Bài giảng cung cấp cho người học các kiến thức về Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất bao gồm: Định nghĩa biến ngẫu nhiên, quy luật phân phối xác suất, tham số đặc trưng. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
Chương BIẾN NGẪU NHIÊN & QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT ▪ Biến ngẫu nhiên khái niệm trung tâm lý thuyết xác suất ▪ Hiểu khái niệm cách phản ánh quy luật biến ngẫu nhiên, thông qua quy luật phân phối xác suất ▪ Khái niệm tham số đặc trưng cho đại lượng ngẫu nhiên kinh tế - kinh doanh LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN – BỘ MƠN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 51 Chương Biến ngẫu nhiên – Quy luật… NỘI DUNG CHƯƠNG ▪ 2.1 Định nghĩa biến ngẫu nhiên ▪ 2.2 Quy luật phân phối xác suất • Bảng phân phối xác suất • Hàm phân phối xác suất • Hàm mật độ xác suất ▪ 2.3 Tham số đặc trưng • Kỳ vọng • Phương sai, độ lệch chuẩn LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 52 Chương Biến ngẫu nhiên – Quy luật… 2.1 2.1 ĐỊNH NGHĨA BIẾN NGẪU NHIÊN ▪ Định nghĩa 2.1 Biến số gọi biến ngẫu nhiên (random variable) kết phép thử nhận giá trị có tùy thuộc vào tác động nhân tố ngẫu nhiên ▪ Viết tắt BNN ▪ Ký hiệu: X, Y, Z X1, X2,… ▪ Giá trị có X x1, x2,… ▪ (X = x1), (X = x2) biến cố LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 53 Chương Biến ngẫu nhiên – Quy luật… 2.1 Định nghĩa biến ngẫu nhiên Phân loại biến ngẫu nhiên ▪ Biến ngẫu nhiên rời rạc (discrete) giá trị có lập thành tập hợp hữu hạn đếm • Ví dụ: Điểm số, Số người vào cửa hàng • X = {x1, x2,…, xn}; n = ▪ Biến ngẫu nhiên liên tục (continuous) giá trị có lấp đầy khoảng trục số • Ví dụ: Thời gian, Khoảng cách, Năng suất • X = (a, b) LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 54 Chương Biến ngẫu nhiên – Quy luật… 2.2 2.2 QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT ▪ Quy luật phân phối xác suất biến ngẫu nhiên tương ứng giá trị có xác suất tương ứng với giá trị ▪ Ba cách thể thơng thường: • Bảng phân phối xác suất (chỉ cho BNN rời rạc) • Hàm phân phối xác suất (hàm tích lũy xác suất) • Hàm mật độ xác suất (chỉ cho BNN liên tục) LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 55 Chương Biến ngẫu nhiên – Quy luật… 2.2 Quy luật phân phối xác suất Bảng phân phối xác suất ▪ Hay hàm khối lượng xác suất (mass probability) ▪ X rời rạc, X = {x1, x2,…, xn} ; n ▪ Xác suất: pi = P(X = xi), i = n X P ▪ Tính chất: x1 p1 pi x2 p2 & … … xn pn n pi i 1 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 56 Chương Biến ngẫu nhiên – Quy luật… 2.2 Quy luật phân phối xác suất Hàm phân bố xác suất F(x) ▪ Cịn gọi hàm tích lũy xác suất (cumulative probability function) ▪ Định nghĩa 2.2 Hàm phân bố xác suất X, ký hiệu F(x), x ℝ, tính cơng thức: F(x) = P(X < x) ▪ Nếu X rời rạc: F(x) = pi xi x LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 57 Chương Biến ngẫu nhiên – Quy luật… 2.2 Quy luật phân phối xác suất Ví dụ 2.1 ▪ BNN X rời rạc có: X P 0,3 0,5 0,5 0,2 0,3 ▪ Hàm F(x) là: 0 0,3 F (x ) 0, :x :1 x 0,2 x 0,8 :2 x :3 x 0,3 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn x 58 Chương Biến ngẫu nhiên – Quy luật… 2.2 Quy luật phân phối xác suất Tính chất F(x) ▪ F(x) thuộc đoạn [0, 1] ▪ F(x) hàm không giảm: x1 < x2 F(x1) F(x2) • Hệ quả: P(a X < b) = F(b) – F(a) • Hệ quả: Nếu X liên tục: P(X = x) = • Hệ quả: Nếu X liên tục: P(a X b) = P(a X < b) = P(a < X b) = P(a < X < b) ▪ F(–) = F(+) = • Hệ quả: Nếu X nhận giá trị [a, b] F(x) = với x a F(x) = với x > b LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 59 Chương Biến ngẫu nhiên – Quy luật… 2.2 Quy luật phân phối xác suất Hàm mật độ xác suất f(x) ▪ Biến ngẫu nhiên X liên tục hàm F(x) liên tục ▪ Định nghĩa 2.3 Hàm mật độ xác suất (probability density function: PDF) BNN liên tục X, ký hiệu f(x), x ℝ, đạo hàm hàm F(x): F(x) x f(x) f(x) = F (x) LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn x 60 Chương Biến ngẫu nhiên – Quy luật… 2.3 2.3 CÁC THAM SỐ CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN ▪ Các tham số đặc trưng xu trung tâm: Kỳ vọng toán, trung vị, mốt ▪ Các tham số đặc trưng độ phân tán: Phương sai, độ lệch chuẩn, hệ số biến thiên ▪ Các tham số đặc trưng khác: Giá trị tới hạn, Hệ số nhọn, hệ số bất đối xứng ▪ Tại tập trung: Kỳ vọng, Phương sai, Độ lệch chuẩn, Giá trị tới hạn LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 64 Chương Biến ngẫu nhiên – Quy luật… 2.3 Các tham số biến ngẫu nhiên Kỳ vọng toán ▪ Định nghĩa 2.4 Kỳ vọng toán (expected value) BNN X, ký hiệu E(X), tính : • Nếu X rời rạc: n E( X ) x i pi i 1 • Nếu X liên tục: E( X ) x f ( x )dx ▪ Kỳ vọng biến ngẫu nhiên số xác định ▪ Kỳ vọng có đơn vị với X ▪ Kỳ vọng đo độ lớn mặt trung bình LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 65 Chương Biến ngẫu nhiên – Quy luật… 2.3 Các tham số biến ngẫu nhiên Tính chất kỳ vọng toán ▪ Nếu C số; X, Y biến ngẫu nhiên ▪ Tính chất 1: E(C) = C ▪ Tính chất 2: E(C.X) = C.E(X) ▪ Tính chất 3: E(X + Y) = E(X) + E(Y) • Hệ quả: 𝐸 σ𝑛𝑖=1 𝑋𝑖 = σ𝑛𝑖=1 𝐸(𝑋𝑖 ) ▪ Tính chất 4: Nếu X, Y độc lập: E(X.Y) = E(X).E(Y) • Hệ quả: Nếu Xi độc lập: 𝐸 ς𝑛𝑖=1 𝑋𝑖 = ς𝑛𝑖=1 𝐸( 𝑋𝑖 ) LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 66 Chương Biến ngẫu nhiên – Quy luật… 2.3 Các tham số biến ngẫu nhiên Phương sai ▪ Định nghĩa 2.5 Phương sai (variance) BNN X, ký hiệu V(X) tính theo công thức: V(X) = E( X – E(X))2 ▪ Chứng minh được: V(X) = E(X2) – (E(X))2 • X rời rạc: n x p i 1 i i x f ( x )dx E( X ) • X liên tục: E( X ) LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 67 Chương Biến ngẫu nhiên – Quy luật… 2.3 Các tham số biến ngẫu nhiên Phương sai ▪ Phương sai đo độ dao động giá trị X quanh kỳ vọng toán ▪ Phương sai có đơn vị bình phương đơn vị X ▪ Nếu X, Y đơn vị, ý nghĩa, V(X) > V(Y) thì: • X biến động, dao động, phân tán Y • Y ổn định, đồng X LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 68 Chương Biến ngẫu nhiên – Quy luật… 2.3 Các tham số biến ngẫu nhiên Tính chất phương sai ▪ Với C số; X, Y biến ngẫu nhiên ▪ Tính chất 1: V(C) = ▪ Tính chất 2: V(C.X) = C2V(X) ▪ Tính chất 3: Nếu X, Y độc lập: V(X + Y) = V(X) + V(Y) • Hệ quả: Nếu Xi độc lập: n n V i 1 X i i 1V ( X i ) • Hệ quả: V(C + X) = V(X) • Hệ quả: V(X – Y) = V(X) + V(Y) LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 69 Chương Biến ngẫu nhiên – Quy luật… 2.3 Các tham số biến ngẫu nhiên Độ lệch chuẩn ▪ Định nghĩa 2.6 Độ lệch chuẩn (standard deviation) BNN X, ký hiệu σX bậc hai phương sai σX V(X ) ▪ Độ lệch chuẩn đo mức độ dao động, phân tán X tương tự ý nghĩa phương sai, nhưng: ▪ Độ lệch chuẩn có đơn vị với X ▪ Phương sai, độ lệch chuẩn đo độ biến động tuyệt đối LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 70 Chương Biến ngẫu nhiên – Quy luật… 2.3 Các tham số biến ngẫu nhiên Ví dụ 2.3 ▪ Tính kì