Bài giảng Lý thuyết xác suất thống kê toán - Chương 2: Đại lượng ngẫu nhiên, phân phối xác suất

Bài giảng Lý thuyết xác suất thống kê toán - Chương 2: Đại lượng ngẫu nhiên, phân phối xác suất cung cấp cho người học kiến thức về đại lượng ngẫu nhiên rời rạc, các đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên, đại lượng ngẫu nhiên liên tục. Mời các bạn cùng tham khảo.

CHƯƠNG 2 Đại lượng ngẫu nhiên – Phân phối XS

1 Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc

1.1 Định nghĩa

Nếu mỗi kết quả của một phép thử ngẫu nhiên được biểu thị bằng một giá trị số, ta có một đại lượng ngẫu nhiên (ĐLNN)

Chính xác hơn, ĐLNN X là một hàm số xác định trên không gian mẫu Ω sao cho mọi tập hợp có dạng (X<x)={ω∈Ω/X(ω)= x} đều là biến cố

Ghi chú

(X<x) là biến cố thì (X>x), (X=x) … đều là biến cố

ĐLNN rời rạc là ĐLNN mà các giá trị nó có thể nhận liệt kê được Lúc này biến cố để X nhận

Ví dụ

(1) Tung con xúc sắc, gọi X là số chấm xuất hiện thì

X là một ĐLNN có thể nhận các giá trị 1, 2, 3, 4, 5,

(2) Mua một vé số 5.000đ của thành phố A, gọi X là số tiền trúng số thì X là một ĐLNN rời rạc

(3) Gọi X là số lần tung đồng xu cho đến khi được mặt sấp thì X là ĐLNN rời rạc

(4) Chiều cao X (cm) của một sinh viên trong lớp được chọn ngẫu nhiên có thể nhận giá trị là một số thực trong khoảng [140; 220] Các giá trị này không liệt kê được X không phải là ĐLNN rời rạc

1.2 Bảng phân phối xác suất của ĐLNN rời rạc

Quy luật phân phối xác suất của ĐLNN rời rạc

(bảng PPXS):

Bảng phân phối ký hiệu là (xi, pi), i=1, n

Ta phải có: pi >0,i=1, n và p1 + p2 + + pn =1

Ví dụ

(1) Lô hàng gồm 6 chính phẩm và 4 phế phẩm Lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm Gọi X là số chính phẩm Các giá trị có thể nhận của X là 0, 1, 2 Ta có:

p1 =P(X=0)= 24

2 10

C

15 p2 =P(X=1)= 14 16

2 10

(2) Xác suất trị khỏi bệnh của 1 viên thuốc là 90% Bệnh nhân uống từng viên, chưa hết bệnh thì uống tiếp nhưng tối đa 3 viên Gọi X là số viên thuốc bệnh nhân uống Lập bảng phân phối XS của X

P 2/15 8/15 5/15

2 Các số đặc trưng của ĐLNN

2.1 Kỳ vọng

2.1.1 Định nghĩa

Để đánh giá giá trị trung bình của một ĐLNN,

ta tính kỳ vọng Kỳ vọng của ĐLNN X ký hiệu là E(X) Kỳ vọng của ĐLNN X có bảng phân phối (xi, pi), i=1, n được định nghĩa:

750

1550

1050

550

650

450Điểm trung bình: E(X) = 5,82 (điểm)

(2) Một lô hàng gồm 15 chính phẩm và 3 thứ phẩm Chính phẩm được bán với giá 200.000đ còn thứ

phẩm bán với giá 150.000đ Tính trung bình thì thu được bao nhiêu tiền khi bán một sản phẩm?

(3) Tung con xúc sắc Nếu xuất hiện mặt 1 hoặc mặt

2 hoặc mặt 3 thì thua 1đ, mặt 4 thì hoà, mặt 5 thì thắng 1đ, mặt 6 thì thắng 2đ Gọi X là số tiền thu được sau mỗi lần chơi Tính kỳ vọng của ĐLNN X (4) Xét ĐLNN X có bảng phân phối (xi, pi), i = 1, m Thực hiện phép thử n lần Gọi ki là số lần X nhận

Cho n→∞ thì fi → pi ( i = 1, m) và do đó X → E(X) Vậy khi n đủ lớn thì X ≈ E(X) Ta nói kỳ vọng của một ĐLNN gần bằng với giá trị trung bình của một quan sát của ĐLNN này

2.1.2 Tính độc lập của ĐLNN rời rạc

Hai ĐLNN rời rạc X, Y gọi là độc lập nếu mỗi biến cố (X = x) đều độc lập với mọi tổ hợp tích của các biến cố có dạng (Y= yj)

Ví dụ

Gọi X là điểm thi môn Toán, Y là ngày sinh, U là số ngày đi học môn toán của một sinh viên trong lớp được chọn ngẫu nhiên thì X, Y là hai ĐLNN độc lập X, U là hai ĐLNN không độc lập

2.1.3 Tính chất

(i) E(c) = c (c là ĐLNN hằng và bằng c) (ii) E(cX) = cE(X)

(iii) E(X + Y) = E(X) + E(Y)

(iv) E(X.Y) = E(X).E(Y) nếu X, Y độc lập

Ví dụ

(1) Một sinh viên sắp thi môn Toán và môn Kinh tế Khả năng đạt điểm như sau:

Điểm Toán 3 4 5 6 7 8 9 Điểm K.Tế 4 5 6 7 8 9

Khả năng (%) 5 10 15 20 25 15 10 Khả năng (%) 5 15 15 30 25 10

Dự kiến điểm trung bình hai môn của sinh viên này là bao nhiêu?

