Bài giảng lý thuyết xác suất và thông kê toán chương 3 một số phân phối xác suất thông dụng

a- Bài toán tổng quát dẫn đến phân phối nhị thứcChương 3 MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG I - Phân phối nhị thức... Đại lượng ngẫu nhiên X có phân phối nhị thức với các tham số n

a- Bài toán tổng quát dẫn đến phân phối nhị thức

Chương 3

MỘT SỐ PHÂN PHỐI

XÁC SUẤT THÔNG DỤNG

I - Phân phối nhị thức

ª Tiến hành n phép thử độc lập Tiến hành n phép thử độc lập

ª X là số lần A xảy ra trong n X là số lần A xảy ra trong n

phép thử, thì X là đ.l.n.n rời rạc có thể nhận các giá trị:

Đại lượng ngẫu nhiên X có phân phối nhị thức với các tham số n và p được ký hiệu là: X  B(n, p).

Thí dụ 1: Xác suất để một máy sản xuất được sản phẩm loại I là 0,8 Cho máy sản xuất 5 sản phẩm Gọi X là số sản phẩm loại

I có trong 5 sản phẩm do máy sản xuất thì X  B(5; 0,8).

Thí dụ 2: Xác suất để một xạ thủ bắn trúng bia trong mỗi lần bắn như nhau và đều bằng 0,9 Xạ thủ này bắn 10 viên Gọi X là số viên trúng bia của xạ thủ này thì

X  B(10; 0,9).

Thí dụ 3: Có 3 cầu thủ ném bóng vào rổ (mỗi người ném một quả) Xác suất ném trúng rổ của cầu thủ thứ nhất, thứ hai, thứ ba tương ứng là: 0,9; 0,8; 0,6 Gọi X là số lần ném trúng rổ của 3 cầu thủ này X có phân phối nhị thức hay không?

Khái niệm các phép thử độc lập

1 và 2 là hai phép thử độc lập nếu như xác suất xảy ra một biến cố nào đó của phép thử 1 không phụ thuộc vào kết quả của phép thử 2

và ngược lại

) n , ,

2 , 1 , 0 x

(

q p

C )

x X

( P

Thí duï: X  B(5; 0,8)

0064 ,

0 )

2 , 0 )(

8 , 0 ( C

) 1 X

(

00032 ,

0 )

2 , 0 ( )

0 X

(

0512 ,

0 )

2 , 0 ( ) 8 , 0 ( C )

2 X

(

2048 ,

0 )

2 , 0 ( ) 8 , 0 ( C )

3 X

(

P   5 3 3 2 

4096 ,

0 )

2 , 0 ( )

8 , 0 ( C )

4 X

(

32768 ,

0 )

8 , 0 ( )

5 X

(

P(x  X  x+h) = P(X = x) +

P(X = x+ 1) + + P(X =

x+h)

(3.2) (3.2)

Nếu X  B(n, p), thì:

Trong đó:

P(X = x), P(X = x+1), , P(X = x+h) được tính theo công thức (3.1)

Thí duï: X  B(5; 0,8)

P(1  X  3) = P(X = 1)

+ P(X = 2) + P(X = 3)

= 0,0064 + 0,0512 + 0,2048 = 0,2624

c- Các tham số đặc trưng:

Kỳ vọng toán: Nếu X  B(n , p) thì: thì:

  E(X) = np E(X) = np

Phương sai: Nếu X Nếu X  B(n , p) thì:

  Var(X) = npq

Giá trị tin chắc nhất:

Nếu X  B(n , p) thì:

np + p - 1  Mod(X)  np + p

a- Bài toán tổng quát dẫn đến phân phối Poisson

II- Phân phối Poisson

X  B(n, p) nhưng n lớn, p nhỏ (p < 0,1), np =  không đổi thì ta có thể coi X có phân phối Poisson với tham số .

X có phân phối Poisson với tham số  được ký hiệu là:

X  P()

Thí dụ: Xác suất để một máy sản xuất ra phế phẩm là 0,001 Cho máy sản xuất 2000 sản phẩm

b- Công thức tính xác suất

Gọi X là số phế phẩm có trong

2000 sản phẩm do máy sản xuất thì X  B(2000; 0,001)

Khi đó ta có thể coi X  P(2)

e - haèng soá neâpe:

Neáu X  P() thì:

P(k  X  k+h) = P k + P k+1 + +P k+h

(3.9)

Thí dụ: Một máy dệt có 500 ống sợi Xác suất để một ống sợi bị đứt trong khoảng thời gian 1 giờ máy hoạt động là 0,004 Tìm xác suất để trong một giờ có không quá 2 ống sợi bị đứt.

Giải: Nếu coi việc quan sát 1 ống sợi xem có bị đứt hay không trong khoảng thời gian 1 giờ là một phép thử thì ta có 500 phép thử độc lập Trong mỗi phép thử biến cố A (ống sợi bị đứt) xảy ra với xác suất là p = 0,004

Nếu gọi X là số ống sợi bị đứt trong khoảng thời gian 1 giờ thì

X ~ B(500; 0,004)

Vì n = 500 khá lớn, p = 0,004 rất nhỏ; np = 500×0,004 = 2 không đổi nên ta có thể coi X ~ P(2)

Xác suất để có không quá 2 ống sợi bị đứt trong khoảng thời gian

1 giờ là:

P(0 X 2) = P P(0 X 2) = P ≤ X ≤ 2) = P ≤ X ≤ 2) = P ≤ X ≤ 2) = P ≤ X ≤ 2) = P 0 + P 1 + P 2

2 2

0

! 0

2 )

0 X

( P

2 2

1

! 1

2 )

1 X

( P

2

! 2

2 )

2 X

( P

e )

2 X

0 e

5 2 

c- Các tham số đặc trưng:

Có thể chứng minh được rằng: Nếu X  P() thì:

  1  Mod(X)  

a- Bài toán tổng quát dẫn đến phân phối siêu bội

Từ một tập hợp gồm N phần tử (trong đó có M phần tử có tính chất A) lấy ngẫu nhiên không hoàn lại ra n phần tử

III- Phân phối Siêu bội

Gọi X là số phần tử có tính chất

A có trong n phần tử lấy ra, X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có thể nhận các giá trị trong khoảng [n 1 , n 2 ].

n 1 = max{0, n-N+M}

n 2 = min{n, M}

X có phân phối siêu bội với các tham số: N, M, n.

Đại lượng ngẫu nhiên X có phân phối siêu bội với các tham số N,

M, n được ký hiệu là:

X  H(N, M, n)

Thí dụ: Một hộp có 10 sản phẩm (trong đó có 7 sản phẩm loại A) Lấy ngẫu nhiên không hoàn lại từ hộp ra 5 sản phẩm Gọi X là số sản phẩm loại A có trong 5 sản phẩm lấy ra X có phân phối siêu bội với các giá trị có thể nhận là:

2, 3, 4, 5

P(X = x) P(X = x) =

(3.12)

n N

x

n

M N

x M

3- Các tham số đặc trưng

N-1

Nếu X  H (N, M, n) nhưng n rất bé so với N thì ta có thể coi

x

x n

n N

x

n

M N

Thí dụ: : Một lô hàng có 1000 sản phẩm, trong đó có 800 sản phẩm loại A và 200 sản phẩm loại B Lấy ngẫu nhiên không hoàn lại từ lô hàng ra 10 sản phẩm để kiểm tra Tìm xác suất để có ít nhất 8 sản phẩm loại A trong 10 sản phẩm lấy ra kiểm tra ?

Gọi X là số sản phẩm loại A có trong 10 sản phẩm lấy ra kiểm tra X  H(1000, 800, 10)

Nhưng vì lấy ít (10) từ một tập hợp có số phần tử lớn (1000) nên ta có thể coi X  B(n, p), với n = 10 và

p = 0,8

Xác suất cần tìm là P(X  8)

P(X  8) = P(X = 8) + P(X = 9)

+ P(X = 10)

2 8

8

10 ( 0 , 8 ) ( 0 , 2 )

C

) 2 , 0 ( )

8 , 0 (

= =

= 0,6778

Hãy tính xác suất trên bằng công Hãy tính xác suất trên bằng công

thức của phân phối siêu bội.

a- Định nghĩa:

Đại lượng ngẫu nhiên liên tục X nhận giá trị trong khoảng ( được gọi là có phân phối chuẩn nếu hàm mật độ xác suất của nó có dạng:

IV- Phân phối Chuẩn

b- Các tham số đặc trưng

- Kỳ vọng toán:

- Kỳ vọng toán:

Nếu đại lượng ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn với hàm mật độ như trên thì : E(X) = 

- Phương sai:

Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên phân phối chuẩn với hàm mật độ như trên thì : Var(X) = 2

Đại lượng ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn với kỳ vọng toán là 

và phương sai là 2 được ký hiệu là: X  N(  2 ).

