Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán: Chương 6 - Mai Cẩm Tú

Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán: Chương 6 - Mai Cẩm Tú

Thèng kª to¸n

Để nghiên một tập hợp thể sử dng

phương pháp nghiên sau:

2.1 Nghiên toàn bộ thống kê toàn bộ tập hợp

đó và phân từng phần tử nó theo dấu hiệunghiên

Thí d 6.1 hiện tổng điều tra dân số ở ViệtNam là nghiên toàn bộ

Những khó khăn khi áp dng phương pháp này:

+Quy mô tập hợp quá lớn

+ Có nhiều trường hợp đơn vị điều tra bị phá

hủy ngay trong quá trình điều tra

+ Trong nhiều trường hợp không thể danh

tổng thể

Để nghiên một tập hợp thể sử dng

phương pháp nghiên sau:

2.1 Nghiên toàn bộ thống kê toàn bộ tập hợp

đó và phân từng phần tử nó theo dấu hiệunghiên

Thí d 6.1 hiện tổng điều tra dân số ở ViệtNam là nghiên toàn bộ

3.1 Định nghĩa.

Toàn bộ tập hợp phần tử đồng nhất theo một

dấu hiệu nghiên định tính hay định lượng nào

đó gọi là tổng thể nghiên hay tổng thể

Số lượng phần tử tổng thể gọi là

tổng thể, kí hiệu là N

Dấu hiệu nghiên kí hiệu χ, thể là định tínhhay định lượng

Biến ngẫu nhiên X là biến ngẫu nhiên đại diện

và lượng hóa dấu hiệu nghiên tổng thể

3.1 Định nghĩa.

Toàn bộ tập hợp phần tử đồng nhất theo một

dấu hiệu nghiên định tính hay định lượng nào

đó gọi là tổng thể nghiên hay tổng thể

Số lượng phần tử tổng thể gọi là

tổng thể, kí hiệu là N

Dấu hiệu nghiên kí hiệu χ, thể là định tínhhay định lượng

Biến ngẫu nhiên X là biến ngẫu nhiên đại diện

và lượng hóa dấu hiệu nghiên tổng thể

3.1 Định nghĩa.

Toàn bộ tập hợp phần tử đồng nhất theo một

dấu hiệu nghiên định tính hay định lượng nào

đó gọi là tổng thể nghiên hay tổng thể

Số lượng phần tử tổng thể gọi là

tổng thể, kí hiệu là N

Dấu hiệu nghiên kí hiệu χ, thể là định tínhhay định lượng

Biến ngẫu nhiên X là biến ngẫu nhiên đại diện

và lượng hóa dấu hiệu nghiên tổng thể

3.1 Định nghĩa.

Toàn bộ tập hợp phần tử đồng nhất theo một

dấu hiệu nghiên định tính hay định lượng nào

đó gọi là tổng thể nghiên hay tổng thể

Số lượng phần tử tổng thể gọi là

tổng thể, kí hiệu là N

Dấu hiệu nghiên kí hiệu χ, thể là định tínhhay định lượng

Biến ngẫu nhiên X là biến ngẫu nhiên đại diện

và lượng hóa dấu hiệu nghiên tổng thể

1,N

2, ,N

k.Khi đó ta bảng phân phối tần suất như sau:

