Xây dựng mối quan hệ giữa các bài toán tổ hợp và xác suất

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - DƯƠNG NGỌC ÁNH XÂY DỰNG MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC BÀI TOÁN TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS NGUYỄN MINH TUẤN HÀ NỘI - NĂM 2015 Mục lục Mở đầu Tổ hợp Xác suất 1.1 Tổ hợp 1.1.1 Phép đếm 1.1.2 Hoán vị 1.1.3 Chỉnh hợp 11 1.1.4 Tổ hợp 13 1.1.5 Công thức tính số phần tử hợp hai ba tập hợp Xác suất 19 1.2.1 Biến cố 19 1.2.2 1.2 16 Các quy tắc tính xác suất 21 Các toán Tổ hợp 30 2.1 Các dạng toán tổ hợp 30 2.2 Bài tập vận dụng 48 Các toán Xác suất 3.1 53 Một số dạng toán làm rõ mối quan hệ toán tổ hợp xác suất 53 3.2 Các dạng toán xác suất 69 3.3 Bài tập vận dụng 79 Kết luận 85 Tài liệu tham khảo 86 Mở đầu Trong năm gần đây, nhu cầu phải tìm ứng dụng Toán học sống ngày trở nên quan trọng cấp thiết Một cách tự nhiên lĩnh vực, mà Toán học dễ tìm thấy ứng dụng dạng toán thực tế đưa đến hấp dẫn lý thú cho người học Toán Toán Tổ hợp Xác suất ngành Toán học có nhiều ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực khoa học, công nghệ, kinh tế, Đặc biệt, có nhiều nội dung đa dạng, phong phú ứng dụng rộng rãi thực tế đời sống Trong toán sơ cấp, lý thuyết Tổ hợp Xác suất đưa vào giảng dạy chương trình Toán trung học phổ thông nhằm cung cấp cho học sinh kiến thức ngành Toán học quan trọng Tổ hợp Xác suất xuất nhiều toán lý thú với độ khó cao, giải toán Tổ hợp Xác suất người quan tâm cảm thấy hấp dẫn, bổ ích đòi hỏi phải có tư duy, suy luận độc đáo xác Đặc biệt, chiếm vị trí quan trọng kỳ thi tốt nghiệp, cao đẳng, đại học thi học sinh giỏi Với thân giáo viên dạy môn Toán trung học phổ thông nhiều năm Khi giảng dạy đến chuyên đề này, mong muốn người thầy đóng vai trò điều khiển học sinh chủ động chiếm lĩnh kiến thức, vận dụng sáng tạo kiến thức để đưa lời giải hay cho toán Tổ hợp Xác suất Từ thấy chúng có mối quan hệ mật thiết với Chính nghiên cứu đưa luận văn "Xây dựng mối quan hệ toán Tổ hợp Xác suất" Luận văn nhằm bắt đầu tìm hiểu định nghĩa, tính chất lý thuyết Tổ hợp Xác suất Từ kiến thức vận dụng vào giải dạng tập ứng với đơn vị kiến thức giới thiệu Luận văn chia làm ba chương với nội dung: Chương Tổ hợp Xác suất Chương trình bày kiến thức lý thuyết Tổ hợp Xác suất: phép đếm, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, tính chất tổ hợp, biến cố, quy tắc tính xác suất Bên cạnh đó, có ví dụ minh họa cho đơn vị kiến thức Chương Các dạng toán Tổ hợp Chương trình bày tiếp tục 20 toán thực tế với lời giải chi tiết, minh họa cho đơn vị kiến thức Tổ hợp đưa chương 30 toán vận dụng Chương Các dạng toán Xác suất Chương trình bày 20 toán thực tế với lời giải chi tiết, minh họa cho đơn vị kiến thức Xác suất đưa chương một, có 10 toán đưa mối quan hệ toán Tổ hợp Xác suất Đó 10 toán phần tập vận dụng chương với vận dụng linh hoạt sáng tạo chuyển thành 10 toán xác suất với số khả thuận lời biến cố kết toán tổ hợp Trong xin giới thiệu toán tính phần trăm toán xác suất với 30 toán vận dụng Luận văn hoàn thành với hướng dẫn tận tình PGS TS Nguyễn Minh Tuấn - Trường