Về những bài toán tổ hợp và xác suất

Header Page of 237 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LUẬN VĂN THẠC SĨ “VỀ NHỮNG BÀI TOÁN TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT” HỌC VIÊN: NGUYỄN THANH TÂN CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP MÃ SỐ: 60460113 CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: PGS TS NGUYỄN MINH TUẤN HÀ NỘI - 2015 Footer Page of 237 Header Page of 237 Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành bảo hướng dẫn PGS TS Nguyễn Minh Tuấn Thầy dành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc tơi suốt q trình làm luận văn Từ tận đáy lòng em xin bày tỏ biết ơn sâu sắc đến thầy Mặc dù nghiêm túc q trình tìm tòi, nghiên cứu chắn nội dung trình bày luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận đóng góp q thầy bạn để luận văn em hoàn thiện Hà Nội, tháng năm 2015 Tác giả Nguyễn Thanh Tân Footer Page of 237 Header Page of 237 Mục lục Mở đầu Chương 1: Những toán đếm 1.1 1.2 2.2 Cơ sở lý thuyết tổ hợp 1.1.1 Quy tắc cộng quy tắc nhân 1.1.2 Giai thừa hoán vị 1.1.3 Chỉnh hợp 1.1.4 Tổ hợp 1.1.5 Chỉnh hợp có lặp, hốn vị có lặp tổ hợp có lặp Các dạng toán đếm 1.2.1 Các phương pháp đếm 1.2.2 Các toán đếm Chương 2: Những toán xác suất 2.1 23 Cơ sở lý thuyết xác suất 23 2.1.1 Một số định nghĩa xác suất 23 2.1.2 Quan hệ biến cố 26 2.1.3 Các cơng thức tính xác suất 28 Một số toán xác suất 31 2.2.1 Tính xác suất định nghĩa cổ điển 31 2.2.2 Tính xác suất cơng thức cộng nhân xác suất 37 2.2.3 Tính xác suất cơng thức xác suất có điều kiện 44 2.2.4 Tính xác suất công thức xác suất đầy đủ Bayes 48 2.2.5 Tính xác suất cơng thức Becnoulli 57 2.2.6 Tính xác suất định nghĩa hình học 62 2.2.7 Các toán biến ngẫu nhiên rời rạc 67 Kết luận 72 Footer Page of 237 Header Page of 237 Tài liệu tham khảo 73 Footer Page of 237 Header Page of 237 Mở đầu Tổ hợp xác suất lĩnh vực tốn học nghiên cứu từ sớm, khai thác ứng dụng nhiều vào đời sống sản xuất Hiện giáo dục phổ thông, tổ hợp xác suất nội dung quan trọng, thường xuyên xuất đề thi đại học, cao đẳng, chí kỳ thi học sinh giỏi quốc gia quốc tế Mặc dù nội dung khơng khó học sinh thường xuyên gặp khó khăn giải toán này, toán liên quan đến xác suất Luận văn chủ yếu tập trung vào dạng tốn xác suất, từ giúp học sinh có cách nhìn nhận sâu sắc toán liên quan đến xác suất Luận văn chia thành hai chương Chương Những toán tổ hợp Chương Những toán xác suất Tất toán tổ hợp chương móng để xây dựng giải số toán xác suất chương Hy vọng tài liệu hữu ích giảng dạy học tập thầy, cô em học sinh Footer Page of 237 Header Page of 237 Chương Những toán đếm Chương ta nhắc lại số lý thuyết tập hợp lý thuyết tổ hợp hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, số nguyên lý đếm tập có liên quan chương trình phổ thơng 1.1 1.1.1 Cơ sở lý thuyết tổ hợp Quy tắc cộng quy tắc nhân Quy tắc cộng Giả sử công việc thực theo phương án A phương án B , có n cách thực phương án A, m cách thực phương án B Khi cơng việc thực n + m cách Tổng quát, giả sử mơt cơng việc thực theo k phương án A1 , A2 , , Ak , có n1 cách thực phương án A1 , n2 cách thực phương án A2 , , nk cách thực phương án Ak Khi cơng việc thực n1 + n2 + · · · + nk cách Biểu diễn dạng tập hợp Số phần tử tập hữu hạn A kí hiệu |A| Nếu A1 , A2 , , An n tập hữu hạn, đôi khơng giao |A1 ∪ A2 ∪ ∪ An | = |A1 | + |A2 | + · · · + |An | hay n n |Ak | Ak = k=1 k=1 Footer Page of 237 Header Page of 237 Quy tắc nhân Giả sử cơng việc bao gồm hai cơng đoạn A B , cơng đoạn A làm theo n cách, cơng