Giáo trình lý thuyết xác suất và thống kê toán chương 1: Biến cố ngẫu nhiên và xác suất

Chương 1 Biến cố ngẫu nhiên vμ xác suất Trong thực tế chúng ta thường gặp những hiện tượng ngẫu nhiên, tức là những hiện tượng mà mặc dù với mọi khả năng có thể có ta cố gắng giữ cho n

Chương 1

Biến cố ngẫu nhiên vμ xác suất

Trong thực tế chúng ta thường gặp những hiện tượng ngẫu nhiên, tức là những hiện tượng mà mặc dù với mọi khả năng có thể có ta cố gắng giữ cho những điều kiện cơ bản

của các lần thí nghiệm về các hiện tượng ấy không thay đổi, nhưng ta vẫn không thể khẳng định được kết quả của từng thí nghiệm riêng lẻ sẽ như thế nào Sở dĩ như vậy vì ngoài nhóm những điều kiện cơ bản ra còn có rất nhiều các nguyên nhân không lường trước được, gây tác động khác nhau trong quá trình tiến hành các lần thí nghiệm, làm cho kết quả của các lần thí nghiệm có thể thay đổi từ lần này sang lần khác, khiến cho mọi cố gắng của chúng ta để dự đoán kết quả chính xác ở mỗi lần thí nghiệm riêng lẻ đều vô hiệu

Tuy nhiên, trên cơ sở quan sát rất nhiều hiện tượng thực tế người ta thấy rằng nếu như

ở mỗi thí nghiệm riêng lẻ sự xuất hiện của một sự kiện nào đó còn mang tính chất ngẫu

nhiên thì qua một số lớn lần lặp lại cùng thí nghiệm ấy, khả năng xuất hiện khách quan

của sự kiện đó lại biểu hiện khá rõ nét Vì vậy một lý thuyết toán học đã được xây dựng

nên nhằm nghiên cứu một cách chính xác tính quy luật của các hiện tượng ngẫu nhiên khi

ta lặp lại nhiều lần cùng các điều kiện cơ bản làm nảy sinh ra các hiện tượng đó, được gọi

là Lý thuyết xác suất

A- Các định nghĩa về xác suất

I Phép thử vμ không gian các biến cố sơ cấp

Trong lý thuyết xác suất, khi thực hiện một nhóm các điều kiện cơ bản nào đó người

ta gọi là thực hiện một phép thử Nếu kết quả của phép thử mà không thể khẳng định trước

được thì ta có một phép thử ngẫu nhiên Ta sẽ ký hiệu phép thử ngẫu nhiên là G

Các kết quả có thể xảy ra trong phép thử G sao cho khi G được thực hiện thì thể nào cũng có một trong chúng xảy ra, chúng loại trừ lẫn nhau và không thể phân chia thành

những kết quả nhỏ hơn thì các kết quả như vậy được gọi là các biến cố sơ cấp Nói cách

khác một biến cố sơ cấp là một kết quả tối giản của phép thử

Tập hợp tất cả các biến cố sơ cấp ω của phép thử G được gọi là không gian các biến

cố sơ cấp (không gian mẫu) với ký hiệu là Ω

Thí dụ 1 Nếu phép thử là “tung một đồng xu” thì Ω = { S, N } trong đó: ω1= S = kết quả là sấp; ω2 = N = kết quả là ngửa

Thí dụ 2 Nếu phép thử là “tung một hạt xúc sắc” thì: Ω ={1,2,3,4,5,6}

trong đó : ωi= i = được mặt i chấm (i=1 ) ,6

Thí dụ 3 Nếu phép thử là “tung cùng một lúc hai đồng xu” thì :

=

Thí dụ 6 Nếu phép thử là "đo khoảng cách từ điểm chạm của viên đạn tới tâm bia với

bán kính của bia là một đơn vị độ dài thì Ω [0,1[ =

Nhận xét :

a Số lượng các phần tử của Ω trong các thí dụ 1, 2, 3, 4 là hữu hạn

b Số lượng các phần tử của Ω trong thí dụ 5 là vô hạn nhưng đếm được (tức là ta có thể

đánh số được ω1= S,ω2= NS, ω3= NNS, )

