Mỗi dãy có độ dài k các phần tử của A, mà mỗi phần tử có thể lặp lại nhiều lần và được sắp xếp theo một thứ tự nhất định được gọi là một chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử.. Chú ý.[r]
(1)ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
LUẬN VĂN THẠC SĨ
“VỀ NHỮNG BÀI TOÁN TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT”
HỌC VIÊN: NGUYỄN THANH TÂN
CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP MÃ SỐ: 60460113
CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: PGS TS NGUYỄN MINH TUẤN
(2)Lời cảm ơn
Luận văn hoàn thành bảo hướng dẫn PGS TS Nguyễn Minh Tuấn Thầy dành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc tơi suốt q trình làm luận văn Từ tận đáy lòng em xin bày tỏ biết ơn sâu sắc đến thầy
Mặc dù nghiêm túc q trình tìm tịi, nghiên cứu chắn nội dung trình bày luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận đóng góp q thầy bạn để luận văn em hoàn thiện
Hà Nội, tháng năm 2015 Tác giả
(3)Mục lục
Mở đầu
Chương 1: Những toán đếm 1.1 Cơ sở lý thuyết tổ hợp
1.1.1 Quy tắc cộng quy tắc nhân
1.1.2 Giai thừa hoán vị
1.1.3 Chỉnh hợp
1.1.4 Tổ hợp
1.1.5 Chỉnh hợp có lặp, hốn vị có lặp tổ hợp có lặp
1.2 Các dạng toán đếm
1.2.1 Các phương pháp đếm
1.2.2 Các toán đếm
Chương 2: Những toán xác suất 23 2.1 Cơ sở lý thuyết xác suất 23
2.1.1 Một số định nghĩa xác suất 23
2.1.2 Quan hệ biến cố 26
2.1.3 Các công thức tính xác suất 28
2.2 Một số toán xác suất 31
2.2.1 Tính xác suất định nghĩa cổ điển 31
2.2.2 Tính xác suất công thức cộng nhân xác suất 37
2.2.3 Tính xác suất cơng thức xác suất có điều kiện 44
2.2.4 Tính xác suất cơng thức xác suất đầy đủ Bayes 48 2.2.5 Tính xác suất cơng thức Becnoulli 57
2.2.6 Tính xác suất định nghĩa hình học 62
2.2.7 Các toán biến ngẫu nhiên rời rạc 67
(4)Tài liệu tham khảo 73
(5)Mở đầu
Tổ hợp xác suất lĩnh vực toán học nghiên cứu từ sớm, khai thác ứng dụng nhiều vào đời sống sản xuất Hiện giáo dục phổ thông, tổ hợp xác suất nội dung quan trọng, thường xuyên xuất đề thi đại học, cao đẳng, chí kỳ thi học sinh giỏi quốc gia quốc tế Mặc dù nội dung khơng khó học sinh thường xun gặp khó khăn giải toán này, toán liên quan đến xác suất
Luận văn chủ yếu tập trung vào dạng toán xác suất, từ giúp học sinh có cách nhìn nhận sâu sắc toán liên quan đến xác suất Luận văn chia thành hai chương
Chương Những toán tổ hợp Chương Những toán xác suất
Tất tốn tổ hợp chương móng để xây dựng giải số toán xác suất chương Hy vọng tài liệu hữu ích giảng dạy học tập thầy, cô em học sinh
(6)Chương 1
Những toán đếm
