Về những bài toán tổ hợp và xác suất

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LUẬN VĂN THẠC SĨ “VỀ NHỮNG BÀI TOÁN TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT” HỌC VIÊN: NGUYỄN THANH TÂN CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP MÃ SỐ: 60460113 CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: PGS TS NGUYỄN MINH TUẤN HÀ NỘI - 2015 Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành bảo hướng dẫn PGS TS Nguyễn Minh Tuấn Thầy dành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc suốt trình làm luận văn Từ tận đáy lòng em xin bày tỏ biết ơn sâu sắc đến thầy Mặc dù nghiêm túc trình tìm tòi, nghiên cứu chắn nội dung trình bày luận văn không tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận đóng góp quý thầy cô bạn để luận văn em hoàn thiện Hà Nội, tháng năm 2015 Tác giả Nguyễn Thanh Tân Mục lục Mở đầu Chương 1: Những toán đếm 1.1 1.2 2.2 Cơ sở lý thuyết tổ hợp 1.1.1 Quy tắc cộng quy tắc nhân 1.1.2 Giai thừa hoán vị 1.1.3 Chỉnh hợp 1.1.4 Tổ hợp 1.1.5 Chỉnh hợp có lặp, hoán vị có lặp tổ hợp có lặp Các dạng toán đếm 1.2.1 Các phương pháp đếm 1.2.2 Các toán đếm Chương 2: Những toán xác suất 2.1 23 Cơ sở lý thuyết xác suất 23 2.1.1 Một số định nghĩa xác suất 23 2.1.2 Quan hệ biến cố 26 2.1.3 Các công thức tính xác suất 28 Một số toán xác suất 31 2.2.1 Tính xác suất định nghĩa cổ điển 31 2.2.2 Tính xác suất công thức cộng nhân xác suất 37 2.2.3 Tính xác suất công thức xác suất có điều kiện 44 2.2.4 Tính xác suất công thức xác suất đầy đủ Bayes 48 2.2.5 Tính xác suất công thức Becnoulli 57 2.2.6 Tính xác suất định nghĩa hình học 62 2.2.7 Các toán biến ngẫu nhiên rời rạc 67 Kết luận 72 Tài liệu tham khảo 73 Mở đầu Tổ hợp xác suất lĩnh vực toán học nghiên cứu từ sớm, khai thác ứng dụng nhiều vào đời sống sản xuất Hiện giáo dục phổ thông, tổ hợp xác suất nội dung quan trọng, thường xuyên xuất đề thi đại học, cao đẳng, chí kỳ thi học sinh giỏi quốc gia quốc tế Mặc dù nội dung không khó học sinh thường xuyên gặp khó khăn giải toán này, toán liên quan đến xác suất Luận văn chủ yếu tập trung vào dạng toán xác suất, từ giúp học sinh có cách nhìn nhận sâu sắc toán liên quan đến xác suất Luận văn chia thành hai chương Chương Những toán tổ hợp Chương Những toán xác suất Tất toán tổ hợp chương móng để xây dựng giải số toán xác suất chương Hy vọng tài liệu hữu ích giảng dạy học tập thầy, cô em học sinh Chương Những toán đếm Chương ta nhắc lại số lý thuyết tập hợp lý thuyết tổ hợp hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, số nguyên lý đếm tập có liên quan chương trình phổ thông 1.1 1.1.1 Cơ sở lý thuyết tổ hợp Quy tắc cộng quy tắc nhân Quy tắc cộng Giả sử công việc thực theo phương án A phương án B , có n cách thực phương án A, m cách thực phương án B Khi công việc thực n + m cách Tổng quát, giả sử môt công việc thực theo k phương án A1 , A2 , , Ak , có n1 cách thực phương án A1 , n2 cách thực phương án A2 , , nk cách thực phương án Ak Khi công việc thực n1 + n2 + · · · + nk cách Biểu diễn dạng tập hợp Số phần tử tập hữu hạn A kí hiệu |A| Nếu A1 , A2 , , An n tập hữu hạn, đôi không giao |A1 ∪ A2 ∪ ∪ An | = |A1 | + |A2 | + · · · + |An | hay n n |Ak | Ak = k=1 k=1 Quy tắc nhân Giả sử công việc bao gồm hai công đoạn A B , công đoạn A làm theo n cách, công đoạn B làm theo m cách Khi công việc thực theo nm cách Tổng quát, giả sử công việc bao gồm k công đoạn A1 , A2 , , Ak , ông đoạn A1 thực theo n1 cách, công đoạn A2 thực theo n2 cách, công đoạn A3 thực theo n3 cách, , công đoạn Ak thực theo nk cách Khi công việc thực theo n1 n2 nk cách Biểu diễn dạng tập hợp Nếu A1 , A2 , , An n tập hữu hạn với |Ak | = mk (k = 1, 2, , n) Khi n |A1 × A2 × · · · × An | = m1 × m2 × · · · × mn = mk k=1 1.1.2 Giai thừa hoán vị Giai thừa Định nghĩa n giai thừa, kí hiệu n! tích n số tự nhiên liên tiếp từ đến n n! = · · · · · (n − 1) · (n), n ∈ N∗ Quy ước 0! = 1, 1! = Hoán vị Định nghĩa Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1) Một cách thứ tự n phần tử tập hợp A gọi hoán vị n phần tử Kí hiệu Pn số hoán vị n phần tử Pn = n! = · · · · (n − 1)n 1.1.3 Chỉnh hợp Định nghĩa Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1) Kết việc lấy k phần tử khác từ n phần tử tập hợp A xếp chúng theo thứ tự gọi chỉnh hợp chập k n phần tử cho Công thức Akn = n! = n(n − 1)(n − k + 1) (với ≤ k ≤ n) (n − k)! Chú ý Một chỉnh hợp chập n n phần tử hoán vị n phần tử Ann = Pn = n! 1.1.4 Tổ hợp Định nghĩa Giả sử tập A gồm n phần tử n ≥ Mỗi tập gồm k phần tử A gọi tổ hợp chập k n phần tử cho (1 ≤ k ≤ n) Kí hiệu Cnk (1 ≤ k ≤ n) số tổ hợp chập k n phần tử Công thức Cnk = n! k!(n − k)! Chú ý Cn0 = Cnk = Cnn−k (0 ≤ k ≤ n) k+1 (1 ≤ k ≤ n) Cnk + Cnk+1 = Cn+1 1.1.5 Chỉnh hợp có lặp, hoán vị có lặp tổ hợp có lặp Chỉnh hợp có lặp Định nghĩa Giả sử tập A gồm n phần tử (n ≥ 1) Mỗi dãy có độ dài k phần tử A, mà phần tử lặp lại nhiều lần xếp theo thứ tự định gọi chỉnh hợp lặp chập k n phần tử Chú ý Số chỉnh hợp lặp chập k n phần tử nk Hoán vị lặp Định nghĩa Hoán vị phần tử xuất lần gọi hoán vị lặp Chú ý Số hoán vị lặp n phần tử k loại, mà phần tử từ loại i (1 ≤ i ≤ k) xuất n lần kí hiệu P (n1 , n2 , , nk ) tính công thức P (n1 , n2 , , nk ) = n! n1 !n2 ! nk ! Tổ hợp lặp Định nghĩa Giả sử tập A gồm n phần tử (n ≥ 1) Một tổ hợp chập m (m không thiết phải nhỏ n) n phần tử thuộc A gồm m phần tử, mà phần tử phần tử A Chú ý Số tổ hợp có lặp chập m n phần tử n−1 m Cnm = Cn+m−1 = Cn+m−1 1.2 Các dạng toán đếm 1.2.1 Các phương pháp đếm Phương pháp đếm trực tiếp Tùy theo toán ta chia trường hợp hay không chia trường hợp để đếm trường hợp thỏa mãn yêu cầu toán Phương pháp đếm vị trí + B1 Chọn vị trí cho số thứ theo yêu cầu toán, suy số vị trí cho số + B2 Sắp xếp số lại Phương pháp đếm loại trừ + B1 Đếm số phương án xảy ta có kết n1 + B2 Đếm số phương án không thỏa mãn yêu cầu toán ta có kết n2 + B3 Số phương án n = n1 − n2 Ta sử dụng phương pháp đếm loại trừ phương pháp đếm trực tiếp có nhiều trường hợp Phương pháp lấy trước xếp sau + B1 Chọn trước cho đủ số lượng thỏa mãn tích chất mà toán yêu cầu + B2 Sắp xếp Phương pháp dùng cho toán có xếp, cạnh nhau, có mặt Phương pháp tạo vách ngăn + B1 Sắp xếp m đối tượng vào m vị trí tạo m + vách ngăn + B2 Sắp xếp đối tượng khác theo yêu cầu toán vào m + vách ngăn Công thức bao hàm loại trừ Cho A1 , A2 hai tập hữu hạn, |A1 ∪ A2 | = |A1 | + |A2 | − |A1 ∩ A2 | Từ với ba tập hữu hạn A1 , A2 , A3 ta có |A1 ∪ A2 ∪ A3 | = |A1 | + |A2 | + |A3 | − |A1 ∩ A2 | − |A1 ∩ A3 | − |A2 ∩ A3 | + |A1 ∩ A2 ∩ A3 | Bằng quy nạp, với k tập hữu hạn A1 , A2 , , Ak ta có |A1 ∪ A2 ∪ ∪ Ak | = N1 − N2 + N3 − + (−1)k−1 Nk , Nm (1 ≤ m ≤ k ) tổng phần tử tất giao m tập lấy từ k tập cho, nghĩa |Ai1 ∩ Ai2 ∩ ∩ Aim | Nm = 1≤i1 [...]... kê”, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 1996 [5] Hoàng Hữu Như, Nguyễn Văn Hữu, Bài tập xác suất và thống kê toán học”, NXB Đại học và Trung học chuyên nghiệp Hà Nội, 1976 [6] Lê Hoành Phò, “Phân loại và phương pháp giải toán tổ hợp và xác suất , NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2008 [7] Đặng Hùng Thắng, “Mở đầu về lý thuyết xác suất và các ứng dụng”, NXB Giáo dục Việt Nam, 2012 73 ... liệu tham khảo [1] Các chuyên đề tổ hợp và xác suất trên mạng internet [2] Nguyễn Huy Đoàn, Nguyễn Xuân Liêm, Nguyễn Khắc Minh, Đoàn Quỳnh, Ngô Xuân Sơn, Đặng Hùng Thắng, Lưu Xuân Tình, Bài tập đại số và giải tích 11 nâng cao”, NXB Giáo dục, 2007 [3] Đào Hữu Hồ,“Hướng dẫn giải các bài toán xác suất và ứng dụng”, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 1996 [4] Đào Hữu Hồ, Xác suất thống kê”, NXB Đại học Quốc