Bài giảng Lý thuyết xác suất thống kê toán - Chương 3: Các phân phối xác suất thông dụng cung cấp cho người học các kiến thức về các phân phối của đại lượng ngẫu nhiên rời rạc,

Bài giảng Lý thuyết xác suất thống kê toán - Chương 3: Các phân phối xác suất thông dụng cung cấp cho người học các kiến thức về các phân phối của đại lượng ngẫu nhiên rời rạc, phân phối của đại lượng ngẫu nhiên liên tục, phép toán trên các phân phối. Mời các bạn cùng tham khảo.

CHƯƠNG Các phân phối xác suất thông dụng Các phân phối ĐLNN rời rạc 1.1 Phân phối Nhị thức 1.1.1 Định nghóa số đặc trưng Trong phép thử, biến cố A xảy với xác suất p Thực phép thử n lần độc lập Gọi X số lần biến cố A xảy X ĐLNN Theo công thức Nhị thức: P(X= =k) = Ckn pk q n − k ÑLNN X có phân phối xác suất được gọi ĐLNN có phân phối Nhị thức, ký hiệu X ~ B(n, p) Giá trị X 0, 1, , n Đặt q = 1–p Ta tính được: E(X) = np Var(X) = npq (n+1)p – ≤ Mod(X) ≤ (n+1)p Excel Pk = P(X=k) =BINOMDIST(k, n, p, 0) P(X ≤ k) =BINOMDIST(k, n, p, 1) Ví dụ (1) Lấy ngẫu nhiên có hoàn lại 10 sản phẩm từ lô hàng có 80% phẩm Tính xác suất có phẩm Biến cố "lấy phẩm" có xác suất p = 80% Số lần lặp lại phép thử n = 10 Gọi X số phẩm đếm X ~ B(10; 80%) Xác suất cần tính P(X=8) Theo công thức: (0,8)8(0,2)2 ≈ 30% P(X=8) = C10 =BINOMDIST(8, 10, 80%, 0) (2) Cho X~B(79; 75%), Y~B(30; 25%) Tính Mod(X), Mod(Y) Lưu ý Mod(X), Mod(Y) số nguyên, ta có: 59 ≤ Mod(X) ≤ 60 ⇒ Mod(X) = 59 hay Mod(X) = 60 6,75 ≤ Mod(Y) ≤ 7,75 ⇒ Mod(Y) = (3) Một xạ thủ bắn trúng bia với xác suất 20% Tính xác suất xạ thủ bắn vào bia phát có không phát trúng bia 1.1.2 Xấp xỉ Nhị thức phân phối Chuẩn Xét B(n, p) Nếu n đủ lớn p không gần hay phân phối Nhị thức xấp xỉ phân phối Chuẩn có kỳ vọng phương sai: B(n, p) ≈ N(np, npq) Ta có công thức tính gần đúng: k − np P(X = k) ≈ ) ϕ( npq npq =NORMDIST(k, n*p, (n*p*q)^.5, 0) P(a ≤ X ≤ b) ≈ Φ( b − np npq ) − Φ( Trong ϕ laø haøm Gauss ϕ(z) = a − np npq 2π e− z ) /2 Ghi chuù "n đủ lớn p không gần hay 1" nghóa p ≥ 10%, q ≥ 10%, np > nq > Ví dụ Xác suất chữa khỏi bệnh loại thuốc 80% Có 1.000 người dùng thuốc Tính xác suất có 790 người khỏi bệnh Biến cố "một người khỏi bệnh sau dùng thuốc" có xác suất p = 85% Số người dùng thuốc n = 1.000 Gọi X số người khỏi bệnh sau dùng thuốc X~B(1.000; 80%) Xác suất cần tính P(X ≥ 790) Do n đủ lớn p không gần hay neân B(1.000; 80%) ≈ N(800, 160) 790 − 800 ) = 0,5 + Φ(0,79) ≈ 79% P(X ≥ 790) ≈ 0,5 – Φ ( 160 =1–NORMDIST(790, 800, 160^.5, 1) 1.2 Phân phối Poisson 1.2.1 Định nghóa số đặc trưng ĐLNN rời rạc X nhận giá trị 0, 1, với P(X=k) định công thức sau gọi ĐLNN có phân phối Poisson với tham số λ (λ > 0), ký hiệu X ~ P(λ): λ k −λ P(X=k) = e k! Ta tính được: E(X) = λ Var(X) = λ λ – ≤ Mod(X) ≤ λ Excel P(X=k) =POISSON(k, λ, 0) P(X ≤ k) =POISSON(k, λ, 1) Ghi chuù Khi λ > 10 P(λ) ≈ N(λ, λ) 1.2.2 Xấp xỉ Nhị thức phân phối Poisson Xét ĐLNN B(n, p) Nếu n đủ lớn p đủ nhỏ phân phối Nhị thức xấp xỉ phân phối Poisson có kỳ vọng: B(n, p) ≈ P(np) Ghi "n đủ lớn p đủ nhỏ" nghóa n ≥ 20 p ≤ 5% Điều kiện khác n ≥ 30, p ≤ 10% vaø np < 10 Xấp xỉ tốt n ≥ 100 np < 10 Ví dụ (1) Xác suất bị đứt hoạt động ống sợi 0,2% Một máy dệt có 1.000 ống sợi Tính xác suất hoạt động máy dệt có nhiều ống sợi bị đứt Biến cố "ống sợi bị đứt" có xác suất p = 0,2% Gọi X số ống sợi bị đứt số n = 1.000 ống sợi X~B(1.000, 0,2%) Xác suất cần tính P(X > 2) Do n đủ lớn p đủ nhỏ nên ta xấp xỉ X P(λ) với λ = 1.000×0,2% = Ta có: P(X > 2) = – P(X=0) – P(X=1) – P(X=2) 20 −2 21 −2 22 −2 =1– e – e – e = – e–2(1+2+2) ≈ 32% 0! 1! 2! =1−POISSON(2, 2, 1) Các phân phối ĐLNN liên tục 2.1 Phân phối Chuẩn Theo Liapunov, ĐLNN X tổng số lớn ĐLNN độc lập giá trị ĐLNN thành phần có vai trò nhỏ tổng X ĐLNN có quy luật phân phối Chuẩn Xét Z ~ N(0; 1), ta coù P(–zα/2 < Z < zα/2) = 1–α Lấy α = 5% P(–1,96 < Z < 1,96) = 95% Điều chứng tỏ ĐLNN có phân phối Chuẩn Chính tắc 95% giá trị nằm khoảng (–1,96; 1,96) Nói theo nguyên lý Xác suất Lớn hầu hết giá trị phân phối Chuẩn Chính tắc nằm khoảng (–1,96; 1,96) Lấy α = 5% P(Z < 1,6449) = 95% Điều chứng to ĐLNN có phân phối Chuẩn Chính tắc 95% giá trị nhỏ 1,6449 Nói theo nguyên lý Xác suất Lớn hầu hết giá trị phân phối Chuẩn Chính tắc nhỏ 1,6449 X−µ phân phối Chuẩn Nếu X ~ N(µ; σ2) σ X−µ gọi điểm−Z ĐLNN X có Chính tắc Giá trị σ phân phối Chuẩn hầu hết giá trị điểm−Z X nằm khoảng (–1,96; 1,96) hầu hết nhỏ 1,6449 Ví dụ Trọng lượng ghi bao bì bao cám 5Kg với độ lệch chuẩn 0,1Kg Biết trọng lượng bao cám lấy ngẫu nhiên ĐLNN có phân phối Chuẩn a) Một bao cám coi đạt tiêu chuẩn trọng lượng sai lệch không 200g trọng lượng ghi bao bì Tính tỷ lệ bao cám đạt tiêu chuẩn b) Tính xác suất mua bao cám có trọng lượng từ 4,9Kg đến 5,2Kg c) Trọng lượng tối đa bao cám số 95% bao cám nhẹ bao nhiêu? Gọi X trọng lượng bao cám (đơn vị: Kg) Theo giả thiết X ~ N(µ, σ2) với µ = 5, σ = 0,1 a) Cần tính P(X − 5 < 0,2) Ta coù: P(X−5< 0,2) = 2Φ(0,2/0,1) = 2Φ(2) ≈ 95% =2*NORMSDIST(.2/.1)−1 b) Cần tính P(4,9 < X < 5,2) Ta coù: 5, − 4, − P(4,9 < X < 5,2) = Φ( ) − Φ( ) 0,1 0,1 = Φ(2) – Φ(–1) = Φ(2)+Φ(1) ≈ 82% =NORMDIST(5.2, 5, 1, 1) − NORMDIST(4.9, 5, 1, 1) c) Gọi x trọng lượng cần tìm Trọng lượng bao cám số 95% bao cám nhẹ có điểm−Z không 1,6449 Vậy: x−5 = 1,6449 ⇒ x = 5,1645 0,1 Trọng lượng tối đa bao cám số 95% bao cám nhẹ 5,1645Kg 2.2 Phân phối Chi Bình phương Xét X1, X2, …, Xk ĐLNN độc lập có phân phối Chuẩn Chính tắc Đặt: χ2 = X 12 + X 22 + + X k2 χ2 ĐLNN liên tục gọi có phân phối Chi 2 Bình phương bậc tự k, ký hiệu χ ~χ (k) Ta có: 2 E(χ (k)) = k Var(χ (k)) = 2k Khi k ≥ 30 phân phối Chi Bình phương xấp xỉ phân phối Chuẩn Chính tắc Trong ứng dụng, ta cần tìm phân vị mức α 2 phân phối Chi Bình phương χ ~χ (k), tức tìm χ α 2 cho P(χ > χ α) = α Giá trị χ α tìm cách tra bảng kê số dùng hàm Excel =CHIINV(α, k) 2.3 Phân phối Student 2 Xét hai ĐLNN độc lập Z~N(0, 1), χ ~χ (k) Đặt: T = Z / χ2 / k T ĐLNN liên tục gọi có phân phối Student bậc tự k, ký hiệu T ~ T(k) Ta có: k E(T) = Var(T) = k−2 Khi k ≥ 30 phân phối Student xấp xỉ phân phối Chuẩn Chính tắc Trong ứng dụng, ta cần tìm phân vị mức α phân phối Student T~T(k), tức tìm tα cho P(T > tα) = α Giá trị tα tìm cách tra bảng kê số dùng hàm Excel =TINV(2*α, k) 2.4 Phân phối Fisher–Snedecor 2 Xét hai ĐLNN độc lập χ (n1) χ (n2) Đặt: χ (n1 ) / n1 F= χ (n ) / n F ĐLNN liên tục gọi có phân phối Fisher– Snedecor bậc tự n1 n2, ký hieäu F ~ F(n1, n2) Khi n2 > 4, ta tính được: n2 E(F) = n2 − 2n 22 (n1 + n − 2) Var(F) = n1 (n − 2)2 (n − 4) Trong ứng dụng, ta cần tìm phân vị mức α phân phối Fisher-Snedecor F ~ F(n1, n2), tức tìm fα cho P(F > fα) = α Giá trị fα tìm cách tra bảng kê số dùng hàm Excel =FINV(α, n1, n2) Phép toán phân phối 3.1 Tổng phân phối Nhị thức Nếu X1~B(n1, p), X2~B(n2, p), , Xm~B(nm, p) ĐLNN độc lập tổng chúng ĐLNN có phân phối Nhị thức với n = n1 + n2 + + nm Tức là: B(n1, p) + B(n2, p) + B(nm, p) = B(n1 + n2 + + nm, p) Ví dụ Lô hàng I (II) gồm 500 (750) sản phẩm có 200 (300) sản phẩm tốt Mua sản phẩm thuộc lô hàng I 10 sản phẩm thuộc lô hàng II Tính xác suất mua sản phẩm tốt Gọi X1 (X2) số sản phẩm tốt mua cửa hàng I (II) số sản phẩm tốt mua Y = X1 + X2 Xác suất cần tính P(X = 8) Ta coù: X1 ~ H(500, 200, 5) X2 ~ H(750, 300, 10) Do n đủ nhỏ so với N, M p = M/N không gần hay neân X1 ≈ B(5, 40%) X2 ≈ B(10, 40%) Vaäy Y = X1+X2 ≈ B(5, 40%) + B(10, 40%) = B(15, 40%) ⇒ P(Y = 8) ≈ 11,8% 3.2 Tổng phân phối Poisson Nếu X1~P(λ1), X2~P(λ2), , Xn~P(λn) ĐLNN độc lập tổng chúng ĐLNN có phân phối Poisson với tham số λ = λ1 + λ2 + + λn Tức laø: P(λ1) + P(λ2) + + P(λn) = P(λ1 + λ2 + + λn) Ví dụ Máy dệt I (II, III) có 1.000 (1.500, 1.000) ống sợi Xác suất bị đứt ống sợi máy I (II, III) 0,2% (0,1%, 0,15%) Tính xác suất máy dệt có từ ống sợi loại bị đứt trở lên Gọi X1, X2, X3 số ống sợi loại A, B, C bị đứt tổng số ống sợi bị đứt Y = X1 + X2 + X3 Cần tính P(Y ≥ 5) Ta có: X1~B(1000;0,2%) X2~B(1500;0,1%) X3~B(1000;0,15%) Do n đủ lớn p đủ nhỏ nên X1, X2, X3 xấp xỉ: X1 ≈ P(2) X2 ≈ P(1,5) X3 ≈ P(1,5) ⇒ Y ≈ P(2) + P(1,5) + P(1,5) = P(2 + 1,5 + 1,5) = P(5) ⇒ P(Y ≥ 5) = − P(Y ≤ 4) ≈ 56% =1 − POISSON(4, 5, 1) 3.3 Tổ hợp tuyến tính phân phối Chuẩn Nếu X1~N(µ1, σ12 ), X2~N(µ2, σ22 ), , Xn~N(µn, σn2 ) ĐLNN độc lập tổ hợp tuyến tính chúng a1X1 + a2X2 + + anXn ĐLNN có phân phối Chuẩn với kỳ vọng a1µ1 + a2µ2 + + anµn, phương sai a12σ12 + a 22σ22 + + a 22σn2 Tức là: a1N(µ1, σ12 ) + a2N(µ2, σ22 ) + + anN(µn, σn2 ) = N(a1µ1 + a2µ2 + + anµn, a12σ12 + a 22σ22 + + a 22σn2 ) Ví dụ Trong nông trại, trọng lượng trung bình gà trống 1,5Kg với độ lệch chuẩn 100g, trọng lượng trung bình gà mái 1,7Kg với độ lệch chuẩn 200g Được biết, trọng lượng gà chọn ngẫu nhiên ĐLNN có phân phối Chuẩn Một người mua gà trống gà mái Tính xác suất trọng lượng gà không vượt 8,5Kg Gọi X1 (X2) trọng lượng (Kg) gà trống (mái) Trọng lượng gà mua Y = 2X1 + 3X2 Cần tính P(X ≤ 8,5) Theo giả thiết X1~N(1,5; 0,12), X2~N(1,7; 0,22) nên Y = 2X1 + 3X2 phân phối Chuẩn với kỳ vọng phửụng sai laứ: = 2ì1,5 + 3ì1,7 = 8,1 σ2 = 22×0,12 + 32×0,22 = 2,46 Vậy: P(Y ≤ 8,5) = 0,5 + Φ( 8, − 8,1 2, 46 ) = 0,5+Φ(0,25) ≈ 60% =NORMDIST(8, 8.1, 2.46^.5, 1) ... với xác suất 20% Tính xác suất xạ thủ bắn vào bia phát có không phát trúng bia 1.1.2 Xấp xỉ Nhị thức phân phối Chuẩn Xét B(n, p) Nếu n đủ lớn p không gần hay phân phối Nhị thức xấp xỉ phân phối. .. k ≥ 30 phân phối Student xấp xỉ phân phối Chuẩn Chính tắc Trong ứng dụng, ta cần tìm phân vị mức α phân phối Student T~T(k), tức tìm tα cho P(T > tα) = α Giá trị tα tìm cách tra bảng kê số dùng... ứng dụng, ta cần tìm phân vị mức α phân phối Fisher-Snedecor F ~ F(n1, n2), tức tìm fα cho P(F > fα) = α Giá trị fα tìm cách tra bảng kê số dùng hàm Excel =FINV(α, n1, n2) 3 Phép toán phân phối