Bài giảng lý thuyết xác suất và thống kê toán - Bài 1: Biến cố và xác suất

Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán - Bài 1: Biến cố và xác suất trình bày các khái niệm cơ bản: phép thử, kết cục, biến cố, xác suất; tính xác suất theo định nghĩa cổ điển: định nghĩa, phương pháp liệt kê, phương pháp sử dụng đại số tổ hợp; tính xác suất theo định nghĩa thống kê; nguyên lý xác suất lớn và nhỏ; mối quan hệ giữa các biến cố: tổng, tích, độc lập, xung khắc, nhóm đầy đủ, đối lập.

Bài 1: Biến cố xác suất BÀI BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT Hướng dẫn học Đây học mở đầu cho môn học, gồm khái niệm bản, ký hiệu quan trọng dùng cho tất sau Với khái niệm định nghĩa có ví dụ cụ thể chi tiết để giải thích, minh họa Vì người học cần theo dõi ví dụ làm tập để hiểu rõ nắm khái niệm cách thức tính tốn Càng sau ví dụ nâng cao dần ví dụ sau sử dụng kết ví dụ trước, khơng bỏ qua ví dụ trình học tập Bài giới thiệu số khái niệm lí thuyết xác suất phép thử, biến cố xác suất biến cố Đồng thời hướng dẫn phương pháp tính xác suất biến cố cách xác định mối quan hệ biến cố Ngồi ra, hai ngun lí xác suất nêu Để học tốt này, sinh viên cần tham khảo phương pháp học sau:  Học lịch trình mơn học theo tuần, làm luyện tập đầy đủ tham gia thảo luận diễn đàn  Đọc tài liệu: Giáo trình Lý thuyết xác suất thống kê toán NXB Đại học KTQD  Sinh viên làm việc theo nhóm trao đổi với giảng viên trực tiếp lớp học qua email  Tham khảo thông tin từ trang Web môn học Nội dung  Các khái niệm bản: phép thử, kết cục, biến cố, xác suất  Tính xác suất theo định nghĩa cổ điển: định nghĩa, phương pháp liệt kê, phương pháp sử dụng đại số tổ hợp  Tính xác suất theo định nghĩa thống kê  Nguyên lý xác suất lớn nhỏ  Mối quan hệ biến cố: tổng, tích, độc lập, xung khắc, nhóm đầy đủ, đối lập Mục tiêu Sau học xong này, sinh viên cần đảm bảo yêu cầu sau:  Hiểu rõ khái niệm, đặt biến cố, phân biệt loại biến cố  Hiểu khái niệm xác suất, điều kiện quy ước xác suất  Tính xác suất liệt kê biến cố, liệt kê dạng bảng, sử dụng đại số tổ hợp  Hiểu khái niệm tần suất, nguyên lý xác suất nhỏ lớn  Biết cách biễu diễn biến cố qua tổng tích biến cố khác xác định mối quan hệ biến cố tổng tích TXTOKT02_Bai1_v1.0014109205 Bài 1: Biến cố xác suất Tình dẫn nhập Xác suất để người chơi trúng thưởng Tình xác suất kinh tế thơng thường phức tạp có nhiều trường hợp riêng Vì ta xét tình trị chơi có thưởng truyền hình, xét khía cạnh tình kinh tế phần thưởng lợi ích kinh tế mà người chơi đạt cịn người tổ chức trò chơi Một người tham gia trị chơi truyền hình, chẳng hạn chương trình “Hãy chọn giá đúng” Có hai bàn ký hiệu A B, bàn có hộp giống hệt Người chơi biết số hộp bàn A có hộp bên có phần thưởng; số hộp bàn B có hộp bên có phần thưởng, khơng biết cụ thể hộp Tình 1: Người chơi phải chọn bàn từ lấy hộp, nhận phần thưởng bên hộp (nếu có) Người chơi có chắn phần thưởng khơng? Có chắn khơng hay khơng? Nếu muốn có phần thưởng người chơi nên chọn bàn A hay bàn B? Nếu lệ phí tham gia trị chơi 10 nghìn phần thưởng có trị giá 500 nghìn số tiền được/mất người chơi chủ trị chơi có trường hợp khả bao nhiêu? Tình 2: Người chơi lấy từ bàn A hai hộp, để riêng mở Hãy đánh giá khả người chơi: Được hai phần thưởng, phần thưởng, không phần thưởng Hãy tìm tình tương tự trò chơi đời sống kinh tế xã hội? TXTOKT02_Bai1_v1.0014109205 Bài 1: Biến cố xác suất Môn học nghiên cứu tượng có tính ngẫu nhiên kinh tế – xã hội Hiện tượng có tính ngẫu nhiên xuất thường xuyên quanh ta, ta xuất phát từ tượng đơn giản thường gặp sống Để xây dựng lý thuyết tìm hiểu ví dụ tính tốn, trước hết ta bắt đầu với khái niệm nhất, phép thử, biến cố 1.1 Phép thử biến cố 1.1.1 Khái niệm Trong tự nhiên xã hội, tượng gắn liền với nhóm điều kiện tượng xảy nhóm điều kiện gắn liền với thực Vì vậy, muốn nghiên cứu tượng ta cần thực nhóm điều kiện Định nghĩa 1.1 – Phép thử: Phép thử việc thực nhóm điều kiện xác định để quan sát tượng có xảy hay khơng Hiện tượng xảy không xảy kết phép thử gọi biến cố Khi thực phép thử, kết xảy gọi kết cục, biến cố tập hợp kết cục mà người nghiên cứu quan tâm Việc “thực nhóm điều kiện” khơng thiết người nghiên cứu phải làm thử, mà ghi nhận lại thơng tin từ người khác thử Ví dụ 1.1 Một người học quan tâm đến kết làm kiểm tra trắc nghiệm nào, thực phép thử thơng qua việc làm tập gồm