1

x

i x

P

i=1N

i = N

b B¶ng ph©n phèi tÇn suÊt

NÕu kÝ hiÖu p

i,i = 1,k lµ tÇn suÊt x

ith× ta

p

i = NiN

kTÇn suÊt p

1

p

i p

P

i=1p

i = 1

TÇn sè lòy vµ tÇn suÊt lòy

NÕu kÝ hiÖu w

i,i= 1,k lµ tÇn sè lòy x

i,

lµ tæng sè phÇn tö gi¸ trÞ nhá h¬n x

i, th×

w

i = X

x

j<xi

Nj

TÇn sè lòy vµ tÇn suÊt lòy

NÕu kÝ hiÖu w

i,i= 1,k lµ tÇn sè lòy x

i,

lµ tæng sè phÇn tö gi¸ trÞ nhá h¬n x

i, th×

w

i = X

x

j<xi

Nj

NÕu kÝ hiÖu F(x

i),i = 1,k lµ tÇn suÊt lòy x

ith×

F(x

i) = w

iN

= X

xj<xi

NjN

3.3 tham sè tr­ng tæng thÓ

a Trung b×nh tæng thÓ

Trung b×nh tæng thÓ, kÝ hiÖu lµ m, lµ trung b×nh sè

gi¸ trÞ dÊu hiÖu trong tæng thÓ

NÕu dÊu hiÖu nghiªn tæng thÓ nhËn N gi¸

ix

i

3.3 tham sè tr­ng tæng thÓ

a Trung b×nh tæng thÓ

Trung b×nh tæng thÓ, kÝ hiÖu lµ m, lµ trung b×nh sè

gi¸ trÞ dÊu hiÖu trong tæng thÓ

NÕu dÊu hiÖu nghiªn tæng thÓ nhËn N gi¸

NÕu dÊu hiÖu nghiªn tæng thÓ nhËn k gi¸ trÞ

ix

i

3.3 tham sè tr­ng tæng thÓ

a Trung b×nh tæng thÓ

Trung b×nh tæng thÓ, kÝ hiÖu lµ m, lµ trung b×nh sè

gi¸ trÞ dÊu hiÖu trong tæng thÓ

NÕu dÊu hiÖu nghiªn tæng thÓ nhËn N gi¸

Bản giả sử dấu hiệu χ mô hình hóa bởibiến ngẫu nhiên X thì giá trị thể X là

x

1,x

2, ,x

N Khi đó m = E(X)Trong tế, tùy từng trường hợp người ta

tính loại trung bình sau:

+ Trung bình điều hòa m

h

m

h = NN

P

i=11

1

1

.xN

2

2

xN

k

k

)

Bản giả sử dấu hiệu χ mô hình hóa bởibiến ngẫu nhiên X thì giá trị thể X là

x

1,x

2, ,x

N Khi đó m = E(X)

Trong tế, tùy từng trường hợp người ta

tính loại trung bình sau:

+ Trung bình điều hòa m

h

m

h = NN

P

i=11xi

.xN22

xNkk

)

Tần suất tổng thể

M phần tử mang dấu hiệu nghiên Khi đó tầnsuất tổng thể, kí hiệu là p và định bởi

p = MNtần suất p là trường hợp riêng trungbình tổng thể m và phản ánh tổng thểtheo dấu hiệu nghiên χ

4.1 Định nghĩa mẫu ngẫu nhiên

Mẫu ngẫu nhiên n là tập hợp

n biến ngẫu nhiên lập X

1,X

2, ,X

n

thành

lập từ biến ngẫu nhiên X trong tổng thể nghiên

và quy luật phân phối suất với X

Mẫu ngẫu nhiên thường kí hiệu là

W = (X

1,X

2, ,X

n)Thí d 6.2 Nếu X ∼ N(à, σ2

4.1 Định nghĩa mẫu ngẫu nhiên

Mẫu ngẫu nhiên n là tập hợp

n biến ngẫu nhiên lập X

1,X

2, ,X

n

thành

lập từ biến ngẫu nhiên X trong tổng thể nghiên

và quy luật phân phối suất với X

Mẫu ngẫu nhiên thường kí hiệu là

W = (X

1,X

2, ,X

n)Thí d 6.2 Nếu X ∼ N(à, σ2

hiện một php thử đối với mẫu ngẫunhiên là hiện một php thử đối với mỗithành phần mẫu.

Khi tiến hành một php thử đối với mẫu ngẫu nhiên

W thì ta thu mẫu thể, kí hiệu là

ThÝ d 6.3 Gäi X lµ nÆng (kg) mét sinhviªn trong líp DÔ thÊy X ∼N(µ, σ2

).Gi¶ sö ta lÊy 1 mÉu n = 4

khi tiÕn hµnh ®iÒu tra th× ta mÉu ngÉu

ThÝ d 6.3 Gäi X lµ nÆng (kg) mét sinhviªn trong líp DÔ thÊy X ∼N(µ, σ2

).Gi¶ sö ta lÊy 1 mÉu n = 4

khi tiÕn hµnh ®iÒu tra th× ta mÉu ngÉu

ThÝ d 6.3 Gäi X lµ nÆng (kg) mét sinhviªn trong líp DÔ thÊy X ∼N(µ, σ2

).Gi¶ sö ta lÊy 1 mÉu n = 4

khi tiÕn hµnh ®iÒu tra th× ta mÉu ngÉu

+ MÉu k gi¸ trÞ nhau: gi¸ trÞ x

i(i= 1,k) xuÊthiÖn víi tÇn sè n

ith× b¶ng sau:

Gi¸ trÞ χ x

1x2 x

i x

k

1n2 n

i n

Thí d 6.4 Điều tra nặng một số sinh viênthì kết quả sau:

Cân nặng (kg) 40 45 50 55 60

Số sinh viên 1 5 9 7 3

Thí d 6.5 Điều tra tiêu (triệu đồng/tháng)

một số sinh viên ĐHKTQD thì bảng sau:

Chi tiêu 2 - 3 3 - 4 4 - 5 5 - 6

Số sinh viên 20 40 30 10

Trong trường hợp khoảng (như 2 - 3) ta lấy giá

trị ở giữa làm đại diện khi tính toán (VD 2,5)

Thí d 6.4 Điều tra nặng một số sinh viênthì kết quả sau:

Cân nặng (kg) 40 45 50 55 60

Số sinh viên 1 5 9 7 3

Thí d 6.5 Điều tra tiêu (triệu đồng/tháng)

một số sinh viên ĐHKTQD thì bảng sau:

Chi tiêu 2 - 3 3 - 4 4 - 5 5 - 6

Số sinh viên 20 40 30 10

Trong trường hợp khoảng (như 2 - 3) ta lấy giátrị ở giữa làm đại diện khi tính toán (VD 2,5)

b B¶ng ph©n phèi tÇn suÊt

NÕu kÝ hiÖu f

i = nin

lµ tÇn suÊt xuÊt hiÖn gi¸ trÞ x

itrong mÉu th× ta b¶ng ph©n phèi tÇn suÊtnh­ sau:

Gi¸ trÞ χ x

1x2 x

i x

kTÇn suÊt f

1f2 f

i f

Tần số lũy và tần suất lũy

+ Nếu kí hiệu w

i

là tần số lũy x

ithì

w

i = X

x

j<xi

nj

+ Tần suất lũy x

ilà

F

∗ (x

i) = w

in

= X

x

j<xi

njn

Ngoài phương pháp trên người ta dùng đồthị để mô tả mẫu

5.1 §Þnh nghÜa.

Gi¶ sö tæng thÓ nghiªn biÕn ngÉu nhiªn

lµ X Tõ tæng thÓ ta lËp mÉu ngÉu nhiªn

G = f(X

1,X

2, ,X

n)

B¶n Thèng kª G lµ mét biÕn ngÉu nhiªn

Khi mÉu ngÉu nhiªn W nhËn mét gi¸ trÞ thÓ lµ

5.1 §Þnh nghÜa.

Gi¶ sö tæng thÓ nghiªn biÕn ngÉu nhiªn

lµ X Tõ tæng thÓ ta lËp mÉu ngÉu nhiªn

G = f(X

1,X

2, ,X

n)B¶n Thèng kª G lµ mét biÕn ngÉu nhiªn

Khi mÉu ngÉu nhiªn W nhËn mét gi¸ trÞ thÓ lµ

a Trung b×nh mÉu: lµ mét thèng kª, kÝ hiÖu lµ X

vµ lµ trung b×nh sè gi¸ trÞ mÉu:

X = 1nn

P

i=1X

P

i=1

n

ix

a Trung b×nh mÉu: lµ mét thèng kª, kÝ hiÖu lµ X

vµ lµ trung b×nh sè gi¸ trÞ mÉu:

X = 1nn

P

i=1X

P

i=1

nix

a Trung b×nh mÉu: lµ mét thèng kª, kÝ hiÖu lµ X

vµ lµ trung b×nh sè gi¸ trÞ mÉu:

X = 1nn

P

i=1X

P

i=1

nix

i)

