Xây dựng mối quan hệ giữa các bài toán tổ hợp và xác suất

Đ I H C QU C GIA HÀ N I TRƯ NG Đ I H C KHOA H C T NHIÊN - DƯƠNG NG C ÁNH XÂY D NG M I QUAN H GI A CÁC BÀI TOÁN T H P VÀ XÁC SU T Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ C P Mã s : 60 46 01 13 LU N VĂN TH C S KHOA H C NGƯ I HƯ NG D N KHOA H C PGS.TS NGUY N MINH TU N HÀ N I - NĂM 2015 M cl c M đu T h p Xác su t 1.1 T hp 5 1.2 1.1.1 Phép đ m 1.1.2 Hoán v 1.1.3 Ch nh h p 11 1.1.4 T hp 13 1.1.5 Công th c tính s ph n t c a h p hai ho c ba t ph p 16 Xác su t 19 1.2.1 Bi n c 19 1.2.2 Các quy t c tính xác su t 21 Các toán T h p 2.1 Các d ng toán t h p 2.2 Bài t p v n d ng Các toán Xác su t 3.1 M t s d ng toán làm rõ m i quan h gi a 30 30 48 53 toán t h p xác su t 53 3.2 Các d ng toán xác su t 69 3.3 Bài t p v n d ng 79 K t lu n 85 Tài li u tham kh o 86 M đu Trong nh ng năm g n đây, nhu c u ph i tìm ng d ng c a Toán h c cu c s ng ngày tr nên quan tr ng c p thi t M t cách t nhiên lĩnh v c, mà Toán h c d tìm th y ng d ng d ng toán th c t đưa đ n s h p d n lý thú cho ngư i h c Toán Toán T h p Xác su t ngành Toán h c có nhi u ng d ng r ng rãi nhi u lĩnh v c khoa h c, công ngh , kinh t , Đ c bi t, có nhi u n i dung đa d ng, phong phú đư c ng d ng r ng rãi th c t đ i s ng Trong toán sơ c p, lý thuy t T h p Xác su t đư c đưa vào gi ng d y chương trình Toán trung h c ph thông nh m cung c p cho h c sinh nh ng ki n th c b n c a ngành Toán h c quan tr ng T h p Xác su t xu t hi n nhi u toán lý thú v i đ khó cao, gi i toán T h p Xác su t ngư i quan tâm s c m th y r t h p d n, b ích đòi h i ph i có tư duy, suy lu n đ c đáo xác Đ c bi t, chi m v trí quan tr ng kỳ thi t t nghi p, cao đ ng, đ i h c thi h c sinh gi i V i b n thân m t giáo viên d y môn Toán trung h c ph thông nhi u năm Khi gi ng d y đ n chuyên đ này, mong mu n ngư i th y đóng vai trò u n h c sinh ch đ ng chi m lĩnh ki n th c, v n d ng sáng t o ki n th c đ đưa l i gi i hay cho m t toán T h p Xác su t T th y r ng gi a chúng có m i quan h m t thi t v i Chính th nghiên c u đưa cu n lu n văn "Xây d ng m i quan h gi a toán T h p Xác su t" Lu n văn nh m b t đ u tìm hi u v đ nh nghĩa, tính ch t c a lý thuy t T h p Xác su t T nh ng ki n th c b n đư c v n d ng vào gi i d ng t p ng v i t ng đơn v ki n th c đư c gi i thi u Lu n văn đư c chia làm ba chương v i n i dung: Chương T h p Xác su t Chương trình bày ki n th c b n c a lý thuy t T h p Xác su t: phép đ m, hoán v , ch nh h p, t h p, tính ch t c a t h p, bi n c , quy t c tính xác su t Bên c nh đó, có ví d minh h a cho t ng đơn v ki n th c Chương Các d ng toán T h p Chương trình bày ti p t c 20 toán th c t v i l i gi i chi ti t, minh h a cho t ng đơn v ki n th c v T h p đưa chương m t 30 toán v n d ng Chương Các d ng toán Xác su t Chương trình bày 20 toán th c t v i l i gi i chi ti t, minh h a cho t ng đơn v ki n th c v Xác su t đưa chương m t, có 10 toán đ u tiên đưa m i quan h gi a toán T h p Xác su t Đó 10 toán đ u tiên c a ph n t p v n d ng chương m t v i s v n d ng linh ho t sáng t o chuy n thành 10 toán v xác su t v i s kh thu n l i c a bi n c k t qu c a toán t h p Trong xin gi i thi u toán tính ph n trăm toán xác su t v