hai câu trắc nghiệm Việc làm tập phép thử Khi làm có kết cục xảy ra: khơng làm câu nào, làm câu, làm hai câu Khi tượng xảy gọi biến cố Ta có biến cố: biến cố không làm câu nào, biến cố làm câu, biến cố làm hai câu Trong trường hợp trên, người quan tâm đến tượng nên phải tự làm Nếu người khơng phải người học, quan tâm đến việc học viên làm nào, quan sát kết sinh viên khác, cho phép thử Ví dụ 1.2 Một người quan tâm đến việc đầu tư vào mã chứng khoán, lợi nhuận cổ phần sau năm Người khơng thiết phải đầu tư thực sự, mà theo dõi giá cổ phiếu sàn giao dịch Khi phép thử ghi nhận lại thơng tin xảy sau năm Có nhiều kết cục xảy giá cổ phiếu có nhiều giá trị có Người quan tâm xét biến cố: có lãi (giá sau năm tăng lên so với giá mua vào), hòa (giá cũ), lỗ (giá giảm) Biến cố có lãi xét thành nhiều biến cố nhỏ như: lãi nghìn đồng/cổ phần, lãi 10 nghìn đồng/cổ phần… Với đầu tiên, để đơn giản dễ dàng tính tốn, ta xét hai ví dụ sau: Ví dụ 1.3 Quan tâm đến việc gieo đồng xu xảy tượng gì, người gieo đồng xu cân đối, đồng chất, mặt phẳng cứng Việc gieo đồng xu lần thực phép thử Với phép thử gieo đồng xu đó, kiện “xuất mặt sấp”, “xuất mặt ngửa”… biến cố Ví dụ 1.4 Gieo xúc sắc cân đối, đồng chất, mặt phẳng cứng thực phép thử Những kiện “xuất mặt có i chấm”, với i = 1, , biến cố TXTOKT02_Bai1_v1.0014109205 Bài 1: Biến cố xác suất 1.1.2 Các loại biến cố Biến cố tượng ta xác định, có tính chủ quan, kết phép thử khách quan, có trường hợp khác Trong thực tế thực phép thử, xảy loại biến cố sau:  Biến cố chắn: biến cố định xảy phép thử thực hiện, ký hiệu  (đọc ômêga) ký hiệu U  Biến cố khơng thể có: biến cố định không xảy phép thử thực hiện, ký hiệu  (đọc rỗng) ký hiệu V  Biến cố ngẫu nhiên: biến cố xảy khơng xảy phép thử thực Thường ký hiệu biến cố ngẫu nhiên chữ in hoa: A, B, C Trường hợp có nhiều biến cố đánh số A1, A2… Ví dụ 1.3 (tiếp) Trong phép thử gieo lần đồng xu, thì:    Biến cố : “xuất mặt sấp mặt ngửa” biến cố chắn     Biến cố : “xuất mặt có số chấm nhỏ 7” biến cố chắn Biến cố : “xuất mặt sấp mặt ngửa” biến cố Biến cố S: “xuất mặt sấp” biến cố ngẫu nhiên Ví dụ 1.4 (tiếp) Trong phép thử gieo xúc sắc, thì: 1.2 Biến cố : “xuất mặt có số chấm lớn 7” biến cố Biến cố A: “xuất mặt có chấm” biến cố ngẫu nhiên Biến cố B: “xuất mặt có số chấm chẵn” biến cố ngẫu nhiên Xác suất biến cố Trong kinh tế, việc nhận thức tính ngẫu nhiên tượng khơng q khó, nhiên việc quan trọng không phải đo lường ngẫu nhiên để định Với phương án đầu tư, nhà đầu tư không nhận việc “có lãi” biến cố ngẫu nhiên (có thể có lãi khơng có lãi) mà cịn quan tâm đến “khả có lãi” muốn chọn phương án có “khả có lãi” cao Khơng “khả có lãi” mà cịn “khả có lãi cao” Khi xuất vấn đề đo lường khả xảy biến cố ngẫu nhiên Nhận thấy việc đo lường “khả năng” cần phải xét cách khách quan, nghĩa khơng phải nhận định hồn tồn chủ quan người Với ví dụ đơn giản, phép thử dễ thực dễ suy luận, việc nhận thức số khách quan cảm nhận được, ta xét từ ví dụ đơn giản Bằng trực giác ta nhận thấy, khả xảy biến cố khác không Chẳng hạn, ta nhận thấy khả để “xuất mặt sấp” (S) gieo đồng xu lớn khả để “xuất mặt chấm” (A2) gieo xúc sắc Hơn nữa, lặp lặp lại nhiều lần phép thử điều kiện người ta thấy tính chất ngẫu nhiên biến cố dần khả xảy biến cố thể theo qui luật định Từ cho thấy, đo khả khách quan xuất biến cố phép thử TXTOKT02_Bai1_v1.0014109205 Bài 1: Biến cố xác suất Định nghĩa 1.2 – Xác suất: Xác xuất biến cố số đặc trưng khả khách quan xuất biến cố thực phép thử  Ký hiệu: xác suất biến cố A P(A) Vì số đo khả có nhiều dạng thể hiện, chẳng hạn đời thường ta nói “khả 80%”, “khả 10 10”; “khả ăn thua”, cần chuẩn hóa đại lượng để thống tính tốn  Quy ước: Xác suất phải số nằm đoạn từ đến 1, xác suất lớn khả xảy biến cố nhiều  P(A)  (1.1) Theo cách hiểu trên, xác suất A lớn xác suất B: P(A) > P(B) ta nói khả xảy A lớn khả xảy B, hay A dễ xảy B B khó xảy A Nếu P(A) = P(B) nói khả xảy A B Ta mơ tả khái niệm qua sơ đồ hình học hình 1.1 A B  Hình 1.1 Mơ tả biến cố Trong hình 1.1, tồn khả có biến cố chắn , mơ tả hình chữ nhật, biến cố A thể tập hợp  Nếu diện tích hình chữ nhật  1, thể xác suất biến cố chắn 1, diện tích hình (gần) trịn A thể xác suất xảy biến cố A Trong hình vẽ thấy xác suất xảy biến cố A lớn xác suất xảy biến cố B Có thể nói cụ thể hơn, chấm hồn toàn ngẫu nhiên điểm phạm vi hình chữ nhật  khả chấm vào hình trịn A lớn khả chấm vào hình trịn B Như câu nói khả số khách quan, thì:  “Khả 80%” chuyển đổi thành xác suất 0,8  “Khả 10 10” chuyển đổi thành xác suất  “Khả ăn thua” chuyển đổi thành xác suất nửa, hay 0,5 Cũng từ thấy:  Xác suất biến cố chắn 1: P() =  Xác st biến cố khơng thể có 0: P() =  Xác suất biến cố ngẫu nhiên nằm khoảng đến 1: < P(A) < Vấn đề đặt để tính xác suất khách quan đó, số phải có tính logic, hợp lý người cơng nhận Các phần sau trình bày định nghĩa, hay cách thức để tính xác suất TXTOKT02_Bai1_v1.0014109205 Bài 1: Biến cố xác suất 1.3 Định nghĩa cổ điển xác suất Cách tính xác suất theo suy luận cổ điển đề cập đến từ 300 năm trước, tính cách đếm xem có tổng cộng trường hợp xảy ra, số có trường hợp có tượng mà ta nghiên cứu để tính khả Cách suy luận đưa thành công thức, gọi định nghĩa cổ điển hay công thức cổ điển 1.3.1 Định nghĩa cổ điển Định nghĩa 1.3 – Công thức cổ điển: Xác suất xuất biến cố A phép thử tỉ số số kết cục thuận lợi cho A tổng số kết cục đồng khả xảy thực phép thử Nếu ký hiệu: n tổng số kết cục đồng khả năng; m số kết cục thuận lợi cho A (kết cục làm cho A xảy ra); P(A) xác suất biến cố A Thì cơng thức tính xác suất là: m (1.2) n Trong định nghĩa có điều lưu ý: kết cục trường hợp xảy thực phép thử Các kết cục đồng khả nghĩa trường hợp có khả xảy nhau, không trường hợp dễ khó xảy trường hợp khác Chẳng hạn đồng xu đối xứng đồng chất mỏng gieo khả xuất mặt sấp mặt ngửa nhau, kết cục “mặt sấp” kết cục “mặt ngửa” đồng khả Tuy nhiên đồng xu không đồng chất, mặt nặng mặt hai kết cục khơng đồng khả năng, định nghĩa không áp dụng P ( A)  1.3.2 Phương pháp liệt kê Để áp dụng định nghĩa cổ điển, cần phải biết số kết cục đồng khả số kết cục thuận lợi Trong nhiều trường hợp ta liệt kê kết cục để tính xác suất Ví dụ 1.5 Gieo đồng xu đối xứng đồng chất lần, tính xác suất để: (a) Xuất mặt sấp (b) Xuất mặt sấp, mặt ngửa (c) Có xuất mặt sấp (d) Khơng xuất mặt ngửa Giải: Liệt kê tất trường hợp xảy gieo đồng xu hai lần: Sấp – Sấp; Sấp – Ngửa; Ngửa – Sấp; Ngửa – Ngửa Khi số kết cục đồng khả 4, hay n = (a) Đặt A biến cố “xuất mặt sấp”, ta có mA = có trường hợp thỏa mãn biến cố A Do đó: P ( A)  mA   0, 25 n TXTOKT02_Bai1_v1.0014109205 Bài 1: Biến cố xác suất (b) Đặt B biến cố “xuất mặt sấp, mặt ngửa”, ta có: mB = có hai trường hợp thỏa mãn biến cố B, Sấp – Ngửa Ngửa – Sấp Do đó: (c) Đặt C biến cố “có xuất mặt sấp” có nghĩa “có xuất mặt sấp”, ta có: mB = có ba trường hợp thỏa mãn biến cố C, gồm trường hợp có mặt sấp trường hợp có mặt sấp P (C )  mC   0, 75 n (d) Đặt D biến cố “không xuất mặt ngửa”, có nghĩa hai mặt xuất sấp, ta thấy biến cố D hoàn toàn giống biến cố A, mD = và: mD   0, 25  P( A) n Ví dụ 1.6 Gieo xúc sắc cân đối, đồng chất Tính xác suất để: (a) Xuất mặt chấm (b) Xuất mặt có số chấm bội P( D)  Giải: Khi gieo xúc sắc có kết cục xảy xuất chấm, chấm, chấm, chấm, chấm chấm Trong đó, kết cục kết cục có khả xảy Vì vậy, có tất kết cục đồng khả hay n = (a) Đặt A biến cố “xuất mặt chấm” Biến cố A xảy xuất chấm hay số kết cục thuận lợi cho A mA = Vậy: P ( A)  (b) Đặt B biến cố “xuất mặt có số chấm bội số 3” (hay chia hết cho 3) Biến cố B xảy xuất chấm chấm hay số kết cục thuận lợi cho cho B mB = 2  Ví dụ 1.7 Cho bảng thông tin ngành học nhân viên công ty kinh doanh sau (con số bảng số lượng người): Vậy: P ( B)  Ngành học Có học ngoại ngữ Khơng học ngoại ngữ Có học kinh tế 25 Khơng học kinh tế 15 Tính xác suất để chọn ngẫu nhiên người người đó: (a) Có học kinh tế (Biến cố A) (b) Có học kinh tế ngoại ngữ (Biến cố B) (c) Có học ngành (Biến cố C) (d) Không học ngành (Biến cố D) TXTOKT02_Bai1_v1.0014109205 Bài 1: Biến cố xác suất Giải: Để biết số kết cục đồng khả năng, cộng toàn số người cơng ty, ta có: n = 25 + 15 + + = 50 Đề đặt tên biến cố, ta khơng cần đặt lại (a) Số người có học kinh tế là: mA = 25 + = 32 Xác suất người chọn có học kinh tế: P ( A)  mA 32   0, 64 n 50 (b) Số người có học kinh tế ngoại ngữ: mB = 25 Xác suất người chọn có học kinh tế ngoại ngữ: P( B)  mB 25   0,5 n 50 (c) Số người có học ngành: mC = 25 + 15 + = 47 Xác suất người chọn có học ngành: P (C )  mC 47   0,94 50 n (d) Số người không học ngành nào: mD = Xác suất người chọn không học ngành nào: P( D)  mD   0, 06 n 50 Nhận thấy hai biến cố C D có tính chất “ngược nhau”, tổng xác suất chúng 1.3.3 Phương pháp dùng tổ hợp Trong nhiều trường hợp, để tính số kết cục đồng khả số kết cục thuận lợi, không dễ để liệt kê trường hợp tổng hợp dạng bảng ví dụ Khi ta phải sử dụng cơng thức tổ hợp để tính số phần tử Thường công thức tổ hợp dùng từ số phần tử chọn lấy phần tử Công thức tổ hợp Từ n phần tử, chọn lúc k phần tử (0  k  n), số trường hợp tổ hợp chập k n, ký hiệu Cnk tính công thức: Cnk  n! k !(n  k )! (1.3) Trong dấu ! ký hiệu cho giai thừa: n !  n(n  1)(n  2) 2.1 Cơng thức rắc rối, với k nhỏ dùng cách sau: Tổ hợp chập k n phân số mà k số lùi dần từ n, k số lùi từ k Chẳng hạn: C102  10  1 C20  20 19  18 100  99  98  97 C100   1   1 TXTOKT02_Bai1_v1.0014109205 Bài 1: Biến cố xác suất Một số trường hợp đặc biệt: : từ n phần tử có cách chọn phần tử, khơng chọn Cn1  n : từ n phần tử có n cách chọn phần tử Cnn  : từ n phần tử có cách chọn n phần tử, chọn tất Ví dụ 1.8 Một hộp có 10 sản phẩm, có phẩm phế phẩm (a) Lấy ngẫu nhiên từ hộp sản phẩm, tính xác suất để lấy phẩm (b) Lấy ngẫu nhiên đồng thời từ hộp hai sản phẩm, tính xác suất để lấy hai phẩm (c) Lấy ngẫu nhiên đồng thời từ hộp hai sản phẩm, tính xác suất để lấy phẩm phế phẩm Giải: (a) Đặt A biến cố “lấy sản phẩm phẩm” Khi lấy ngẫu nhiên từ hộp sản phẩm ta lấy sản phẩm số 10 sản phẩm Vì vậy, có tất 10 kết cục đồng khả hay n = 10 Biến cố A xảy ta lấy số phẩm nên số kết cục thuận lợi cho A mA = Vậy: P ( A)    0, 10 (b) Đặt B biến cố “lấy sản phẩm phẩm” Khi lấy ngẫu nhiên từ hộp hai sản phẩm, ta lấy sản phẩm số 10 sản phẩm tức số kết cục đồng khả phép thử số tổ hợp chập 10 phần tử hay: n  C102 Biến cố B xảy sản phẩm chọn phẩm tức số kết cục thuận lợi cho B số tổ hợp chập phần tử hay mB  C62 65 C 15 Vậy: P ( B )   1    0,333 10  C 45 1 10 (c) Đặt C biến cố “lấy sản phẩm phẩm phế phẩm” Dễ thấy số kết cục đồng khả n  C102  45 Số kết cục thuận lợi tính số trường hợp: phẩm lấy phẩm phế phẩm lấy phế phẩm Vì vậy: mC  C61C41    24 Vậy: P (C )  TXTOKT02_Bai1_v1.0014109205 C61C41 24    0,533 C102 45 15 Bài 1: Biến cố xác suất Ví dụ 1.9 Một cơng ty cần tuyển người Có 20 người nộp đơn có nam 12 nữ Giả sử khả trúng tuyển 20 người nhau, tính xác suất để: (a) Có nam trúng tuyển (b) Có nữ trúng tuyển Giải: Phép thử chọn ngẫu nhiên người 20 người nên số kết cục đồng khả là: n  C204  20  19  18  17  4845  3 1 (a) Đặt A biến cố “có nam trúng tuyển” “có nam trúng tuyển hai nữ trúng tuyển”, biến cố A xảy chọn nam số nam chọn nữ số 12 nữ nên số kết cục thuận lợi cho A là: mA  C82C122  Vậy: P ( A)   12 11   28  66  1848 1 1 C82C122 1848   0,381 C204 4845 (b) Đặt B biến cố “có nữ trúng tuyển” Biến cố B “có nữ trúng tuyển có nữ trúng tuyển”, xảy chọn nữ số 12 nữ chọn nam số nam, chọn nữ số 12 Do đó: mB  C123 C81  C124  12 1110 12 1110  8   220   495  2255  1   1 2255  0, 465 4845 Ví dụ 1.10 (Tình dẫn nhập) Có hai bàn A B, bàn A có hộp có hộp có phần thưởng; bàn B có hộp có hộp bên có phần thưởng (a) Người chơi chọn bàn lấy hộp, nên chọn bàn nào? Khi được/mất người chơi lệ phí chơi 10 nghìn phần thưởng 500 nghìn? (b) Từ bàn A lấy hai hộp, đánh giá khả năng: hai phần thưởng, phần thưởng, không phần thưởng Giải: (a) Khi phải chọn bàn, khả phần thưởng chọn bàn A chọn bàn B là: Vậy: P( B)   P(Có phần thưởng chọn bàn A) =  0,  P(Có phần thưởng chọn bàn B) = Dễ thấy khả có thưởng chọn bàn A lớn chọn bàn B, nên người chơi nên chọn bàn A Lưu ý chọn bàn A người chơi “dễ có thưởng 10 TXTOKT02_Bai1_v1.0014109205 Bài 1: Biến cố xác suất hơn”, khơng “chắc chắn có thưởng” Trong vấn đề định, khơng có phương án chắn hồn tồn cần chọn phương án có xác suất có lợi lớn Khi chọn bàn A, người chơi có khả phần thưởng với xác suất 0,6 dễ thấy xác suất không phần thưởng 0,4 Khi phần thưởng lợi ích người chơi là: 500 – 10 = 490 (nghìn) bỏ lệ phí tham gia Khi khơng có phần thưởng lợi ích người chơi – 10 (nghìn) Vậy lợi ích người chơi là:  Được 490 nghìn với xác suất 0,6  Mất 10 nghìn với xác suất 0,4 Đối với chủ trị chơi, lợi ích ngược lại, chủ trị chơi 490 nghìn với xác suất 0,6 10 nghìn với xác suất 0,4 Cách phân tích đề cập kĩ (b) Với bàn A, người chơi chọn hai hộp, theo cách tính tổ hợp, xác suất xảy trường hợp: phần thưởng, phần thưởng, không phần thưởng là: C32 P(Được phần thưởng) =   0,3 C5 10 P(Được phần thưởng) = C31C21    0, 10 C52 P(Khơng có phần thưởng) = C22   0,1 C52 10 Có thể nhận thấy