Bài giảng Lý thuyết xác suất thống kê toán - Chương 2: Đại lượng ngẫu nhiên, phân phối xác suất

Bài giảng Lý thuyết xác suất thống kê toán - Chương 2: Đại lượng ngẫu nhiên, phân phối xác suất cung cấp cho người học kiến thức về đại lượng ngẫu nhiên rời rạc, các đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên, đại lượng ngẫu nhiên liên tục. Mời các bạn cùng tham khảo.

CHƯƠNG Đại lượng ngẫu nhiên – Phân phối XS Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc 1.1 Định nghóa Nếu kết phép thử ngẫu nhiên biểu thị giá trị số, ta có đại lượng ngẫu nhiên (ĐLNN) Chính xác hơn, ĐLNN X hàm số xác định không gian mẫu Ω cho tập hợp có dạng (X < x) = {ω∈Ω / X(ω) = x} biến cố Ghi (X < x) biến cố (X > x), (X = x) … biến cố ĐLNN rời rạc ĐLNN mà giá trị nhận liệt kê Lúc biến cố để X nhận giá trị x ghi (X = x) Xác suất biến cố ghi P(X = x) Ví dụ (1) Tung xúc sắc, gọi X số chấm xuất X ĐLNN nhận giá trị 1, 2, 3, 4, 5, Đây ĐLNN rời rạc Ta có P(X=1) = 1/6 (2) Mua vé số 5.000đ thành phố A, gọi X số tiền trúng số X ĐLNN rời rạc (3) Gọi X số lần tung đồng xu mặt sấp X ĐLNN rời rạc (4) Chiều cao X (cm) sinh viên lớp chọn ngẫu nhiên nhận giá trị số thực khoảng [140; 220] Các giá trị không liệt kê X ĐLNN rời rạc 1.2 Bảng phân phối xác suất ĐLNN rời rạc Quy luật phân phối xác suất ĐLNN rời rạc biểu thị dạng bảng phân phối xác suất (bảng PPXS): X x1 x2 xn P p1 p2 pn Bảng phân phối ký hiệu (xi, pi), i= 1, n Ta phải có: pi > 0, i=1, n p1 + p2 + + pn = Ví dụ (1) Lô hàng gồm phẩm phế phẩm Lấy ngẫu nhiên sản phẩm Gọi X số phẩm Các giá trị nhận X 0, 1, Ta có: C14 C16 C24 p2 = P(X=1) = = p1 = P(X=0) = = 15 C10 15 C10 p3 = P(X=2) = – p1 – p2 = X 15 P 2/15 8/15 5/15 Bảng phân phối X: (2) Xác suất trị khỏi bệnh viên thuốc 90% Bệnh nhân uống viên, chưa hết bệnh uống tiếp tối đa viên Gọi X số viên thuốc bệnh nhân uống Lập bảng phân phối XS X Các số đặc trưng ĐLNN 2.1 Kỳ vọng 2.1.1 Định nghóa Để đánh giá giá trị trung bình ĐLNN, ta tính kỳ vọng Kỳ vọng ĐLNN X ký hiệu E(X) Kỳ vọng ĐLNN X có bảng phân phối (xi, pi), i=1, n định nghóa: n E(X) = ∑ x i pi i =1 Excel Nếu giá trị xi, pi ghi miền M1, M2 E(X) =SUMPRODUCT(M1; M2) Ví dụ (1) Một lớp có 50 sinh viên Sau kỳ thi, kết điểm thống kê sau: Điểm Số SV 15 10 Gọi X điểm sinh viên gặp ngẫu nhiên Bảng phân phối ĐLNN X: X 15 10 P 50 50 50 50 50 50 50 Điểm trung bình: E(X) = 5,82 (điểm) (2) Một lô hàng gồm 15 phẩm thứ phẩm Chính phẩm bán với giá 200.000đ thứ phẩm bán với giá 150.000đ Tính trung bình thu tiền bán sản phẩm? (3) Tung xúc sắc Nếu xuất mặt mặt mặt thua 1đ, mặt hoà, mặt thắng 1đ, mặt thắng 2đ Gọi X số tiền thu sau lần chơi Tính kỳ vọng ĐLNN X (4) Xét ĐLNN X có bảng phân phối (xi, pi), i = 1, m Thực phép thử n lần Gọi ki số lần X nhận giá trị xi Giá trị trung bình X n phép thử: k x + k x + + k m x m X = 1 n k k k = x1 + x2 + + m x m = f1 x1 + f2 x + + f m x m n n n Trong fi tần suất biến cố (X=xi) ( i = 1, m ) Cho n → ∞ fi → pi ( i = 1, m ) X → E(X) Vậy n đủ lớn X ≈ E(X) Ta nói kỳ vọng ĐLNN gần với giá trị trung bình quan sát ĐLNN 2.1.2 Tính độc lập ĐLNN rời rạc Hai ĐLNN rời rạc X, Y gọi độc lập biến cố (X = x) độc lập với tổ hợp tích biến cố có dạng (Y = yj) Ví dụ Gọi X điểm thi môn Toán, Y ngày sinh, U số ngày học môn toán sinh viên lớp chọn ngẫu nhiên X, Y hai ĐLNN độc lập X, U hai ĐLNN không độc lập Hàm mật độ có tính chất sau: (i) P(a < X < b) = b ∫a f (t)dt (ii) P(x–∆x < X < x+∆x) ≈ f(x).2∆x (f liên tục, ∆x dương đủ nhỏ) Tính chất (ii) cho thấy giá trị f(x) thước đo mức độ tập trung giá trị X quanh x Ví dụ Tìm c để hàm f(x) = c e− x /2 hàm mật độ f hàm mật độ phải có f(x) ≥ Ta biết +∞ ∫−∞ e− x /2 +∞ ∫−∞ f (x)dx = dx = 2π Vậy phải có c = / 2π 3.2 Phân phối Chuẩn 3.2.1 Phân phối Chuẩn chuẩn tắc, haøm Laplace − z2 / Haøm Gauss ϕ(z) = e hàm mật độ 2π ĐLNN liên tục có tên phân phối Chuẩn chuẩn tắc, ký hiệu Z ~ N(0; 1) Ta có: P(Z < z) = = z ∫ 2π −∞ e− x e− x ∫ 2π −∞ = 0,5 + /2 dx /2 z ∫ 2π dx + e− x /2 z ∫ 2π dx e− x /2 dx Giá trị tích phân sau phụ thuộc vào z Hàm Φ theo biến z có tên hàm Laplace: z − x /2 Φ (z) = e dx =NORMSDIST(z) – 0.5 ∫ 2π Việc tính giá trị Φ(z) cách tính nguyên hàm không thực Người ta dùng phương pháp khác để tính Φ(z) theo z, với bước nhảy 0,01, ghi thành Bảng kê số hàm Laplace Với lưu ý Φ(–z) = –Φ(z) Φ(z) ≈ 0,5 z ≥ 4, dùng bảng kê số ta tính giá trị sau: * P(Z < z) = 0,5 + Φ(z) * P(Z > z) = 0,5 – Φ(z) * P(a < Z < b) = Φ(b) – Φ(a) * P(Z < a) = 2Φ(a) Ngoài Φ hàm tăng nên: * Φ(a) = Φ(b) ⇔ a = b * Φ(a) > Φ(b) ⇔ a > b Ví dụ (1) P(Z > 2) = 0,5 – Φ(2) Tra bảng kê số hàm Laplace để tìm Φ(2): z 1.9 2.0 0.00 0.4713 0.4772 0.01 0.4719 0.4778 0.02 0.4726 0.4783 0.03 0.4732 0.4788 0.04 0.4738 0.4793 0.05 0.4744 0.4798 0.06 0.4750 0.4803 0.07 0.4756 0.4808 0.08 0.4761 0.4812 0.09 0.4767 0.4817 ⇒ P(Z > 2) = 0,5 – 0,4772 = 0,0228 (2) P(–2 < Z < 1,91) = Φ(1,91) – Φ(–2) = Φ(1,91) + Φ(2) = 0,4719 + 0,4772 = 0,9491 3.2.2 Phaân vị mức α Xét Z ~ N(0; 1) số α∈(0; 0,5) Phân vị mức α phân phối Chuẩn chuẩn tắc giá trị zα cho P(Z > zα) = α Ta coù: P(Z > zα) = α ⇒ 0,5 – Φ(zα) = α ⇒ Φ(zα) = 0,5 – α Vaäy: zα = Φ–1(0,5 – α) =NORMSINV(1–α) Ta có bảng kê số để tìm zα theo α Khi dùng bảng kê số hàm Laplace, tra thấy giá trị 0,5–α Φ giá trị z tương ứng zα Trường hợp bảng không tìm thấy giá trị cần tra lấy hai giá trị nhỏ hơn, lớn gần giá trị cần tra dùng quy tắc nội suy Ghi Tổng quát hoá, giá trị m cho P(X > m) = α gọi phân vị mức α ĐLNN X 3.2.3 Phân phối Chuẩn Xét Z ~ N(0; 1) Đặt X = σZ + µ với σ µ hai tham số dương X ĐLNN liên tục có tên phân phối Chuẩn, ký hiệu X ~ N(µ, σ2) Hàm MĐXS:   x − µ 2  exp  −  / 2 f(x) =    σ   σ 2π   X −µ Do X ~ N(µ, σ2) Z = ~ N(0, 1) nên: σ x−µ ) =NORMDIST(x; µ; σ; 1) * P(X < x) = 0,5 + Φ( σ b−µ a−µ * P(a < X < b) = Φ( ) – Φ( ) σ σ =NORMDIST(b; µ; σ; 1) – NORMDIST(a; µ; σ; 1) * P(X − µ < ε) = 2Φ(ε/σ) =2*NORMSDIST(ε/σ) − Ví dụ Cho X ~ N(450; 225) thì: 420 − 450 P(X ≥ 420) = 0,5 – Φ( ) = 0,5 – Φ(–2) 225 = 0,5 + Φ(2) ≈ 97,725% =1–NORMDIST(420; 450; 225^0,5; 1) P(X – 450 < 12) = 2Φ( 12 225 ) = 2Φ(0,8) ≈ 57,63% =2*NORMSDIST(0,8)−1 3.3 Các số đặc trưng ĐLNN liên tục Xét X ĐLNN có hàm mật độ f 3.3.1 Kỳ vọng, phương sai, độ lệch chuẩn E(X) = Var(X) = +∞ ∫−∞ +∞ ∫−∞ xf(x)dx  +∞  x f(x)dx −  ∫ xf(x)dx   −∞  2 σ(X) = Var(X) Các tính chất kỳ vọng phương sai ĐLNN rời rạc cho ĐLNN liên tục Lưu ý định nghóa ĐLNN liên tục X, Y độc lập biến cố (X < x) độc lập với tổ hợp tích biến cố có dạng (Y < yj) Ví dụ (1) Xeùt Z ~ N(0; 1) E(Z) = ∫ +∞ −∞ var(Z) = = xe− x +∞ /2 dx = − x2 / ∫−∞ x e +∞ ∫−∞ x e− x +∞ dx –  ∫ xe− x / 2dx   −∞  /2 dx = Xét X ~ N(µ; σ2) Do X = σZ + µ nên: σ(X) = σ E(X) = µ var(X) = σ2 Vậy hai tham số µ σ2 N(µ; σ2) kỳ vọng phương sai (2) Xét X ~ N(µ; σ2) P(X – µ < 3σ) = 2Φ(3σ/σ) = 2Φ(3) ≈ 99,73% =2*NORMSDIST(3)–1 Vậy, gần tất giá trị N(µ; σ2) tập trung quanh giá trị trung bình với khoảng cách lần độ lệch chuẩn 3.3.2 Giá trị tin nhất, trung vị Theo ý nghóa hàm mật độ, giá trị tin Mod(X) giá trị xo cho f(xo) = max f (x) x 1 vaø P(X ≥ Med(X)) ≥ nên 2 trung vị Med(X) định nghóa giá trị m cho: Do P(X ≤ Med(X)) ≥ m ∫−∞ f (x)dx = 1/2 Ví dụ Xét X ~ N(µ; σ2) Ta có Mod(X) = µ 3.3.3 Hệ số bất đối xứng, hệ số nhọn Để đo mức độ bất đối xứng đồ thị hàm mật độ qua trục E(X), ta tính hệ số bất đối xứng Ske(X): E([X − E(X)]3 ) Ske(X) = σ3 Xét trục E(X) Đồ thị hàm mật độ đối xứng Ske(X) = Khi Ske(X) < 0, X có xu hướng nhỏ E(X) Khi Ske(X) > 0, X có xu hướng lớn E(X) Để đo độ nhọn đồ thị hàm mật độ gần giá trị E(X), ta tính hệ số nhọn Kur(X): E([X − E(X)]4 ) Kur(X) = σ4 Kur(X) lớn đồ thị quanh E(X) nhọn, xu hướng X E(X) cao ... Trọng lượng gia súc chọn ngẫu nhiên chuồng, nhiệt độ phòng vào thời điểm chọn ngẫu nhiên ví dụ ĐLNN liên tục 3.1 Hàm phân phối XS hàm mật độ XS 3.1.1 Hàm phân phối xác suất Quy luật phân phối xác. .. sinh viên lớp chọn ngẫu nhiên nhận giá trị số thực khoảng [140; 220] Các giá trị không liệt kê X ĐLNN rời rạc 1.2 Bảng phân phối xác suất ĐLNN rời rạc Quy luật phân phối xác suất ĐLNN rời rạc... suất Quy luật phân phối xác suất ĐLNN liên tục xác định hàm phân phối xác suất (hàm PPXS) Hàm PPXS F ĐLNN X định nghóa: F(x) = P(X < x) Hàm PPXS gọi hàm tích luỹ xác suất Hàm PPXS F ĐLNN phải thỏa: