Giáo trình lý thuyết xác suất và thống kê toán chương 4: Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng

1 ≤ ≤ Ghi chú: Nếu trong một phép thử ta chỉ có hai kết quả là A và A với PA = p thì để chỉ rõ có đ−ợc A hay không ta có thể dùng biến ngẫu nhiên X tuân theo quy luật Ap để mô hình hoá p

“0-1”) với tham số là p (0 p ) Luật phân phối này đ−ợc ký hiệu là quy luật A(p) hoặc B(1; p)

1

≤ ≤

Ghi chú: Nếu trong một phép thử ta chỉ có hai kết quả là A và A với P(A) = p thì để chỉ rõ có đ−ợc A hay không ta có thể dùng biến ngẫu nhiên X tuân theo quy luật A(p) để mô hình hoá phép thử này

Cụ thể ta có thể đặt (X=1) là đ−ợc A và do đó P(X =1) = P(A) = p

Suy ra

P(X = 0) = P(A) = 1- p (hoặc ký hiệu là q) là xác suất không đ−ợc A

Thí dụ: Từ một chiếc hộp có chứa M quả cầu trắng và N M − quả cầu đen,

ta lấy ngẫu nhiên ra 1 quả Gọi X là “số lần đ−ợc quả cầu trắng” Khi đó X

có bảng phân phối xác suất nh− sau:

1 p N

= q N

p

M =

Hàm khối lượng xác suất P(X x) C p q = = xn x n xư (x 0, n) = xác lập nên một quy luật phân phối xác suất gọi là quy luật nhị thức với hai tham số là n

Ghi chú: Hàm xác suất nêu trên chính là công thức Bernoulli Vì vậy biến

ngẫu nhiên X tuân theo quy luật B(n; p) thường được dùng để chỉ “số lần xuất hiện của biến cố A trong một lược đồ Bernoulli với hai tham số là n và p”

Thí dụ 1: Nều từ chiếc hộp chứa M quả cầu trắng và N M ư quả cầu đen đã nêu ta lần lượt lấy ngẫu nhiên ra n quả theo phương thức có trả lại và gọi X là

“số lần lấy được quả trắng” thì X là một biến ngẫu nhiên tuân theo quy luật

p

N

= Thí dụ 2: Một người bắn 3 viên đạn độc lập với nhau vào một chiếc bia với xác suất trúng của mỗi viên đều là 0, 7 Gọi X là “Số viên trúng bia”

Hãy lập bảng phân phối xác suất của X

Bài giải Nếu ta coi mỗi lần bắn là một phép thử thì ở đây ta có 3 phép thử độc lập Gọi A là biến cố “Viên đạn trúng bia” thì theo giả thiết P(A) đều bằng 0, 7 ở mỗi lần bắn

Vậy ta có một lược đồ Bernoulli với n =3, p = 0, 7 Do đó X là một biến ngẫu nhiên tuân theo quy luật nhị thức B(3; 0,7) Vì thế bảng phân phối xác suất của X như sau:

1 2

C (0,7) (0,3) 3(0,7) (0,3) 0,189

=

=

2 2 3

2 1

C (0,7) (0,3) 3(0,7) (0,3) 0,441

=

=

3 3 0 3

3

C (0,7) (0,3) (0,7)

0,343

=

=

1

Ta thÊy x¸c suÊt trong b¶ng ph©n phèi nµy trïng víi c¸c sè h¹ng cña

khai triÓn nhÞ thøc sau ®©y:

b Mèi quan hÖ gi÷a quy luËt A(p) vµ quy luËt B(n;p)

k 1

n it

(q pe ) ∑=

= + = (q pe ) + it n

víi

r k

k 1

=

= ∑

Biểu thức thu được là hàm đặc trưng của quy luật (n;p) nên ta có kết luận của định lý

3 Các tham số đặc trưng của quy luật nhị thức

a Kỳ vọng toán và phương sai

Định lý: Nếu biến ngẫu nhiên X tuân theo quy luật B(n; p) thì:

E(X) np V(X) npq

=

=

Chứng minh:

Theo định lý 1 vừa nêu trên ta thấy nếu X~ B(n; p) thì ta có thể phân tích

với các độc lập và cũng tuân theo một quy luật B(1; p)

Ghi chú: Nếu thay X bởi thì f có dạng

n k

Ta ký hiệu P(X x) P (x) = = n (x 0, n) = và xét diễn biến của dãy gồm

xác suất này theo x khi n không đổi

Nh− vËy nÕu x t¨ng th× d·y (2) d¸ng ®iÖu chung lµ gi¶m, nh−ng cã mét sè tû

sè ®Çu tiªn lín h¬n 1 vµ c¸c tû sè sau nhá h¬n 1

Ta gäi x0lµ gi¸ trÞ ph©n chia ranh giíi cho hai lo¹i tû sè nµy, cô thÓ ta cã:

+ Nếu dấu “=” mà xảy ra thì ta có hai giá trị mốt và

0

M = x01

Trường hợp này ta chỉ có một giá trị mốt là Để xác định ta phải xác

định số nguyên thoả mãn hai điều kiện sau:

n (x 1) p

1 (x 1) 1 q

Thí dụ 1: Hãy xác định số lần được mặt sấp có khả năng xảy ra nhiều nhất khi ta tung đồng xu đối xứng và đồng chất 5 lần

Bài giải Nếu gọi X là “Số lần tung được mặt sấp trong 5 lần tung” thì X~ B 1

3 5

Thí dụ 2: Nếu xác định số viên đạn có khả năng trúng bia nhiều nhất khi bắn

3 viên độc lập với xác suất của mỗi viên đều là 0,7 thì từ bảng phân phối xác suất đã thiết lập được ỏ thí dụ 2, mục II ta thấy M0 = 2

Còn nếu áp dụng kết quả vừa thu được ở trên ta thấy là số nguyên dương thoả mãn

tức là M0 = 2

III Phân phối siêu bội

1 Định nghĩa

Nếu từ chiếc hộp đã xét (chứa M quả cầu trắng và N M ư quả cầu đen)

ta lấy ra lần lượt không trả lại mà không phân biệt thứ tự xuất hiện (hoặc cùng một lúc) ra n quả một cách ngẫu nhiên và gọi X là “số quả trắng lấy

C C P(X x)

C

ư

ư

với max{ 0, n (N M) ư ư } ≤ ≤ x min M, n { }

Ghi chú: Nếu coi M quả cầu trắng là m phiếu trúng thưởng ở thí dụ minh hoạ

định lý xác suất toàn phần trong chương I và cũng quy ước ký hiệu:

C C P(X x)

Vậy hàm xác suất nêu trên xác lập nên một quy luật phân phối xác suất gọi là quy luật siêu bội với các tham số là n, N, M Quy luật này đ−ợc ký hiệu là quy luật H(n, N, M)

2 Mối quan hệ giữa quy luật siêu bội và quy luật nhị thức

N M

ý nghĩa: Hàm xác suất P(X x) C p q = = x n n xn − xác lập nên phân phối nhị thức

là phân phối đặc tr−ng cho cách lấy hoàn lại

Hàm xác suất

x n x

n N

C C P(X x)

C

ư

ư

là phân phối đặc trưng cho cách lấy không hoàn lại

H(n, N, M)

không cần phân biệt hai phương thức lấy này

Như đã làm ở trên, ta có thể minh hoạ biến ngẫu nhiên X tuân theo quy

V× c¸ch lÊy lµ lÇn l−ît kh«ng tr¶ l¹i nªn c¸c biÕn ngÉu nhiªn i

N → ∞thì hệ số điều chỉnh N n

N 1

ư

ư đối với cách lấy không trả lại sẽ tiến đến

1 và cho ta phương sai V(X) npq = là phương sai của quy luật nhị thức

IV Phân phối Poisson

1 Định nghĩa

Hàm khối lượng xác suất

x

e P(X x)

λ >

Quy luật này được ký hiệu là G(λ)

Ta có thể kiểm nghiệm lại rằng:

n np

e lim C p q

x x

1

1 n

n np

Bµi gi¶i

Theo các điều kiện của đầu bài ta có một l−ợc đồ Bernoulli với

Chøng minh

Do c¸c X (k 1, n)k = lµ c¸c biÕn ngÉu nhiªn i.i.d nªn:

n

k k

k 1 k

(e 1) n

g (t) (t)

g(t) g(t)g (t) g (t) (t)