lấy hai hộp, có ba trường hợp trên, khơng cịn trường hợp khác, tổng xác suất chúng Tính chất khái quát giảng sau Nếu lấy hai hộp từ bàn A, với lệ phí chơi 10 nghìn đồng, giá trị phần thưởng 500 nghìn đồng trường hợp lợi ích người chơi là: 990 nghìn (= 500 + 500 – 10 phần thưởng); 490 nghìn (= 500 – 10 phần thưởng); – 10 nghìn (khi khơng có phần thưởng) Do ta viết lợi ích người chơi:  Được 990 nghìn với xác suất 0,3  Được 490 nghìn với xác suất 0,6  Mất 10 nghìn với xác suất 0,1 Mặc dù có rủi ro 10 nghìn đồng, “xem ra” chơi trị chơi có lợi, người chơi khả nhỏ, cịn nhiều khả lớn Trường hợp dễ xảy (vì có xác suất lớn nhất) 490 nghìn, trường hợp 990 nghìn, khả tiền (nhưng xảy ra) Nhiều tốn, vấn đề kinh tế có dạng tương tự, với giá trị được/mất khác xác suất xảy khác Khi người định phải lựa chọn đánh giá lựa chọn Những phân tích kĩ nghiên cứu sau TXTOKT02_Bai1_v1.0014109205 11 Bài 1: Biến cố xác suất 1.3.4 Ưu nhược điểm định nghĩa cổ điển xác suất Ưu điểm:  Để tìm xác suất biến cố ta không cần phải tiến hành phép thử thực mà phép thử tiến hành cách giả định  Nếu yêu cầu phép thử đáp ứng cho phép tìm cách xác giá trị xác suất Nhược điểm:  Đòi hỏi số kết cục đồng khả xảy phép thử phải hữu hạn  Đòi hỏi kết cục phải đồng khả Tuy nhiên, thực tế có nhiều phép thử mà kết cục vô hạn Và nhiều biễu diễn kết phép thử dạng tập hợp kết cục đồng khả Trong trường hợp này, để tính xác suất biến cố, khơng áp dụng định nghĩa cổ điển Vì vậy, định nghĩa cổ điển xác suất, thực tế người ta sử dụng định nghĩa xác suất theo quan điểm thống kê 1.4 Định nghĩa thống kê Định nghĩa thống kê xác suất không dựa suy luận logic trực tiếp mà dựa thực nghiệm Ta thấy nhiều trường hợp suy luận trực tiếp khơng có kết quả, chẳng hạn tung đồng xu khơng đối xứng đồng chất, xác suất xuất mặt sấp khơng cịn 0,5 khơng thể suy luận trực tiếp Trong trường hợp ta cần dựa vào thực nghiệm Dựa thực nghiệm ta có khái niệm tần suất 1.4.1 Tần suất Giả sử tiến hành n phép thử loại, phép thử xuất không xuất biến cố A Trong thực tế, ta thường quan tâm đến tỉ lệ xuất A n phép thử Định nghĩa 1.4 – Tần suất: Tần suất xuất biến cố A n phép thử tỉ số số phép thử biến cố A xuất tổng số phép thử thực Nếu ký hiệu: n tổng số phép thử thực hiện; k số phép thử xuất biến cố A; f(A) tần suất xuất biến cố A n phép thử thì: k f ( A)  (1.4) n Ví dụ 1.11 Khi gieo đồng xu cân đối đồng chất mặt phẳng cứng nhiều lần, người ta thu kết sau: Số lần gieo Số lần sấp Tần suất xuất mặt sấp (n) (k) (f) Buffon 4040 2048 0,5080 Pearson 12000 6019 0,5016 Pearson 24000 12012 0,5005 Người thí nghiệm 12 TXTOKT02_Bai1_v1.0014109205 Bài 1: Biến cố xác suất Qua ví dụ trên, ta thấy số lần gieo lớn tần suất xuất mặt sấp dao động ngày xung quanh giá trị khơng đổi 0,5 Điều cho phép hi vọng, số lần gieo tăng lên vơ hạn tần suất xuất mặt sấp hội tụ giá trị 0,5 Giá trị khơng đổi xác suất để xuất mặt sấp tung đồng xu Người ta nhận thấy, tiến hành số lớn phép thử tần suất dao động xung quanh giá trị Đây tính ổn định tần suất tính ổn định sở để người ta đưa định nghĩa thống kê xác suất 1.4.2 Định nghĩa theo thống kê Định nghĩa 1.5 – Xác suất tính theo thống kê: Xác suất xuất biến cố A phép thử số p không đổi mà tần suất f xuất biến cố n phép thử dao động xung quanh số phép thử tăng lên vơ hạn Cơng thức tính xác suất theo định nghĩa thống kê: P (A)  lim f (A) n  (1.5) Trong thực tế, n đủ lớn, lấy tần suất f(A) thay cho P(A) Ví dụ 1.12 Xác suất trẻ sơ sinh sinh trai bao nhiêu? Có người lập luận trẻ sinh có hai trường hợp trai gái, xác suất sinh trai 1/2 hay 0,5 Cách lập luận sai trai gái sinh với khả khơng sau Khi tiến hành thống kê Chẳng hạn thống kê toàn trẻ sinh năm kết quả: Số trẻ sinh ra: 1.200.000 (một triệu hai trăm nghìn) Số trai: 616.200 (sáu trăm mười sáu nghìn hai trăm) 616200  0,5135 1200000 Nếu khơng thể có thêm thơng tin khác, chấp nhận xác suất sinh trai xấp xỉ 0,5135 hay 51,35% Khi có thêm thơng tin, tăng số phép thử kết xác Thì tần suất sinh trai là: f  1.4.3 Ưu nhược điểm định nghĩa thống kê xác suất Ưu điểm: Không đòi hỏi điều kiện áp dụng định nghĩa cổ điển Nhược điểm:  Chỉ áp dụng tượng ngẫu nhiên mà tần suất có tính ổn định  Phải thực số đủ lớn phép thử để xác định giá trị tương đối xác xác suất Trong nhiều trường hợp số lượng phép thử thống kê hạn chế khơng có đủ phép thử, người ta buộc