Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán: Chương 2 - Phạm Thị Hồng Thắm

Trang 1

Chương 2: BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT

ĐỊNH NGHĨA VÀ PHÂN LOẠI BIẾN NGẪU NHIÊN

QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA BIẾN NGẪUNHIÊN

CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN

Trang 2

Trang 3

Ví dụ

Gọi X là số chấm xuất hiện khi gieo 1 xúc xắc X = {1, 2, ,6}

Trong kết quả của phép thử X chỉ nhận duy nhất một giá trị trong

6 giá trị trên

Định nghĩa

Biến ngẫu nhiên là một biến số mà trong kết quả của phép thử sẽnhận một và chỉ một trong các giá trị có thể có của nó một cáchngẫu nhiên

Trang 4

Trang 5

BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT

Các kí hiệu:

Các biến ngẫu nhiên: X, Y ; X1, X2, , Xn, ;

Y1, Y2, , Yn .Các giá trị: x, y, ; x1, , xn, ; y1, , yn, (là nhữngcon số)

(X = x1), (X = x2) là những biến cố ngẫu nhiên

Trang 6

Các kí hiệu:

Y1, Y2, , Yn

Các giá trị: x, y, ; x1, , xn, ; y1, , yn, (là nhữngcon số)

Trang 7

Trang 8

Các kí hiệu:

Y1, Y2, , Yn

Các giá trị: x, y, ; x1, , xn, ; y1, , yn, (là nhữngcon số)

Trang 9

Phân loại biến ngẫu nhiên

Căn cứ vào miền giá trị của biến ngẫu nhiên, ta chia ra 2 loại biếnngẫu nhiên:

Biến ngẫu nhiên rời rạc: Biến ngẫu nhiên được gọi là rời rạcnếu các giá trị có thể có của nó lập nên một tập hợp hữu hạnhay đếm được

Biến ngẫu nhiên liên tục: Biến ngẫu nhiên được gọi là liêntục nếu các giá trị có thể có của nó lấp đầy một khoảng trêntrục số

Trang 10

Căn cứ vào miền giá trị của biến ngẫu nhiên, ta chia ra 2 loại biến

ngẫu nhiên:

Trang 11

Căn cứ vào miền giá trị của biến ngẫu nhiên, ta chia ra 2 loại biến

ngẫu nhiên:

Biến ngẫu nhiên rời rạc: Biến ngẫu nhiên được gọi là rời rạc

nếu các giá trị có thể có của nó lập nên một tập hợp hữu hạn

hay đếm được

Trang 12

Căn cứ vào miền giá trị của biến ngẫu nhiên, ta chia ra 2 loại biếnngẫu nhiên:

Trang 13

Ví dụ

X: số chấm xuất hiện khi gieo 1 xúc xắc;

Y: số khách vào cửahàng trong một ngày → Y = 0, 1, 2, , n, ∞ =⇒ X, Y làbiến ngẫu nhiên rời rạc

Bắn ngẫu nhiên 1 viên đạn vào bia Gọi Z là khoảng cách từtâm bia đến điểm chạm của viên đạn Z là biến ngẫu nhiên vớicác giá trị có thể có thuộc khoảng [o, r ], r là bán kính bia =⇒

Z là biến ngẫu nhiên liên tục

Trang 14

Ví dụ

X: số chấm xuất hiện khi gieo 1 xúc xắc; Y: số khách vào cửa

hàng trong một ngày

→ Y = 0, 1, 2, , n, ∞ =⇒ X, Y làbiến ngẫu nhiên rời rạc

Trang 15

Ví dụ

X: số chấm xuất hiện khi gieo 1 xúc xắc; Y: số khách vào cửa

hàng trong một ngày → Y = 0, 1, 2, , n, ∞ =⇒ X, Y là

biến ngẫu nhiên rời rạc

Trang 16

Ví dụ

X: số chấm xuất hiện khi gieo 1 xúc xắc; Y: số khách vào cửahàng trong một ngày → Y = 0, 1, 2, , n, ∞ =⇒ X, Y làbiến ngẫu nhiên rời rạc

Trang 17

QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA BIẾN NGẪU

NHIÊN

Định nghĩa

Quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên là sự tương ứnggiữa các giá trị có thể có của nó và các xác suất tương ứng.Trong thực tế có 3 hình thức mô tả quy luật phân phối xác suấtcủa một biến ngẫu nhiên:

Bảng phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạcHàm phân bố xác suất (Áp dụng cho cả biến ngẫu nhiên rờirạc và liên tục)

Hàm mật độ xác suất (Áp dụng cho biến ngẫu nhiên liên tục)

Trang 18

NHIÊN

Định nghĩa

Quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên là sự tương ứng

giữa các giá trị có thể có của nó và các xác suất tương ứng

Trong thực tế có 3 hình thức mô tả quy luật phân phối xác suấtcủa một biến ngẫu nhiên:

Trang 19

NHIÊN

Định nghĩa

Quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên là sự tương ứng

giữa các giá trị có thể có của nó và các xác suất tương ứng

Trong thực tế có 3 hình thức mô tả quy luật phân phối xác suất

của một biến ngẫu nhiên:

Trang 20

QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN

Bảng phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc

Hàm phân bố xác suất (Áp dụng cho cả biến ngẫu nhiên rờirạc và liên tục)

Trang 21

Giả sử biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận giá trị x1, x2, , xn với cácxác suất tương ứng p1, p2, , pn

Khi đó bảng phân phối xác suất của X có dạng:

X x1 x2 xn

p p1 p2 pntrong đó pi = P(X = xi)

Ta có: 0 < pi < 1, ∀i vàPn

i =1pi = 1

Trang 22

Giả sử biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận giá trị x1, x2, , xn với cácxác suất tương ứng p1, p2, , pn

Khi đó bảng phân phối xác suất của X có dạng:

Trang 23

Trang 24

Trang 25

Ví dụ

Một hộp có 6 chính phẩm và 4 phế phẩm Lấy ngẫu nhiên 2 sản

phẩm Lập bảng phân phối xác suất của số chính phẩm được lấy ra

GiảiX: “Số chính phẩm được lấy ra” =⇒ X = 0, 1, 2

Trang 26

Ví dụ

Một hộp có 6 chính phẩm và 4 phế phẩm Lấy ngẫu nhiên 2 sảnphẩm Lập bảng phân phối xác suất của số chính phẩm được lấy ra.Giải

X: “Số chính phẩm được lấy ra” =⇒ X = 0, 1, 2

Trang 27

Ví dụ

2 4

C2 10

= 24

45 =

8

15;P(X = 2) = C

2 6

C102 =

15

45 =

13

p 152 158 13

Trang 28

x i <xpi(X < x) = (X = x1) + (X = x2) + + (X = xi)

Trang 29

x i <xpi(X < x) = (X = x1) + (X = x2) + + (X = xi)

Trang 30

Trang 31

Trang 33

c X biến ngẫu nhiên liên tục:

P(a < X < b) = P(a ≤ X < b) = P(a < X ≤ b) = P(a ≤ X ≤ b)

Trang 34

Trang 35

Trang 36

Hàm phân bố xác suất

Ví dụ

Tiếp ví dụ lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm từ một thùng gồm 6 chính

phẩm và 4 phế phẩm Tìm hàm phân bố xác suất của số chính

phẩm được lấy ra

GiảiCho x chạy từ -∞ đến +∞

Trang 37

Hàm phân bố xác suất

Ví dụ

Tiếp ví dụ lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm từ một thùng gồm 6 chínhphẩm và 4 phế phẩm Tìm hàm phân bố xác suất của số chínhphẩm được lấy ra

Trang 39

khoảng 13; 34

P 1

3 < X <

34

= F 34

− F 13

= 34

2

− 13

2

= 0, 45

Trang 40

P 1

3 < X <

34

= F 34

− F 13

= 34

2

− 13

2

= 0, 45

Trang 41

Hàm mật độ xác suất

Định nghĩa

Hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục X, ký hiệu f(x),

là đạo hàm bậc nhất của hàm phân bố xác suất F(x), f(x) = F’(x)

Tính chất

1 f(x) ≥ 0 → đồ thị có dạng cơ bản:

Trang 42

Tính chất

2 P(a < X < b) =

Z b a

Trang 46

Ví dụ

b) P(X > 0,5) = P(0,5 < X < +∞)

Cách 1: P(X>0,5) = F(+∞) - F(0,5) = 1 - (2.0,53 - 3.0,52 +2.0,5) = 0,5

Cách 2: P(X>0,5) =R+∞

0,5 f (x ) dx

Trang 47

0 x /∈ −π2; π2a) Tìm a.

b) Tìm hàm phân bố xác suất F(x)

c) Tìm xác suất để trong một phép thử độc lập, X nhận giá trịtrong khoảng 0; π2

Trang 48

(cos 2x + 1) dx

= aπ

2π

Trang 49

4 ≈ 0, 41

Trang 50

CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN

Trang 55

E(X + Y) = 3 0,03 + + 9.0,28 = 7,3

Trang 58

=⇒ E (X ) = −10.0, 99 + 690.0, 01 = −3

Trang 60

Trang 63

Kỳ vọng toán

Ví dụ

Giả sử giá vé là a (nghìn/người), ta có thể giải bài toán bằng 2

cách trực tiếp và gián tiếp

+ Trực tiếp: E(X) là số khách trung bình đi trên mỗi chuyến xebus Khi đó, để không bị lỗ thì aE(X) – 400 ≥ 0

E(X) = 20.0,15 + 21.0,2 + 22.0,25 + 23.0,25 + 24.0,15 = 22,05suy ra a ≥ 18,4

+ Gián tiếp: Gọi Y là tiền lãi thu được sau mỗi chuyến đi, ta có Y

= aX - 400 Để không bị lỗ thì tiền lãi trung bình thu được E(Y)

≥ 0

Trang 64

Kỳ vọng toán

Ví dụ

Giả sử giá vé là a (nghìn/người), ta có thể giải bài toán bằng 2

cách trực tiếp và gián tiếp

+ Trực tiếp: E(X) là số khách trung bình đi trên mỗi chuyến xe

bus Khi đó, để không bị lỗ thì aE(X) – 400 ≥ 0

E(X) = 20.0,15 + 21.0,2 + 22.0,25 + 23.0,25 + 24.0,15 = 22,05

suy ra a ≥ 18,4

≥ 0

Trang 65

≥ 0

Trang 66

Phương sai

Định nghĩa

Phương sai của biến ngẫu nhiên là kỳ vọng toán của bình phương

các sai lệch giữa biến ngẫu nhiên và kỳ vọng toán của nó

Trang 69

Trang 71

Phương sai - Bản chất và ý nghĩa

Bản chất

Phương sai là trung bình số học của bình phương cácsai lệch giữa các giá trị quan sát được của biến ngẫu nhiên và giátrị trung bình của chúng

Trong kinh tế, phương sai phản ánh mức độ rủi ro (kém ổnđịnh)

Trang 72

Bản chất Phương sai là trung bình số học của bình phương các

sai lệch giữa các giá trị quan sát được của biến ngẫu nhiên và giá

Trang 73

Trang 74

trị trung bình của chúng

Ý nghĩa

Phản ánh mức độ phân tán của các giá trị của biến ngẫu

nhiên so với giá trị trung bình

Phương sai càng lớn: phân tán càng xa giá trị trung bình

Phương sai càng nhỏ: giá trị càng tập trung quanh giá trị

trung bình

Trang 75

Bản chất Phương sai là trung bình số học của bình phương cácsai lệch giữa các giá trị quan sát được của biến ngẫu nhiên và giátrị trung bình của chúng

Trang 76

Mỗi kg rau mua vào giá 2 nghìn, bán ra 2 nghìn rưỡi Song nếu bị

ế phải bán 1 nghìn rưỡi mới hết Hàng ngày nên đặt mua 22kg hay24kg để bán thì tốt hơn

Trang 78

Vậy đặt mua 22 hay 24kg đều hy vọng lãi 10,8 nghìn

Nhưng V (X1) = 0,26; V (X2) = 1,36 =⇒ Đặt mua 22kg thì độ rủi

ro thấp hơn đặt mua 24kg

Trang 79

Vậy đặt mua 22 hay 24kg đều hy vọng lãi 10,8 nghìn

Trang 80

Vậy đặt mua 22 hay 24kg đều hy vọng lãi 10,8 nghìn.

Trang 81

a) Muốn có lãi trung bình cao nên đầu tư vào đâu?

b) Muốn kinh doanh ổn định thì đầu tư vào đâu?

Trang 82

Vậy muốn kinh doanh ổn định nên đầu tư vào thị trường A

Trang 83

Trang 84

Trang 85

Phương sai

Ví dụ

a) E(XA) = -1.0,2 + 5.0,5 + 8.0,3 = 4,7; E(XB) = -2.0,2 + 6.0,4+9.0,4 = 5,6

Vậy muốn có lãi trung bình cao nên đầu tư vào thị trường B.b) V(XA) = (-1)2.0,2 + 52.0,5 + 82.0,3 – 4,72 = 9,81;

V(XB) = (-2)2.0,2 + 62.0,4 + 92.0,4 – 5,62 = 16,24

Vậy muốn kinh doanh ổn định nên đầu tư vào thị trường A

Trang 86

có cùng đơn vị đo với biến ngẫu nhiên.

Trang 87

Hệ số biến thiên

CVX =

σX

E (X )

Trang 88

Hệ số biến thiên

CVX =

... data-page="90">

Mốt - m0

Định nghĩa

Là giá trị biến ngẫu nhiên tương ứng với:

- Xác suất lớn nhất, biến ngẫu nhiên rời rạc

- Cực đại hàm mật độ xác. .. > xα) = α

Trang 92< /span>

Giá trị tới hạn

Định nghĩa

Giá trị tới hạn mức... rạc

- Cực đại hàm mật độ xác suất biến ngẫu nhiên liên tục

Trang 91

Giá trị tới hạn

Định

Định dạng
Số trang	92
Dung lượng	1,59 MB