Bài giảng lý thuyết xác suất và thông kê toán chương 3 một số PHÂN PHỐI xác SUẤT THÔNG DỤNG

Chương MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG I PHÂN PHỐI NHỊ THỨC • Tiến hành n phép thử độc lập  A biến cố cần quan tâm P(A) = p phép thử P() = – p = q  Gọi X số lần biến cố A xảy n phép thử X ĐLNN rời rạc nhận giá trị 0, 1, 2,…, n với xác suất tương ứng: P(X = k) = Cnk.pk.qn – k (∀x = 0, 1,…, n) ⇒ X đgl có phân phối nhị thức Ký hiệu: X ~ B(n; p) I PHÂN PHỐI NHỊ THỨC Ví dụ : Xác suất để xạ thủ bắn trúng bia 0,7 Người bắn viên đạn Gọi X số viên đạn trúng bia X có phân phối nhị thức khơng? Ví dụ : Một xí nghiệp có máy sản xuất loại sp Xác suất để máy 1, 2, sản xuất sp tốt 0,9; 0,95; 0,85 Cho máy sản xuất, máy sp Gọi Y số sp tốt thu Y có phân phối nhị thức khơng? I PHÂN PHỐI NHỊ THỨC Tính chất : Nếu X ~ B(n,p) thì:  P(k ≤ X ≤ k + h) = P(X = k) + P(X = k + 1) + … + P(X = k + h)  E(X) = np  Var(X) = npq  np – q ≤ Mod(X) ≤ np + p I PHÂN PHỐI NHỊ THỨC Ví dụ : Xác suất để xạ thủ bắn trúng bia 0,7 Người bắn viên đạn a) Tính xác suất người bắn trúng viên đạn b) Tính xác suất người bắn trúng từ đến viên đạn c) Tìm số viên đạn bắn trúng trung bình d) Tìm số viên đạn bắn trúng tin II PHÂN PHỐI POISSON  Tiến hành giống phân phối nhị thức  n lớn  p nhỏ  Gọi X số lần biến cố A xảy nhiều phép thử X ĐLNN rời rạc nhận giá trị 0, 1, 2,… với xác suất tương ứng: k n k P(X = k) = C p q ⇒ X đgl có Poisson Ký hiệu: X ~ P(λ) n-k k λ -λ ≈ e k! II PHÂN PHỐI POISSON Tính chất : Nếu X ~ P(λ) thì:  P(k ≤ X ≤ k + h) = P(X = k) + P(X = k + 1) + … + P(X = k + h)  E(X) = λ  Var(X) = λ  λ - ≤ Mod(X) ≤ λ II PHÂN PHỐI POISSON Ví dụ : Một máy dệt có 800 ống sợi Xác suất để khoảng thời gian 10p có ống sợi bị đứt 0,5% a) Tìm xác suất để 10p máy làm việc có ống sợi bị đứt b) Tìm xác suất để 10p máy làm việc có khơng q ống sợi bị đứt c) Tìm số ống sợi bị đứt trung bình 10p d) Tìm số ống sợi bị đứt tin 10p III PHÂN PHỐI SIÊU BỘI  Xét tập hợp có N phần tử  Trong tập đó, M phần tử có tính chất A  Lấy ngẫu nhiên khơng hồn lại n phần tử  Gọi X số phần tử có tính chất A n phần tử lấy X ĐLNN rời rạc nhận giá trị nguyên [n1; n2] với xác suất tương k n-k ứng: P(X = k) = C M C N - M (k ∈ [n ; n ]) C n N ⇒ X đgl có phân phối siêu bội Ký hiệu: X ~ H(N; M; n) III PHÂN PHỐI SIÊU BỘI Các số n1, n2 xác định sau: n1 = max{0; M + n – N}, n2 = min{n; M} Tính chất : Nếu X ~ H(N; M; n) thì:  P(k ≤ X ≤ k + h) = P(X = k) + P(X = k + 1) + … + P(X = k + h) M  E(X) = np, với p = N N-n  Var(X) = npq N-1 III PHÂN PHỐI SIÊU BỘI Liên hệ phân phối nhị thức phân phối siêu bội : Ví dụ : kiện hàng có 10000 sp, có 7000 sp loại A Rút từ kiện 10 sp để kiểm tra Gọi X số sản phẩm loại A có 10 sp lấy Tính P(X < 2)? IV PHÂN PHỐI CHUẨN Định nghĩa : ĐLNN liên tục X nhận giá trị khoảng (- ∞; + ∞) đgl có phân phối chuẩn hàm mật độ xác suất có dạng: 0.45 f(x) = e σ 2π (x - μ) 2σ 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 ⇒ X đgl có phân phối chuẩn Ký hiệu: X ~ N(µ; σ2) 10 12 14 IV PHÂN PHỐI CHUẨN Tính chất hàm mật độ xác suất phân phối chuẩn : • f(x) > 0, ∀x • Khi x → ± ∞ f(x) → • t cc i ti im x = ã thị có dạng hình chng, đối xứng qua đường thẳng x = µ 0.45 0.4 ⇒ E(X) = µ Mod(X) = µ Var(X) = σ2 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 10 12 14 IV PHÂN PHỐI CHUẨN •Phân phối chuẩn tắc : Xét X ~ N(µ; σ2) Đặt Khi Z ĐLNN liên tục nhận giá trị khoảng (- ∞; + ∞) có hàm mật độ có dạng: f(z) = e 2π z2 ⇒ Z ~ N(0; 1) Z đgl có