TÝnh E(X) = m; V(X) = σ

2n

; Se(X) = √ σ

n

DÔ thÊy

S2

−X

2

−x2

−x2

−x2

d Tần suất mẫu

Ta tần suất tổng thể là p = M

N

Lập một mẫu ngẫu nhiên n, gọi Y là số

phần tử mang dấu hiệu A (nào đó), tần suất mẫu (f)

dấu hiệu A là

f = Yn

Bản f là một biến ngẫu nhiên

d Tần suất mẫu

Ta tần suất tổng thể là p = M

NLập một mẫu ngẫu nhiên n, gọi Y là sốphần tử mang dấu hiệu A (nào đó), tần suất mẫu (f)

dấu hiệu A là

f = YnBản f là một biến ngẫu nhiên

6.1 §Þnh nghÜa

MÉu ngÉu nhiªn hai n lµ tËp hîp

n biÕn ngÉu nhiªn lËp

ph©n phèi suÊt víi (X,Y)

Ta kÕt luËn sau:

i ∼ N(µ; σ

2n

= nS

∗2

σ2 ∼ χ2

(n)) (4) χ2

i ∼ N(µ; σ

2n

i ∼ N(µ; σ

2n

i ∼ N(µ; σ

2n

= nS

∗2

σ2 ∼ χ2

(n)) (4) χ2

i ∼ N(µ; σ

2n

= nS

∗2

σ2 ∼ χ2

(n)) (4) χ2

7.2 Trường hợp hai biến ngẫu nhiên

phân phối theo quy luật

Giả sử ta xt một hai tổng thể Tổng thể

thứ nhất với biến ngẫu nhiên X

1 ∼ N(à1, σ2

1) vàtổng thể thứ hai với biến ngẫu nhiên

(6) X

1 −X

2 ∼ N(µ1 − µ2; σ

21n1

+ σ

22n2

)

(7) U = (X

1 −X

2) − (µ1− µ2) s

σ21

∼ χ2

(n

1+n

2−2)

(6) X

1 −X

2 ∼ N(µ1 − µ2; σ

21n1

+ σ

22n2

)

(7) U = (X

1 −X

2) − (µ1− µ2) s

σ21

n1

+ σ

22

n2

∼ χ2

(n

1+n

2−2)

(6) X

1 −X

2 ∼ N(µ1 − µ2; σ

21n1

+ σ

22n2

)

(7) U = (X

1 −X

2) − (µ1− µ2) s

σ21

n1

+ σ

22

n2

σ21

+ (n

2−1)S

22

σ22

∼ χ2

(n

1+n

2−2)

+ 1n2

(10) T = (X

1 −X

2) − (µ1 − µ2) s

S2

1

n

1

+ S2

2

n

2

∼ T(k)

+ 1n2

(10) T = (X

1 −X

2) − (µ1 − µ2) s

S21n1

+ S22n2

∼ T(k)

1 −1)(n

2 −2) (n

+ S22n2NÕu n

1 > 30,n

2 > 30 th× T ≈N(0,1)

(11) F =

χ21

n

1 −1

χ22

n

2 −1

=

S2

1

σ21

S2

2

σ22

∼ F(n

1 −1,n

2 −1)

1 −1)(n

2 −2) (n

+ S22n2NÕu n

1 > 30,n

2 > 30 th× T ≈N(0,1) (11) F =

χ21n

1 −1

χ22n

2 −1

=

S21

σ21S22

σ22

∼ F(n

1 −1,n

2 −1)

7.3 Trường hợp biến ngẫu nhiên X phân

phối theo quy luật không - một

Giả sử tổng thể với biến ngẫu nhiên X ∼ A(p),trong đó p là tần suất tổng thể

Từ tổng thể lập một mẫu ngẫu nhiên n

7.3 Trường hợp biến ngẫu nhiên X phân

phối theo quy luật không - một

Giả sử tổng thể với biến ngẫu nhiên X ∼ A(p),trong đó p là tần suất tổng thể

Từ tổng thể lập một mẫu ngẫu nhiên n

7.3 Trường hợp biến ngẫu nhiên X phân

phối theo quy luật không - một

Giả sử tổng thể với biến ngẫu nhiên X ∼ A(p),trong đó p là tần suất tổng thể

Từ tổng thể lập một mẫu ngẫu nhiên n

1

1

7.4 Trường hợp hai biến ngẫu nhiên

phân phối theo quy luật không một

Giả sử hai tổng thể với biến ngẫu nhiên

+ p

2(1−p

2)

n2

7.4 Trường hợp hai biến ngẫu nhiên

phân phối theo quy luật không một

Giả sử hai tổng thể với biến ngẫu nhiên

+ p

2(1−p

2)

n2

) (15) U = (f

1 −f

2) − (p

1 −p

2) r

p

1(1−p

1)

n1

+ p

2(1−p

2)

n2

∼ N(0,1)