Gọi X, Y là điểm thi môn Toán và môn Kinh tế Cần tính E( (X+Y)/2 ) Ta có:

E(X) = 6,35 E(Y) = 6,85

(2) Trong một tuần, một người có thể điểm tâm từ 5 cho đến 7 lần Số tiền phải trả cho mỗi lần điểm tâm thay đổi từ 20 ngàn đến 40 ngàn Chi tiết cho bởi bảng:

Được biết số ngày điểm tâm và chi phí cho mỗi lần điểm tâm không phụ thuộc nhau Trung bình mỗi tuần người này chi bao nhiêu cho điểm tâm?

2.2 Phương sai

2.2.1 Phương sai của ĐLNN rời rạc

Độ lệnh của X so với E(X) là X – E(X) Tuy nhiên, để tiện cho các phép tính vi tích, người ta xét

lớn thì độ lệch cũng lớn và ngược lại

Để đánh giá mức độ phân tán các giá trị của ĐLNN X quanh giá trị trung bình E(X), ta tính kỳ vọng của độ lệch bình phương và gọi giá trị này là phương sai:

var(X) ==== E([X −−−− E(X)]2) Trong thực tế, phương sai của ĐLNN X được tính theo công thức:

var(X) ==== E(X2) −−−− [E(X)]2

Để có cùng đơn vị đo với X, ta lấy căn của phương sai và gọi giá trị này là độ lệch chuẩn:

σ

σ(X) ==== Var(X) Phương sai của ĐLNN X có bảng phân phối (xi, pi), i=1, n được tính theo công thức:

Nên mua mì ăn liền nhãn hiệu nào?

Gọi X (Y) là trọng lượng một gói mì nhãn hiệu A (B) được chọn ngẫu nhiên Ta có bảng PPXS của ĐLNN

var(X) = E(X2) − [E(X)]2

Trọng lượng trung bình của một gói mì của cả 2

nên gói mì nhãn hiệu A có trọng lượng ổn định hơn Nên mua mì ăn liền nhãn hiệu A

Ví duï

Theo tính chaát cuûa phöông sai:

(2) Trò chơi A: Tung con xúc sắc Nếu xuất hiện mặt

1 hoặc mặt 2 hoặc mặt 3 thì thua 1đ, mặt 4 thì hoà, mặt 5 thì thắng 1đ, mặt 6 thì thắng 2đ

Trò chơi B: Tung con xúc sắc Nếu xuất hiện mặt chẳn thì thì thắng 2đ, mặt lẻ thì thua 2đ

Cách chơi I: Chơi 2 ván theo trò chơi A và 3 ván theo trò chơi B

Cách chơi II: Chơi 3 ván theo trò chơi A và 2 ván theo trò chơi B

Tính kỳ vọng và phương sai của số tiền thắng cuộc khi chơi theo cách I, cách II Các cách chơi này có công bằng? Cách chơi nào có tính đỏ đen hơn?

2.3 Giá trị tin chắc nhất của ĐLNN rời rạc

Xét X là ĐLNN rời rạc Nếu phải dự đoán giá trị của X thì ta sẽ chọn giá trị xo sao cho biến cố (X=xo)

chắc nhất của ĐLNN X, ký hiệu Mod(X)

Do

xmax P(X = x) có thể đạt tại nhiều giá trị x nên Mod(X) không chắc duy nhất

2.4 Trung vị của ĐLNN rời rạc

Xét hai dãy số:

A: 1, 1, 5, 7, 8 B: 3, 3, 4, 6, 6, 9 Giá trị nằm giữa dãy số, gọi là trung vị, bằng bao nhiêu?

Đối với dãy A, trung vị là 5 Đối với B, có hai giá trị nằm giữa là 4 và 6 Ta lấy trung bình của hai giá trị này là 5 làm trung vị

Excel

Để tính trung vị của ĐLNN X có bảng phân phối (xi, pi), i=1, n, ta đưa các số pi về dạng các phân số

có chung mẫu số là mi

lặp lại mi lần giá trị xi và sắp thứ tự Trung vị của dãy số này gọi là trung vị của ĐLNN X, ký hiệu Med(X)

Med(X) thoả tính chất:

2

3 Đại lượng ngẫu nhiên liên tục

Nếu các giá trị mà ĐLNN có thể nhận không liệt kê được thì ĐLNN được gọi là liên tục

Đối với ĐLNN X liên tục, các biến cố đáng quan tâm có dạng (X < a), (X > a), (a < X < b), (X > a), (X < a)

Trọng lượng một con gia súc chọn ngẫu nhiên trong chuồng, nhiệt độ trong phòng vào một thời điểm chọn ngẫu nhiên là các ví dụ về ĐLNN liên tục

3.1 Hàm phân phối XS và hàm mật độ XS

3.1.1 Hàm phân phối xác suất

Quy luật phân phối xác suất của ĐLNN liên tục

PPXS) Hàm PPXS F của ĐLNN X được định nghĩa:

F(x) ==== P(X < x) Hàm PPXS còn gọi là hàm tích luỹ xác suất

Hàm PPXS F của một ĐLNN phải thỏa:

Nếu X là ĐLNN có hàm PPXS liên tục thì:

thì F liên tục Vậy:

P(1<X≤2)=F(2) –F(1)= 1/6

(2) Từ bảng phân phối (xi, pi), i=1, n của một ĐLNN rời rạc, ta có thể thành lập hàm phân phối cho ĐLNN này bằng cách đặt:

3.1.2 Hàm mật độ xác suất

Xét ĐLNN X liên tục có hàm phân phối F Nếu

độ xác suất (hàm MĐXS) của ĐLNN X

Hàm mật độ còn có các tính chất sau:

Ví dụ

Tìm c để hàm f(x) = ce−x / 22 là hàm mật độ

3.2 Phân phối Chuẩn

3.2.1 Phân phối Chuẩn chuẩn tắc, hàm Laplace

e2

−

chuẩn tắc, ký hiệu Z ~ N(0; 1)

Giá trị của tích phân sau cùng phụ thuộc vào z Hàm Φ theo biến z này có tên là hàm Laplace:

2

z x /20

Việc tính giá trị Φ(z) bằng cách tính nguyên hàm là không thực hiện được Người ta dùng phương pháp khác để tính Φ(z) theo z, với bước nhảy 0,01, và ghi thành Bảng kê số hàm Laplace

dùng bảng kê số ta có thể tính các giá trị sau:

Ví dụ

(1) P(Z>2) =0,5–Φ(2)

Tra bảng kê số hàm Laplace để tìm Φ(2):

z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 1.9 0.4713 0.4719 0.4726 0.4732 0.4738 0.4744 0.4750 0.4756 0.4761 0.4767 2.0 0.4772 0.4778 0.4783 0.4788 0.4793 0.4798 0.4803 0.4808 0.4812 0.4817

= 0,4719 + 0,4772 = 0,9491

3.2.2 Phân vị mức α

Xét Z ~ N(0; 1) và một số α∈(0; 0,5) Phân vị

sao cho P(Z>zα)=α

Ta có:

P(Z>zα)=α ⇒ 0,5–Φ(zα)=α ⇒ Φ(zα)=0,5 –α Vậy:

zα ==== ΦΦ–1(0,5–α) α =NORMSINV(1–α)

Khi dùng bảng kê số hàm Laplace, nếu tra thấy

Trường hợp trên bảng không tìm thấy giá trị cần tra thì lấy hai giá trị nhỏ hơn, lớn hơn và gần giá trị cần tra nhất rồi dùng quy tắc nội suy

Ghi chú

gọi là phân vị mức α của ĐLNN X

3.2.3 Phân phối Chuẩn

tham số dương thì X là một ĐLNN liên tục có tên là

3.3 Các số đặc trưng của ĐLNN liên tục

Xét X là ĐLNN có hàm mật độ f

3.3.1 Kỳ vọng, phương sai, độ lệch chuẩn

−∞

==== ∫∫∫∫+

2 2

σ(X) ==== Var(X) Các tính chất của kỳ vọng và phương sai của ĐLNN rời rạc cũng đúng cho ĐLNN liên tục Lưu ý định nghĩa ĐLNN liên tục X, Y độc lập nếu mỗi biến cố (X < x) đều độc lập với mọi tổ hợp tích của các biến cố có dạng (Y<yj)

(2) Xét X ~ N(µ; σ2)

=2*NORMSDIST(3)–1

trung quanh giá trị trung bình với khoảng cách bằng

3 lần độ lệch chuẩn

3.3.2 Giá trị tin chắc nhất, trung vị

Theo ý nghĩa của hàm mật độ, giá trị tin chắc nhất Mod(X) là giá trị xo sao cho f(xo) =

xmax f (x)

2 nên trung vị Med(X) được định nghĩa là giá trị m sao cho:

3.3.3 Hệ số bất đối xứng, hệ số nhọn

Để đo mức độ bất đối xứng của đồ thị hàm mật

3

σXét trục E(X) Đồ thị của hàm mật độ đối xứng

Để đo độ nhọn của đồ thị hàm mật độ gần giá trị E(X), ta tính hệ số nhọn Kur(X):

Kur(X) = E([X − E(X)] )4 4

σKur(X) càng lớn thì đồ thị quanh E(X) càng nhọn, xu hướng X bằng E(X) càng cao