i 30 toán v n d ng Lu n văn đư c hoàn thành v i s hư ng d n t n tình c a PGS TS Nguy n Minh Tu n - Trư ng Đ i h c Giáo D c - ĐHQG Hà N i v i s n l c c a b n thân s giúp đ đ ng viên c a th y cô, đ ng nghi p b n bè Qua đây, tác gi xin g i l i c m ơn chân thành sâu s c t i Th y hư ng d n ch b o su t th i gian qua Đ ng th i tác gi xin c m ơn đ n Ban giám hi u, th y cô trư ng THPT Yên Viên t o u ki n cho tác gi hoàn thành cu n lu n văn Xin c m ơn gia đình, ngư i thân, b n bè đ ng viên giúp đ su t trình làm lu n văn Cu i cùng, m c dù r t c g ng th i gian ki n th c lý lu n h n ch nên lu n văn không tránh kh i nh ng sai sót Tác gi r t mong nh n s đóng góp t th y cô, b n bè, đ ng nghi p đ hoàn thi n Hà N i, ngày 10 tháng 10 năm 2015 Tác gi Dương Ng c Ánh Chương T h p Xác su t Trong chương đưa ki n th c b n v lý thuy t T h p Xác su t: phép đ m, hoán v , t h p, tính ch t c a t h p, bi n c , xác su t c a bi n c , quy t c tính xác su t Bên c nh nh ng ki n th c nh ng ví d v nh ng toán th c t ng v i t ng đơn v ki n th c N i dung c a chương ch y u đư c hình thành t tài li u [1], [3], [5], [7] [8] 1.1 1.1.1 T hp Phép đ m a Quy t c c ng N u có m1 cách ch n đ i tư ng a1, m2 cách ch n đ i tư ng a2, , mn cách ch n đ i tư ng an, cách ch n đ i tư ng (1 ≤ i ≤ n) không ph thu c vào b t kì cách ch n đ i tư ng aj (1 ≤ j ≤ n, n i = j), s có k=1 mk cách ch n đ i tư ng a1, ho c a2, , ho c an Đ v n d ng có hi u qu , ta chuy n th quy t c sang ngôn ng t p h p sau: Cho n t p h p Ak(1 ≤ k ≤ n) v i |Ak| = mk ∀i, j (1 ≤ i, j ≤ n) Ai ∩ Aj = ∅, i = j Khi s cách ch n a1, ho c a2, , ho c an s n b ng s cách ch n ph n t a thu c k=1 Ví d n Ak b ng | k=1 Ak| = n k=1 1.1.1 ([3]) Cho t p A = {0; 1; 2; 3; 4; 5} có th l p đư c bao |Ak| nhiêu s có b n ch s khác t t p A m i s nh t thi t ph i có ch s 1? L i gi i G i s ph i tìm abcd (a, b, c, d ∈ A; a = 0) Vì s abcd nh t thi t ph i có ch s 1, nên ta xét t p A1, A2, A3, A4 t p s d ng 1bcd, a1cd, ab1d, abc1 tương ng Xét A1 l p s 1bcd có: b ∈ A ∴ {1} có cách ch n c ∈ A ∴ {1, b} có cách ch n d ∈ A ∴ {1, b, c} có cách ch n B i v y, s kh l p s 1bcd 5.4.3 = 60 hay |A1| = 60 Xét A2, A3, A4 i) Xét A2 l p s a1cd có: a ∈ A ∴ {0, 1} có cách ch n c ∈ A ∴ {1, a} có cách ch n d ∈ A ∴ {1, a, c} có cách ch n B i v y, s kh l p s 1bcd 4.4.3 = 48 hay |A2| = 48 Tương t , ta có |A3| = |A4| = 48 ii) Vì s thu c d ng khác đ u khác nhau, nên ∀i, j (1 ≤ i, j ≤ 4; i = j) đ u có A1 ∩ Aj = ∅ B i v y, s s c n tìm đư c tính b ng quy t c c ng, nghĩa b ng |A1| + |A2| + |A3| + |A4| = 60 + 48 + 48 + 48 = 204 b Quy t c nhân Cho n đ i tư ng a1, a2, , an N u có m1 cách ch n đ i tư ng a1 v i m i cách ch n a1 có m2 cách ch n đ i tư ng a2, sau v i m i cách ch n a1, a2 có m3 cách ch n a3, Cu i v i m i cách ch n a1, a2, , an−1 có mn cách ch n đ i tư ng an Như v y s có m1.m2 mn−1.mn cách ch n đ i tư ng a1, r i a2, r i a3, , r i an Tương t đ i v i quy t c c ng, ta chuy n quy t c nhân sang d ng ngôn ng t p h p sau: Gi s có n t p h p Ak(1 ≤ k ≤ n) v i |Ak| = mk Khi đó, s cách ch n (S) b g m n ph n t (a1, a2, , an) v i ∈ Ai(1 ≤ i ≤ n) s n S = |A1 ⋅ A2 ⋅ • • • ⋅ An| = m1 ⋅ m2 ⋅ • • • ⋅ mn = k=1 mk Ví d 1.1.2 ([8]) (Đ thi Đ i h