Phân phối chuẩn do nhà toán học Đức Karl Gauss tìm ra nên còn gọi là phân phối Gauss.

c- Phân phối chuẩn chính tắc

Giả sử đại lượng ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn với kỳ vọng toán là  và phương sai là 2 Xét đại lượng ngẫu nhiên:

f(z) = 1

2 e 2 z 2

Đồ thị của hàm f(z) cũng có dạng hình chuông, đối xứng qua trục tung (hình vẽ)

Có thể chứng minh được rằng: Nếu đại lượng ngẫu nhiên Z có phân phối chuẩn chính tắc thì:

  E(Z) = 0 và Var(Z) = 1

ĐLNN Z có phân phối chuẩn chính tắc được ký hiệu là:

Z  N(0, 1)

d- Công thức tính xác suất:

b - 



a - 

Trong đó:

Đồ thị hàm Laplace

Đồ thị hàm Laplace

Giá trị hàm Laplace

Giá trị hàm Laplace

Các giá trị của hàm (x) được tính sẵn ở phụ lục 2 (Lý thuyết xác suất và thống kê toán)

Chú ý:

 (x) là hàm lẻ, do đó:

 (  x) =   (x) (x)

Trong bảng chỉ tính (x) với

x  4, với x > 4 thì hàm (x) tăng rất chậm và nhận giá trị rất gần 0,5 Do vậy ta lấy

(x) = 0,5 (x > 4).

(1,96) = 0,475; (2,33) = 0,4901

Thí dụ: : Chiều cao của sinh viên ở một trường Đại học là đại lượng ngẫu nhiên phân phối theo qui luật chuẩn với chiều cao trung bình

 = 160 cm và độ lệch tiêu chuẩn

 = 5 cm Tính tỷ lệ sinh viên có chiều cao trong khoảng từ 150 cm đến 170 cm.

Tức tỷ lệ s/v có chiều cao từ 155

cm đến 165 cm là 68,26%.

Minh họa hình học:

68,26%

X ~ B(n, p) nhưng n lớn, p không quá gần 0 và không quá gần 1 thì có thể coi X ~ N(np, npq).

e- Sự hội tụ của phân phối nhị thức về phân phối chuẩn

Các công thức xấp xỉ:

npq 1

npq

np

x 

) 2 / z

Khi n lớn, xác suất p không quá Khi n lớn, xác suất p không quá

gần 0 và không quá gần 1 thì ta có thể dùng công thức xấp xỉ:

P(x  X  x+h)   (x2)   (x1)

(Công thức tích phân Laplace)

2 1

x  

Thí dụ: : Xác suất để một máy sản xuất được sản phẩm loại A là 0,8 Tìm xác suất để trong 400 sản phẩm do máy sản xuất có:

  a) 336 sản phẩm loại A

b) Số sản phẩm loại A trong

khoảng (304; 328)

Gọi X là số sản phẩm loại A có trong 400 sản phẩm do máy sản xuất X  B(400, 0,8)

Vì n = 400 khá lớn, p = 0,8 không quá gần 0 và không quá gần 1, nên có thể áp dụng công thức địa phương Laplace.

Giải:

) z (

f 2 , 0 8

, 0 400

1 )

336 X

, 0 8

, 0 400

8 , 0 400

0 )

2 ( f )

z (

00675 ,

0 8

054 ,

0 8

) z (

f )

336 X

(

b) Ta cần tính P(304 ≤ X ≤ 2) = P ≤ X ≤ 2) = P X 328) X 328) ≤ X ≤ 2) = P ≤ X ≤ 2) = P

Áp dụng công thức tích phân Laplace, ta có:

P(304 ≤ X 328) X 328) ≤ X ≤ 2) = P ≤ X ≤ 2) = P  (x 2 ) - (x 1 ) Trong đó:

1 2

, 0 8

, 0 400

8 , 0 400

, 0 8

, 0 400

8 , 0 400

P(304  X  328)  (1) - (-2) = = (1) + (2)

= 0,3413 + 0,4772

= 0,8185

TỔNG KẾT CHƯƠNG 3

pp chuẩn Bài toán tổng quát ĐN, đồ thị

 Công thức tính xác suất

 Các tham số đặc trưng

Bài tập chương 3

3.9; 3.22; 3.23; 3.24; 3.25; 3.26; 3.29; 3.30; 3.31; 3.32; 3.38; 3.40.

Hết chương 3