Các tập hữu hạn hay vô hạn đếm được gọi là các tập hơp rời rạc

c Số lượng các phần tử của Ω trong thí dụ 6 (số các điểm của đoạn [0,1[) là vô hạn

nhưng đếm được Trong trường hợp này ta bảo Ω có lực lượng continum

1 Biến cố ngẫu nhiên

Một biến cố ngẫu nhiên A là một tập hợp con của Ω

Thí dụ 1: Gọi A là biến cố “đ−ợc mặt có số chấm là bội của 3” khi tung hạt xúc sắc thì

A={3,6}⊂ Ω

Ghi chú

a Kết quả ω nào của G mà làm cho A xảy ra thì kết quả đó đ−ợc gọi là kết quả thuận lợi

cho A Nh− vậy biến cố A ở thí dụ vừa nêu có hai kết quả thuận lợi

b Mỗi biến cố sơ cấp ω cũng có thể coi là một biến cố ngẫu nhiên { ω } (gồm một phần

tử )

c Ω đ−ợc gọi là biến cố chắc chắn

d Tập hợp trống φ đ−ợc gọi là biến cố không thể có

Các khái niệm vừa nêu có thể minh họa trong hình sau

2 Mối quan hệ giữa các biến cố

Stone đã chứng minh đ−ợc rằng: giữa các tập hợp và các biến cố có một sự đẳng cấu Vì vậy ta có thể dùng mối quan hệ giữa các tập hợp để mô tả mối quan hệ giữa các biến

x x

x x x

ω

A

Ω

B x x

x x

Thí dụ 2:

Gọi B là biến cố “được mặt 3 chấm” tức là B = {3}

Khi đó B ⊂ A = {3, 6} = biến cố “được mặt có số chấm là bội của 3”

b Nếu B ⊂ A và A ⊂ B thì A và B gọi là hai biến cố tương đương và được ký hiệu là

A=B

Thí dụ 3: Giả sử mỗi chấm được 5 điểm nếu A là biến cố “được mặt 6 chấm” và B là biến

cố “người tung được 30 điểm” thì A = B

c Nếu B = Ω \ A thì B gọi là biến cố đối lập của A Như vậy B sẽ xảy ra khi A không xảy

ra (Hình 1.2)*

Hình 1.2

Thí dụ 4: Nếu A ={3, 6}= biến cố “được mặt có số chấm là bội của 3” thì B = Ω \{3,

6}={1, 2, 4, 5} là biến cố “được mặt có số chấm không chia hết cho 3”

Ghi chú: Biến cố đối lập của biến cố A thường được ký hiệu là A

d Nếu C = A ∪ B thì C gọi là biến cố tổng của hai biến cố A và B Như vậy C sẽ xảy ra

khi ít nhất có một trong hai biến cố A hoặc B xảy ra (Hình 1.3)

A của n biến cố thành phần Ai (i= n1, ) là biến cố sẽ xảy ra

khi ít nhất có một trong các biến cố A i xảy ra

e Nếu C = A ∩ B thì C gọi là biến cố tích của hai biến cố A và B Nh− vậy C sẽ xảy ra khi A và B đều xảy ra (Hình 1.4)

A của n biến cố thành phần Ailà biến cố sẽ xảy ra khi tất cả các biến cố Ai đều xảy ra (i= n1, )

f Nếu A ∩ B = φ thì A và B gọi là hai biến cố xung khắc Nh− vậy A và B sẽ không thể

A Ω

Thí dụ 7: Nếu A = {3, 6}= Biến cố “đ−ợc mặt có số chấm là bội của 3”

B ={1, 2}= Biến cố “đ−ợc mặt có số chấm không quá 2”

thì A ∩ B = φ (không thể vừa đ−ợc mặt có số chấm là bội của 3 vừa có số chấm nhỏ hơn hoặc bằng 2)

Nhận xét 1: Hai biến cố A và B ở hình 1.4 là không xung khắc (phần giao không trống) Nhận xét 2: Hai biến cố đối lập A và A sẽ thoả mãn cả hai hệ thức:

A

) ( A

A

2 1

Nh− vậy có thể nào cũng có một (hệ thức 1) và chỉ một (hệ thức 2) trong hai biến cố này cùng xảy ra trong phép thử

Ghi chú: Các biến cố Ai(i = n1, ) gọi là xung khắc từng đôi Nếu bất kỳ cặp biến cố nào

trong chúng cũng là hai biến cố xung khắc

g Các biến cố Ai (i= n1, ) gọi là một hệ đầy đủ n biến cố (hoặc tạo nên một phân hoạch của Ω ) nếu :

n

i i A A

B = {3} = Biến cố “được mặt có số chấm là 3”

