính bằng công thức

Qn = (n − 1)!

Ví dụ 1.1.6 ([8]) Một hội nghị bàn tròn có năm nước tham gia: Anh

có 3 đại biểu, Pháp có 5 đại biểu, Đức có 2 đại biểu, Nhật có 3 đại biểu

và Mỹ có 4 đại biểu Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho các đạibiểu sao cho 2 người cùng quốc tịch ngồi cùng nhau?

Lời giải Đầu tiên ta sắp xếp khu vực cho đại biểu từng nước Ta mờimột phái đoàn nào đó ngồi vào chỗ trước Khi đó, bốn phái đoàn cònlại có 4! cách sắp xếp Đối với mỗi cách sắp xếp các phái đoàn lại có:

3! cách sắp xếp các đại biểu trong nội bộ phái đoàn Anh;

5! cách sắp xếp các đại biểu trong nội bộ phái đoàn Pháp;

2! cách sắp xếp các đại biểu trong nội bộ phái đoàn Đức;

3! cách sắp xếp các đại biểu trong nội bộ phái đoàn Nhật;

4! cách sắp xếp các đại biểu trong nội bộ phái đoàn Mỹ

Bởi vậy, số cách sắp xếp chỗ ngồi cho tất cả các đại biểu để những ngườicùng quốc tịch ngồi cạnh nhau sẽ bằng

Kí hiệu số chỉnh hợp chập k của n phần tử bằng Akn

Số chỉnh hợp chập k của n phần tử được tính bằng công thức

Akn = n(n − 1) (n − k + 1) = n!

(n − k)!·

Ví dụ 1.1.7 ([3]) Một cuộc khiêu vũ có 10 nam và 6 nữ tham gia Đạodiễn chọn có thứ tự 4 nam và 4 nữ để ghép thành 4 cặp Hỏi có baonhiêu cách chọn?

Lời giải Chọn có thứ tự 4 nam trong 10 nam là chỉnh hợp chập 4 của

A46 = 6!

(6 − 4)! = 360.

Vậy có 360 cách chọn bốn nữ

Mỗi cách chọn nam lại tương ứng với tất cả các cách chọn nữ, nên

ta có số cách chọn có thứ tự 4 nam, 4 nữ trong số nam nữ tham gia hộidiễn sẽ là 5040.360 = 1814400 cách chọn

Ví dụ 1.1.8 ([3]) Có thể lập được bao nhiêu biển số xe với hai chữ

số đầu thuộc tập A, B, C, D, E, tiếp theo là một số nguyên dương gồmnăm chữ số chia hết cho 5?

Lời giải Giả sử một biển số xe nào đó có dạng XY abcdf Vì X,Y có thểtrùng nhau nênXY là chỉnh hợp lặp chập 2 của 5 phần tửA, B, C, D, E,nên số cách chọn XY bằng A25 = 52 = 25

Do a 6= 0, nên có 9 cách chọn a là các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Vì abcdf chia hết cho 5 nên f = 0 hoặc f = 5, do đó có 2 cách chọn f

Do b, c, d có thể trùng nhau, nên mỗi số bcd là một chỉnh hợp chập

3 của 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Bởi vậy, số cách chọn bcd là

(i) Số nam hoặc nữ trong ban cán sự là tùy ý?

(ii) Ban cán sự có 1 nam và 3 nữ?

Lời giải (i) Nếu số nam (nữ) là tùy ý, thì số cách chọn là tổ hợp chập

4 của 40 phần tử, tức bằng

C404 = 40!

4!36! = 91390.

Vậy có 92390 cách chọn ban cán sự với số nam hoặc nữ tùy ý

(ii) Nếu trong ban cán sự có 1 nam, 3 nữ, thì số cách chọn 1 nam trong

số 25 nam là C251 , còn số cách chọn 3 nữ trong số 15 nữ là C153 Theoquy tắc nhân, ta có

C251 C153 = 25!

1!24! · 15!

3!12! = 11375.