phải sử dụng số lớn Chẳng hạn quan tâm đến xác suất bão vào khu vực đó, thơng tin khí tượng ghi nhận lâu có 100 năm gần đây, có 12 năm bão vào khu vực đó; tần suất 0,12 khơng thể có thêm thơng tin nữa, cho xác suất bão vào khu vực xấp xỉ 0,12 TXTOKT02_Bai1_v1.0014109205 13 Bài 1: Biến cố xác suất 1.5 Nguyên lý xác suất nhỏ xác suất lớn Nguyên lý xác suất nhỏ: Nếu biến cố có xác suất nhỏ (gần 0) thực tế cho rằng, phép thử biến cố khơng xảy Ngun lý xác suất lớn: Nếu biến có xác suất lớn (gần 1) thực tế cho rằng, phép thử biến cố xảy Nguyên lý sở cho hai toán thống kê giảng cuối Có thể mơ tả việc sử dụng ngun lý ví dụ sau Ví dụ 1.13 Một nhà sản xuất khẳng định sản phẩm “nói chung tồn đồ tốt”, tức xác suất có sản phẩm hỏng nhỏ Theo nguyên lý xác suất nhỏ, thực phép thử biến cố “sản phẩm hỏng” không xảy Nếu chọn sản phẩm (thực phép thử) thấy sản phẩm hỏng, tức vi phạm nguyên lý xác suất nhỏ, cho khẳng định nhà sản xuất khơng đúng, ta khơng tin tưởng vào khẳng định Trong ví dụ trên, lưu ý hai điều:  Trong ngun lý nói chữ “có thể cho rằng” khơng phải định cho rằng, chắn cho rằng, ngun lý có tính “phổ qt” khơng “tồn bộ”, hồn tồn dựa vào nguyên lý có sai lầm Chẳng hạn ví dụ trên, triệu sản phẩm có sản phẩm hỏng, xác suất nhỏ, ngẫu nhiên ta chọn lần lại chọn đúng, phủ nhận nhà sản xuất, ta có sai lầm  Nguyên lý đề cập “trong phép thử” thực thật nhiều phép thử Chẳng hạn ví dụ trên, ta kiểm tra liên tiếp thật nhiều sản phẩm tìm sản phẩm hỏng để bác bỏ khẳng định nhà sản xuất, khơng phải dựa suy luận nguyên lý xác suất nhỏ Trong thực tế, việc xem xét mức xác suất coi nhỏ lớn tùy thuộc vào toán cụ thể Xác suất để xe buýt đến bến muộn 0,05 coi nhỏ xác suất để xe bị cháy rụi 0,05 lại q lớn 1.6 Mối quan hệ biến cố Tình dẫn nhập toán đặt có cấu trúc tương đối đơn giản, cịn có kiện xảy bối cảnh đơn Trong thực tế biến cố phức tạp hơn, kết hợp hai nhiều kiện, bối cảnh khác Khi việc tính xác suất trở nên khó khăn Để tính xác suất biến cố phức tạp, ta phân tách thành biến cố đơn giản tính tốn phần đơn giản đó, kết hợp lại để có kết cuối Ví dụ 1.14 Sử dụng ví dụ 1.7: Trong cơng ty có người học Kinh tế, có người học Ngoại ngữ, có người học hai có người khơng học ngành hai ngành Khi xét biến cố A “có học Kinh tế”; B “có học Ngoại ngữ” đề cập đến biến cố “có học hai ngành”, “có học ngành”, “chỉ học ngành”, “khơng học ngành hai ngành” mô tả qua biến cố A B hay không? Khi chọn ngẫu nhiên hai người, tùy thuộc người thứ có học ngành hay không mà muốn chọn người thứ hai phải học ngành khác, mơ tả tính xác suất biến cố “người thứ hai học Kinh tế 14 TXTOKT02_Bai1_v1.0014109205 Bài 1: Biến cố xác suất người thứ học Ngoại ngữ” hay biến cố “người thứ hai không học ngành giống người thứ nhất” thể nào? Để hiểu phân tách kết hợp biến cố trên, ta xét việc mô tả mối quan hệ biến cố, để chuẩn bị cho giảng sau 1.6.1 Tích biến cố Khi tổng hợp hai biến cố, cần xét trường hợp biến cố biến cố đồng thời xảy ra, ta có khái niệm biến cố tích (hay cịn gọi giao hai biến cố) Định nghĩa 1.6 – Biến cố tích: Biến cố C gọi tích hai biến cố A B, ký hiệu C = A.B C xảy hai biến cố A B xảy Có thể mơ tả hình vẽ hình 1.2 A B C = A.B  Hình 1.2 Tích hai biến cố Trong hình 1.2, biến cố A tương ứng với hình trịn bên trái, biến cố B tương ứng với hình trịn bên phải, tích A B phần giao nhau, hình hai hình trịn C xảy A B đồng thời xảy Ví dụ 1.15 Một người đầu tư vào hai dự án Đặt A biến cố “dự án thứ có lãi”; B biến cố “dự án thứ hai có lãi”; C biến cố “cả hai dự án có lãi” Ta thấy, biến cố C xảy hai biến cố A B xảy Vì vậy: C = A.B Mở rộng: Biến cố A gọi tích n biến cố A1, A2… An, ký hiệu n A   Ai A xảy tất biến cố A1, A2… An xảy i 1 Ví dụ 1.16 Nhà đầu tư đánh giá n dự án Đặt: Ai biến cố “dự án thứ i có lãi”, i = 1, 2, 3… A biến cố “cả n dự án có lãi” Ta thấy, biến cố A xảy n biến cố A1, A2… An xảy n Vì vậy: A   Ai i 1 Định nghĩa 1.7 – Tính độc lập: Hai biến cố A B gọi độc lập với việc xảy hay không xảy biến cố không làm thay đổi xác suất xảy biến cố ngược lại TXTOKT02_Bai1_v1.0014109205 15 Bài 1: Biến cố xác suất Trong trường hợp việc biến cố xảy hay không xảy làm thay đổi xác suất xảy biến cố hai biến cố gọi phụ thuộc Ví dụ 1.17 Một hộp đựng 10 sản phẩm có phẩm phế phẩm Người ta lấy sản phẩm theo hai phương thức: (a) lấy có hoàn lại (nghĩa lấy sản phẩm bỏ sản phẩm trở