Về những bài toán tổ hợp và xác suất

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LUẬN VĂN THẠC SĨ “VỀ NHỮNG BÀI TOÁN TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT” HỌC VIÊN: NGUYỄN THANH TÂN CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP MÃ SỐ: 6

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ

“VỀ NHỮNG BÀI TOÁN TỔ HỢP

VÀ XÁC SUẤT”

HỌC VIÊN: NGUYỄN THANH TÂN

CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

MÃ SỐ: 60460113

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: PGS TS NGUYỄN MINH TUẤN

HÀ NỘI - 2015

Lời cảm ơn

Luận văn được hoàn thành dưới sự chỉ bảo và hướng dẫn của PGS TS Nguyễn Minh Tuấn Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn và giải đáp các thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn Từ tận đáy lòng em xin bày tỏ sự biết ơn sâu sắc đến thầy

Mặc dù đã rất nghiêm túc trong quá trình tìm tòi, nghiên cứu nhưng chắc chắn nội dung được trình bày trong luận văn không tránh khỏi những thiếu sót

Em rất mong nhận được sự đóng góp của quý thầy cô và các bạn để luận văn của em được hoàn thiện hơn

Hà Nội, tháng 3 năm 2015

Tác giả

Nguyễn Thanh Tân

Mục lục

Mở đầu 3

Chương 1: Những bài toán đếm 4 1.1 Cơ sở lý thuyết tổ hợp 4

1.1.1 Quy tắc cộng và quy tắc nhân 4

1.1.2 Giai thừa và hoán vị 5

1.1.3 Chỉnh hợp 5

1.1.4 Tổ hợp 6

1.1.5 Chỉnh hợp có lặp, hoán vị có lặp và tổ hợp có lặp 6

1.2 Các dạng toán đếm 7

1.2.1 Các phương pháp đếm 7

1.2.2 Các bài toán đếm 9

Chương 2: Những bài toán về xác suất 23 2.1 Cơ sở lý thuyết xác suất 23

2.1.1 Một số định nghĩa cơ bản của xác suất 23

2.1.2 Quan hệ giữa các biến cố 26

2.1.3 Các công thức tính xác suất 28

2.2 Một số bài toán xác suất 31

2.2.1 Tính xác suất bằng định nghĩa cổ điển 31

2.2.2 Tính xác suất bằng công thức cộng và nhân xác suất 37

2.2.3 Tính xác suất bằng công thức xác suất có điều kiện 44

2.2.4 Tính xác suất bằng công thức xác suất đầy đủ và Bayes 48 2.2.5 Tính xác suất bằng công thức Becnoulli 57

2.2.6 Tính xác suất bằng định nghĩa hình học 62

2.2.7 Các bài toán về biến ngẫu nhiên rời rạc 67

Kết luận 72

Tài liệu tham khảo 73

3

Mở đầu

Tổ hợp và xác suất là một trong những lĩnh vực toán học được nghiên cứu

từ khá sớm, nó đã được khai thác và ứng dụng rất nhiều vào trong đời sống sản xuất Hiện nay trong giáo dục phổ thông, tổ hợp và xác suất là một trong những nội dung quan trọng, nó thường xuyên xuất hiện trong các đề thi đại học, cao đẳng, thậm chí là các kỳ thi học sinh giỏi quốc gia và quốc tế Mặc dù nội dung không khó nhưng học sinh thường xuyên gặp khó khăn khi giải quyết các bài toán này, nhất là các bài toán liên quan đến xác suất

Luận văn này chủ yếu tập trung vào các dạng toán xác suất, từ đó giúp học sinh có cách nhìn nhận sâu sắc hơn về các bài toán liên quan đến xác suất Luận văn được chia thành hai chương

Chương 1 Những bài toán về tổ hợp

Chương 2 Những bài toán về xác suất

Tất cả các bài toán tổ hợp trong chương 1 chính là nền móng để xây dựng và giải quyết một số bài toán xác suất trong chương 2 Hy vọng đây sẽ là một tài liệu hữu ích trong giảng dạy cũng như học tập của thầy, cô và các em học sinh

3

Chương 1

Những bài toán đếm

Chương này ta sẽ nhắc lại một số lý thuyết về tập hợp cũng như lý thuyết

cơ bản của tổ hợp như hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, một số nguyên lý đếm và các bài tập có liên quan trong chương trình phổ thông

1.1 Cơ sở lý thuyết tổ hợp

1.1.1 Quy tắc cộng và quy tắc nhân

1 Quy tắc cộng

Giả sử một công việc có thể thực hiện theo phương án A hoặc phương án B, trong đó cón cách thực hiện phương án A, m cách thực hiện phương án B Khi

đó công việc có thể được thực hiện bởi n + m cách

Tổng quát, giả sử môt công việc có thể thực hiện theo một trong k phương

ánA1, A2, , Ak, trong đó cón1 cách thực hiện phương án A1,n2 cách thực hiện phương án A2, ., nk cách thực hiện phương án Ak. Khi đó công việc có thể được thực hiện bởi n1+ n2+ · · · + nk cách

Biểu diễn dưới dạng tập hợp Số phần tử của tập hữu hạnA được kí hiệu là |A|.