Vậy có 11375 cách chọn ban cán sự có một nam và ba nữ.

b Tổ hợp có lặp

Định nghĩa 1.1.7 Cho tập hợp A = {a1, a2, , an} Một tổ hợp lặpchập m (m không nhất thiết phải nhỏ hơn n) của n phần tử thuộc A làmột bộ gồm m phần tử, mà mỗi phần tử này là một trong những phần

tử của A

Kí hiệu số tổ hợp lặp chập m của n phần tử Cm

n và được tính bằngcông thức

Cm

n = Cn+m−1m

Ví dụ 1.1.10 ([8]) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lặp được bao nhiêu

số, sao cho trong mỗi số đó số chữ số nhỏ hơn hoặc bằng 5 và các chữ

số được sắp xếp theo một thứ tự không giảm?

Lời giải Bài toán chung quy là tìm tổng số các tổ hợp có lặp chập 1,chập 2, chập 3, chập 4, chập 5 của 5 chữ số đã cho Ta có:

Tính chất 1.1.2 Cho các số nguyên n và k với 1 ≤ k ≤ n Khi đó

Tính chất 1.1.3 Nhị thức Niutơn là công thức khai triển biểu thức

(a + b)n với n nguyên dương dưới dạng đa thức

Ví dụ 1.1.11 ([2]) (Đề thi đại học khối A, 2006 ) Tìm hệ số của sốhạng chứa x26 trong khai triển nhị thức Niutơn của

Từ giả thiết ta suy ra 22n − 1 = 220 − 1 hay n = 10

Theo công thức khai triển của nhị thức Niutơn ta có

Vậy hệ số của số hạng chứa x26 là C106 = 210

1.1.5 Công thức tính số phần tử của hợp hai hoặc ba tập

hợp

Trường hợp hai tập hợp Cho hai tập hợp A và B Ta tính số phần

tử của A ∪ B trong các trường hợp:

*) Nếu A và B là hai tập hợp rời nhau thì

Trường hơp tổng quát Cho các tâp hợp A1, A2, , An Khi đó, tacó

Chứng minh Chứng minh bằng phương pháp quy nạp theo n

Với n = 1 hiển nhiên ta được đẳng thức đúng

Với n = 2, ta cũng kiểm tra thấy đẳng thức trên cũng đúng

Ta giả sử đẳng thức cũng đúng với n > 2, ta được tập hợp tùy ý

Sử dụng đẳng thức tính số phần tử của n tập hợp ta thu được

|(A1∪A2∪ .∪An)∩An+1| =

có 48 thí sinh giải được câu Số học, 40 thí sinh giải được câu Giải tích,

32 thí sinh giải được câu Hình học Có 57 thí sinh giải được câu Số họchoặc Giải tích, 50 thí sinh giải được câu Giải tích và câu Hình học, 25thí sinh giải được cả hai câu Số học và câu Hình học, 15 thí sinh giảiđược cả ba câu Hỏi có bao nhiêu thí sinh không giải được câu nào?

Lời giải Gọi T là tập hợp tất cả các thí sinh; A, B, C lần lượt là tậphợp các thí sinh giải được câu Số học, Giải tích, Hình học

1.2 Xác suất

1.2.1 Biến cố

I) Phép thử ngẫu nhiên và không gian mẫu

Định nghĩa 1.2.1 Phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt là phép thử) là mộtthí nghiệm hay hành động mà kết quả của nó không đoán trước đượcnhưng có thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy racủa phép thử đó

Phép thử thường được kí hiệu bởi chữ T

Định nghĩa 1.2.2 Không gian mẫu của phép thử là tập hợp tất cả cáckết quả có thể xảy ra của phép thử và được kí hiệu Ω

Số phần tử của không gian mẫu kí hiệu n(Ω)

Ví dụ 1.2.1 Cho phép thử T là gieo ngẫu nhiên ba đồng xu cân đốiđồng chất phân biệt

Nếu kí hiệu S để chỉ đồng xu xuất hiện mặt sấp và N để chỉ đồng

xu xuất hiện mặt ngửa thì không gian mẫu của phép thử đó là

Ω = {SSN, SN S, N SS, N N S, N SN, SN N, SSS, N N N }

II) Biến cố

Định nghĩa 1.2.3 Biến cố A liên quan đến phép thử T là biến cố màviệc xảy ra hay không xảy ra của A tùy thuộc vào kết quả của T.Mỗi kết quả của phép thử T làm cho A xảy ra, được gọi là một kếtquả thuận lợi cho A

Tập hợp các kết quả thuận lợi cho A được kí hiệu là ΩA Số kết quảthuận lợi cho biến cố A kí hiệu là n(ΩA)

Định nghĩa 1.2.4 Biến cố chắc chắn là biến cô luôn xảy ra khi thựchiện phép thử T

Biến cố chắc chắn được mô tả bởi tập Ω

Định nghĩa 1.2.5 Biến cố không thể là biến cố không bao giờ xảy rakhi phép thử T được thực hiện và không có một kết quả thuận lợi nàocho biến cố không thể Biến cố không thể được mô tả bởi tập ∅.

Ví dụ 1.2.2 Xét phép thử T là "Gieo một con xúc sắc cân đối đồngchất"

Ta được không gian mẫu là Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

+ Xét biến cố A "Số chấm trên mặt xuất hiện là từ 1 đến 6" Biến cố A

xảy ra khi và chỉ khi kết quả của phép thử T là 1, hoặc 2, hoặc 3, hoặc

4, hoặc 5, hoặc 6 Các kết quả này là các kết quả thuận lợi cho A Do

đó biến cố A được mô tả bởi ΩA = Ω Ta nói biến cố A là biến cố chắcchắn

+ Xét biến cố B "Số chấm trên mặt xuất hiện là 7 chấm" Biến cố B

không thể xảy ra vì con súc sắc chỉ có thể xuất hiện từ mặt 1 chấm đếnmặt 6 chấm Do đó không có một kết quả thuận lợi nào cho biến cố B

nên ΩB = ∅ Ta nói biến cố B là biến cố không thể

III) Xác suất của biến cố

Định nghĩa 1.2.6 Giả sử phép thửT có không gian mẫu Ω là một tậphữu hạn và các kết quả của T là đồng khả năng Nếu A là một biến cốliên quan với phép thử T và ΩA là tập hợp các kết quả thuận lợi cho A

thì xác suất của A là một số, kí hiệu là P (A), được xác định bởi côngthức

Số lần xuất hiện biến cố Ađược gọi là tần số của Atrong N lần thựchiện phép thử T

Tỉ số giữa tần số của A với số N được gọi là tần suất của A trongN

2 rô, 2 cơ, 2 bích và 2 nhép) làm thành một bộ 2; bốn quân 3 (gồm 3

rô, 3 cơ, 3 bích và 3 nhép) làm thành một bộ 3; ; bốn quân át (gồm

át rô, át cơ, át bích và át nhép) làm thành một bộ át Chọn ngẫu nhiên

5 quân bài Tính xác suất để trong 5 quân bài đó ta có một bộ

Định nghĩa 1.2.9 Cho k biến cố A1, A2, , Ak Biến cố "Có ít nhấtmột trong các biến cốA1, A2, , Ak xảy ra", kí hiệu làA1∪A2∪ .∪Ak,được gọi là hợp của k biến cố đó.

Định nghĩa 1.2.10 Cho hai biến cố A và B Hai biến cố A và B đượcgọi là xung khắc nếu biến cố này xảy ra thì biến cố kia không xảy ra

Quy tắc cộng xác suất Cho k biến cố A1, A2, , Ak đôi một xungkhắc Khi đó

P (A1 ∪ A2 ∪ ∪ Ak) = P (A1) + P (A2) + · · · + P (Ak)

Định nghĩa 1.2.11 Cho A là biến cố Khi đó biến cố "Không xảy ra

A", kí hiệu là A, được gọi là biến cố đối của A

Chú ý 1.2.2 Hai biến cố đối nhau là hai biến cố xung khắc Tuy nhiênhai biến cố xung khắc chưa chắc là hai biến cố đối nhau

Định lý 1.2.1 Cho biến cố A Xác suất của biến cố đối A là

P (A) = 1 − P (A)