C ={4, 5, 6} = Biến cố “được mặt có số chấm tối thiểu là 4” thì A, B, C là một hệ

đầy đủ 3 biến cố

Nhận xét: Hai biến cố đối lập A và A lập thành một hệ đầy đủ 2 biến cố

Ghi chú: Vì giữa các tập hợp và các biến cố có sự đẳng cấu nên các tính chất của các phép toán về tập hợp cũng đúng cho các phép toán về biến cố, chẳng hạn các phép toán hợp và giao các biến cố có tính chất giao hoán và kết hợp

Cụ thể ta có:

A ∪ B = B ∪ A ( A∪ B ) ∪ C = A∪ (B ∪ C)

AA

1 1

1 1

3  -Đại số các biến cố

Trong thực tế có nhiều trường hợp chúng ta muốn thực hiện vô hạn lần các phép toán

về các biến cố và kết quả vẫn phải được một biến cố Vì vậy đối với một họ A các biến

cố nào đó được xây dựng trên không gian Ω ta sẽ giả thuyết nó thỏa mãn các yêu cầu sau

đây:

a Ω ∈ A

b Nếu A∈ A thì A∈ A

c Nếu Ai(i = ( ∞ 1 , ) là một dãy đếm được các biến cố thuộc A thì:

Họ A các biến cố như vậy được gọi là một σ - đại số ( một σ trường Borel) các biến cố

Từ định nghĩa trên ta suy ra:

Tóm lại một - đại số các biến cố sẽ đóng kín đối với một dãy hữu hạn hoặc đếm

được các phép tính tổng, tích hoặc lấy đối lập với các biến cố thuộc A Nói cách khác

phép toán vừa nêu đối với các biến cố thuộc A thì kết quả lại được một biến cố thuộc A

Cặp ( Ω , A ) được gọi là một không gian đo Nó dùng để mô hình hoá một phép thử ngẫu

nhiên cùng với các sự kiện mà ta muốn xét gắn với phép thử ấy

Thí dụ 9: Nếu Ω ={ω1,ω2, , ωn} và ta xét - đại số A là tập hợp tất cả các tập con của

Ω (kể cả Ω vàΦ ) thì đây là - đại số lớn nhất có thể xây dựng được từ Ω và gồm 2n

phần tử

III Định nghĩa tiên đề về xác suất

Như ta đã nêu ở phần mở đầu chương, mỗi biến cố ngẫu nhiên A có một khả năng xuất hiện khách quan Vì thế trong lý thuyết xác suất người ta lượng hoá khả năng xuất

hiện khách quan của một biến cố A bằng một con số Con số này gọi là xác suất của A và

đ−ợc ký hiệu là P(A) Đối với P(A) có nhiều cách định nghĩa khác nhau trong đó cách

định nghĩa theo tiên đề là có tính tổng quát nhất và chặt chẽ nhất về mặt lô-gic

1 Định nghĩa tiên đề về xác suất

Xác suất (hoặc độ đo xác suất) P xác định trên - đại số các biến cố A của không

gian đo ( Ω , A) là một hàm thực ánh xạ A vào R và thoả mãn các tiên đề sau đây:

(P1) P(A)≥ 0 với mọi A ∈ A

Tiên đề (P3) còn gọi là tính chất σ - cộng tính của độ đo xác suất P Bộ ba ( Ω , A, P)

đ−ợc gọi là một không gian xác suất

Ghi chú 1: Từ tính chất - cộng tính ta có thể suy ra tính chất hữu hạn cộng tính của độ

đo xác suất P, tức là P(∪n

1

= i i

A ) =∑

= n

i

i ) A ( P

1

với Ai ∩ Aj=Φ (i ≠ j)

(xem tính chất 2 ở mục sau )

Ghi chú 2: Hệ tiên đề nêu trên đã đ−ợc Can-mô-gô-rốp đ−a ra vào năm 1933 Ta thấy hệ

tiên đề này không mâu thuẫn, có nghĩa là ta có thể xây dựng những mô hình thoả mãn

i i

i

p p

m i

l jl

p

1 = P(A) + P(B)