phân phối chuẩn tắc IV PHÂN PHỐI CHUẨN Phân phối chuẩn tắc : Ta ký hiệu zα giá trị Z thỏa mãn điều kiện:  z α >  P(Z > z α ) = α 0.45 0.4 0.35 0.3 0.25 α 0.2 0.15 0.1 0.05 0 zα 10 12 IV PHÂN PHỐI CHUẨN Các cơng thức tính xác suất : Nếu X ~ N(µ; σ2) thì: x2 - μ   x1 - μ P(x1 ≤ X ≤ x ) = P  ≤Z≤ ÷ σ   σ  x2 - μ   x1 - μ  = Φ ÷ - Φ ÷  σ   σ  Φ(z) 0.45 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 z 10 12 Với Φ(z) tích phân f(z) khoảng (0;z) có giá trị cho bảng phụ lục IV PHÂN PHỐI CHUẨN Các cơng thức tính xác suất : Nếu X ~ N(µ; σ2) thì: ε P( X - μ ≤ ε) = 2Φ  ÷ σ Lưu ý: • Φ(z) hàm đơn điệu tăng • Φ(z) = - Φ(- z), ∀z • Φ(z) ≈ 0,5; ∀z ≥ Φ(z) 0.45 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 z 10 12 IV PHÂN PHỐI CHUẨN Ví dụ : Trọng lượng loại trái ĐLNN X có phân phối chuẩn với trung bình 200g độ lệch chuẩn 6g a) Tính tỉ lệ trái có khối lượng từ 194g đến 212g b) Trái có khối lượng khơng 209g trái loại I Tính tỉ lệ trái loại I c) Xác định a để P(X ≤ a) = 0,98 IV PHÂN PHỐI CHUẨN Ví dụ : Đường kính loại trục máy nhà máy sản xuất ĐLNN có phân phối chuẩn với đường kính trung bình (theo thiết kế) µ = 20mm độ lệch tiêu chuẩn σ = 0,04mm Trục máy coi đạt tiêu chuẩn kỹ thuật đường kính sai lệch so với đường kính thiết kế khơng q 0,072mm Tìm tỷ lệ trục máy đạt tiêu chuẩn kỹ thuật nhà máy IV PHÂN PHỐI CHUẨN Tính chất phân phối chuẩn :  Nếu X1 ~ N(µ1; σ12); X2 ~ N(µ2; σ22) X1, X2 độc lập thì: X1 + X2 ~ N(µ1 + µ1; σ12 + σ22)  Mở rộng: Nếu : X1 ~ N(µ1; σ12); X2 ~ N(µ2; σ22); ……… Xn ~ N(µn; σn2); X1,…, Xn độc lập thì: n ∑X i=1 n i ~ N( μ∑, i=1 n i σ∑) i=1 i IV PHÂN PHỐI CHUẨN Tính chất phân phối chuẩn :  Mở rộng: Nếu X1,…, Xn độc lập, có quy luật phân phối E(Xi) = µ; Var(Xi) = σ2 với n đủ lớn (n > 30), ta có xấp xỉ: n ∑X i ~ N( nμ; nσ ) i=1 (Định lý giới hạn trung tâm)  Nếu X ~ N(µ; σ2) a số thì: aX ~ N(aµ; a2σ2) III PHÂN PHỐI SIÊU BỘI Liên hệ phân phối nhị thức phân phối siêu bội : Nếu X ~ B(n; p) n lớn, p không gần không gần (0,1 < p < 0,9) ta xấp xỉ X ~ N(np; npq) B(n; p); n lớn; 0,1 < p < 0,9 N(np; npq) Khi cơng thức tính xác suất phân phối B(n; p) thay cơng thức tính xác suất phân phối N(np; npq) III PHÂN PHỐI SIÊU BỘI Liên hệ phân phối nhị thức phân B(n; phối siêu bội : p); n lớn; 0,1 < p < 0,9 N(np; npq) k - np * P(X = k) = f(z); z = npq npq  k - np   k1 - np  * P(k1 ≤ X ≤ k ) = Φ  - Φ ÷  npq ÷  npq ÷ ÷     Lưu ý : • Giá trị f(z) cho bảng phụ lục • Khi dùng cơng thức xấp xỉ để tính P(k1 ≤ X ≤ k2) cần phải có dấu “=“ IV PHÂN PHỐI CHUẨN Liên hệ phân phối nhị thức phân phối siêu bội : Ví dụ : Xác suất để máy sản xuất sp loại A 0,8 Tìm xác suất để 900 sp máy sản xuất có: a) 744 sp loại A b) từ 708 đến 738 sp loại A Tổng kết chương • Cách nhận biết loại PPXS? • Công thức tính XS tương ứng với loại PPXS? • Cơng thức tìm E(X), Var(X), Mod(X) tương ứng với loại PPXS? • Các cơng thức xấp xỉ? ... xỉ phân phối nhị thức B(n; p = M/N) Khi công thức tính xác suất phân phối H(N; M; n) thay công thức tính xác suất phân phối B(n; p) III PHÂN PHỐI SIÊU BỘI Liên hệ phân phối nhị thức phân phối. .. N(np; npq) Khi công thức tính xác suất phân phối B(n; p) thay công thức tính xác suất phân phối N(np; npq) III PHÂN PHỐI SIÊU BỘI Liên hệ phân phối nhị thức phân B(n; phối siêu bội : p); n lớn;... “=“ IV PHÂN PHỐI CHUẨN Liên hệ phân phối nhị thức phân phối siêu bội : Ví dụ : Xác suất để máy sản xuất sp loại A 0,8 Tìm xác suất để 900 sp máy sản xuất có: a) 744 sp loại A b) từ 708 đến 738 sp