Chương ta nhắc lại số lý thuyết tập hợp lý thuyết tổ hợp hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, số nguyên lý đếm tập có liên quan chương trình phổ thơng
1.1 Cơ sở lý thuyết tổ hợp 1.1.1 Quy tắc cộng quy tắc nhân Quy tắc cộng
Giả sử cơng việc thực theo phương án A phương án B, cón cách thực phương án A, m cách thực phương án B Khi cơng việc thực n+m cách
Tổng quát, giả sử mơt cơng việc thực theo k phương ánA1, A2, , Ak, cón1 cách thực phương án A1,n2 cách thực
phương án A2, , nk cách thực phương án Ak Khi cơng việc thực n1+n2+· · ·+nk cách
Biểu diễn dạng tập hợp Số phần tử tập hữu hạnA kí hiệu |A|
Nếu A1, A2, , An n tập hữu hạn, đơi khơng giao
|A1∪A2∪ .∪An|=|A1|+|A2|+· · ·+|An| hay n [ k=1 Ak = n X k=1
|Ak|
(7)2 Quy tắc nhân
Giả sử công việc bao gồm hai cơng đoạn A B, cơng đoạn A
có thể làm theo n cách, cơng đoạn B làm theo m cách Khi cơng việc thực theo nm cách
Tổng quát, giả sử công việc bao gồmk cơng đoạnA1, A2, , Ak, ơng đoạn A1 thực theo n1 cách, cơng đoạn A2 thực theo n2
cách, cơng đoạnA3 thực theon3 cách, , cơng đoạn Ak thực theo nk cách Khi cơng việc thực theo n1n2 nk cách Biểu diễn dạng tập hợp
Nếu A1, A2, , An n tập hữu hạn với |Ak|=mk (k= 1,2, , n) Khi
|A1×A2× · · · ×An|=m1×m2× · · · ×mn = n Y
k=1
mk 1.1.2 Giai thừa hoán vị
1 Giai thừa
Định nghĩa n giai thừa, kí hiệu n! tích n số tự nhiên liên tiếp từ đến n
n! = 1·2·3· · ·(n−1)·(n), n∈N∗
Quy ước 0! = 1,1! =
2 Hoán vị
Định nghĩa Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥1) Một cách thứ tựn
phần tử tập hợp A gọi hoán vị n phần tử Kí hiệu Pn số hoán vị n phần tử
Pn =n! = 1·2· · ·(n−1)n 1.1.3 Chỉnh hợp
Định nghĩa Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥1) Kết việc lấy k
phần tử khác từ n phần tử tập hợp A xếp chúng theo thứ tự gọi chỉnh hợp chập k n phần tử cho
(8)Công thức
Akn = n!
(n−k)! =n(n−1)(n−k+ 1) (với 1≤k ≤n)
Chú ý Một chỉnh hợp chập n củan phần tử hoán vị n phần tử
Ann =Pn =n! 1.1.4 Tổ hợp
Định nghĩa Giả sử tập A gồm n phần tử n ≥1 Mỗi tập gồm k phần tử A gọi tổ hợp chập k củan phần tử cho (1≤k ≤n)
Kí hiệu Cnk (1≤k ≤n) số tổ hợp chập k n phần tử Công thức
Cnk = n!
k!(n−k)!
Chú ý Cn0 =
Cnk =Cnn−k (0≤k≤n)
Cnk+Cnk+1 =Cnk+1+1 (1≤k≤n)
1.1.5 Chỉnh hợp có lặp, hốn vị có lặp tổ hợp có lặp Chỉnh hợp có lặp
Định nghĩa Giả sử tập A gồm n phần tử (n≥1) Mỗi dãy có độ dài k phần tử A, mà phần tử lặp lại nhiều lần xếp theo thứ tự định gọi chỉnh hợp lặp chập k n phần tử
Chú ý Số chỉnh hợp lặp chập k n phần tử nk
2 Hoán vị lặp
Định nghĩa Hoán vị phần tử xuất lần gọi hoán vị lặp
Chú ý Số hoán vị lặp n phần tử k loại, mà phần tử từ loại i
(1 ≤ i ≤ k) xuất n lần kí hiệu P(n1, n2, , nk) tính cơng thức
P(n1, n2, , nk) =
n!
n1!n2! nk!