c QGTP H Chí Minh 1999) M t bàn dài có hai dãy gh đ i di n nhau, m i dãy có ch ng i Ngư i ta x p ch ng i cho h c sinh trư ng A h c sinh trư ng B vào bàn H i có cách x p ch ng i m i trư ng h p sau: i) B t kì h c sinh ng i c nh ho c đ i di n khác trư ng ii) B t kì h c sinh ng i đ i di n khác trư ng L i gi i Đánh s gh theo hình v sau i) Hai h c sinh ng i c nh ho c đ i di n khác trư ng V y s cách x p h c sinh ng i c nh ho c đ i di n ph i khác trư ng 12.6.52.42.32.22.12 = 1036800 ii) Hai h c sinh ng i đ i di n ph i khác trư ng V y s cách x p hai h c sinh ng i đ i di n ph i khác 12.6.10.5.8.4.6.3.4.2.2 = 33177600 c Quy t c tr Cho A m t t p h u h n B t p c a A, B ph n bù c a B A ta có |B| = |A − B| = |A| − |B| Ch ng minh Th t v y, A = B ∪ B B ∩ B = ∅ nên theo quy t c c ng ta có |A| = |B| + |B| T suy |B| = |A| − |B| 1.1.2 Hoán v a Hoán v không l p Đ nh nghĩa 1.1.1 Cho m t t p h p g m n (n ≥ 1) ph n t M i cách s p x p n ph n t theo m t th t (m i ph n t có m t m t l n) đư c g i m t hoán v c a n ph n t cho Kí hi u s hoán v c a n ph n t b ng Pn Ta có công th c Pn = n! = n(n − 1) (n − k) 3.2.1 Ví d 1.1.3 V i năm ch s 1, 2, 3, 4, có th l p đư c s g m năm ch s khác nhau? L i gi i Vì s c n l p có năm ch s khác nhau, m i ch s xu t hi n t ng s c n l p m t l n, nên m i s c n l p m t hoán v c a năm s cho B i v y, s s có th l p b ng s hoán v c a năm ph n t , t c P5 = 5! = 120 b Hoán v có l p Đ nh nghĩa 1.1.2 Hoán v m i ph n t xu t hi n nh t m t l n đư c g i hoán v l p S hoán v l p c a n ph n t thu c k lo i, mà ph n t lo i i (1 ≤ i ≤ k) xu t hi n ni l n đư c kí hi u P (n1, n2, , nk) đư c tính b ng công th c P (n1, n2, , nk) = n !n n.! n !• ! k Th y v y, xét m t hoán v có l p c a n ph n t thu c lo i k, mà ph n t lo i i (1 ≤ i ≤ k) xu t hi n ni l n N u ta thay th t t c ph n t gi ng b ng nh ng ph n t khác nhau, s hoán v khác c a n ph n t gi ng mà ta có th l p đư c t hoán v có l p xét theo quy t c nhân b ng n1!n2! nk! Làm v y cho m i hoán v có l p c a n ph n t thu c lo i k, mà ph n t lo i i (1 ≤ i ≤ k) xu t hi n ni, ta s tìm đư c t t c n! hoán v c a n ph n t khác Do ta có đ ng th c P (n1, n2, , nk)n1!n2! nk! = n! T suy P (n1, n2, , nk) = n !n n.! n !• ! Ví d k 1.1.4 ([3]) V i ch s 0, 1, 2, 3, 4, có th l p đư c s g m chín ch s , m i ch s 0, 1, 2, xu t hi n m t l n, ch s xu t hi n hai l n ch s xu t hi n ba l n? L i gi i Xét m t s x tùy ý, x = 140525345 kí hi u v trí ch s c a x m t cách hình th c, ta có: x = a1a2a3a4a5a6a7a8a9 (trong a1 = v trí l i th a mãn yêu c u toán) Khi đó, m i s x tương ng v i m t hoán v c a chín ph n t a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8, a9 T suy P (A) = − 0, = 0, 5; P (B) = − 0, = 0, 6; P (C) = − 0, = 0, a) G i X bi n c "Có m t ngư i câu đư c cá" Ta có X = AB C ∪ A BC ∪ A BC Theo công th c c ng công th c nhân xác su t, có xác su t c a bi n c X P (X) = P (AB C) + P (A BC) + P (A BC) = P (A)P (B)P (C) + P (A)P (B)P (C) + P (A)P (B)P (C) = 0, 5.0, 6.0, + 0, 5.0, 4.0, + 0, 5.0, 6.0, = 0, 46 = 46% V y ph n trăm đ m t ngư i câu đư c cá ba ngư i 46% b) G i Y bi n c "Có hai ngư i câu đư c cá" Y = ABC ∪ ABC ∪ ABC Theo công th c c ng công th c nhân xác su t, có xác su