Suy ra 12

i ′′

= ψ

b Kỳ vọng toán và phương sai của quy luật G(λ)

áp dụng các kết quả trên cho quy luật G(λ) ta có:

Để phục vụ cho việc nghiên cứu các quy luật liên tục thông dụng, chúng

ta sẽ phải sử dụng các tính chất của những tích phân đặc biệt sau:

Ng−êi ta chøng minh ®−îc r»ng tÝch ph©n suy réng nµy cã kÕt qu¶ lµ

chương II và III nên ở đây chúng ta sẽ tập trung xét một số quy luật khác

được ứng dụng rộng rãi trong phần Thống kê toán sau này

II Quy luật phân phối chuẩn

1 Định nghĩa

Biến ngẫu nhiên liên tục X được gọi là tuân theo quy luật phân phối chuẩn với hai tham số là μ và σ2 nếu hàm mật độ xác suất của nó có dạng như sau:

2 2

(x ) 2

Do hình dáng của hàm mật độ như đã vẽ nên quy luật chuẩn còn được gọi

là quy luật phân phối hình chuông

2 Hàm đặc trưng và các mô-men

a Hàm đặc trưng

Ta có

2 2

(x ) itx 2

z

2 x

4 4

5

6 6

1 1

i 1

e g (t) i

0 3 0 15

Nh− vậy các mô-men trung tâm bậc lẻ đều bằng 0, còn các mô-men

dùng để chỉ tích của các số lẻ liên tiếp chạy từ 1 tới

2n 2n (2n 1)!! (n 1, 2, )

3

K = μ − = 3 σ − = 0 3

Do kết quả này nên độ nhọn của quy luật chuẩn đ−ợc dùng làm chuẩn để

đánh giá độ nhọn của các quy luật khác

3 Quy luật phân phối của tổng các biến ngẫu nhiên độc lập và đều tuân theo quy luật chuẩn

Định lý: Cho X ( j 1,n)j = là n biến ngẫu nhiên

a) Độc lập b) Có quy luật phân phối là N( , μ σj 2j)

1 i(c t ) (c t)

e μ− σ

n

j j j n

Hệ quả 1: Nếu đặt j 1

c n

= thì X có dạng:

n j

j j

n

; n

N

1

2 2 1

1 1

Hệ quả 2: Đặc biệt nếu các Xj tuân theo cùng một quy luật N( ; μ σ2) thì

4 Quy luật chuẩn chuẩn hoá

Xét biến ngẫu nhiên X tuân theo quy luật chuẩn N( ; μ σ2).Tiến hành chuẩn hoá X, ta đ−ợc biến ngẫu nhiên dẫn xuất: X

2 x

Quy luật này đ−ợc gọi là quy luật chuẩn chuẩn hoá

Biểu thức của hàm mật độ xác suất của U là:

2

u 2

§å thÞ

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4

Ta thÊy gi÷a F (u)U vµ Φ0(u) cã mèi quan hÖ nh− sau:

F(u) cã gi¸ trÞ b»ng toµn bé diÖn tÝch ®−îc g¹ch ë h×nh bªn ph¶i

0 0

Kết quả này thường được gọi là quy tắc 3 xích-ma đối với quy luật chuẩn

Cụ thể: với bất kỳ một biến ngẫu nhiên nào mà tuân theo quy luật chuẩn thì việc nó nhận chênh lệch với giá trị kỳ vọng một lượng không vượt quá ba lần

độ lệch tiêu chuẩn sẽ là một sự kiện hầu như chắc chắn (ở mức xác suất 0,9973)

6 Các bảng số có liên quan tới quy luật chuẩn

Các bảng số thường gặp là

a Bảng cho giá trị của ϕ (u)

Do đây là một hàm chẵn nên ϕ ư = ϕ ( u) (u)

b Bảng cho giá trị của F (u)U

c Bảng cho giá trị của Φ0(u)