(9)
3 Tổ hợp lặp
Định nghĩa Giả sử tập A gồm n phần tử (n ≥1) Một tổ hợp chập m (m
không thiết phải nhỏ hơnn) n phần tử thuộcA gồmm phần tử, mà phần tử phần tử A
Chú ý Số tổ hợp có lặp chập m n phần tử
Cm
n =Cnm+m−1=Cnn+−m1−1
1.2 Các dạng toán đếm
1.2.1 Các phương pháp đếm Phương pháp đếm trực tiếp
Tùy theo tốn ta chia trường hợp hay không chia trường hợp để đếm trường hợp thỏa mãn yêu cầu toán
2 Phương pháp đếm vị trí
+ B1 Chọn vị trí cho số thứ theo yêu cầu toán, suy số vị trí cho số
+ B2 Sắp xếp số lại Phương pháp đếm loại trừ
+ B1 Đếm số phương án xảy ta có kết n1
+ B2 Đếm số phương án không thỏa mãn yêu cầu tốn ta có kết quản2
+ B3 Số phương án n=n1−n2
Ta sử dụng phương pháp đếm loại trừ phương pháp đếm trực tiếp có nhiều trường hợp
4 Phương pháp lấy trước xếp sau
+ B1 Chọn trước cho đủ số lượng thỏa mãn tích chất mà toán yêu cầu
+ B2 Sắp xếp
Phương pháp dùng cho tốn có xếp, cạnh nhau, có mặt Phương pháp tạo vách ngăn
+ B1 Sắp xếp m đối tượng vào m vị trí tạo m+ vách ngăn
(10)+ B2 Sắp xếp đối tượng khác theo yêu cầu toán vào m+ vách ngăn
6 Công thức bao hàm loại trừ Cho A1, A2 hai tập hữu hạn,
|A1∪A2|=|A1|+|A2| − |A1∩A2|
Từ với ba tập hữu hạn A1, A2, A3 ta có
|A1∪A2∪A3|=|A1|+|A2|+|A3| − |A1∩A2| − |A1∩A3| − |A2∩A3|+|A1∩A2∩A3|
Bằng quy nạp, với k tập hữu hạn A1, A2, , Ak ta có
|A1∪A2∪ .∪Ak|=N1−N2+N3− .+ (−1)k−1Nk,
trong Nm (1≤m≤k) tổng phần tử tất giao m tập lấy từ k tập cho, nghĩa
Nm =
X
1≤i1<i2< <im≤k
|Ai1 ∩Ai2 ∩ .∩Aim|
Bây giờ, ta đồng tập Am(1 ≤ m ≤ k) với tính chất Am cho tập hữu hạn A đếm xem có phần tử A “khơng thỏa mãn tính chất Am nào” Gọi N số cần đếm, N số phần tử A Ta có
N =N − |A1∪A2∪ .∪Ak|=N −N1+N2− .+ (−1)kNk,
trong Nm tổng phần tử củaA thỏa mãn m tính chất lấy từk tính chất cho Công thức gọi công thức bao hàm loại trừ
Nhận xét
Hầu nết toán tổ hợp sử dụng phương pháp để giải quyết, nhiên linh hoạt phương pháp tùy thuộc vào khả học sinh
Đối với tốn ban đầu có số 0, ta xét trường hợp xem số số có nghĩa, kết n1; xét trường hợp số đứng đầu, ta kết n2,
kết cần tìm n1−n2
(11)Tài liệu tham khảo
[1] Các chuyên đề tổ hợp xác suất mạng internet
[2] Nguyễn Huy Đoàn, Nguyễn Xuân Liêm, Nguyễn Khắc Minh, Đồn Quỳnh, Ngơ Xn Sơn, Đặng Hùng Thắng, Lưu Xn Tình, “Bài tập đại số giải tích 11 nâng cao”, NXB Giáo dục, 2007
[3] Đào Hữu Hồ,“Hướng dẫn giải toán xác suất ứng dụng”, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 1996
[4] Đào Hữu Hồ, “Xác suất thống kê”, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 1996
[5] Hoàng Hữu Như, Nguyễn Văn Hữu, “Bài tập xác suất thống kê toán học”, NXB Đại học Trung học chuyên nghiệp Hà Nội, 1976
[6] Lê Hồnh Phị, “Phân loại phương pháp giải toán tổ hợp xác suất”, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2008
[7] Đặng Hùng Thắng, “Mở đầu lý thuyết xác suất ứng dụng”, NXB Giáo dục Việt Nam, 2012