t c a bi n c Y P (Y ) = P (ABC) + P (ABC) + P (ABC) = P (A)P (B)P (C) + P (A)P (B)P (C) + P (A)P (B)P (C) = 0, 5.0, 4.0, + 0, 5.0, 4.0, + 0, 5.0, 6.0, = 0, 26 = 26% V y ph n trăm đ hai ngư i câu đư c cá ba ngư i 26% c) G i H bi n c "Ngư i th ba câu đư c cá" H = ABC ∪ ABC ∪ ABC ∪ A BC Theo công th c c ng công th c nhân xác su t, có xác su t c a bi n c H P (H) = P (ABC) + P (ABC) + P (ABC) + P (A BC) = P (A)P (B)P (C) + P (A)P (B)P (C) + P (A)P (B)P (C) +P (A)P (B)P (C) = 0, 5.0, 4.0, + 0.5.0, 4.0, + 0, 5.0, 6.0, + 0, 5.0, 6.0, = 0, = 20% 73 Vây ph n trăm đ ngư i th ba câu đư c cá 20% d) G i E bi n c "Có nh t m t ngư i câu đư c cá" Ta có, xác su t P (E) = P (A B C) = P (A)P (B)P (C) = 0, 5.0, 6.0, = 0, 24 Do E bi n c đ i c a E, có xác su t c a bi n c E P (E) = − P (E) = − 0, 24 = 0, 76 = 76% V y ph n trăm đ có nh t m t ngư i câu đư c cá ba ngư i 76% Bài toán 3.2.6 ([2]) M t thi tr c nghi m g m 12 câu h i, m i câu h i có câu tr l i, ch có m t câu Gi s m i câu tr l i đư c m m i câu tr l i sai b tr m t m M t h c sinh làm b ng cách ch n hú h a m t câu tr l i Tính xác su t đ: a) H c sinh đư c 13 m b) H c sinh b m âm L i gi i G i x s câu tr l i đúng, (0 ≤ x ≤ 12, x ∈ N ); 12 − x s câu tr l i sai a) Trư c h t ta xem đ đư c 13 m c n ph i c n m y câu tr l i Đ đư c 13 m, ta c n có 4x − (12 − x) = 13 ⇔ 5x = 25 ⇔ x = Khi đó, đưa v toán tính xác su t đ h c sinh làm đư c câu tr l i G i A bi n c "H c sinh tr l i đư c câu đúng" Xác su t đ có câu tr l i xác su t ch n câu tr l i sai 4, ta có xác su t c n tìm P (A) = C5 5 12 74 ≈ 0, 0532 b) H c sinh b m âm 4x − (12 − x) < ⇔ 5x − 12 < ⇔ x < 12• Do x nguyên không âm, ta có x = 0; 1; V y h c sinh b m âm s câu tr l i 0; 1; ho c G i B bi n c "H c sinh không tr l i câu nào", ta có 12 P (B) = ≈ 0, 0687 G i C bi n c "H c sinh tr l i câu", ta có P (C) = C 12 5 11 ≈ 0, 2062 G i D bi n c "H c sinh tr l i câu", ta có P (D) = C2 12 5 10 ≈ 0, 2835 Khi B ∪ C ∪ D bi n c "H c sinh lư i h c b nh n m âm" Vì B, C, D đôi m t không giao nên có P (B ∪ C ∪ D) = P (B) + P (C) + P (D) ≈ 0, 0687 + 0, 2062 + 0, 2835 ≈ 0, 5584 V y xác su t đ h c sinh lư i h c b nh n m âm 0,5584 Bài toán 3.2.7 ([2]) Có hai chu ng th , chu ng th nh t có th đen 10 th tr ng, chu ng th hai có th tr ng, th đen T chu ng th hai b t ng u nhiên th cho vào chu ng th nh t Sau b t ng u nhiên m t th chu ng th nh t Gi s th b t th tr ng Tính xác su t đ th tr ng th tr ng thu c chu ng th nh t L i gi i G i E1 bi n c "T chu ng th hai b t đư c th tr ng"; E2 bi n c "T chu ng th hai b t đư c th đen" Ta có P (E1) = 10; P (E2) = 10• 75 G i A bi n c "B t đư c th tr ng l n b t sau"; B bi n c "B t đư c th tr ng c a chu ng m t l n b t sau" Ta có P (A) = P (A/E1)P (E1) + P (A/E2)P (E2) (3.1) Đ ý r ng E1 x y lúc chu ng m t có th đen 11 th tr ng nên A/E1 bi n c "b t đư c th tr ng E1 x y ra", t c P (A/E1) = 11• 16 Tương t , ta có P (A/E2) = 10• 16 T thay vào (3.1), ta có P (A) = 11 • 10 + 10 • 10 = 103• 16 16 160 Tương t , ta có P (B) = P (B/E1)P (E1) + P (B/E2)P (E2) B/E1 bi n c "b t đư c th tr ng chu ng m t, n u E1 x y ra"; E1 x y t c có th đen, 10 th tr ng chu ng m t, th tr ng chu ng hai b sang T đó, ta có P (B/E1) = 10; P (B/E2) = 10• 16 16 T thay vào (3.2), ta có P (B) = 10 • 10 + 10 • 10 = 100• 16 16 160 V y xác su t b t đư c th tr ng c a chu ng m t bi t th b t đư c th tr ng P (B/A) = PP(AB) = P (B) = 100• (A) P (A) 103 (3.2) 76 Bài toán 3.2.8 ([2]) M t c p tr sinh đôi có th m t tr ng (sinh đôi th t), hay hai tr ng khác (sinh đôi gi ) Các c p sinh đôi th t có gi i tính Đ i v i c p sinh đôi gi gi i tính m i đ a tr đ c l p v i có xác su t 0,5 trai Th ng kê cho th y 34% c p sinh đôi đ u trai, 30% c p sinh đôi đ u gái 36% c p sinh đôi có gi i tính khác a) Tính xác su t c p sinh đôi th t b) Ch n ng u nhiên m t c p sinh đôi đư c c p có gi i tính Tính xác su t đ c p sinh đôi c p sinh đôi th t L i gi i G i B1 bi n c "C p sinh đôi th t"; B2 bi n c "C p sinh đôi gi "; A bi n c "C p sinh đôi gi i" a) T gi thi t, ta có P (A) = 0, 34 + 0, 30 = 0, 64 Ta có P (A/B1) = (vì c p sinh đôi th t, c p sinh đôi ch c ch n gi i) Theo gi thi t P (A/B2) = 1• Đ t P (B1) = x P (B2) = − x Ta có P (A) = P (A/B1)P (B1) + P (A/B2)P (B2) hay 0, 64 = x + 1(1 − x) ⇔ 1, 28 = 2x + − x ⇔ x = 0, 28 V y xác su t đ có c p sinh đôi th t P (B1) = 0, 28 b) Ta c n tính P (B1/A) (trong c p sinh đôi có gi i tính tính xác su t x y c p sinh đôi th t).Theo công xác su t có u ki n, ta có P (B1/A) = PPBAA)• (1 () 77 Chú ý P (B1A) = P (B1) = 0, 28 Vì bi n c v a sinh đôi th t, sinh đôi gi i tính sinh đôi th t V y xác su t c n tìm P (B1/A) = 0,, 28 = 16 = 0, 4375 64 Bài toán 3.2.9 ([6]) M t ngư i m b nghi m c m t hai lo i b nh A B Th ng kê tình hình m c b nh nhi u năm cho th y xác su t m c b nh A cao g p đôi xác su t m c b nh B B nh vi n ti n hành hai xét nghi m y h c T1 T2 m t cách đ c l p cho b nh nhân Bi t r ng n u có b nh A xét nghi m T1 cho dương tính v i xác su t 0,9 xét nghi m T2 cho dương tính v i xác su t 0,75 Trong trư ng h p, có b nh B xét nghi m T1 cho dương tính v i xác su t 0,05 xét nghi m T2 cho dương tính v i xác su t 0,1 Gi s c hai xét nghi m T1 T2 đ u dương tính Tính xác su t m c b nh A c a ngư i b nh L i gi i G i A bi n c "Ngư i b nh m c b nh A"; B bi n c "Ngư i b nh m c b nh B"; T1 bi n c "Xét nghi m T1 cho dương tính"; T2 bi n c Ta nh n th "Xét nghi m T2 cho dương tính"; y T1 T2 bi n c đ x y bi n c A, c n tính P (A/T1T2) Áp d ng công th c Bayet, ta có P (A/T1T2) = P (A)P (T P (AAP (T1T(2BAP (T T /B)• 12 ) /) T gi thi t toán, ta có ) T /)+P P (A) = 2; P (B) = 1• 3 P (T1T2/A) = P (T1/A)P (T2/A) = 0, 9.0, 75 = 0, 675; P (T1T2/B) = P (T1/B)P (T2/B) = 0, 05.0, = 0, 005 Thay vào (3.3) ta đư c P (A/T1T2) ≈ 0, 996 78 (3.3) V y xác su t ngư i b nh m c b nh A 0,996 hay kh b m c b nh A chi m 99, 6% Bài toán 3.2.10 ([7]) Hai đ u th A B thi đ u c Xác su t th ng c a A m t ván c 0,6 (không có hòa) Tr n đ u bao g m ván Ngư i th ng l n m t ván ngư i th ng cu c Tính xác su t đ B th ng cu c L i gi i Theo đ bài, ta có P (A) = 0, P (B) = − P (A) = 0, ngư i th ng m t ván th ng cu c Trong ván đ B th ng cu c B ph i th ng ván, ván, ván Áp d ng công th c Becnuli, ta có: Xác su t đ B th ng ván P3(5; 0, 4) = C3.(0, 4)3.(0, 6)2 = 0, 2304 Xác su t đ B th ng ván P4(5; 0, 4) = C4.(0, 4)4.0, = 0, 0768 Xác su t đ B th ng ván P5(5; 0, 4) = C5.