Ví dụ 1.2.4 ([6]) Một hộp đựng 4 viên bi xanh, 3 viên bi đỏ và 2 viên

bi vàng Chọn ngẫu nhiên 2 viên bi

(i) Tính xác suất để chọn được 2 viên bi cùng màu

(ii) Tính xác suất để chọn được 2 viên bi khác màu

Lời giải.(i) Gọi A là biến cố "Chọn được hai viên bi xanh",

Gọi B là biến cố "Chọn được hai viên bi đỏ",

Gọi C là biến cố "Chọn được hai viên bi vàng"

vàH là biến cố "Chọn được hai viên bi cùng màu" Ta cóH = A∪B ∪C

và các biến cố A, B, C đôi một xung khắc Theo quy tắc cộng xác suất,có

P (H) = P (A ∪ B ∪ C) = P (A) + P (B) + P (C)

Ta có

P (A) = C

2 4

b.Quy tắc nhân xác suất

Định nghĩa 1.2.12 Cho hai biến cố Avà B Biến cố "Cả A và B cùngxảy ra", kí hiệu là AB, được gọi là giao của hai biến cố A và B

Nếu ΩA và ΩB lần lượt là tập hợp các kết quả thuận lợi cho A và Bthì tập hợp các kết quả thuận lợi cho AB là ΩA ∩ ΩB

Tổng quát, ta có

Định nghĩa 1.2.13 Cho k biến cố A1, A2, , Ak Biến cố "Tất cả k

biến cố A1, A2, , Ak đều xảy ra", kí hiệu là A1A2 Ak, được gọi làgiao của k biến cố đó

Định nghĩa 1.2.14 Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhaunếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởngtới xác suất xảy ra của biến cố kia

Nếu hai biến cố A, B độc lập với nhau thì A và B; A và B; A và B

cũng độc lập với nhau

Tổng quát, ta có

Định nghĩa 1.2.15 Cho k biến cố A1, A2, , Ak; biến cố này đượcgọi là độc lập với nhau nếu xảy ra hay không xảy ra mỗi biến cố khônglàm ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của các biến cố còn lại

Quy tắc nhân xác suất Nếu k biến cố A1, A2, , Ak độc lập vớinhau thì

P (A1A2 Ak) = P (A1)P (A2) P (Ak)

Ví dụ 1.2.5 ([5]) Gieo ba đồng xu cân đối đồng chất một cách độc lập.Tính xác suất để:

(ii) Gọi H là biến cố "Có ít nhất một đồng xu xuất hiện mặt sấp" Biến

cố đối của biến cố H là H "Cả ba đồng xu đều xuất hiện mặt ngửa".Tương tự câu (i) ta có

8·

c Công thức xác suất có điều kiện

Định nghĩa 1.2.16 Giả sử A là một biến cố, B là một biến cố khác.Xác suất của B được tính trong điều kiện biết rằng A đã xảy ra đượcgọi là xác suất của B với điều kiện A và được kí hiệu là P (B/A)

Khi đó xác suất có điều kiện P (A/B) được tính bằng công thức

P (B/A) = P (AB)

P (A) , (P (A) 6= 0).

Từ đó suy ra

P (AB) = P (A)P (B/A)

Tổng quát Với n biến cố bất kì A1, A2, , An ta có

6·

d Công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayet

Định nghĩa 1.2.17 Các biến cố B1, B2, , Bn được gọi là một hệ đầy

đủ các biến cố nếu chúng đôi một xung khắc với nhau (BiBj = ∅ nếu

Lời giải Gọi A là biến cố "Sản phẩm được lấy ra ở phân xưởng I";

B là biến cố "Sản phẩm được lấy ra ở phân xưởng II";

C là biến cố "Sản phẩm được lấy ra ở phân xưởng III";

H là biến cố "Sản phẩm đó là sản phẩm hỏng"

Chứng minh Theo quy tắc nhân xác suất ta có

P (A)P (Bk/A) = P (ABk); P (Bk)P (A/Bk) = P (ABk)

Ví dụ 1.2.8 ([7]) Một phiên tòa đang xem xét các khả năng của một

sự kiện T rất hiếm khi gặp Thông kê cho thấy P (T ) = 10−3 Hai nhânchứng A và B được mời đến phiên tòa Tòa cũng biết được độ tin cậycủa lời khai của A và B, họ nói đúng với xác suất 0,9 Giả sử A và Bđộc lập với nhau đều tuyên bố rằng T xảy ra Khi đó tòa cần đánh giáxác suất xảy ra của T là bao nhiêu?