8.1 Suy diễn về trung bình mẫu

Bài toán: Cho tổng thể với biến ngẫu nhiên

X ∼ N(à, σ2

) với à và σ2

đã biết Từ tổng thể lậpmẫu ngẫu nhiên n thì với suất 1− α,phải tìm khoảng (a,b) thỏa mãn

P(a < X < b) =1− αBài toán này giải quyết như sau

Chọn thống kê

U = (X− à) √n

σ ∼N(0,1)

8.1 Suy diễn về trung bình mẫu

Bài toán: Cho tổng thể với biến ngẫu nhiên

X ∼ N(à, σ2

) với à và σ2

đã biết Từ tổng thể lậpmẫu ngẫu nhiên n thì với suất 1− α,phải tìm khoảng (a,b) thỏa mãn

Víi suÊt 1− α ta thÓ t×m gi¸ trÞ α1

Ta thường gặp một số trường hợp thể sau:

• Với α1 = α2 = α

2thì ta khoảng hai phía

Ta thường gặp một số trường hợp thể sau:

• Với α1 = α2 = α

2thì ta khoảng hai phía

Ta thường gặp một số trường hợp thể sau:

• Với α1 = α2 = α

2thì ta khoảng hai phía

Ta thường gặp một số trường hợp thể sau:

• Với α1 = α2 = α

2thì ta khoảng hai phía

Thí d 6.7 Cho biết trọng lượng sản phẩm là biếnngẫu nhiên phân phối với trung bình là 200gam và độ 10 gam Lấy ngẫu nhiên mộtmẫu 25 sản phẩm

a Với suất 0,95 trọng lượng trung bình

nằm trong khoảng nào?

b Trong lượng trung bình mẫu tối đa là baonhiêu? Lấy α = 0,1

Tính suất trọng lượng trung bình mẫunhỏ hơn 195 gam (tương đương với tổng trọng

lượng 25 sản phẩm nhỏ hơn 4875 gam)

Cho P(U<2,5)=0,9938; P(U<1,96)=0,975;

P(U<1,28) = 0,9

Thí d 6.7 Cho biết trọng lượng sản phẩm là biếnngẫu nhiên phân phối với trung bình là 200gam và độ 10 gam Lấy ngẫu nhiên mộtmẫu 25 sản phẩm

a Với suất 0,95 trọng lượng trung bình

nằm trong khoảng nào?

b Trong lượng trung bình mẫu tối đa là baonhiêu? Lấy α = 0,1

Tính suất trọng lượng trung bình mẫunhỏ hơn 195 gam (tương đương với tổng trọng

lượng 25 sản phẩm nhỏ hơn 4875 gam)

Cho P(U<2,5)=0,9938; P(U<1,96)=0,975;

P(U<1,28) = 0,9

8.2 Suy diễn về phương sai mẫu

Bài toán: tổng thể với biến ngẫu nhiên

X ∼ N(à, σ2

) với σ2

đã biết Nếu từ tổng thể lậpmẫu ngẫu nhiên n thì với suất 1− α

ta phải tìm khoảng giá trị (a,b) thỏa mãn

8.2 Suy diễn về phương sai mẫu

Bài toán: tổng thể với biến ngẫu nhiên

X ∼ N(à, σ2

) với σ2

đã biết Nếu từ tổng thể lậpmẫu ngẫu nhiên n thì với suất 1− α

ta phải tìm khoảng giá trị (a,b) thỏa mãn

trường hợp thể

• Với α1 = α2 = α

2thì ta khoảng hai phíaP

< σ

2

n−1

χ2(n−1) α/2

trường hợp thể

• Với α1 = α2 = α

2thì ta khoảng hai phíaP

< σ

2

n−1

χ2(n−1) α/2

trường hợp thể

• Với α1 = α2 = α

2thì ta khoảng hai phíaP

< σ

2

n−1

χ2(n−1) α/2

Thí d 6.7 Cho biết trọng lượng sản phẩm là biếnngẫu nhiên phân phối với trung bình là 200gam và độ 10 gam Lấy ngẫu nhiên mộtmẫu 25 sản phẩm