(0, 4)5 = 0, 01024 Xác su t đ B th ng cu c P3(5; 0, 4) + P4(5; 0, 4) + P5(5; 0, 4) = 0, 31744 3.3 Bài t p v n d ng Bài toán 3.3.1 Ch n ng u nhiên s 50 s t nhiên 1;2;3; ;50 Tính xác su t cho: a) Trong s đư c ch n ch có s b i c a b) Trong s đư c ch n có nh t s s phương Bài toán 3.3.2 G i A t p h p s t nhiên có ch s đư c l p t ch s {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} Ch n ng u nhiên m t s t t p A Tính xác su t cho s đư c ch n có ch a ch s ch s có s l n xu t hi n b ng s 79 Bài toán 3.3.3 Có 30 t m th đánh s t đ n 30 Ch n ng u nhiên 10 t m th Tính xác su t đ có t m th mang s l , t m th mang s ch n, ch có t m mang s chia h t cho 10 Bài toán 3.3.4 Cho X t p h p s t nhiên có ch s khác đư c l p thành t t p E = {1; 2; 3; 4; 5; 6} Ch n ng u nhiên hai s t t p X Tính xác su t đ hai s đư c ch n có ch s khác t ng b ng 18 Bài toán 3.3.5 Danh sách l p c a Bình đư c đánh s th t t đ n 30, Bình có s th t 12 Ch n ng u nhiên m t b n l p Tính xác su t đ : a) Bình đư c ch n b) Bình không đư c ch n c) M t b n có s th t nh s th t c a Bình đư c ch n Bài toán 3.3.6 K t qu (b, c) c a vi c gieo xúc s c cân đ i đ ng ch t hai l n, b s ch m xu t hi n l n gieo đ u, c s ch m xu t hi n l n gieo sau, đư c thay vào phương trình b c hai x2 + bx + c = Tính xác su t đ : a) Phương trình vô nghi m b) Phương trình có nghi m kép c) Phương trình có nghi m Bài toán 3.3.7 M t xúc s c cân đ i đ ng ch t đư c gieo hai l n Tính xác su t cho: a) T ng s ch m c a hai l n gieo b) Ít nh t m t l n gieo xu t hi n m t m t ch m Bài toán 3.3.8 M t h p ch a 16 viên bi g m viên bi tr ng, viên bi đen viên bi đ a) L y ng u nhiên ba viên bi Tính xác su t đ : i) L y đư c c ba viên bi màu đ 80 ii) L y đư c c ba viên màu đ iii) L y đư c m t viên bi tr ng, m t viên bi đen, m t viên bi đ b) L y ng u nhiên lúc viên bi Tính xác xu t đ : i) L y đư c m t viên bi tr ng ii) L y đư c hai viên bi tr ng iii) Có đ c ba màu c) L y ng u nhiên 10 viên bi Tính xác su t đ l y đư c viên bi màu tr ng, viên bi màu đen viên bi màu đ Bài toán 3.3.9 M t t công nhân có n , nam Ch n ng u nhiên ba ngư i th c hi n m t công vi c Tính xác su t đ ba ngư i đư c ch n có nh t m t công nhân nam Bài toán 3.3.10 M t khách s n có phòng đơn, có 10 khách đ n thuê phòng có nam n Ngư i qu n lí ch n ng u nhiên ngư i Tính xác su t đ : a) Có khách nam b) Có khách nam khách n c) Có nh t khách n Bài toán 3.3.11 T Toán c a m t trư ng A có 10 th y giáo cô giáo Ch n m t h i đ ng ch m thi g m ngư i có c th y cô Tính xác su t đ h i đ ng s cô giáo nhi u th y giáo Bài toán 3.3.12 M t chi c máy bay có đ ng cơ, đ ng I đ ng II ho t đ ng đ c l p Xác su t đ đ ng I đ ng II ch y t t l n lư t 0,8 0,7 Tính xác su t đ : a) C hai đ ng đ u ch y t t b) C hai đ ng đ u ch y không t t c) Có nh t m t đ ng ch y t t Bài toán 3.3.13 M t đ i thi b n súng g m x th b n vào bia Xác su t b n súng trúng bia c a m i x th đ u b ng 0,9 Bi t r ng n u có nh t x th b n trúng bia đ i s chi n th ng Tính xem kh chi n th ng c a đ i chi m ph n trăm 81 Bài toán 3.3.14 An Bình h c hai nơi khác Xác su t đ An Bình đ t m gi i v môn Toán kì thi cu i năm l n lư t 0,92 0,88 Tính xác su t đ : a) C hai đ t m gi i b) C hai đ u không đ t m gi