đoạn B làm theo m cách Khi cơng việc thực theo nm cách Tổng quát, giả sử cơng việc bao gồm k cơng đoạn A1 , A2 , , Ak , ơng đoạn A1 thực theo n1 cách, cơng đoạn A2 thực theo n2 cách, cơng đoạn A3 thực theo n3 cách, , cơng đoạn Ak thực theo nk cách Khi cơng việc thực theo n1 n2 nk cách Biểu diễn dạng tập hợp Nếu A1 , A2 , , An n tập hữu hạn với |Ak | = mk (k = 1, 2, , n) Khi n |A1 × A2 × · · · × An | = m1 × m2 × · · · × mn = mk k=1 1.1.2 Giai thừa hoán vị Giai thừa Định nghĩa n giai thừa, kí hiệu n! tích n số tự nhiên liên tiếp từ đến n n! = · · · · · (n − 1) · (n), n ∈ N∗ Quy ước 0! = 1, 1! = Hoán vị Định nghĩa Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1) Một cách thứ tự n phần tử tập hợp A gọi hoán vị n phần tử Kí hiệu Pn số hốn vị n phần tử Pn = n! = · · · · (n − 1)n 1.1.3 Chỉnh hợp Định nghĩa Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1) Kết việc lấy k phần tử khác từ n phần tử tập hợp A xếp chúng theo thứ tự gọi chỉnh hợp chập k n phần tử cho Footer Page of 237 Header Page of 237 Công thức Akn = n! = n(n − 1)(n − k + 1) (với ≤ k ≤ n) (n − k)! Chú ý Một chỉnh hợp chập n n phần tử hoán vị n phần tử Ann = Pn = n! 1.1.4 Tổ hợp Định nghĩa Giả sử tập A gồm n phần tử n ≥ Mỗi tập gồm k phần tử A gọi tổ hợp chập k n phần tử cho (1 ≤ k ≤ n) Kí hiệu Cnk (1 ≤ k ≤ n) số tổ hợp chập k n phần tử Công thức Cnk = n! k!(n − k)! Chú ý Cn0 = Cnk = Cnn−k (0 ≤ k ≤ n) k+1 (1 ≤ k ≤ n) Cnk + Cnk+1 = Cn+1 1.1.5 Chỉnh hợp có lặp, hốn vị có lặp tổ hợp có lặp Chỉnh hợp có lặp Định nghĩa Giả sử tập A gồm n phần tử (n ≥ 1) Mỗi dãy có độ dài k phần tử A, mà phần tử lặp lại nhiều lần xếp theo thứ tự định gọi chỉnh hợp lặp chập k n phần tử Chú ý Số chỉnh hợp lặp chập k n phần tử nk Hoán vị lặp Định nghĩa Hoán vị phần tử xuất lần gọi hoán vị lặp Chú ý Số hoán vị lặp n phần tử k loại, mà phần tử từ loại i (1 ≤ i ≤ k) xuất n lần kí hiệu P (n1 , n2 , , nk ) tính cơng thức P (n1 , n2 , , nk ) = Footer Page of 237 n! n1 !n2 ! nk ! Header Page of 237 Tổ hợp lặp Định nghĩa Giả sử tập A gồm n phần tử (n ≥ 1) Một tổ hợp chập m (m không thiết phải nhỏ n) n phần tử thuộc A gồm m phần tử, mà phần tử phần tử A Chú ý Số tổ hợp có lặp chập m n phần tử n−1 m Cnm = Cn+m−1 = Cn+m−1 1.2 Các dạng toán đếm 1.2.1 Các phương pháp đếm Phương pháp đếm trực tiếp Tùy theo toán ta chia trường hợp hay khơng chia trường hợp để đếm trường hợp thỏa mãn yêu cầu tốn Phương pháp đếm vị trí + B1 Chọn vị trí cho số thứ theo yêu cầu tốn, suy số vị trí cho số + B2 Sắp xếp số lại Phương pháp đếm loại trừ + B1 Đếm số phương án xảy ta có kết n1 + B2 Đếm số phương án không thỏa mãn u cầu tốn ta có kết n2 + B3 Số phương án n = n1 − n2 Ta sử dụng phương pháp đếm loại trừ phương pháp đếm trực tiếp có nhiều trường hợp Phương pháp lấy trước xếp sau + B1 Chọn trước cho đủ số lượng thỏa mãn tích chất mà tốn u cầu + B2 Sắp xếp Phương pháp dùng cho tốn có xếp, cạnh nhau, có mặt Phương pháp tạo vách ngăn + B1 Sắp xếp m đối tượng vào m vị trí tạo m + vách ngăn Footer Page of 237 Header Page 10 of 237 + B2 Sắp xếp đối tượng khác theo yêu cầu toán vào m + vách ngăn Công thức bao hàm loại trừ Cho A1 , A2 hai tập hữu hạn, |A1 ∪ A2 | = |A1 | + |A2 | − |A1 ∩ A2 | Từ với ba tập hữu hạn A1 , A2 , A3 ta có |A1 ∪ A2 ∪ A3 | = |A1 | + |A2 | + |A3 | − |A1 ∩ A2 | − |A1 ∩ A3 | − |A2 ∩ A3 | + |A1 ∩ A2 ∩ A3 | Bằng quy nạp, với k tập hữu hạn A1 , A2 , , Ak ta có |A1 ∪ A2 ∪ ∪ Ak | = N1 − N2 + N3 − + (−1)k−1 Nk , Nm (1 ≤ m ≤ k ) tổng phần tử tất giao m tập lấy từ k tập cho, nghĩa |Ai1 ∩ Ai2 ∩ ∩ Aim | Nm = 1≤i1