d Với suất 0,95 thì phương sai mẫu tốithiểu là bao nhiêu

e Tính suất để tỉ số giữa phương sai mẫu vàphương sai tổng thể không vượt quá 1,64 lần

Cho P(χ2

(24)<39,36)=0,975;

P(χ2

(24)<13,85)=0,05

Thí d 6.7 Cho biết trọng lượng sản phẩm là biếnngẫu nhiên phân phối với trung bình là 200gam và độ 10 gam Lấy ngẫu nhiên mộtmẫu 25 sản phẩm

d Với suất 0,95 thì phương sai mẫu tốithiểu là bao nhiêu

e Tính suất để tỉ số giữa phương sai mẫu vàphương sai tổng thể không vượt quá 1,64 lần

Cho P(χ2

(24)<39,36)=0,975;

P(χ2

(24)<13,85)=0,05

8.3 Suy diễn về tần suất mẫu

Bài toán: tổng thể với biến ngẫu nhiên

X ∼ A(p) với p đã biêt Nếu từ tổng thể lập mẫu

ngẫu nhiên n thì với suất bằng α

phải tìm khoảng giá trị (a,b) thỏa mãn

Ta thường gặp một số trường hợp thể sau:

• Với α1 = α2 = α

2thì ta khoảng hai phía

Ta thường gặp một số trường hợp thể sau:

• Với α1 = α2 = α

2thì ta khoảng hai phía

Ta thường gặp một số trường hợp thể sau:

• Với α1 = α2 = α

2thì ta khoảng hai phía

Thí d 6.8.Tỷ lệ phế phẩm một lô hàng là 10%.a) Với suất 0,95 nếu lấy ngẫu nhiên ra 100 sảnphẩm để kiểm tra thì tỷ lệ phế phẩm tối đa mẫusản phẩm đó là bao nhiêu?

b) Lấy mẫu 100 sản phẩm, tìm suất

P(0,09 < f < 0,12)

Với suất 0,95 khi kiểm tra 400 sản phẩm

lô hàng sẽ tối đa bao nhiêu phế phẩm?

Thí d 6.9 Giả sử khả năng xuất hiện mặt sấp và

mặt ngửa khi tung đồng xu là như nhau Với

suất 0,95 khi tung đồng xu 200 lần thì số lần

xuất hiện mặt sấp và số lần xuất hiện mặt ngửa sai

nhau tối đa bao nhiêu?

Thí d 6.8.Tỷ lệ phế phẩm một lô hàng là 10%.a) Với suất 0,95 nếu lấy ngẫu nhiên ra 100 sảnphẩm để kiểm tra thì tỷ lệ phế phẩm tối đa mẫusản phẩm đó là bao nhiêu?

b) Lấy mẫu 100 sản phẩm, tìm suất

P(0,09 < f < 0,12)

Với suất 0,95 khi kiểm tra 400 sản phẩm

lô hàng sẽ tối đa bao nhiêu phế phẩm?

Thí d 6.9 Giả sử khả năng xuất hiện mặt sấp vàmặt ngửa khi tung đồng xu là như nhau Với

suất 0,95 khi tung đồng xu 200 lần thì số lầnxuất hiện mặt sấp và số lần xuất hiện mặt ngửa sai

nhau tối đa bao nhiêu?

Thí d 6.10* Trọng lượng một quả dưa hấu là biếnngẫu nhiên phân phối với trung bình là 3 kg

a Trong lượng trung bình 25 quả dưa hấu sai

so với trung bình tối đa là bao

Thí d 6.10* Trọng lượng một quả dưa hấu là biếnngẫu nhiên phân phối với trung bình là 3 kg

a Trong lượng trung bình 25 quả dưa hấu sai

so với trung bình tối đa là bao

...