lại hộp, lấy sản phẩm thứ hai) (b) lấy khơng hồn lại (nghĩa lấy sản phẩm, giữ bên hộp, lấy sản phẩm thứ hai) Đặt: A biến cố “Lấy phẩm lần thứ nhất” B biến cố “Lấy phẩm lần thứ hai” Ta xem xét mối quan hệ độc lập phụ thuộc hai biến cố A B hai phương thức lấy (a) Trong phương thức lấy có hồn lại: Do sản phẩm lấy lần đầu bỏ trở lại hộp tiếp tục lấy sản phẩm thứ hai nên việc lần thứ có lấy phẩm hay khơng khơng làm thay đổi khả lấy phẩm lần thứ hai Có nghĩa là, việc xảy hay khơng xảy biến cố A không làm thay đổi xác suất xảy biến cố B Cũng vậy, việc xảy hay không xảy biến cố B không làm thay đổi xác suất xảy biến cố A Vì vậy, trường hợp A B độc lập với (b) Phương thức lấy không hồn lại: Do sản phẩm lấy lần đầu khơng bỏ trở lại hộp tiếp tục lấy sản phẩm thứ hai nên việc lần thứ có lấy phẩm hay khơng làm thay đổi khả lấy phẩm lần thứ hai Có nghĩa là, việc xảy hay không xảy biến cố A làm thay đổi xác suất xảy biến cố B Vì vậy, trường hợp A B phụ thuộc Mở rộng: Các biến cố A1, A2… An gọi độc lập toàn phần với biến cố n biến cố độc lập với tổ hợp biến cố cịn lại Ví dụ 1.18 Tung đồng xu n lần, gọi Ai = (Đồng xu xuất mặt ngửa lần tung thứ i), i = 1,2… n biến cố A1, A2… An độc lập toàn phần với 1.6.2 Tổng biến cố Định nghĩa 1.8 – Biến cố tổng: Biến cố C gọi tổng hai biến cố A B, ký hiệu C = A + B, C xảy có hai biến cố A B xảy Có thể minh họa biến cố tổng hình 1.3 A B C=A+B  Hình 1.3 Tổng hai biến cố 16 TXTOKT02_Bai1_v1.0014109205 Bài 1: Biến cố xác suất Trong hình 1.3, biến cố tổng C gồm tồn phần hình số A B bao phủ Như thấy C gồm phần có A mà khơng có B, có B mà khơng có A, phần chung A B Lưu ý: cụm từ “A B” dễ bị nhầm lẫn “chỉ A B” Ở phải hiểu “A B” hai Ví dụ 1.19 Một người chào hàng hai nơi (và hai nơi, khơng có nơi khác nữa) Đặt: A biến cố “nơi thứ đặt hàng” B biến cố “nơi thứ hai đặt hàng” C biến cố “có đơn đặt hàng” Ta thấy, biến cố C xảy có hai biến cố A B xảy Vì vậy: C = A + B Mở rộng: Biến cố A gọi tổng n biến cố A1, A2… An, ký hiệu n A   Ai A xảy có n biến cố xảy i 1 Ví dụ 1.20 Người chào hàng n nơi Đặt: Ai biến cố “nơi thứ i đặt hàng” với i = 1, 2, , n A biến cố “có nơi đặt hàng” hay “có nơi đặt hàng” Ta thấy, A xảy có n biến cố A1, A2… An xảy n Vì vậy: A   Ai i 1 Định nghĩa 1.9 – Tính xung khắc: Hai biến cố A B gọi xung khắc với chúng xảy phép thử Trong trường hợp chúng xảy phép thử gọi hai biến cố không xung khắc Khi A B xung khắc biến cố tích chúng khơng thể xảy ra: A B xung khắc  A.B =  Có thể mơ tả hai biến cố xung khắc hình 1.4 Trong hình 1.4, hai hình trịn A B khơng có điểm chung, phần giao chúng rỗng A B A.B =   Hình 1.4 Hai biến cố xung khắc Ví dụ 1.21: Khi gieo xúc sắc biến cố A “xuất mặt chấm” biến cố B “xuất mặt hai chấm” xung khắc với nhau, chúng xảy phép thử TXTOKT02_Bai1_v1.0014109205 17 Bài 1: Biến cố xác suất Ví dụ 1.22 Với kết cuối lợi nhuận dự án đầu tư biến cố “có lãi” biến cố “bị lỗ” hai biến cố xung khắc, với dự án khơng thể vừa có lãi vừa bị lỗ Tuy nhiên với hai dự án đầu tư khác nhau, biến cố “dự án thứ có lãi” biến cố “dự án thứ hai bị lỗ” khơng xung khắc, chúng xảy Mở rộng: Nhóm biến cố A1, A2… An gọi xung khắc đôi hai biến cố n biến cố xung khắc với Ví dụ 1.23 Gieo xúc sắc cân đối đồng chất Đặt Ai biến cố “xuất mặt i chấm”, với i = 1,2,…,6 biến cố A1; A2;…; A6 gọi xung khắc đơi biến cố biến cố xung khắc với Định nghĩa 1.10 – Nhóm đầy đủ: Các biến cố A1, A2… An gọi nhóm đầy đủ biến cố kết phép thử xảy biến cố Về mặt khái niệm, biến cố A1, A2… An tạo nên nhóm đầy đủ chúng xung n khắc đơi tổng chúng biến cố chắn (  Ai   ) i 1 Nói cách đơn giản hơn, nhóm biến cố đầy đủ chúng lấp đầy toàn trường hợp khơng có phần trùng lặp Có thể minh họa nhóm đầy đủ biến cố hình 1.5 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A1 A2 A3 A4 A5 (a) (b) (c) Hình 1.5 Minh họa nhóm đầy đủ khơng phải nhóm đầy đủ Trong hình 1.5, hình (a) biến cố A1, A2, A3, A4 tạo thành nhóm đầy đủ, chúng riêng biệt lấp đầy tồn khoảng trống Hình (b) biến cố A1, A2, A3 khơng tạo thành nhóm đầy đủ chúng khơng lấp đầy tồn Hình (c) A1, A2, A3, A4, A5 khơng tạo thành nhóm đầy đủ chúng lấp đầy tồn lại có phần trùng Ví dụ 1.24 Với kết cuối lợi nhuận dự án đầu tư:  Các biến cố: “có lãi”, “hịa vốn”, “bị lỗ” tạo thành nhóm đầy đủ  Các biến cố: “có lãi”, “hịa vốn” khơng tạo thành nhóm đầy đủ  Các biến cố: “có lãi”, “hịa vốn”, “bị lỗ”, “lãi tỷ” khơng tạo thành nhóm đầy đủ  Các biến cố: “có lãi”, “khơng có lãi” tạo thành nhóm đầy đủ 18 TXTOKT02_Bai1_v1.0014109205 Bài 1: Biến cố xác suất Ví dụ 1.25 Gieo xúc sắc cân đối đồng chất Đặt Ai biến cố “xuất mặt i chấm”, với i = 1, 2,…, Ta thấy, kết phép thử xảy biến cố A1, A2… A6 Vì vậy, nhóm biến cố A1, A2… A6 tạo thành nhóm đầy đủ biến cố Định nghĩa 1.11 – Biến cố đối lập: Hai biến cố gọi đối lập với chúng tạo nên nhóm đầy đủ biến cố A Ā  Hình 1.6 Hai biến cố đối lập Ký hiệu biến cố đối lập A Ā Hay nói cách khác: hai biến cố đối lập thực phép thử xảy hai biến cố Như A.