Vì đây là một hàm lẻ nên Φ ư = ưΦ0( u) 0(u)

d) Bảng cho các điểm uα sao cho P(U u ) > α = α với 0 ≤ α ≤ 1

Khi đó uα gọi là điểm tới hạn chuẩn bậc α (hoặc cũng gọi là điểm phân vị chuẩn bậc α ư 1)

Ta có hệ thức: uα = ư u1ưα

Các hình sau đây sẽ minh hoạ ý nghĩa của các giá trị trên

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

P(U >1,645)=0,05

ϕ(u)

Hỡnh IV.41 Giỏ trị tới hạn u α

Thí dụ: Thời gian bảo hành sản phẩm đ−ợc quy định là 3 năm Nếu bán đ−ợc một sản phẩm thì cửa hàng lãi 150 ngàn, song nếu sản phẩm bị hỏng trong thời gian bảo hành thì cửa hàng phải chi phí 500 ngàn cho việc bảo hành Biết rằng tuổi thọ của sản phẩm là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn với tuổi thọ trung bình là 4,2 năm và độ lệch tiêu chuẩn là 1,8 năm

a Hãy xác định số tiền lãi trung bình mà cửa hàng hy vọng thu đ−ợc khi bán mỗi sản phẩm

b Nếu muốn số tiền lãi trung bình cho mỗi sản phẩm bán ra là 50 ngàn

đồng thì phải quy định thời gian bảo hành là bao nhiêu?

Ta tÝnh mét trong hai x¸c suÊt ë vÕ ph¶i råi suy ra x¸c suÊt kia Ch¼ng h¹n ta tÝnh P(X 3) >

Do X∼N(4, 2; (1,8)2) nªn x¸c suÊt nµy cã thÓ tÝnh theo hai c¸ch

x 4, 2

0,5 0, 2 1,8

x 4, 2

0,3 1,8

4,2 x

0,3 1,8

Nếu tra bảng các điểm tới hạn chuẩn ta viết điều kiện nêu trên thành:

2 2 n

2

0 (x 0) 1

f (x) e x (x 0)

n 2

Quy luật này đ−ợc ký hiệu là χ2(n)

Đồ thị của hàm mật độ này tuỳ theo giá trị của n có dạng nh− sau:

∫

1 2 2 n

0 2

1

n 2

u

0 2

n 2

2 n

0 2

n 2 n

2

n

n 2

2

2 n 2

2 1

⎛ ⎞ Γ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

g (t) (1 2it) = − −

b Kú väng to¸n vµ ph−¬ng sai:

Ta cã

n 2

b Có quy luật phân phối là χ2(n )j

Khi đó biến ngẫu nhiên

n j

( ) n j

j 1

1 n 2

4 Mối quan hệ giữa quy luật χ2(n) và quy luật N(0,1)

Định lý: Cho U ( j 1, n)j = là n biến ngẫu nhiên:

a Độc lập

b Có quy luật phân phối là N(0,1)

Khi đó biến ngẫu nhiên

n 2 j

2 X

0 (x 0) 1

f (x) e x (x 0)

1 2

Ta thấy đây chính là hàm mật độ của quy luật χ2(1)

n 2 j

5 Bảng điểm tới hạn của quy luật χ2(n)

Nếu ký hiệu χ2(n) là điểm tới hạn bậc α của biến ngẫu nhiên tuân theo quy luật thì theo định nghĩa ta có

Xα

2(n) χ

P X ( > χ2(n)α ) = α (0 ≤ α ≤ 1)

Các điểm tới hạn này tuỳ theo n và α cũng đã đ−ợc tính sẵn trong bảng

IV Quy luật phân phối Student

1 Định nghĩa

Biến ngẫu nhiên liên tục X đ−ợc gọi là tuân theo quy luật Student với n bậc tự do nếu hàm mật độ của nó có dạng:

Quy luật này được ký hiệu là T( n)

Đồ thị của hàm mật độ này tuỳ theo giá trị của n có dạng như sau:

Hỡnh IV.51 Đồ thị hàm mật độ phõn phối T(n)