Nh− vậy các tiên đề của Can-mô-gô-rốp đ−ợc thoả mãn

Ghi chú 3: Hệ tiên đề Can-mô-gô-rốp không đầy đủ, tức là với cùng một tập hợp Ω ta có thể xác định xác suất P trên tập hợp A theo những cách khác nhau

Chẳng hạn nếu ta tung hạt xúc sắc thì Ω={ω1, ω2,ω3,ω4,ω5,ω6}

Nếu hạt xúc sắc đều đặn và đồng chất thì:

P(ω1) = P(ω2) = P(ω3) = P(ω4) = P(ω5) = P(ω6) =

61

Nh−ng nếu hạt xúc sắc không đồng chất và không cân đối thì các xác suất P phải xác

điểm, mà trái lại nó là một −u điểm vì nó cho phép ta tuỳ theo điều kiện cụ thể của vấn đề

đang xét mà xác định xác suất thích hợp cho các biến cố thuộc  - đại số A

2 Một số tính chất của xác suất suy ra từ định nghĩa tiên đề

Tính chất 1: P(Φ ) = 0

i ) A ( P

1

= i i

A Theo tiên đề (P3) ta có:

=1 i

i ) A (

= n

i

i ) A ( P

1

+ ∑∞+

= n 1 i

i ) A ( P

= ∑

= n

i

i ) A ( P

1

+ 0 = ∑

= n

i

i ) A ( P

) (

2 A

A

1 A

A

Φ Ω

Từ (1) ta có P( A∪ A ) = P(Ω) = 1

Từ (2) ta có P(A∪ A ) = P(A) + P( A )

Từ đó ta suy ra điều phải chứng minh

Tính chất 4: 0 ≤ P(A) ≤1

Chứng minh:

Theo tiên đề (P1) ta đã có P(A) ≥ 0

Mặt khác theo tính chất 3 thì P(A) = 1- P( A )

Mà P( A )≥ 0 theo tiên đề (P1) nên P(A)≤ 1

Chứng minh:

Vì B ⊂ A nên A = B ∪ (A\B) Do B∩(A\B) = Φ nên P(A) = P(B) + P(A\B) (*)

Do P(A\B)≥ 0 nên P(A) ≥ P(B)

Kết quả thứ hai đ−ợc suy ra từ hệ thức (*)

Ω

AB

BA

A B

suy ra P(A B ) = P(A) - P(AB) (2)

Do B = A B + AB nên P(B) = P(A B ) + P(AB)

suy ra P( A B) = P(B) - P(AB) (3)

Thay vào (2) và (3) vào (1) ta đ−ợc

P(A∪B) = P(A) - P(AB) + P(AB) + P(B) - P(AB)

j

i A ) A (

k j

i A A ) A (

A ) = P(A1) + P(A2) - P(A1A2) Giả sử

i

i ) A (

=

1

1 n

i

j

i A ) A (

P + +(-1)n-2 P(A1A2 An-1) Khi đó:

A

−

=) ∪ An

A

−

=)

= P(∪1

1 i i

n

i A A

=1

) (

n n

A P

=1 n n

=1

) (

n n

B

=1

) (

n n

A P

( Vì Bn ≤ An nên P(Bn)≤ P(An))

( Ω , A) thì các điều khẳng định sau đây là tương đương:

a P có tính chất - cộng tính

b P liên tục trên, có nghĩa là với bất kỳ một dãy đơn điệu tăng

A1 ⊂A2 ⊂ ⊂ An ⊂ thuộc A sao cho n

c P liên tục dưới, có nghĩa là với bất kỳ một dãy đơn điệu giảm A1⊃A2 ⊃An ⊃

thuộc A sao cho n

A ∈ A thì

d P liên tục tại “không” tức là với bất kỳ dãy đơn điệu giảm

A1⊃ A2 ⊃ ⊃An ⊃ thuộc A sao cho ∩∞

=1 n n

Vì {An} là dãy đơn điệu giảm nên nếu ta đặt A'n = A1\An thì {A'n} sẽ là một dãy đơn

điệu tăng Vậy theo b) thì:

' n

n

1 \ A )

Mặt khác do A1⊃ An nên ta có thể viết

1 \ A )

=1 n n

= P(A1) - [ p(A1) - P(∩∞

=1 n n

A )] = P(∩∞

=1 n n

A ) = P( Φ ) = 0 d) => a)

Trước hết ta có thể viết

∪∞

=1 i i

1

= i i

A + ∪∞

+

= 1 n i i

A ) = P(∪n

1

= i i

A ) + P( ∪∞

+

= 1 n i i

Nếu đặt Bn= ∪∞

=n i i

A thì P(∪∞

=1 i i

A ) = P(∪n

1

= i i

A ) + P(Bn+1)

Ta thấy Bn⊃ Bn 1⊃ Bn 2 ⊃

Mặt khác nếu Bnxảy ra thì một trong các biến cố Ai xảy ra (i≥ n), do đó các biến cố

Ai 1, Ai 2, sẽ không xảy ra vì các biến cố của dãy {Ai } (i=1,∞)

Theo giả thiết là xung khắc từng đôi Từ đó các biến cố Bi+1, Bi+2, sẽ là không thể

A ) tồn tại

Vậy ta có thể viết

=1 i i

A ) = lim→∞

n

P(∪∞

=1 i i

i

i n

) A ( P

ta rút ra “nguyên lý xác suất nhỏ” sau đây:

“Một biến cố có xác suất nhỏ thì thực tế ta có thể coi nó là không thể xảy ra trong một phép thử”

Tuy nhiên với mức xác suất nhỏ là bao nhiêu thì biến cố sẽ được coi là “hầu như không thể có”? Điều này sẽ do từng trường hợp cụ thể quyết định Về vấn đề này tác giả Guy Lefort cũng có ý kiến như sau: “Trong thực hành phải coi sự kiện “rất ít khả năng xảy ra”

là một sự kiện thực tế không thể xảy ra (nếu không thì chúng ta không bao giờ dám qua

đường vì thực tế có một xác suất, tuy rất nhỏ, nhưng không phải là số 0, để chúng ta bị xe cán) Nhưng một sự kiện rất ít khả năng xảy ra không phải là không thể xảy ra và những quyết định của chúng ta khi áp dụng quy tắc trên có thể mắc những sai lầm mà chúng ta cần lưu ý”

Sai lầm mà Guy Lefort nói tới tất nhiên tuỳ thuộc vào việc chúng ta quy định mức xác suất nhỏ (lớn) là bao nhiêu thì một biến cố trong thực tế sẽ được coi là không thể có (chắc chắn) Như vừa nêu trên, điều này là tuỳ thuộc từng hoàn cảnh cụ thể

IV một số định nghĩa sơ khai về xác suất

Định nghĩa tiên đề là định nghĩa chặt chẽ nhất về mặt lô-gíc Tuy nhiên trước khi mô-gô-rốp đưa ra định nghĩa này thì cũng đã có những định nghĩa sơ khai về xác suất mà giờ đây ta có thể coi chúng là những trường hợp riêng của định nghĩa tiên đề Mặc dù các

Can-định nghĩa sơ khai này có những nhược điểm nhất Can-định, nhưng trong những trường hợp thích hợp chúng vẫn phát huy được tác dụng của mình

1 Định nghĩa cổ điển về xác suất

Giả sử đối với phép thử G ta có:

Ω ={ω1,ω2, ,ωn}

Với ωi (i= n1, ) có khả năng xảy ra như nhau

Ta lập -đại số các biến cố A là tập hợp tất cả các tập con của Ω (kể cả Ωvà φ) Đây là

- đại số lớn nhất có thể xây dựng được từ Ω

Do cácωi (i= n1, ) là đồng khả năng nên ta xác lập độ đo xác suất P sao cho

P(ω1) = P(ω2) = = P(ωn) =

n1

Khi đó với A = {

1

i

ω ,ωi2, ωim)∈ A P(A) = P(ωi1) + P(ωi2) + + P(ωim)

=

n

1 + n

1 + +

n

1 = nm

ở đây m chính là số kết cục của G thuận lợi cho A xảy ra Từ đó ta có định nghĩa xác suất theo quan điểm cổ điển như sau:

Định nghĩa:

P(A) =

n

m =

thửphépcủang

ăn

ảkhồng

đcụckếtSố

ray

ảxAcholợithuậncục

kếtc

ácSố

Rõ ràng định nghĩa này có nhược điểm là không chặt chẽ về mặt lô-gích khi dựa vào tính đồng khả năng để định nghĩa xác suất (là con số xác định khả năng xảy ra của biến cố) Tuy nhiên đối với những hiện tượng có tính chất đối xứng và số kết cục của phép thử

là hữu hạn thì định nghĩa này vẫn phát huy được tác dụng

Thí dụ 1: Tính xác suất để trong k người không quen biết nhau (2≤k≤365) sẽ có ít nhất 2 người có ngày sinh nhật trùng nhau biết rằng họ đều không sinh vào những năm nhuận

Bài giải Với giả thiết là bất kỳ một ngày nào đó trong 365 ngày của năm đều có thể là ngày sinh của mỗi người thì số kết cục đồng khả năng của phép thử (số ngày sinh nhật có thể của k người) sẽ là

k

Vậy P(A) =

k

k 365

-)!

365 (

Từ đó xác suất phải tìm là : P( A ) = 1- P(A) = 1- k

365 (

)!

365 (

ư

2 Định nghĩa thống kê về xác suất

Định nghĩa này dựa vào tần suất của biến cố Cụ thể nếu phép thử G được lặp lại K

lần mà biến cố A xuất hiện k lần thì tần suất của A là

f(A) =

Kk

Béc-nu-ly đã chứng minh rằng với mọi số ε > 0 nhỏ tùy ý ta đều có:

=ε

A(P)A(f(P

Sau đây là một thí dụ về cách xác định xác suất thông qua tần suất

Để xác định xác suất sinh con gái, ta có thể căn cứ vào số liệu thống kê của Thụy Điển vào năm 1935 mà nhà toán học H Cramer đã cung cấp như sau:

sinh con gái 0,486 0,489 0,490 0,471 0,478 0,482 0,462 0,484 0,485 0,491 0,482 0,473 0,4825

Ta thấy tần suất sinh con gái dao động quanh giá trị 0,482 Vậy nếu gọi A là biến cố

“sinh con gái” thì ta có thể coi P(A) ≈ 0,482

Tất nhiên, đối với hiện tượng này, chúng ta không thể áp dụng định nghĩa cổ điển

được vì việc sinh con trai và con gái không phải là hai trường hợp đồng khả năng Nói

cách khác, xác suất để một bà mẹ sinh con gái không thể là

21

Tần suất sinh gái 0,485 0,484 0,485 0,487 0,488 0,489 0,489

Rõ ràng không có tần suất nào đạt tới giá trị 0,5 cả

Thống kê tình hình sinh đẻ ở các thành phố Luân-đôn, Pê-téc-bua và Béc-lin trong suốt 10

năm, Laplace cũng đã thấy tần suất các cháu gái ra đời là

43

21 Theo thống kê dân số của tỉnh Bu-e-nốt-ai-rét, một tỉnh gồm người Tây-ban-nha, người ý và người ác-hen-tin-na thì trong khoảng từ 1896 tới 1905, tần suất của cháu gái

ra đời trong các năm đều nằm trong khoảng từ 0,497 tới 0,484

Rõ ràng các kết quả thu được đều phù hợp với nhau

3 Định nghĩa hình học về xác suất

Nếu như tập hợp các biến cố sơ cấp Ω là một tập hợp trong không gian Ơ-clit và có

độ đo hình học hữu hạn (chiều dài, diện tích, thể tích) thì với A⊆ Ω

ta có:

P(A) =

Ωmiềncủao

độ

Đ

Amiềncủao

độ

Đ

=

)(mes

)A(mesΩCách xác định xác suất như vừa nêu gọi là cách xác định xác suất theo quan điểm hình học

Thí dụ 2: Giả sử phép thử G là lấy ngẫu nhiên một điểm trong đoạn [0, 1[

Như vậy Ω là tập hợp các điểm của [0,1[, còn σ- đại số các biến cố A là tập hợp các đoạn [a, b[ ⊂ [0, 1[ Khi đó A = [a, b[ là biến cố “điểm được lấy rơi vào đoạn [a,b[”

Ta xác định độ đo xác suất P trên không gian đo ( Ω , A) này như sau:

P(A)=P([a,b[)=b-a

Khi đó tất cả các tiên đề của Can-mô-gô-rốp đều được thoả mãn

1

= i

i i

∪ ⊆ [0,1[ thì P( [a ,b [

n

1

= i

i i

∪ )=∑

=

ư

n i

i

i b a P

1

[) , ([

Ghi chú Nếu b trùng với a thì biến cố A=[a,b[ sẽ là biến cố lấy được điểm cách 0 một