Nếu A 1 , A 2 , , A n là n tập hữu hạn, từng đôi một không giao nhau thì

|A1∪ A2∪ ∪ An| = |A1| + |A2| + · · · + |An|

hay

n

[

k=1

Ak

=

n

X

k=1

|Ak|.

4

2 Quy tắc nhân

Giả sử công việc nào đó bao gồm hai công đoạn A và B, trong đó công đoạn A

có thể làm theo n cách, công đoạn B có thể làm theo m cách Khi đó công việc

có thể thực hiện theo nm cách

Tổng quát, giả sử một công việc nào đó bao gồmk công đoạnA1, A2, , Ak, ông đoạn A1 có thể thực hiện theo n1 cách, công đoạn A2 có thể thực hiện theo n2

cách, công đoạnA 3 có thể thực hiện theon 3 cách, ., công đoạn Ak có thể thực hiện theo nk cách Khi đó công việc có thể thực hiện theo n 1 n 2 nk cách Biểu diễn dưới dạng tập hợp

Nếu A1, A2, , An là n tập hữu hạn với |Ak| = mk (k = 1, 2, , n) Khi đó

|A1× A2× · · · × An| = m1× m2× · · · × mn =

n

Y

k=1

mk.

1.1.2 Giai thừa và hoán vị

1 Giai thừa

Định nghĩa 1 n giai thừa, kí hiệu là n! là tích của n số tự nhiên liên tiếp từ

1 đến n.

n! = 1 · 2 · 3 · · · (n − 1) · (n), n ∈N∗.

Quy ước 0! = 1, 1! = 1.

2 Hoán vị

Định nghĩa 2 Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1) Một cách sắp thứ tựn

phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó

Kí hiệu Pn là số các hoán vị của n phần tử

Pn = n! = 1 · 2 · · · (n − 1)n.

1.1.3 Chỉnh hợp

Định nghĩa 3 Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1) Kết quả của việc lấy k

phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ

tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho

5

Công thức

Akn = n!

(n − k)! = n(n − 1)(n − k + 1) (với 1 ≤ k ≤ n)

Chú ý Một chỉnh hợp chập n củan phần tử là một hoán vị của n phần tử

Ann = Pn = n!.

1.1.4 Tổ hợp

Định nghĩa 4 Giả sử tập A gồm n phần tử n ≥ 1 Mỗi tập con gồm k phần

tử của A được gọi là một tổ hợp chập k củan phần tử đã cho (1 ≤ k ≤ n)

Kí hiệu Cnk (1 ≤ k ≤ n) là số các tổ hợp chập k của n phần tử

Công thức

Cnk = n!

k!(n − k)!.

Chú ý Cn0 = 1

Cnk = Cnn−k (0 ≤ k ≤ n)

Cnk+ Cnk+1 = Cn+1k+1 (1 ≤ k ≤ n)

1.1.5 Chỉnh hợp có lặp, hoán vị có lặp và tổ hợp có lặp

1 Chỉnh hợp có lặp

Định nghĩa 5 Giả sử tập A gồm n phần tử (n ≥ 1) Mỗi dãy có độ dài k các phần tử của A, mà mỗi phần tử có thể lặp lại nhiều lần và được sắp xếp theo một thứ tự nhất định được gọi là một chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử Chú ý Số các chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử là nk.

2 Hoán vị lặp

Định nghĩa 6 Hoán vị trong đó mỗi phần tử xuất hiện ít nhất một lần được gọi là hoán vị lặp

Chú ý Số hoán vị lặp của n phần tử thộc k loại, mà các phần tử từ loại i (1 ≤ i ≤ k) xuất hiện n lần được kí hiệu là P (n1, n2, , nk) và được tính bằng công thức

P (n 1 , n 2 , , nk) = n!

n1!n2! nk!.

6

3 Tổ hợp lặp

Định nghĩa 7 Giả sử tập A gồm n phần tử (n ≥ 1) Một tổ hợp chập m (m

không nhất thiết phải nhỏ hơnn) của n phần tử thuộcA là một bộ gồmm phần

tử, mà mỗi phần tử này là một trong các phần tử của A.

Chú ý Số tổ hợp có lặp chập m của n phần tử là

C m

n = Cn+m−1m = Cn+m−1n−1 .

1.2 Các dạng toán đếm

1.2.1 Các phương pháp đếm

1 Phương pháp đếm trực tiếp

Tùy theo bài toán ta có thể chia trường hợp hay không chia trường hợp để đếm các trường hợp thỏa mãn yêu cầu bài toán

2 Phương pháp đếm vị trí

+ B1 Chọn vị trí cho số thứ nhất theo yêu cầu bài toán, suy ra số vị trí cho các số tiếp theo

+ B2 Sắp xếp các số còn lại

3 Phương pháp đếm loại trừ

+ B1 Đếm số phương án xảy ra bất kỳ ta có kết quả n 1

+ B2 Đếm số phương án không thỏa mãn yêu cầu bài toán ta có kết quản2 + B3 Số phương án đúng là n = n1− n2

Ta sử dụng phương pháp đếm loại trừ khi phương pháp đếm trực tiếp có quá nhiều trường hợp

4 Phương pháp lấy trước rồi xếp sau

+ B1 Chọn ra trước cho đủ số lượng và thỏa mãn tích chất mà bài toán yêu cầu

+ B2 Sắp xếp

Phương pháp này dùng cho các bài toán có sự sắp xếp, cạnh nhau, có mặt

5 Phương pháp tạo vách ngăn

+ B1 Sắp xếp m đối tượng vào m vị trí sẽ tạo ra m + 1 vách ngăn

7

+ B2 Sắp xếp đối tượng khác nhau theo yêu cầu bài toán vào m + 1 vách ngăn trên

6 Công thức bao hàm loại trừ

Cho A1, A2 là hai tập hữu hạn, khi đó

|A1∪ A2| = |A1| + |A2| − |A1∩ A2|.

Từ đó với ba tập hữu hạn A 1 , A 2 , A 3 ta có

|A1∪ A2∪ A3| = |A1| + |A2| + |A3| − |A1∩ A2| − |A1∩ A3| − |A2∩ A3| + |A1∩ A2∩ A3|.

Bằng quy nạp, với k tập hữu hạn A1, A2, , Ak ta có

|A1∪ A2∪ ∪ Ak| = N1− N2+ N3− + (−1)k−1Nk,

trong đó Nm (1 ≤ m ≤ k) là tổng phần tử của tất cả các giao m tập lấy từ k tập

đã cho, nghĩa là

1≤i 1 <i 2 < <i m ≤k

|A i 1 ∩ A i 2 ∩ ∩ A i m |.

Bây giờ, ta đồng nhất tập Am(1 ≤ m ≤ k) với tính chất Am cho trên tập hữu hạn A nào đó và đếm xem có bao nhiêu phần tử của A “không thỏa mãn một tính chất A m nào” Gọi N là số cần đếm, N là số phần tử của A. Ta có

N = N − |A1∪ A2∪ ∪ Ak| = N − N1+ N2− + (−1)kNk,

trong đó Nm là tổng các phần tử củaA thỏa mãn m tính chất lấy từk tính chất

đã cho Công thức này gọi là công thức bao hàm và loại trừ

Nhận xét

Hầu nết các bài toán tổ hợp đều sử dụng một trong các phương pháp trên

để giải quyết, tuy nhiên sự linh hoạt của phương pháp tùy thuộc vào khả năng của học sinh

Đối với bài toán ban đầu có số 0, ta xét trường hợp xem số 0 là một số có nghĩa, được kết quả n1; xét trường hợp số 0 đứng đầu, ta được kết quả là n2, kết quả cần tìm sẽ là n1− n2.

8

Tài liệu tham khảo

[1] Các chuyên đề tổ hợp và xác suất trên mạng internet

[2] Nguyễn Huy Đoàn, Nguyễn Xuân Liêm, Nguyễn Khắc Minh, Đoàn Quỳnh, Ngô Xuân Sơn, Đặng Hùng Thắng, Lưu Xuân Tình, “Bài tập đại số và giải tích 11 nâng cao”, NXB Giáo dục, 2007

[3] Đào Hữu Hồ,“Hướng dẫn giải các bài toán xác suất và ứng dụng”, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 1996

[4] Đào Hữu Hồ, “Xác suất thống kê”, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 1996

[5] Hoàng Hữu Như, Nguyễn Văn Hữu, “Bài tập xác suất và thống kê toán học”, NXB Đại học và Trung học chuyên nghiệp Hà Nội, 1976

[6] Lê Hoành Phò, “Phân loại và phương pháp giải toán tổ hợp và xác suất”, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2008

[7] Đặng Hùng Thắng, “Mở đầu về lý thuyết xác suất và các ứng dụng”, NXB Giáo dục Việt Nam, 2012

73