i c) Có nh t m t hai b n đ t m gi i Bài toán 3.3.15 M t đoàn tàu g m toa đ sân ga Có hành khách bư c lên tàu M i hành khách đ c l p v i ch n ng u nhiên m t toa Tính xác su t đ m i toa đ u có nh t m t hành khách m i bư c lên Bài toán 3.3.16 Trong m t l p h c có bóng đèn, m i bóng có xác su t b cháy 0, 25 L p h c đ ánh sáng n u có nh t bóng đèn sáng Tính xem đ l p h c không đ ánh sáng chi m bao ph n trăm? Bài toán 3.3.17 Có hai h p qu c u kích thư c H p th nh t ch a qu c u tr ng, qu đen H p th hai ch a qu tr ng, qu đen L y ng u nhiên t m i h p m t qu c u Tính xác su t: a) Hai qu c u l y đư c đ u màu tr ng b) Hai qu c u l y đư c màu c) Hai qu c u l y đư c khác màu Bài toán 3.3.18 Trong m t ki n hàng có 100 s n ph m, có 30 s n ph m lo i A Ch n ng u nhiên liên ti p (t ng s n ph m m t) s n ph m Tính ph n trăm đ l y đư c ba s n ph m lo i A Bài toán 3.3.19 Gieo hai đ ng xu A B m t cách đ c l p Đ ng xu A ch t o cân đ i Đ ng xu B ch t o không cân đ i nên xác su t xu t hi n m t s p g p ba l n xác su t xu t hi n m t ng a Tính xác su t đ: a) Khi gieo hai đ ng xu m t l n c hai đ ng xu đ u ng a b) Khi gieo hai đ ng xu hai l n hai l n c hai đ ng xu đ u ng a Bài toán 3.3.20 Trong m t thi tr c nghi m khách quan có 10 câu h i M i câu có phương án tr l i, ch có m t phương án 82 M t h c sinh không h c nên làm b ng cách v i m i câu đ u ch n ng u nhiên m t đáp án tr l i Tính ph n trăm đ h c sinh tr l i không c 10 câu Bài toán 3.3.21 M t ngư i b n viên đ n Xác su t đ c viên trúng vòng 10 0,008, xác su t đ viên trúng vòng 0,15 xác su t đ viên trúng vòng dư i 0,4 Tính xác su t đ x th đ t nh t 28 m Bài toán 3.3.22 M t máy bay có đ ng cơ, có đ ng cánh ph i, đ ng cánh trái đ ng thân đuôi M i đ ng cánh ph i đuôi có xác su t b h ng 0,1, m i đ ng cánh trái có xác xu t b h ng 0,05 Các đ ng ho t đ ng đ c l p Tính xác su t đ máy bay th c hi n chuy n bay an toàn trư ng h p: a) Máy bay ch bay đư c n u có nh t hai đ ng làm vi c b) Máy bay ch bay đư c m i cánh c a có nh t m t đ ng làm vi c Bài toán 3.3.23 Gieo ba xúc s c cân đ i m t cách đ c l p Tính xác su t đ : a) T ng s ch m xu t hi n n u bi t r ng nh t có m t m t m t ch m b) Có nh t m t xu t hi n m t sáu ch m n u bi t r ng s ch m khác Bài toán 3.3.24 M t gia đình có hai đ a Tìm xác su t đ c hai đ u trai n u bi t r ng nh t hai đ a có m t đ a trai (gi thi t xác su t sinh trai gái b ng nhau) Bài toán 3.3.25 M t chu ng gà có gà mái gà tr ng Chu ng gà khác có gà mái gà tr ng T m i chu ng ta b t ng u nhiên m t làm th t Các gà l i đư c d n vào m t chu ng th ba T chu ng th ba b t ng u nhiên m t gà Tính xác su t đ ta b t đư c gà tr ng 83 Bài toán 3.3.26 M t nhà máy s n xu t bóng đèn có t l bóng đèn đ t tiêu chu n 80% Trư c xu t xư ng th trư ng m i bóng đèn đ u đư c qua ki m tra ch t lư ng Vì s ki m tra không th t đ i hoàn h o, nên m t bóng đèn t t có xác su t 0,9 đư c công nh n t t m t bóng đèn h ng có xác su t 0,95 b lo i b Hãy tính t l bóng đ t tiêu chu n sau qua khâu ki m tra ch t lư ng s n ph m Bài toán 3.3.27 Có b n nhóm x th t p b n Nhóm th nh t có ngư i, nhóm th hai có ngư i, nhóm th ba có ngư i nhóm th tư có ngư i Xác su t b n trúng đích c a m i ngư i nhóm th nh t, nhóm th hai, nhóm th ba nhóm th tư l n lư t 0,8; 0,7; 0,6 0,5 Ch n ng u nhiên m t x th x th b n trư t Hãy xác đ nh xem x th có kh nhóm nh t Bài toán 3.3.28 Trong s b nh nhân m t b nh vi n có 50% u tr b nh A; 30% u tr b nh B 20% u tr b nh C Xác su t đ ch a kh i b nh A, B C b nh vi n tương ng 0,7; 0,8 0,9 Hãy tính t l b nh nhân đư c ch a kh i b nh A t ng s b nh nhân đư c ch a kh i b nh Bài toán 3.3.29 Trong m t kho rư u, s lư ng rư u lo i A rư u lo i B b ng Ngư i ta ch n ng u nhiên m t chai rư u kho đưa cho ngư i sành rư u n m th đ xác đ nh xem lo i rư u Gi s m i ngư i có xác su t đoán 75% Có b n ngư i k t lu n chai rư u lo i A m t ngư i k t lu n chai rư u lo i B H i xác su t đ chai rư u đư c ch n thu c lo i A bao nhiêu? Bài toán 3.3.30 M t b nh nhân b nghi có th m c m t ba b nh A, B, C v i xác su t tương ng 0,3; 0,4 0,3 Ngư i đ n khám b nh bác sĩ m t cách đ c l p Bác sĩ th nh t ch n đoán b nh A, bác sĩ th hai ch n đoán b nh B, bác sĩ th ba ch n đoán b nh C bác sĩ th tư ch n đoán b nh A H i sau khám b nh xong, ngư i b nh c n đánh giá l i xác su t m c b nh A, B, C c a Bi t r ng xác su t ch n đoán c a m i bác sĩ 0,6 ch n đoán nh m sang hai b nh l i 0,2 0,2 84 K t lu n Như v y, lu n văn đư c hoàn thành v i n i dung chương: Chương T h p Xác su t Chương Các toán T h p Chương Các toán Xác su t Thông qua vi c tham kh o tài li u liên quan đ c bi t s hư ng d n t n tình c a PGS TS Nguy n Minh Tu n, lu n văn nghiên c u v ki n th c b n c a lý thuy t T h p Xác su t v i d ng toán th c t đa d ng, phong phú ng v i t ng đơn v ki n th c t ch m i quan h gi a toán t h p xác su t Khi biên so n lu n văn, tác gi c g ng bám sát vào d ng đ thi Tuy n ch n gi i thi u toán t b n đ n nâng cao v toán th c t h p d n, b ích lý thú Nhi u toán lu n văn đư c l y t đ thi cao đ ng, đ i h c năm đ thi h c sinh gi i Hi v ng lu n văn có th tài li u tham kh o b ích cho h c sinh giáo viên trư ng Trung H c Ph Thông 85 Tài li u tham kh o [1] Tr n Th Vân Anh, 2014, Phân d ng phương pháp gi i Toán Đ i S Gi i Tích 11, NXB ĐHQG Hà N i [2] Phan Huy Kh i, 2012, Các toán T H p, NXB Giáo D c Vi t Nam [3] Nguy n Văn M u, Tr n Nam Dũng, Vũ Đình Hòa, Đ ng Huy Ru n, Đ ng Hùng Th ng, 2008, Chuyên đ ch n l c T H p Toán R i R c, NXB Giáo D c [4] Ph m Minh Phương, 2010, M t s chuyên đ Toán T H p , NXB Giáo D c Vi t Nam [5] Đoàn Quỳnh, Nguy n Huy Đoàn, Nguy n Xuân Liêm, Nguy n Kh c Minh, Đ ng Hùng Th ng, 2007, Đ i s Gi i tích 11, NXB Giáo D c [6] Nguy n Quang Sơn, 2014, C m Nang Luy n Thi Đ i H c T H p Xác Su t, NXB ĐHQG Hà N i [7] Đ ng Hùng Th ng, 2013, Bài t p Xác Su t, NXB Giáo D c Vi t Nam [8] Nguy n Văn Thông, 2012, B i dư ng h c sinh gi i Toán T H p R i R c, NXB ĐHQG Hà N i 86 ... Các toán Xác su t 3.1 M t s d ng toán làm rõ m i quan h gi a 30 30 48 53 toán t h p xác su t 53 3.2 Các d ng toán xác su t 69 3.3 Bài t p v n d... 16 Xác su t 19 1.2.1 Bi n c 19 1.2.2 Các quy t c tính xác su t 21 Các toán T h p 2.1 Các d ng toán t h p 2.2 Bài. .. c a Toán h c cu c s ng ngày tr nên quan tr ng c p thi t M t cách t nhiên lĩnh v c, mà Toán h c d tìm th y ng d ng d ng toán th c t đưa đ n s h p d n lý thú cho ngư i h c Toán Toán T h p Xác su