Bài giảng lý thuyết xác suất và thông kê toán chương 2 đại lượng ngẫu nhiên và phân phối xác suất

Đại lượng ngẫu nhiên là đại lượng nhận các giá trị khác nhau tuỳ thuộc vào kết quả của một phép thửthử... Khi thực hiện phép thử, đại lượng ngẫu nhiên sẽ nhận một và chỉ một giá trị tron

Các thí dụ:

tâm đến

tâm đến số sản phẩm đạt tiêu

chuẩn có trong 3 sản phẩm kiểm tra.

 Khảo sát điểm thi môn toán cao cấp của một sinh viên hệ chính qui và quan tâm đến điểm thi của sinh viên này.

siêu thị trong một ngày và quan tâm đến doanh thu (triệu đồng)

của siêu thị.

 Số sản phẩm

đạt tiêu chuẩn.

 Điểm thi môn

toán cao cấp

của sinh viên.

của siêu thị.

Đạïi lượng ngẫu nhiên

Khi thực hiện một phép thử, bằng một qui tắc hay một hàm ta có thể gán các giá trị bằng số cho những kết quả của một phép thử Đại lượng ngẫu nhiên là đại lượng nhận các giá trị khác nhau tuỳ thuộc vào kết quả của một phép thử

thử.

Khi thực hiện phép thử, đại lượng ngẫu nhiên sẽ nhận một (và chỉ một) giá trị trong tập hợp các giá trị mà nó có thể nhận Đại lượng ngẫu nhiên nhận một giá trị cụ thể là biến cố.

Các đại lượng ngẫu nhiên thường được ký hiệu là: X, Y, Z,

X 1 , X 2 , , X n ; Y 1 , Y 2 , , Y m ;

được ký hiệu là:

x 1 , x 2 , , x n ; y 1 , y 2 , , y m ;

Có thể định nghĩa ĐLNN như sau: Cho phép thử  có không gian mẫu  Một ánh xạ từ  vào R

được gọi là một đại lượng ngẫu nhiên (hay biến ngẫu nhiên)

Kiểm tra 3 sản phẩm và gọi X là

số sản phẩm đạt tiêu chuẩn có trong 3 sản phẩm kiểm tra.

Thí dụ:

Đại lượng ngẫu nhiên có thể là rời rạc hoặc liên tục.

Đại lượng ngẫu nhiên được gọi là

rời rạc nếu tập hợp các giá trị mà

nó có thể nhận là một tập hợp hữu hạn hoặc vô hạn đếm được.

II – Phân loại ĐLNN

Đối với ĐLNN rời rạc, ta có thể liệt kê được các giá trị của nó.

ĐLNN được gọi là liên tục nếu các

giá trị mà nó có thể nhận có thể lấp kín một khoảng trên trục số.

Đối với ĐLNN liên tục, ta không thể liệt kê tất cả các giá trị của nó

Thí dụ: Số sinh viên vắng mặt trong mỗi buổi học ; số máy hỏng trong từng ngày của một phân xưởng, là các đại lượng ngẫu nhiên rời rạc.

Nếu gọi X là trọng lượng của một loại sản phẩm do một nhà máy sản xuất; Y là thu nhập của những người làm việc trong một ngành; thì X, Y là những đại lượng ngẫu nhiên liên tục.

1- Bảng phân phối xác suất

Bảng phân phối xác suất dùng để thiết lập phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên rời rạc.

III – Phân phối xác suất của

đại lượng ngẫu nhiên

Giả sử đại lượng ngẫu nhiên X có thể nhận một trong các giá trị:

Đối với bảng phân phối xác suất,

Thí dụ

Thí dụ: Một hộp có 10 sản phẩm

(trong đó có 6 sản phẩm loại I) Lấy ngẫu nhiên không hoàn lại từ hộp ra 2 sản phẩm Lập bảng phân phối xác suất của số sản phẩm loại I có trong 2 sản phẩm lấy ra

Giải: : Gọi X là số sản phẩm loại I có trong 2 sản phẩm lấy ra từ hộp thì X là ĐLNN rời rạc có thể nhận các giá trị : 0, 1, 2 với các xác suất tương ứng:

15

2 C

C )

0 X

( P

10

2 4

8 C

C

C )

1 X

( P

10

1 4

1 6

15

5 C

C )

2 X

( P

10

2 6

Vậy phân phối xác suất của X là:

2- Hàm mật độ xác suất

Hàm mật độ xác suất của đại lượng ngẫu nhiên liên tục X, ký hiệu là f(x), thỏa mãn các điều kiện sau:

x ( f

1 dx

) x (

x

P(a< X < b)

3- Hàm phân phối xác suất

Hàm phân phối xác suất có thể thiết lập cho cả đại lượng ngẫu nhiên rời rạc và đại lượng ngẫu nhiên liên tục.

F(x) = P(X < x) Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc thì hàm F(x) có dạng:

i

i

) x X

( P )

x ( F

x ( f )

x ( FNếu X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục thì hàm F(x) có dạng:

Thí dụ

Thí dụ: Cho Cho đại lượng ngẫu đại lượng ngẫu i l i l ượng ngẫu ượng ngẫu ng ng u ng ng u ẫu ẫu

nhiên r i r c X có b ng phân ời rạc X có bảng phân ại lượng ngẫu ảng phân

nhiên r i r c X có b ng phân ời rạc X có bảng phân ại lượng ngẫu ảng phân

ph i xác suất: ối xác suất:

ph i xác suất: ối xác suất:

Hàm phân ph i xác su t c a X: ối xác suất: ất của X: ủa X:

Hàm phân ph i xác su t c a X: ối xác suất: ất của X: ủa X:

F(x) =

0 x  1 0,25 1< x  2 0,75 2< x  3

1 x > 3

Đồ thị hàm phân ph i xác su t ối xác suất: ất của X:

Đồ thị hàm phân ph i xác su t ối xác suất: ất của X:

b- Tính chất:

ª Tính chất 1: Hàm phân phối

xác suất luôn luôn nhận giá trị trong khoảng [0, 1], tức:

0 ≤ F(x) ≤ 1

ª Tính chất 2: Hàm phân phối

xác suất là hàm không giảm Tức là: Nếu x 2 > x 1 thì:

F(x 2 ) F(x ) F(x ≥ F(x ≥ F(x 1 )

ª Hệ quả 1 Hệ quả 1 :

P(a X < b) = F(b) - F(a) P(a X < b) = F(b) - F(a) ≤ X < b) = F(b) - F(a) ≤ X < b) = F(b) - F(a)

ª Hệ quả 2 Hệ quả 2 : Xác suất để ĐLNN Xác suất để ĐLNN

liên tục nhận một giá trị xác định cho trước luôn bằng 0.

ª Hệ quả 3 Hệ quả 3 : Nếu X là ĐLNN liên

tục thì:

P(a X b) = P(a < X P(a X b) = P(a < X ≤ X < b) = F(b) - F(a) ≤ X < b) = F(b) - F(a) ≤ X < b) = F(b) - F(a) ≤ X < b) = F(b) - F(a) ≤ X < b) = F(b) - F(a) ≤ X < b) = F(b) - F(a) b) b)

= P(a ≤ X < b) = F(b) - F(a) ≤ X < b) = F(b) - F(a) X < b) X < b)

= P(a < X < b) = P(a < X < b)

c- Ý nghĩa của hàm phân phối xác

suất:

Hàm F(x) phản ánh mức độ tập trung xác suất về phía bên trái của điểm x Giá trị của hàm F(x) cho biết có bao nhiêu phần của một đơn vị xác suất phân phối trong khoảng ( -, x).

1- Kỳ vọng toán:

a- Định nghĩa:

IV – Các tham số đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên

X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có thể nhận các giá trị: x 1 , x 2 , ,

x n với các xác suất tương ứng:

E(X) =

b- Các tính chất:

 E(C) = C (với C là hằng số)

 E(CX) = CE(X) (C - hằng số) E(CX) = CE(X) (C - hằng số)

Khái niệm 2 ĐLNN độc lập

X và Y là hai ĐLNN độc lập nếu phân phối xác suất của X thay đổi không làm thay đổi phân phối xác suất của Y và ngược lại.