Đây chính là hàm mật độ của quy luật phân phối Cauchy Như ta đã biết

kỳ vọng toán của quy luật Cauchy không tồn tại Như vậy khi , hàm mật độ Student vốn đối xứng qua trục tung, nhưng trong trường hợp này nó không có kỳ vọng toán

n 1 =

3 Mối quan hệ giữa quy luật Student và quy luật chuẩn

hàm mật độ của quy luật

T(n) ϕ (x) N(0,1) thì ta có:

⎞

⎟

⎠

áp dụng công thức Stirling:

n 1 2

Vậy định lý đ−ợc chứng minh

Định lý 2: Nếu là các biến ngẫu nhiên độc lập và cùng tuân theo quy luật thì biến ngẫu nhiên:

0 1 2

U , U , U , , UnN(0,1)

0 n 2 i

i 1

U X

1 U

n =

=

∑

sẽ tuân theo quy luật T( n)

Ghi chú: Do các U (i 1, n)i = độc lập và đều tuân theo quy luật

lý vừa nêu có thể phát biểu dưới dạng khác như sau:

n n

0 2

1

n 2

2

+∞ − +

− +

−∞

=

⎛ ⎞ πΓ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ ∫

n

2 2

+∞

− + − +

−∞

⎛ ⎞ πΓ⎜ ⎟

⎝ ⎠

Thừa số thứ 2 có thể biến đổi nh− sau:

Vậy

x n

Đây chính là hàm mật độ của quy luật T(n)

4 Bảng các điểm tới hạn của quy luật T(n)

Nếu ký hiệu t(n )α là điểm tới hạn bậc α của biến ngẫu nhiên X tuân theo quy luật T( n) thì theo định nghĩa ta có:

Do kết quả của định lý 1 nên khi ta có thể thay xấp xỉ bằng

điểm tới hạn chuẩn

n 30 > t(n )α

Uα

V Quy luật phân phối Fisher

1 Định nghĩa

Biến ngẫu nhiên liên tục X đ−ợc gọi là tuân theo quy luật Fisher với bậc

tự do thứ nhất là m và bậc tự do thứ hai là n nếu hàm mật độ xác suất của nó

Quy luật này đ−ợc ký hiệu là F m;n ( )

Đồ thị của hàm mật độ của quy luật F m;n ( ) tuỳ theo các giá trị của m

3 Mối quan hệ giữa quy luật Fisher với quy luật “Khi-bình phương”

Định lý: Nếu U và V là hai biến ngẫu nhiên độc lập, trong đó U tuân theo quy luật χ2( m ) và V tuân theo quy luật χ2( ) n thì biến ngẫu nhiên

1 V n

s 1 2

x m

n 12

+ −

− + +∞

−

+

− +

m n 2

m 1 2

m n 2

4 Mèi quan hÖ gi÷a quy luËt Fisher vµ quy luËt Student

§Þnh lý: B×nh ph−¬ng cña mét biÕn ngÉu nhiªn tu©n theo quy luËt T n ( ) lµ mét biÕn ngÉu nhiªn tu©n theo quy luËt F 1;n ( )

=

Do U∼N(0, 1) nªn U ~2 χ2( ) 1 VËy ta cßn cã thÓ viÕt:

( ) ( )

2

2 2

Theo định lý ở mục trên ta thấy T ~ F 1;n2 ( )

5 Bảng các điểm tới hạn của quy luật F m;n ( )

Nếu ký hiệu f m;nα( ) là điểm tới hạn bậc α của biến ngẫu nhiên X tuân theo quy luật F m;n ( ) thì ta có:

và ta xác định hai biến ngẫu nhiên mới nh− sau:

2 2 2

1

1

x 1

y 1

1

Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên liên tục hai chiều V = ( X;Y ) đ−ợc gọi là tuân

theo quy luật chuẩn hai chiều với các tham số là μ μ σ σ1, ,2 12, 22 và nếu hàm

mật độ đồng thời cả nó có dạng nh− ở (4)

ς

II Các quy luật phân phối biên

Qua các công thức biến đổi (2) ta thấy X và Y đều là các tổ hợp tuyến

tính của và Do và độc lập và đều tuân theo quy luật

nên ta suy ra X và Y cũng tuân theo quy luật chuẩn với

x 2 1

Vậy ( 2) với

2 2

2 2 2

y 2 2

Do đó tham số ς trong (4) chính là hệ số tương quan tuyến tính giữa X và Y

III Sự tương đương giữa khái niệm độc lập vμ không tương quan trong phân phối chuẩn hai chiều