Đại học Giáo Dục - ĐHQG Hà Nội với nỗ lực thân giúp đỡ động viên thầy cô, đồng nghiệp bạn bè Qua đây, tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc tới Thầy hướng dẫn bảo suốt thời gian qua Đồng thời tác giả xin cảm ơn đến Ban giám hiệu, thầy cô trường THPT Yên Viên tạo điều kiện cho tác giả hoàn thành luận văn Xin cảm ơn gia đình, người thân, bạn bè động viên giúp đỡ suốt trình làm luận văn Cuối cùng, cố gắng thời gian kiến thức lý luận hạn chế nên luận văn không tránh khỏi sai sót Tác giả mong nhận đóng góp từ thầy cô, bạn bè, đồng nghiệp để hoàn thiện Hà Nội, ngày 10 tháng 10 năm 2015 Tác giả Dương Ngọc Ánh Chương Tổ hợp Xác suất Trong chương đưa kiến thức lý thuyết Tổ hợp Xác suất: phép đếm, hoán vị, tổ hợp, tính chất tổ hợp, biến cố, xác suất biến cố, quy tắc tính xác suất Bên cạnh kiến thức ví dụ toán thực tế ứng với đơn vị kiến thức Nội dung chương chủ yếu hình thành từ tài liệu [1], [3], [5], [7] [8] 1.1 1.1.1 Tổ hợp Phép đếm a Quy tắc cộng Nếu có m1 cách chọn đối tượng a1 , m2 cách chọn đối tượng a2 , , mn cách chọn đối tượng an , cách chọn đối tượng (1 ≤ i ≤ n) không phụ thuộc vào cách chọn đối tượng aj (1 ≤ j ≤ n, n i = j), có mk cách chọn đối tượng a1 , a2 , , an k=1 Để vận dụng có hiệu quả, ta chuyển thể quy tắc sang ngôn ngữ tập hợp sau: Cho n tập hợp Ak (1 ≤ k ≤ n) với |Ak | = mk ∀i, j (1 ≤ i, j ≤ n) Ai ∩ Aj = ∅, i = j Khi số cách chọn a1 , a2 , , an n n Ak | số cách chọn phần tử a thuộc k=1 n Ak | = k=1 |Ak | k=1 Ví dụ 1.1.1 ([3]) Cho tập A = {0; 1; 2; 3; 4; 5} lập số có bốn chữ số khác từ tập A số thiết phải có chữ số 1? Lời giải Gọi số phải tìm abcd (a, b, c, d ∈ A; a = 0) Vì số abcd thiết phải có chữ số 1, nên ta xét tập A1 , A2 , A3 , A4 tập số dạng 1bcd, a1cd, ab1d, abc1 tương ứng Xét A1 lập số 1bcd có: b ∈ A \ {1} có cách chọn c ∈ A \ {1, b} có cách chọn d ∈ A \ {1, b, c} có cách chọn Bởi vậy, số khả lập số 1bcd 5.4.3 = 60 hay |A1 | = 60 Xét A2 , A3 , A4 i) Xét A2 lập số a1cd có: a ∈ A \ {0, 1} có cách chọn c ∈ A \ {1, a} có cách chọn d ∈ A \ {1, a, c} có cách chọn Bởi vậy, số khả lập số 1bcd 4.4.3 = 48 hay |A2 | = 48 Tương tự, ta có |A3 | = |A4 | = 48 ii) Vì số thuộc dạng khác khác nhau, nên ∀i, j (1 ≤ i, j ≤ 4; i = j) có A1 ∩ Aj = ∅ Bởi vậy, số số cần tìm tính quy tắc cộng, nghĩa |A1 | + |A2 | + |A3 | + |A4 | = 60 + 48 + 48 + 48 = 204 b Quy tắc nhân Cho n đối tượng a1 , a2 , , an Nếu có m1 cách chọn đối tượng a1 với cách chọn a1 có m2 cách chọn đối tượng a2 , sau với cách chọn a1 , a2 có m3 cách chọn a3 , Cuối với cách chọn a1 , a2 , , an−1 có mn cách chọn đối tượng an Như có m1 m2 mn−1 mn cách chọn đối tượng a1 , a2 , a3 , , an Tương tự quy tắc cộng, ta chuyển quy tắc nhân sang dạng ngôn ngữ tập hợp sau: Giả sử có n tập hợp Ak (1 ≤ k ≤ n) với |Ak | = mk Khi đó, số cách chọn (S) gồm n phần tử (a1 , a2 , , an ) với ∈ Ai (1 ≤ i ≤ n) n S = |A1 × A2 × · · · × An | = m1 × m2 × · · · × mn = mk k=1 Ví dụ 1.1.2 ([8]) (Đề thi Đại học QGTP Hồ Chí Minh 1999) Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, dãy có chỗ ngồi Người ta xếp chỗ ngồi cho học sinh trường A học sinh trường B