Nếu X, Y không thỏa điều kiện nêu trên thì X, Y là hai ĐLNN phụ thuộc.

c- Bản chất và ý nghĩa của kỳ vọng toán

Thí dụ: Một lớp có 50 sinh viên, trong kỳ thi môn toán có kết quả cho ở bảng sau:

Điểm 3 4 5 6 7 8 9

Nếu gọi X là điểm thi môn toán của một s/v chọn ngẫu nhiên từ lớp này thì X là ĐLNN có phân phối xác suất như sau:

X 3 4 5 6 7 8 9

82 ,

5 50

4 9

7 4

3

3 )

E(X) = 3 0,06 + 40,14 +

90,08

Kỳ vọng toán của đại lượng ngẫu nhiên chính là giá trị trung bình của đại lượng ngẫu nhiên.

Trong thực tế thường tính phương sai bằng công thức:

Thí dụ: : Cho ĐLNN X có luật phân phối xác suất như sau:

X 1 3 4

P 0,1 0,5 0,4

Tìm var(X).

Giải: Theo định nghĩa của E(X) ta có:

E(X 2 ) = 1 2 ×0,1 + 3 2 ×0,5 + 4 2 ×0,4 = 11 Vậy:

Var(X) = 11 – (3,2) 2 = 0,76

b- Các tính chất của phương sai:

ª Var(C) = 0 (C - const) Var(C) = 0 (C - const)

ª Var(CX) = C Var(CX) = C 2 Var(X)

(C - const)

ª Nếu X, Y là hai đại lượng ngẫu Nếu X, Y là hai đại lượng ngẫu

nhiên độc lập thì:

Var(X + Y ) = Var(X) + Var(Y)

Trường hợp tổng quát, nếu X1 , X 2 , , X n là n đại lượng ngẫu nhiên độc lập thì:

Var(X 1 + X 2 + + X n ) = Var(X 1 )

+ Var(X 2 ) + + Var(X n )

Hệ quả 2: :

• Var(C + X) = Var(X)

• (với C là hằng số )

•Hệ quả 1: :

• Var(X-Y) = Var(X) + Var(Y)

•Nếu X, Y độc lập

3- Độ lệch chuẩn

Độ lệch chuẩn của đại lượng ngẫu nhiên X ký hiệu là (X) là căn bậc 2 của phương sai:

Đôä lệch chuẩn có cùng đơn vị đo với đại lượng ngẫu nhiên

Đơn vị đo của phương sai bằng bình phương đơn vị đo của đại lượng ngẫu nhiên.

lượng ngẫu nhiên

4- Giá trị tin chắc nhất

a- Định nghĩa:

Giá trị tin chắc nhất của đ.l.n.n

X ký hiệu là Mod(X)

Nếu X là đ.l.n.n rời rạc thì Mod(X) là giá trị của X ứng với xác suất lớn nhất trong bảng phân phối xác suất của X

Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục thì Mod(X) là giá trị của

X tại đó hàm mật độ đạt giá trị cực đại.

c - Thí dụ 2:

X là đại lượng ngẫu nhiên có hàm mật độ xác suất như sau:

Mod(X) = 4,6

f(x)

0

Mod(X) chính là giá trị có khả năng xảy ra nhiều nhất trong các giá trị mà đ.l.n.n X có thể nhận

Nếu X là chiều cao của s/v trong một trường, thì Mod(X) là chiều cao mà nhiều s/v đạt được nhất;

Nếu Y là thu nhập của công nhân trong một nhà máy thì Mod(Y) là thu nhập mà số công nhân có mức thu nhập này ở nhà máy là nhiều nhất

* Chú ý Chú ý : : Mod(X) có thể nhận

nhiều giá trị khác nhau.

Thí dụ: X là đ.l.n.n có bảng phân phối xác suất như sau:

Mod(X) = 3 hoặc Mod(X) = 4.

TỔNG KẾT CHƯƠNG 2

hàm

PP XS

hàm hàm

mật độ x S

Kỳ Kỳ

vọng toán

Phg sai

độ lệch chuẩn

ĐN, các t/c Định nghĩa ĐN, cách tính, các t/c