Như ta đã biết hai biến ngẫu nhiên độc lập thì dứt khoát không có liên hệ tương quan, nhưng ngược lại hai biến ngẫu nhiên không tương quan thì chưa chắc đã độc lập Tuy nhiên đối với hệ hai biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn thì hai khái niệm này sẽ tương đương

Thật vậy, giả sử hệ tuân theo quy luật chuẩn hai chiều với X và

Y không có liên hệ tương quan, tức

( X, Y )

0

ς = Khi đó biểu thức (4) trở thành:

IV Đường hồi quy trong trường hợp phân phối chuẩn

Giả sử ta nghiên cứu đường hồi quy của Y đối với X trong trường hợp hệ tuân theo quy luật chuẩn hai chiều Muốn vậy ta hãy tìm mật độ có

2 2 2

1 2

Khi cho x thay đổi thì E Y x ( ) sẽ cho ta phương trình hồi quy của Y đối với X Ta thấy phương trình này có dạng E Y x ( ) = ax b + trong đó:

2 1

Vậy đường hồi quy của Y đối với X là một đường thẳng

Đặc biệt khi ς = 0 thì phương trình hồi quy của Y đối với X có dạng:

a Tìm tỷ lệ cán bộ có số lần xuống cơ sở ít hơn 25 lần trong năm?

b Muốn tỷ lệ cán bộ có số lần xuống cơ sở ít hơn 28 lần trong năm không quá 5% thì thủ trưởng phải quy định số lần xuống cơ sở trung bình ít nhất trong năm là bao nhiêu? Giả sử rằng độ lệch tiêu chuẩn không đổi

2 Thời gian bảo hành một sản phẩm của công ty Chiến Thắng theo quy định là

2 năm Nếu bán được một sản phẩm thì công ty lãi 100 ngàn đồng song nếu sản phẩm hỏng trong thới gian bảo hành thì công ty phải chi trung bình 1 triệu đồng cho việc sửa chữa Giả thiết tuổi thọ của sản phẩm là biến ngẫu nhiên tuân theo quy luật chuẩn với μ = 5 năm và σ = 1,5 năm

a Tìm tiền lãi trung bình khi bán được một sản phẩm

b Nếu muốn tiền lãi trung bình đối với mỗi sản phẩm bán ra là 50 ngàn thì phải quy định thời gian bảo hành là bao nhiêu?

3 Năng suất của một loại cây ăn quả là một biến ngẫu nhiên phân bố chuẩn với năng suất trung bình là 20kg/cây và độ lệch chuẩn là 2,5 kg Cây đạt tiêu chuẩn hàng hóa là cây có năng suất tối thiểu là 15kg

a Hãy tính tỷ lệ cây đạt tiêu chuẩn hàng hóa

b Nếu cây đạt tiêu chuẩn hàng hóa sẽ lãi 500 ngàn đồng, ngược lại cây không

đạt tiêu chuẩn sẽ làm lỗ 1 triệu đồng Người ta thu hoạch ngẫu nhiên một lô gồm 100 cây, hãy tính tiền lãi trung bình cho lô cây đó

4 Công ty Z sẽ lãi 300 nghìn đồng nếu bán được một loại điện thoại X và không phải bảo hành, song sẽ lỗ 1,5 triệu đồng nếu phải bảo hành Biết rằng tuổi thọ của điện thoại X là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với

kỳ vọng 5 năm, độ lệch chuẩn 2 năm và thời gian bảo hành một sản phẩm

a) Tính xác suất để trong một ngày có 3 khách thuê xe

b) Tính tiền lãi trung bình trạm thu được trong một ngày

6 Chiều dài của chi tiết được gia công trên máy tự động là đại lượng ngẫu nhiên tuân theo quy luật phân phối chuẩn với độ lệch tiêu chuẩn là

0,01mm Chi tiết được coi là đạt tiêu chuẩn nếu kích thước thực tế của nó sai lệch so với kích thước trung bình không vượt quá 0,02mm