vào bàn Hỏi có cách xếp chỗ ngồi trường hợp sau: i) Bất kì học sinh ngồi cạnh đối diện khác trường ii) Bất kì học sinh ngồi đối diện khác trường Lời giải Đánh số ghế theo hình vẽ sau i) Hai học sinh ngồi cạnh đối diện khác trường Vậy số cách xếp học sinh ngồi cạnh đối diện phải khác trường 12.6.52 42 32 22 12 = 1036800 ii) Hai học sinh ngồi đối diện phải khác trường Vậy số cách xếp hai học sinh ngồi đối diện phải khác 12.6.10.5.8.4.6.3.4.2.2 = 33177600 c Quy tắc trừ Cho A tập hữu hạn B tập A, B phần bù B A ta có |B| = |A − B| = |A| − |B| Chứng minh Thật vậy, A = B ∪ B B ∩ B = ∅ nên theo quy tắc cộng ta có |A| = |B| + |B| Từ suy |B| = |A| − |B| 1.1.2 Hoán vị a Hoán vị không lặp Định nghĩa 1.1.1 Cho tập hợp gồm n (n ≥ 1) phần tử Mỗi cách xếp n phần tử theo thứ tự (mỗi phần tử có mặt lần) gọi hoán vị n phần tử cho Kí hiệu số hoán vị n phần tử Pn Ta có công thức Pn = n! = n(n − 1) (n − k) 3.2.1 Ví dụ 1.1.3 Với năm chữ số 1, 2, 3, 4, lập số gồm năm chữ số khác nhau? Lời giải Vì số cần lập có năm chữ số khác nhau, chữ số xuất số cần lập lần, nên số cần lập hoán vị năm số cho Bởi vậy, số số lập số hoán vị năm phần tử, tức P5 = 5! = 120 b Hoán vị có lặp Định nghĩa 1.1.2 Hoán vị phần tử xuất lần gọi hoán vị lặp Số hoán vị lặp n phần tử thuộc k loại, mà phần tử loại i (1 ≤ i ≤ k) xuất ni lần kí hiệu P (n1 , n2 , , nk ) tính công thức P (n1 , n2 , , nk ) = n! · n1 !n2 ! nk ! Thậy vậy, xét hoán vị có lặp n phần tử thuộc loại k , mà phần tử loại i (1 ≤ i ≤ k) xuất ni lần Nếu ta thay tất phần tử giống phần tử khác nhau, số hoán vị khác n phần tử giống mà ta lập từ hoán vị có lặp xét theo quy tắc nhân n1 !n2 ! nk ! Làm cho hoán vị có lặp n phần tử thuộc loại k , mà phần tử loại i (1 ≤ i ≤ k) xuất ni , ta tìm tất n! hoán vị n phần tử khác Do ta có đẳng thức P (n1 , n2 , , nk )n1 !n2 ! nk ! = n! Từ suy P (n1 , n2 , , nk ) = n! · n1 !n2 ! nk ! Ví dụ 1.1.4 ([3]) Với chữ số 0, 1, 2, 3, 4, lập số gồm chín chữ số, chữ số 0, 1, 2, xuất lần, chữ số xuất hai lần chữ số xuất ba lần? Lời giải Xét số x tùy ý, x = 140525345 kí hiệu vị trí chữ số x cách hình thức, ta có: x = a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 (trong a1 = vị trí lại thỏa mãn yêu cầu toán) Khi đó, số x tương ứng với hoán vị chín phần tử a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , a7 , a8 , a9 Áp dụng công thức cộng công thức nhân xác suất, có P (X) = P (A1 A2 A3 A4 ) + P (A1 A2 A3 A4 ) + P (A1 A2 A3 A4 ) +P (A1 A2 A3 A4 ) = P (A1 )P (A2 )P (A3 )P (A4 ) + P (A1 )P (A2 )P (A3 )P (A4 ) +P (A1 )P (A2 )P (A3 )P (A4 ) + P (A1 )P (A2 )P (A3 )P (A4 ) = 4.0, 4.0, 6.0, 6.0, = 0, 3456 = 34, 56% Vậy khả bắn trúng hồng tâm lần lần bắn người 34, 56% b) Gọi Y biến cố "Người không bắn trúng hồng tâm" Theo công thức nhân xác suất, ta có P (Y ) = P (A1 A2 A3 A4 ) = P (A1 )P (A2 )P (A3 )P (A4 ) = (0, 6)4 = 0, 1296 Gọi H biến cố "Người bắn trúng hồng tâm lần" Xác suất biến cố H P (H) = − P (X) − P (Y ) = − 0, 3456 − 0, 1296 = 0, 5248 = 52, 48% Vậy khả bắn trúng hồng tâm lần lần bắn người 52, 48% Bài toán 3.2.5 ([6]) Có người câu cá, xác suất câu cá người thứ 0,5, xác suất câu cá người thứ hai 0,4, xác suất câu cá người thứ ba 0,2 Tính phần trăm để người thì: a) Có người câu cá b) Có hai người câu cá c) Người thứ ba câu cá d) Có người câu cá Lời giải Gọi A biến cố "Người thứ câu cá" Gọi B biến cố "Người thứ hai câu cá" Gọi C biến cố "Người thứ ba câu cá" Theo đầu ta có P (A) = 0, 5; P (B) = 0, 4; P (C) = 0, 72 Từ suy P (A) = − 0, = 0, 5; P (B) = − 0, = 0, 6; P (C) = − 0, = 0, a) Gọi X biến cố "Có người câu cá" Ta có X = AB C ∪ A BC ∪ A BC Theo công thức cộng công thức nhân xác suất, có xác suất biến cố X P (X) = P (AB C) + P (A BC) + P (A BC) = P (A)P (B)P (C) + P (A)P (B)P (C) + P (A)P (B)P (C) = 0, 5.0, 6.0, + 0, 5.0, 4.0, + 0, 5.0, 6.0, = 0, 46 = 46% Vậy phần trăm để người câu cá ba người 46% b) Gọi Y biến cố "Có hai người câu cá" Y = ABC ∪ ABC ∪ ABC Theo công thức cộng công thức nhân xác suất, có xác suất biến cố Y P (Y ) = P (ABC) + P (ABC) + P (ABC) = P (A)P (B)P (C) + P (A)P (B)P (C) + P (A)P (B)P (C) = 0, 5.0, 4.0, + 0, 5.0, 4.0, + 0, 5.0, 6.0, = 0, 26 = 26% Vậy phần trăm để hai người câu cá ba người 26% c) Gọi H biến cố "Người thứ ba câu cá" H = ABC ∪ ABC ∪ ABC ∪ A BC Theo công thức cộng công thức nhân xác suất, có xác suất biến cố H P (H) = P (ABC) + P (ABC) + P (ABC) + P (A BC) = P (A)P (B)P (C) + P (A)P (B)P (C) + P (A)P (B)P (C) +P (A)P (B)P (C) = 0, 5.0, 4.0, + 0.5.0, 4.0, + 0, 5.0, 6.0, + 0, 5.0, 6.0, = 0, = 20% 73 Vây phần trăm để người thứ ba câu cá 20% d) Gọi E biến cố "Có người câu cá" Ta có, xác suất P (E) = P (A B C) = P (A)P (B)P (C) = 0, 5.0, 6.0, = 0, 24 Do E biến cố đối E , có xác suất biến cố E P (E) = − P (E) = − 0, 24 = 0, 76 = 76% Vậy phần trăm để có người câu cá ba người 76% Bài toán 3.2.6 ([2]) Một thi trắc nghiệm gồm 12 câu hỏi, câu hỏi có câu trả lời, có câu Giả sử câu trả lời điểm câu trả lời sai bị trừ điểm Một học sinh làm cách chọn hú họa câu trả lời Tính xác suất để: a) Học sinh 13 điểm b) Học sinh bị điểm âm Lời giải Gọi x số câu trả lời đúng, (0 ≤ x ≤ 12, x ∈ N ); 12 − x số câu trả lời sai a) Trước hết ta xem để 13 điểm cần phải cần câu trả lời Để 13 điểm, ta cần có 4x − (12 − x) = 13 ⇔ 5x = 25 ⇔ x = Khi đó, đưa toán tính xác suất để học sinh làm câu trả lời Gọi A biến cố "Học sinh trả lời câu đúng" Xác suất để có câu trả lời xác suất chọn câu trả lời sai , ta có xác suất cần tìm P (A) = C12 5 74 ≈ 0, 0532 b) Học sinh bị điểm âm 4x − (12 − x) < ⇔ 5x − 12 < ⇔ x < 12 · Do x nguyên không âm, ta có x = 0; 1; Vậy học sinh bị điểm âm số câu trả lời 0; 1; Gọi B biến cố "Học sinh không trả lời câu nào", ta có 12 P (B) = ≈ 0, 0687 Gọi C biến cố "Học sinh trả lời câu", ta có P (C) = C12 5 11 ≈ 0, 2062 Gọi D biến cố "Học sinh trả lời câu", ta có P (D) = C12 5 10 ≈ 0, 2835 Khi B ∪ C ∪ D biến cố "Học sinh lười học bị nhận điểm âm" Vì B, C, D đôi không giao nên có P (B ∪ C ∪ D) = P (B) + P (C) + P (D) ≈ 0, 0687 + 0, 2062 + 0, 2835 ≈ 0, 5584 Vậy xác suất để học sinh lười học bị nhận điểm âm 0,5584 Bài toán 3.2.7 ([2]) Có hai chuồng thỏ, chuồng thứ có thỏ đen 10 thỏ trắng, chuồng thứ hai có thỏ trắng, thỏ đen Từ chuồng thứ hai bắt ngẫu nhiên thỏ cho vào chuồng thứ Sau bắt ngẫu nhiên thỏ chuồng thứ Giả sử thỏ bắt thỏ trắng Tính xác suất để thỏ trắng thỏ trắng thuộc chuồng thứ Lời giải Gọi E1 biến cố "Từ chuồng thứ hai bắt thỏ trắng"; E2 biến cố "Từ chuồng thứ hai bắt thỏ đen" Ta có P (E1 ) = ; P (E2 ) = · 10 10 75 Gọi A biến cố "Bắt thỏ trắng lần bắt sau"; B biến cố "Bắt thỏ trắng chuồng lần bắt sau" Ta có P (A) = P (A/E1 )P (E1 ) + P (A/E2 )P (E2 ) (3.1) Để ý E1 xảy lúc chuồng có thỏ đen 11 thỏ trắng nên A/E1 biến cố "bắt thỏ trắng E1 xảy ra", tức P (A/E1 ) = 11 · 16 P (A/E2 ) = 10 · 16 Tương tự, ta có Từ thay vào (3.1), ta có P (A) = 11 10 103 · + · = · 16 10 16 10 160 Tương tự, ta có P (B) = P (B/E1 )P (E1 ) + P (B/E2 )P (E2 ) (3.2) B/E1 biến cố "bắt thỏ trắng chuồng một, E1 xảy ra"; E1 xảy tức có thỏ đen, 10 thỏ trắng chuồng một, thỏ trắng chuồng hai bỏ sang Từ đó, ta có P (B/E1 ) = 10 10 ; P (B/E2 ) = · 16 16 Từ thay vào (3.2), ta có P (B) = 10 10 100 · + · = · 16 10 16 10 160 Vậy xác suất bắt thỏ trắng chuồng biết thỏ bắt thỏ trắng P (B/A) = P (AB) P (B) 100 = = · P (A) P (A) 103 76 Bài toán 3.2.8 ([2]) Một cặp trẻ sinh đôi trứng (sinh đôi thật), hay hai trứng khác (sinh đôi giả) Các cặp sinh đôi thật có giới tính Đối với cặp sinh đôi giả giới tính đứa trẻ độc lập với có xác suất 0,5 trai Thống kê cho thấy 34% cặp sinh đôi trai, 30% cặp sinh đôi gái 36% cặp sinh đôi có giới tính khác a) Tính xác suất cặp sinh đôi thật b) Chọn ngẫu nhiên cặp sinh đôi cặp có giới tính Tính xác suất để cặp sinh đôi cặp sinh đôi thật Lời giải Gọi B1 biến cố "Cặp sinh đôi thật"; B2 biến cố "Cặp sinh đôi giả"; A biến cố "Cặp sinh đôi giới" a) Từ giả thiết, ta có P (A) = 0, 34 + 0, 30 = 0, 64 Ta có P (A/B1 ) = (vì cặp sinh đôi thật, cặp sinh đôi chắn giới) Theo giả thiết P (A/B2 ) = · Đặt P (B1 ) = x P (B2 ) = − x Ta có P (A) = P (A/B1 )P (B1 ) + P (A/B2 )P (B2 ) hay 0, 64 = x + (1 − x) ⇔ 1, 28 = 2x + − x ⇔ x = 0, 28 Vậy xác suất để có cặp sinh đôi thật P (B1 ) = 0, 28 b) Ta cần tính P (B1 /A) (trong cặp sinh đôi có giới tính tính xác suất xảy cặp sinh đôi thật).Theo công xác suất có điều kiện, ta có P (B1 /A) = 77 P (B1 A) · P (A) Chú ý P (B1 A) = P (B1 ) = 0, 28 Vì biến cố vừa sinh đôi thật, sinh đôi giới tính sinh đôi thật Vậy xác suất cần tìm P (B1 /A) = 0, 28 = = 0, 4375 0, 64 16 Bài toán 3.2.9 ([6]) Một người ốm bị nghi mắc hai loại bệnh A B Thống kê tình hình mắc bệnh nhiều năm cho thấy xác suất mắc bệnh A cao gấp đôi xác suất mắc bệnh B Bệnh viện tiến hành hai xét nghiệm y học T1 T2 cách độc lập cho bệnh nhân Biết có bệnh A xét nghiệm T1 cho dương tính với xác suất 0,9 xét nghiệm T2 cho dương tính với xác suất 0,75 Trong trường hợp, có bệnh B xét nghiệm T1 cho dương tính với xác suất 0,05 xét nghiệm T2 cho dương tính với xác suất 0,1 Giả sử hai xét nghiệm T1 T2 dương tính Tính xác suất mắc bệnh A người bệnh Lời giải Gọi A biến cố "Người bệnh mắc bệnh A"; B biến cố "Người bệnh mắc bệnh B"; T1 biến cố "Xét nghiệm T1 cho dương tính"; T2 biến cố "Xét nghiệm T2 cho dương tính"; Ta nhận thấy T1 T2 biến cố để xảy biến cố A, cần tính P (A/T1 T2 ) Áp dụng công thức Bayet, ta có P (A/T1 T2 ) = P (A)P (T1 T2 /A) · P (A)P (T1 T2 /A) + P (B)P (T1 T2 /B) Từ giả thiết toán, ta có P (A) = ; P (B) = · 3 P (T1 T2 /A) = P (T1 /A)P (T2 /A) = 0, 9.0, 75 = 0, 675; P (T1 T2 /B) = P (T1 /B)P (T2 /B) = 0, 05.0, = 0, 005 Thay vào (3.3) ta P (A/T1 T2 ) ≈ 0, 996 78 (3.3) Vậy xác suất người bệnh mắc bệnh A 0,996 hay khả bị mắc bệnh A chiếm 99, 6% Bài toán 3.2.10 ([7]) Hai đấu thủ A B thi đấu cờ Xác suất thắng A ván cờ 0,6 (không có hòa) Trận đấu bao gồm ván Người thắng lớn ván người thắng Tính xác suất để B thắng Lời giải Theo đề bài, ta có P (A) = 0, P (B) = − P (A) = 0, người thắng ván thắng Trong ván để B thắng B phải thắng ván, ván, ván Áp dụng công thức Becnuli, ta có: Xác suất để B thắng ván P3 (5; 0, 4) = C5 (0, 4)3 (0, 6)2 = 0, 2304 Xác suất để B thắng ván P4 (5; 0, 4) = C5 (0, 4)4 0, = 0, 0768 Xác suất để B thắng ván P5 (5; 0, 4) = C5 (0, 4)5 = 0, 01024 Xác suất để B thắng P3 (5; 0, 4) + P4 (5; 0, 4) + P5 (5; 0, 4) = 0, 31744 3.3 Bài tập vận dụng Bài toán 3.3.1 Chọn ngẫu nhiên số 50 số tự nhiên 1;2;3; ;50 Tính xác suất cho: a) Trong số chọn có số bội b) Trong số chọn có số số phương Bài toán 3.3.2 Gọi A tập hợp số tự nhiên có chữ số lập từ chữ số {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} Chọn ngẫu nhiên số từ tập A Tính xác suất cho số chọn có chứa chữ số chữ số có số lần xuất số 79 Bài toán 3.3.3 Có 30 thẻ đánh số từ đến 30 Chọn ngẫu nhiên 10 thẻ Tính xác suất để có thẻ mang số lẻ, thẻ mang số chẵn, có mang số chia hết cho 10 Bài toán 3.3.4 Cho X tập hợp số tự nhiên có chữ số khác lập thành từ tập E = {1; 2; 3; 4; 5; 6} Chọn ngẫu nhiên hai số từ tập X Tính xác suất để hai số chọn có chữ số khác tổng 18 Bài toán 3.3.5 Danh sách lớp Bình đánh số thứ tự từ đến 30, Bình có số thứ tự 12 Chọn ngẫu nhiên bạn lớp Tính xác suất để: a) Bình chọn b) Bình không chọn c) Một bạn có số thứ tự nhỏ số thứ tự Bình chọn Bài toán 3.3.6 Kết (b, c) việc gieo xúc sắc cân đối đồng chất hai lần, b số chấm xuất lần gieo đầu, c số chấm xuất lần gieo sau, thay vào phương trình bậc hai x2 + bx + c = Tính xác suất để: a) Phương trình vô nghiệm b) Phương trình có nghiệm kép c) Phương trình có nghiệm Bài toán 3.3.7 Một xúc sắc cân đối đồng chất gieo hai lần Tính xác suất cho: a) Tổng số chấm hai lần gieo b) Ít lần gieo xuất mặt chấm Bài toán 3.3.8 Một hộp chứa 16 viên bi gồm viên bi trắng, viên bi đen viên bi đỏ a) Lấy ngẫu nhiên ba viên bi Tính xác suất để: i) Lấy ba viên bi màu đỏ 80 ii) Lấy ba viên màu đỏ iii) Lấy viên bi trắng, viên bi đen, viên bi đỏ b) Lấy ngẫu nhiên lúc viên bi Tính xác xuất để: i) Lấy viên bi trắng ii) Lấy hai viên bi trắng iii) Có đủ ba màu c) Lấy ngẫu nhiên 10 viên bi Tính xác suất để lấy viên bi màu trắng, viên bi màu đen viên bi màu đỏ Bài toán 3.3.9 Một tổ công nhân có nữ, nam Chọn ngẫu nhiên ba người thực công việc Tính xác suất để ba người chọn có công nhân nam Bài toán 3.3.10 Một khách sạn có phòng đơn, có 10 khách đến thuê phòng có nam nữ Người quản lí chọn ngẫu nhiên người Tính xác suất để: a) Có khách nam b) Có khách nam khách nữ c) Có khách nữ Bài toán 3.3.11 Tổ Toán trường A có 10 thầy giáo cô giáo Chọn hội đồng chấm thi gồm người có thầy cô Tính xác suất để hội đồng số cô giáo nhiều thầy giáo Bài toán 3.3.12 Một máy bay có động cơ, động I động II hoạt động độc lập Xác suất để động I động II chạy tốt 0,8 0,7 Tính xác suất để: a) Cả hai động chạy tốt b) Cả hai động chạy không tốt c) Có động chạy tốt Bài toán 3.3.13 Một đội thi bắn súng gồm xạ thủ bắn vào bia Xác suất bắn súng trúng bia xạ thủ 0,9 Biết có xạ thủ bắn trúng bia đội chiến thắng Tính xem khả chiến thắng đội chiếm phần trăm 81 Bài toán 3.3.14 An Bình học hai nơi khác Xác suất để An Bình đạt điểm giỏi môn Toán kì thi cuối năm 0,92 0,88 Tính xác suất để: a) Cả hai đạt điểm giỏi b) Cả hai không đạt điểm giỏi c) Có hai bạn đạt điểm giỏi Bài toán 3.3.15 Một đoàn tàu gồm toa đỗ sân ga Có hành khách bước lên tàu Mỗi hành khách độc lập với chọn ngẫu nhiên toa Tính xác suất để toa có hành khách bước lên Bài toán 3.3.16 Trong lớp học có bóng đèn, bóng có xác suất bị cháy 0, 25 Lớp học đủ ánh sáng có bóng đèn sáng Tính xem để lớp học không đủ ánh sáng chiếm bao phần trăm? Bài toán 3.3.17 Có hai hộp cầu kích thước Hộp thứ chứa cầu trắng, đen Hộp thứ hai chứa trắng, đen Lấy ngẫu nhiên từ hộp cầu Tính xác suất: a) Hai cầu lấy màu trắng b) Hai cầu lấy màu c) Hai cầu lấy khác màu Bài toán 3.3.18 Trong kiện hàng có 100 sản phẩm, có 30 sản phẩm loại A Chọn ngẫu nhiên liên tiếp (từng sản phẩm một) sản phẩm Tính phần trăm để lấy ba sản phẩm loại A Bài toán 3.3.19 Gieo hai đồng xu A B cách độc lập Đồng xu A chế tạo cân đối Đồng xu B chế tạo không cân đối nên xác suất xuất mặt sấp gấp ba lần xác suất xuất mặt ngửa Tính xác suất để: a) Khi gieo hai đồng xu lần hai đồng xu ngửa b) Khi gieo hai đồng xu hai lần hai lần hai đồng xu ngửa Bài toán 3.3.20 Trong thi trắc nghiệm khách quan có 10 câu hỏi Mỗi câu có phương án trả lời, có phương án 82 Một học sinh không học nên làm cách với câu chọn ngẫu nhiên đáp án trả lời Tính phần trăm để học sinh trả lời không 10 câu Bài toán 3.3.21 Một người bắn viên đạn Xác suất để viên trúng vòng 10 0,008, xác suất để viên trúng vòng 0,15 xác suất để viên trúng vòng 0,4 Tính xác suất để xạ thủ đạt 28 điểm Bài toán 3.3.22 Một máy bay có động cơ, có động cánh phải, động cánh trái động thân đuôi Mỗi động cánh phải đuôi có xác suất bị hỏng 0,1, động cánh trái có xác xuất bị hỏng 0,05 Các động hoạt động độc lập Tính xác suất để máy bay thực chuyến bay an toàn trường hợp: a) Máy bay bay có hai động làm việc b) Máy bay bay cánh có động làm việc Bài toán 3.3.23 Gieo ba xúc sắc cân đối cách độc lập Tính xác suất để: a) Tổng số chấm xuất biết có mặt chấm b) Có xuất mặt sáu chấm biết số chấm khác Bài toán 3.3.24 Một gia đình có hai đứa Tìm xác suất để hai trai biết hai đứa có đứa trai (giả thiết xác suất sinh trai gái nhau) Bài toán 3.3.25 Một chuồng gà có gà mái gà trống Chuồng gà khác có gà mái gà trống Từ chuồng ta bắt ngẫu nhiên làm thịt Các gà lại dồn vào chuồng thứ ba Từ chuồng thứ ba bắt ngẫu nhiên gà Tính xác suất để ta bắt gà trống 83 Bài toán 3.3.26 Một nhà máy sản xuất bóng đèn có tỉ lệ bóng đèn đạt tiêu chuẩn 80% Trước xuất xưởng thị trường bóng đèn qua kiểm tra chất lượng Vì kiểm tra tuyệt đối hoàn hảo, nên bóng đèn tốt có xác suất 0,9 công nhận tốt bóng đèn hỏng có xác suất 0,95 bị loại bỏ Hãy tính tỉ lệ bóng đạt tiêu chuẩn sau qua khâu kiểm tra chất lượng sản phẩm Bài toán 3.3.27 Có bốn nhóm xạ thủ tập bắn Nhóm thứ có người, nhóm thứ hai có người, nhóm thứ ba có người nhóm thứ tư có người Xác suất bắn trúng đích người nhóm thứ nhất, nhóm thứ hai, nhóm thứ ba nhóm thứ tư 0,8; 0,7; 0,6 0,5 Chọn ngẫu nhiên xạ thủ xạ thủ bắn trượt Hãy xác định xem xạ thủ có khả nhóm Bài toán 3.3.28 Trong số bệnh nhân bệnh viện có 50% điều trị bệnh A; 30% điều trị bệnh B 20% điều trị bệnh C Xác suất để chữa khỏi bệnh A, B C bệnh viện tương ứng 0,7; 0,8 0,9 Hãy tính tỉ lệ bệnh nhân chữa khỏi bệnh A tổng số bệnh nhân chữa khỏi bệnh Bài toán 3.3.29 Trong kho rượu, số lượng rượu loại A rượu loại B Người ta chọn ngẫu nhiên chai rượu kho đưa cho người sành rượu nếm thử để xác định xem loại rượu Giả sử người có xác suất đoán 75% Có bốn người kết luận chai rượu loại A người kết luận chai rượu loại B Hỏi xác suất để chai rượu chọn thuộc loại A bao nhiêu? Bài toán 3.3.30 Một bệnh nhân bị nghi mắc ba bệnh A, B, C với xác suất tương ứng 0,3; 0,4 0,3 Người đến khám bệnh bác sĩ cách độc lập Bác sĩ thứ chẩn đoán bệnh A, bác sĩ thứ hai chẩn đoán bệnh B, bác sĩ thứ ba chẩn đoán bệnh C bác sĩ thứ tư chẩn đoán bệnh A Hỏi sau khám bệnh xong, người bệnh cần đánh giá lại xác suất mắc bệnh A, B, C Biết xác suất chẩn đoán bác sĩ 0,6 chẩn đoán nhầm sang hai bệnh lại 0,2 0,2 84 Kết luận Như vậy, luận văn hoàn thành với nội dung chương: Chương Tổ hợp Xác suất Chương Các toán Tổ hợp Chương Các toán Xác suất Thông qua việc tham khảo tài liệu liên quan đặc biệt hướng dẫn tận tình PGS TS Nguyễn Minh Tuấn, luận văn nghiên cứu kiến thức lý thuyết Tổ hợp Xác suất với dạng toán thực tế đa dạng, phong phú ứng với đơn vị kiến thức từ mối quan hệ toán tổ hợp xác suất Khi biên soạn luận văn, tác giả cố gắng bám sát vào dạng đề thi Tuyển chọn giới thiệu toán từ đến nâng cao toán thực tế hấp dẫn, bổ ích lý thú Nhiều toán luận văn lấy từ đề thi cao đẳng, đại học năm đề thi học sinh giỏi Hi vọng luận văn tài liệu tham khảo bổ ích cho học sinh giáo viên trường Trung Học Phổ Thông 85 Tài liệu tham khảo [1] Trần Thị Vân Anh, 2014, Phân dạng phương pháp giải Toán Đại Số Giải Tích 11, NXB ĐHQG Hà Nội [2] Phan Huy Khải, 2012, Các toán Tổ Hợp, NXB Giáo Dục Việt Nam [3] Nguyễn Văn Mậu, Trần Nam Dũng, Vũ Đình Hòa, Đặng Huy Ruận, Đặng Hùng Thắng, 2008, Chuyên đề chọn lọc Tổ Hợp Toán Rời Rạc, NXB Giáo Dục [4] Phạm Minh Phương, 2010, Một số chuyên đề Toán Tổ Hợp , NXB Giáo Dục Việt Nam [5] Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoàn, Nguyễn Xuân Liêm, Nguyễn Khắc Minh, Đặng Hùng Thắng, 2007, Đại số Giải tích 11, NXB Giáo Dục [6] Nguyễn Quang Sơn, 2014, Cẩm Nang Luyện Thi Đại Học Tổ Hợp Xác Suất, NXB ĐHQG Hà Nội [7] Đặng Hùng Thắng, 2013, Bài tập Xác Suất, NXB Giáo Dục Việt Nam [8] Nguyễn Văn Thông, 2012, Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Tổ Hợp Rời Rạc, NXB ĐHQG Hà Nội 86