Ā =  A + Ā =  Có thể minh họa hai biến cố đối lập qua hình 1.6 Trong hình biến cố đối lập A tồn phần bên ngồi hình trịn A Ví dụ 1.26 Với người thi, biến cố đối lập “đỗ” biến cố “trượt” Tuy nhiên với nhiều người thi, biến cố đối lập “tất đỗ” “tất trượt” Biến cố đối lập “tất đỗ” “có người trượt” (hay “khơng phải tất đỗ”) Đây chỗ hay nhầm lẫn sinh viên biến cố đối lập Ví dụ 1.27 Với kết lợi nhuận dự án đầu tư, biến cố đối lập “có lãi” “khơng có lãi”, “hịa vốn lỗ” Khi đầu tư vào dự án, biến cố đối lập “tất dự án có lãi” “có dự án khơng có lãi” Ví dụ 1.28 Với thông tin người lao động cơng ty ví dụ 1.7, người lao động học Kinh tế khơng, học Ngoại ngữ không Khi chọn ngẫu nhiên người lao động: Đặt A biến cố “có học Kinh tế”; Đặt B biến cố “có học Ngoại ngữ” Khi ta có bảng: Ngành học Có học ngoại ngữ (B) Khơng học ngoại ngữ (B) Có học kinh tế (A) A.B (25 người) A.B (7 người) Không học kinh tế (Ā) A.B (15 người) A.B (3 người) TXTOKT02_Bai1_v1.0014109205 19 Bài 1: Biến cố xác suất Khi mơ tả biến cố sau:  Biến cố Ā “không học kinh tế”  Biến cố B “không học ngoại ngữ”  Biến cố A.B “học hai ngành”  Biến cố A + B “học ngành”  Biến cố A.B “không học ngành nào”  Biến cố “chỉ học kinh tế” A.B  Biến cố “chỉ học ngoại ngữ” A.B  Biến cố “chỉ học ngành” A.B + A.B Cũng nhận thấy mối quan hệ sau:  A B không xung khắc  A.B A.B xung khắc; A.B A.B xung khắc  Các biến cố: A.B, A.B , A.B , A.B tạo thành nhóm đầy đủ  A + B = A.B + A.B + A.B (biến cố tổng “A B” gồm: “cả A B” + “chỉ có A” + “chỉ có B”) 20 TXTOKT02_Bai1_v1.0014109205 Bài 1: Biến cố xác suất Tóm lược cuối  Để quan sát tượng có xảy hay khơng ta cần thực phép thử Hiện tượng xảy không xảy kết phép thử gọi biến cố  Khả xảy biến cố phép thử gọi xác suất biến cố  Đối với biến cố giản đơn tìm xác suất định nghĩa cổ điển với điều kiện kết cục phép thử phải hữu hạn đồng khả Với phương pháp liệt kê, ta đếm số lượng phần tử tính xác suất theo cơng thức cổ điển Với trường hợp lấy nhiều phần tử, phải áp dụng cơng thức tổ hợp để tính số kết cục  Khi kết cục phép thử không đồng khả khơng hữu hạn dùng định nghĩa thống kê xác suất tiến hành số lớn phép thử  Một biến cố phức hợp thường biễu diễn thông qua tích tổng biến cố giản đơn Khi biến cố biểu diễn qua tích biến khác cần xem xét tính độc lập phụ thuộc biến cố Khi biến cố biểu diễn qua tổng biến cố khác cần xem xét tính xung khắc, khơng xung khắc biến cố TXTOKT02_Bai1_v1.0014109205 21 Bài 1: Biến cố xác suất Câu hỏi ôn tập Thế phép thử, kết cục biến cố? Thế xác suất? Xác suất có lớn nhỏ không? Xác suất khách quan hay chủ quan? Cơng thức tính xác suất theo định nghĩa cổ điển nào? Để tính xác suất theo định nghĩa cổ điển cần lưu ý điều kiện gì? Cơng thức cách tính tổ hợp nào? Tại phải dùng định nghĩa thống kê xác suất nhiều trường hợp? Tần suất gì? Nguyên lý xác suất nhỏ lớn cho biết điều gì? 10 Thế tích hai biến cố, tích nhiều biến cố? 11 Thế tổng hai biến cố, tổng nhiều biến cố? 12 Thế hai biến cố độc lập? 13 Thế hai biến cố xung khắc? 14 Thế nhóm đầy đủ biến cố? 15 Hai biến cố đối lập gi? 22 TXTOKT02_Bai1_v1.0014109205 ... TXTOKT02_Bai1_v1.0014109205 13 Bài 1: Biến cố xác suất 1.5 Nguyên lý xác suất nhỏ xác suất lớn Nguyên lý xác suất nhỏ: Nếu biến cố có xác suất nhỏ (gần 0) thực tế cho rằng, phép thử biến cố khơng xảy Nguyên lý xác suất. .. TXTOKT02_Bai1_v1.0014109205 19 Bài 1: Biến cố xác suất Khi mơ tả biến cố sau:  Biến cố Ā “không học kinh tế”  Biến cố B “không học ngoại ngữ”  Biến cố A.B “học hai ngành”  Biến cố A + B “học ngành”  Biến cố A.B... định nghĩa thống kê xác suất 1.4.2 Định nghĩa theo thống kê Định nghĩa 1.5 – Xác suất tính theo thống kê: Xác suất xuất biến cố A phép thử số p không đổi mà tần suất f xuất biến cố n phép thử dao