Lời giải Gọi A là biến cố "Nhân chứng A tuyên rằng T xảy ra ";

B là biến cố "Nhân chứng B tuyên rằng T xảy ra "

Theo công thức Bayet

Vậy sau lời khai của A và B thì xác suất để T xảy ra là 7, 5%

e Công thức Becnuli Giả sử có một phép thử T và một biến cố A

liên quan tới phép thử đó Xác suất xuất hiện A là p Ta thực hiện phépthử T n lần một cách độc lập Khi đó, ta có

Định lý 1.2.4 (Công thức Becnuli) Pk(n; p) là xác suất để trong mộtdãy n phép thử độc lập biến cố A xuất hiện đúng k lần

Pk(n; p) = Cnkpkqn−k,

trong đó p = P (A), q = P (A) = 1 − p

Ví dụ 1.2.9 ([7]) Xác suất thành công của một thí nghiệm sinh hóa

là 40% Một nhóm gồm 9 sinh viên tiến hành cùng thí nghiệm trên độc

Chương 2

Các bài toán Tổ hợp

Các bài toán tổ hợp (hay còn gọi là các bài toán về Đại số tổ hợp)chiếm một vị trí quan trọng trong chương trình giảng dạy và học tậpcủa bộ môn Toán ở nhà trường phổ thông Đối tượng của các bài toánnày liên quan đến một tập hợp hữu hạn các phần tử Các vấn đề liênquan đến lí thuyết tổ hợp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và líthú của bộ môn Toán Bởi vì, nó có nội dung phong phú và được ứngdụng nhiều trong thực tế đời sống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng xuấthiện trong rất nhiều bài toán lí thú với độ khó khá cao Mặc dù, trongchương một đã giới thiệu một số ví dụ ứng với từng đơn vị kiến thức.Trong chương này xin giới thiệu tiếp các dạng bài toán tổ hợp để bạnđọc hiểu sâu, rộng hơn về vấn đề này Nội dung của chương chủ yếuđược hình thành từ các tài liệu [1], [2], [3], [4], [6] và [8]

2.1 Các dạng bài toán tổ hợp

Bài toán 2.1.1 ([3]) Cho tập X = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, từ các chữ số làphần tử của tập X có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ sốkhác nhau và chữ số 2 đứng cạnh chữ số 3

Lời giải Ta "dán" hai chữ số 2 và 3 liền với nhau thành chữ số kép Cóhai cách "dán" (23 hoặc 32) Bài toán lập số có 6 chữ số về bài toán lập

số có 5 chữ: 0, 1, 4, 5, số kép Hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiênmỗi số có 5 chữ số khác nhau

Gọi số có 5 chữ số khác nhau là abcde (a, b, c, d, e ∈ {0, 1, 4, 5, sốkép}, a 6= 0).

Theo quy tắc nhân, ta được các số cần tìm là 4.4.3.2.1.2 = 192

Vậy có 192 số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau và có chữ số 2 đứngcạnh chữ số 3

Bài toán 2.1.2 ([6]) Cho tập A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, từ các chữ số làcác phần tử của tập A có thể lập được bao nhiêu số có:

(i) 5 chữ số khác nhau mà là số chẵn

(ii) 5 chữ số khác nhau mà mỗi số lập được đều nhỏ hơn 25000

(iii) 3 chữ số khác nhau chia hết cho 3

Lời giải (i) Gọi số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau làabcde (a, b, c, d, e ∈

Theo quy tắc nhân, có 3.5.5.4.3 = 900 cách

Theo quy tắc cộng, ta được 360 + 900 = 1260 cách

Vậy có 600 số có 5 chữ số khác nhau nhỏ hơn 25000.

(iii) Gọi số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau là abc (a, b, c ∈ A, a 6= 0)

Do số đó chia hết cho 3 nên cóa+b+cphải chia hết cho 3 Ta có các cặp

Theo quy tắc nhân, có 2.2.1 = 4 cách

Tương tự với các cặp (0, 1, 5); (0, 2, 4); (0, 3, 6); (0, 4, 5) mỗi cặp có 4

Vậy có 68 số có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 3.

Bài toán 2.1.3 ([8]) Có 15 quả cầu đôi một khác nhau, trong đó có 4quả màu vàng, 5 quả màu xanh, 6 quả màu đỏ Có bao nhiêu cách chọn

ra 10 quả cầu sao cho trong các quả cầu còn lại có đủ ba màu?

Lời giải Gọi A là tập hợp các cách chọn ra 10 quả cầu; V, X, Đ theothứ tự là tập hợp các cách chọn ra 10 quả cầu mà trong đó các quả cầucòn lại không có quả nào màu vàng, xanh, đỏ; n là số cách chọn 10 quảcầu thỏa mãn yêu cầu Ta có:

Lời giải Gọi A là tập hợp cách chọn đề có 3 câu dễ, 1 câu khó, 1 câutrung bình.

B là tập hợp cách chọn đề có 2 câu dễ, 2 câu khó, 1 câu trung bình

C là tập hợp cách chọn đề có 2 câu dễ, 1 câu khó, 2 câu trung bình

D là tập hợp cách chọn để thỏa mãn yêu cầu đề bài đề ra Ta có

Vậy có |D| = 22750 + 10500 + 23625 cách chọn đề kiểm tra

Bài toán 2.1.6 ([2]) (Đề thi Đại học - Cao đẳng khối D, 2006 ) Độithanh niên xung kích của một trường phổ thông có 12 học sinh gồm 5

học sinh lớp T, 4 học sinh lớp L và 3 học sinh lớp H Cần chọn 4 họcsinh đi làm nhiệm vụ, sao cho 4 học sinh thuộc không quá 2 trong 3 lớptrên Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy.

Lời giải Gọi A là tập hợp cách chọn 4 học sinh trong 12 học sinh.Gọi B là tập hợp cách chọn không thỏa mãn yêu cầu đề bài (tức là chọn

Vậy có 225 cách chọn 4 học sinh thỏa mãn yêu cầu đề bài

Bài toán 2.1.7 ([1]) Một đội văn nghệ có 10 người, trong đó 4 nam và

6 nữ Hỏi có bao nhiêu cách

(i) Chia thành 2 nhóm sao cho số nữ ở mỗi nhóm bằng nhau?

(ii) Chọn ra 4 người có cả nam và nữ?

(iii) Chọn ra 5 người mà trong đó không có quá 2 nam?

Lời giải (i) Để chia 4 nam và 6 nữ thành 2 nhóm sao cho số nữ ở mỗinhóm bằng nhau nên mỗi nhóm có 3 nữ và có 2 nam

Chọn 2 nam có C42 = 6 cách

Chọn 3 nữ có C63 = 20 cách

Theo quy tắc nhân, có 6.20 = 120 cách

Vậy có 120 cách chia thành 2 nhóm

(ii) Để chọn 4 người có cả nam và nữ nên có các trường hợp:

*) Trường hợp 1 Trong 4 người được chọn có 1 nam và 3 nữ

Chọn 1 nam có C41 = 4 cách.

Chọn 3 nữ có C63 = 20 cách

Theo quy tắc nhân, có 6.20 = 80 cách

*) Trường hợp 2 Trong 4 người được chọn có 2 nam và 2 nữ

Chọn 2 nam có C42 = 6 cách

Chọn 2 nữ có C62 = 15 cách

Theo quy tắc nhân, có 6.15 = 90 cách

*) Trường hợp 3 Trong 4 người được chọn có 3 nam và 1 nữ

Chọn 3 nam có C43 = 4 cách

Chọn 1 nữ có C61 = 6 cách

Theo quy tắc nhân, có 6.4 = 24 cách

Theo quy tắc cộng, có 80 + 90 + 24 = 194 cách

Vậy có 194 cách chọn 4 học sinh có cả nam và nữ

(iii) Để chọn 5 người mà không có quá 2 nam nữ có các trường hợp:

*) Trường hợp 1 Trong 5 người được chọn có 0 nam và 5 nữ

Chọn 0 nam có C40 = 1 cách

Chọn 5 nữ có C65 = 6 cách

Theo quy tắc nhân, có 1.6 = 6 cách

*) Trường hợp 2 Trong 5 người được chọn có 1 nam và 4 nữ

Chọn 1 nam có C41 = 4 cách

Chọn 4 nữ có C64 = 15 cách

Theo quy tắc nhân, có 4.15 = 60 cách

*) Trường hợp 3 Trong 5 người được chọn có 2 nam và 3 nữ

Chọn 2 nam có C42 = 6 cách

Chọn 3 nữ có C63 = 20 cách

Theo quy tắc nhân, có 6.20 = 120 cách

Theo quy tắc cộng, có 6 + 60 + 120 = 186 cách

Vậy có 186 cách chọn 4 học sinh có cả nam và nữ

Bài toán 2.1.8 ([3]) Một lớp có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ.Giáo viên chủ nhiệm định chọn một ban cán sự lớp gồm 4 học sinh Hỏi

có bao nhiêu cách chọn nếu:

(i) Ban cán sự có 2 nam và 2 nữ?

(ii) Ban cán sự có nhất 1 nam?

(iii) Ban cán sự có ít nhất 1 nam và 1 nữ?

Lời giải (i) Số cách chọn 4 học sinh trong ban cán sự gồm 2 nam và 2

nữ là

C252 C152 = 25!

2!23! · 15!

2!13! = 31500.

Vậy có 31500 cách chọn ban cán sự có hai nam và hai nữ

(ii) Nếu trong ban cán sự có ít nhất 1 nam, thì có 4 khả năng xảy ra:

Vậy số cách chọn để ban cán sự có ít nhất một nam và ít nhất một

nữ là C404 − (C4

25 + C154 ) = 77375 cách chọn

Bài toán 2.1.9 ([2]) Một thầy giáo có 12 cuốn sách đôi một khác nhautrong đó có 5 cuốn sách Văn học, 4 cuốn sách Âm nhạc và 3 cuốn sáchHội họa Thầy muốn lấy ra 6 cuốn và đem tặng cho 6 học sinh, mỗi họcsinh một cuốn

(i) Nếu thầy giáo chỉ tặng cho các học sinh trên những cuốn thuộchai loại Văn học và Âm nhạc Hỏi có bao nhiêu cách tặng?

(ii) Nếu thầy giáo muốn rằng khi tặng sách xong, mỗi một trong bathể loại Văn học, Âm nhạc, Hội họa đều còn lại ít nhất một cuốn Hỏi

Gọi B là tập hợp tất cả các cách tặng sách không thỏa mãn yêu cầu(tức là sau khi tặng sách trên giá không còn 3 thể loại).

Gọi C là tập hợp cách tặng sách thỏa mãn yêu cầu đề bài

B = B1 ∪ B2 ∪ B3,

trong đó B1, B2, B3 tương ứng là tập hợp tất cả các cách tặng sách màsau khi tặng xong trên giá có sách Văn học, hết sách Âm nhạc, hết sáchHội họa

B1 là tập hợp tất cả cách tặng 5 sách Văn học và 1 sách khác Lậpluận như trên, ta có

|C| = 665280 − 85680 = 579600

Vậy có 579600 cách tặng sách

Bài toán 2.1.10 ([6]) Trong một toa tàu có 2 ghế xa lông đối mặtnhau, mỗi ghế có 4 chỗ ngồi Tổng số 8 hành khách, thì 3 người muốnngồi nhìn theo hướng tàu chạy, còn 2 người thì muốn ngồi ngược lại, 3người còn lại không có yêu cầu gì Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ đểthỏa mãn các yêu cầu của khách?

Vậy có tất cả 1728 cách sắp xếp cho 8 hành khách đi tàu

Bài toán 2.1.11 ([6]) Có 8 người trong thang máy của một ngôi nhà

6 tầng Họ đi ra theo ba nhóm: 1 người, 3 người và 4 người Hỏi có baonhiêu cách thực hiện việc đó, nếu ở mỗi tầng chỉ có một nhóm đi ra vàthứ tự đi ra của các người trong một nhóm không có ý nghĩa gì?