vọng, phương sai độ lệch chuẩn X: ▪ (a) Với X số lần bán hàng ngày, có bảng phân phối xác suất: X P 0,3 0,5 0,2 ▪ (b) Với X thời gian chờ đợi cửa hàng (giờ), có hàm mật độ 0 : x [0,1] f (x) 2x : x [0,1] LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN – BỘ MƠN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 71 Chương Biến ngẫu nhiên – Quy luật… 2.3 Các tham số biến ngẫu nhiên Ví dụ 2.4 Một người chơi trò chơi phải bỏ tiền Nếu thắng nhận 70 lần số tiền bỏ ra, thua tồn số tiền Xác suất thắng 1% Tính kì vọng, phương sai lợi ích tiền khi: ▪ (a) Chơi lần, bỏ triệu đồng ▪ (b) Chơi lần, bỏ 10 triệu đồng ▪ (c) So sánh chơi lần 10 triệu chơi 10 lần lần triệu, biết lần chơi độc lập LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 72 Chương Biến ngẫu nhiên – Quy luật… 2.3 Các tham số biến ngẫu nhiên Hệ số biến thiên ▪ Định nghĩa 2.7 Hệ số biến thiên (coefficient of variation) X ký hiệu CV tính theo cơng thức: σX CV 100% | E( X )| ▪ Hệ số biến thiên đơn vị % ▪ Hệ số biến thiên đo độ phân tán tương đối ▪ Có thể so sánh hệ số biến thiên nhiều BNN khác nhau, không cần đơn vị, ý nghĩa LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 73 Chương Biến ngẫu nhiên – Quy luật… 2.3 Các tham số biến ngẫu nhiên Trung vị ▪ Định nghĩa 2.8 Trung vị (median) BNN X ký hiệu md giá trị nằm phân phối xác suất ▪ Nếu X rời rạc: md = xi thỏa mãn: F(xi) 0,5 < F(xi+1) ▪ Nếu X liên tục: md thỏa mãn: md f ( x )dx 0,5 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 74 Chương Biến ngẫu nhiên – Quy luật… 2.3 Các tham số biến ngẫu nhiên Mốt (mode) ▪ Định nghĩa 2.9 Mốt (mode) BNN X, ký hiệu m0 giá trị - có - ứng với xác suất lớn (X rời rạc) hàm mật độ f(x) lớn (X liên tục) ▪ BNN khơng có mốt, có mốt, nhiều mốt LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 75 Chương Biến ngẫu nhiên – Quy luật… 2.3 Các tham số biến ngẫu nhiên Giá trị tới hạn ▪ Định nghĩa 2.10 Với X liên tục, giá trị tới hạn (cutoff point, critical value) mức (0 1) ký hiệu x số thực cho: P(X > x) = ▪ Ngồi cịn Hệ số bất đối xứng (Skewness) Hệ số nhọn (Kurtosis): tự đọc LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 76 Chương Biến ngẫu nhiên – Quy luật… TÓM TẮT CHƯƠNG ▪ Biến ngẫu nhiên giá trị có ▪ BNN rời rạc liên tục ▪ Quy luật phân phối xác suất: Bảng phân phối xác suất, hàm phân bố xác suất, hàm mật độ xác suất ▪ Các tham số ý nghĩa: kỳ vọng, phương sai, độ lệch chuẩn LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 77 Chương Biến ngẫu nhiên – Quy luật… Bài tập Giáo trình ▪ Trang 84: 2.1, 2.2 ▪ Trang 91: 2.7 ▪ Trang 98: 2.9, 2.12 ▪ Trang 113: 2.19, 2.22, 2.23 ▪ Trang 123: 2.30, 2.34, 2.36, 2.41, 2.42 ▪ Trang 133: 2.50, 2.51, 2.53 ▪ Trang 136: 2.65, 2.67, 2.74, 2.76, 2.77, 2.83, 2.85, 2.86 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 78 ... 123 : 2. 30, 2. 34, 2. 36, 2. 41, 2. 42 ▪ Trang 133: 2. 50, 2. 51, 2. 53 ▪ Trang 136: 2. 65, 2. 67, 2. 74, 2. 76, 2. 77, 2. 83, 2. 85, 2. 86 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn... TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 77 Chương Biến ngẫu nhiên – Quy luật… Bài tập Giáo trình ▪ Trang 84: 2. 1, 2. 2 ▪ Trang 91: 2. 7 ▪ Trang 98: 2. 9, 2. 12 ▪ Trang 113: 2. 19, 2. 22, 2. 23 ▪ Trang 123 : 2. 30, 2. 34,... f ( x )dx LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 61 Chương Biến ngẫu nhiên – Quy luật… 2. 2 Quy luật phân phối xác suất Ví dụ 2. 2 ▪ Thời gian chờ