đoạn đúng bằng a Khi đó P(A) = a – a = 0, nhưng A không hẳn là biến cố không thể có Tuy nhiên trong thực tế điều này rất hiếm xảy ra trong một phép thử (xem nguyên lý xác suất nhỏ)

Thí dụ sau đây cho thấy phần nào tác dụng của cách xác định xác suất theo quan điểm hình học

Thí dụ 3: (Bài toán Buffon)

Kẻ trên mặt phẳng các đường thẳng song song và cách đều nhau một khoảng có độ dài

là 2a Tung ngẫu nhiên một chiếc kim có độ dài 2l (l < a) lên mặt phẳng Tính xác suất để chiếc kim cắt một đường thẳng nào đó

Bài giải Trước tiên ta hiểu tính chất: “ngẫu nhiên” của phép thử ở đây là

a Tâm của chiếc kim sẽ rơi một cách ngẫu nhiên vào các điểm của các đoạn thẳng có

độ dài 2a và vuông góc với các đoạn thẳng đã vẽ

b Xác suất để góc φ tạo bởi chiếc kim và các đường thẳng đã vẽ nằm trong khoảng ( φ1, φ1+ Δ φ ) sẽ tỷ lệ với Δ φ

c Nếu gọi x là khoảng cách từ tâm chiếc kim tới đường song song gần nhất thì x và φ

độc lập với nhau

Ta thấy x và φ xác định được hoàn toàn vị trí của kim Vì vậy các vị trí này sẽ là các

điểm của hình chữ nhật có cạnh là a và π , còn điều kiện cần và đủ để chiếc kim cắt một

đường song song là

Nếu gọi A là biến cố “kim sẽ cắt một đường thẳng” thì theo cách xác định bằng hình học

ta có :

P(A)=

nhật

ữchnh

ì htíchdiện

ch

ạgmiềntíchdiện

∫

π

ϕϕ

= -

π

φ πa

cos

=π.a

l2

Ghi chú: Nếu ký hiệu P(A) là p thì từ kết quả này ta suy ra: Π =

p.a

l2

Với l và a xác định khi tung n lần (với điều kiện n khá lớn) mà có m lần kim cắt đường

thẳng thì theo định nghĩa thống kê về xác suất ta có thể lấy p ≈

Từ đó ta có thể xác định giá trị xấp xỉ của π bằng thực nghiệm Chẳng hạn năm 1850

Wolf đã tung 5000 lần và tính được π = 3.1596; còn vào năm 1855 Smith tung 3204 lần

và tính được π = 3.1553

Qua bài toán trên ta thấy trong những trường hợp nhất định, định nghĩa hình học cũng

có thể phát huy được tác dụng của mình

B X ác suất có điều kiện

I Định nghĩa vμ các tính chất

1 Định nghĩa

Cho một không gian xác suất ( Ω , A, P) và một biến cố A nào đó thuộc A với P(A) >

0 Khi đó xác suất có điều kiện của một biến cố B ∈A tính trong điều kiện biến cố A xảy ra đ−ợc ký hiệu và định nghĩa nh− sau:

P(B/A) = PA(B) =

)A(P

)BA(

Nh− vậy ta đã xác định một độ đo xác suất mới mà ta có thể ký hiệu là P(•/A) Độ đo xác suất này đ−ợc xác định trên không gian đo ( Ω∩A ; A∩ A) trong đó:

Nói cách khác, từ không gian xác suất ( Ω , A, P) ta đã chuyển sang không gian xác suất ( Ω∩A ; A∩ A; P(•/A)) trong đó P(•/A) đ−ợc định nghĩa nh− là tỷ số của hai xác suất không điều kiện

Thí dụ 1: Xét phép thử “Tung hạt xúc sắc đều đặn và đồng chất” và gọi A là biến cố

“Đ−ợc mặt có số chấm lớn hơn 3” Khi đó ta có:

Ω = {ω1,ω2,ω3 ω4,ω5,ω6}

A = {ω4,ω5,ω6}

Trong đó ωi là biến cố “Đ−ợc mặt i chấm” (i=1,6)

Gọi B là biến cố “Đ−ợc mặt có số chẵn chấm” Khi đó:

Mặt khác ta thấy: