Bài giảng Lý thuyết xác suất thống kê toán - Chương 3: Các phân phối xác suất thông dụng cung cấp cho người học các kiến thức về các phân phối của đại lượng ngẫu nhiên rời rạc,

Bài giảng Lý thuyết xác suất thống kê toán - Chương 3: Các phân phối xác suất thông dụng cung cấp cho người học các kiến thức về các phân phối của đại lượng ngẫu nhiên rời rạc, phân phối của đại lượng ngẫu nhiên liên tục, phép toán trên các phân phối. Mời các bạn cùng tham khảo.

CHƯƠNG 3 Các phân phối xác suất thông dụng

1 Các phân phối của ĐLNN rời rạc

1.1 Phân phối Nhị thức

1.1.1 Định nghĩa và các số đặc trưng

Trong một phép thử, biến cố A xảy ra với xác suất p Thực hiện phép thử n lần độc lập Gọi X là số lần biến cố A xảy ra thì X là ĐLNN Theo công thức Nhị thức:

P(X====k) ==== k k n k

n

C p q −−−−

ĐLNN X có phân phối xác suất như trên được được gọi là ĐLNN có phân phối Nhị thức, ký hiệu X

~ B(n, p) Giá trị của X là 0, 1, , n

Đặt q = 1–p Ta tính được:

E(X) ====np Var(X)====npq (n++++1)p – 1 ≤≤≤≤ Mod(X) ≤≤≤≤ (n++++1)p Excel

Pk = P(X=k) =BINOMDIST(k, n, p, 0)

P(X ≤ k) =BINOMDIST(k, n, p, 1)

Ví dụ

(1) Lấy ngẫu nhiên có hoàn lại 10 sản phẩm từ lô hàng có 80% chính phẩm Tính xác suất có 8 chính phẩm

Biến cố "lấy được chính phẩm" có xác suất p = 80% Số lần lặp lại phép thử là n = 10 Gọi X là số chính phẩm đếm được thì X ~ B(10; 80%) Xác suất cần tính là P(X=8) Theo công thức:

P(X=8) = 8

10

C (0,8)8(0,2)2 ≈ 30%

=BINOMDIST(8, 10, 80%, 0)

(2) Cho X~B(79; 75%), Y~B(30; 25%) Tính Mod(X), Mod(Y)

Lưu ý Mod(X), Mod(Y) đều là số nguyên, ta có:

59≤ Mod(X)≤60 ⇒ Mod(X)=59 hay Mod(X) =60 6,75 ≤ Mod(Y) ≤ 7,75 ⇒ Mod(Y) = 7

(3) Một xạ thủ bắn trúng bia với xác suất 20% Tính xác suất xạ thủ này bắn vào bia 5 phát thì có không quá 2 phát trúng bia

1.1.2 Xấpxỉ Nhị thức bởi phân phối Chuẩn

Xét B(n, p) Nếu n đủ lớn và p không quá gần 0 hay 1 thì phân phối Nhị thức được xấp xỉ bởi phân phối Chuẩn có cùng kỳ vọng và phương sai:

−

Ghi chú

"n đủ lớn và p không quá gần 0 hay 1" nghĩa là

p≥10%, q ≥10%, np>5 và nq>5

Ví dụ

Xác suất chữa khỏi bệnh của một loại thuốc là 80% Có 1.000 người dùng thuốc này Tính xác suất có ít ra 790 người khỏi bệnh

Biến cố "một người khỏi bệnh sau khi dùng thuốc" có xác suất p = 85% Số người dùng thuốc là n = 1.000 Gọi X là số người khỏi bệnh sau khi dùng thuốc thì X~B(1.000; 80%) Xác suất cần tính là P(X ≥ 790)

Do n đủ lớn và p không quá gần 0 hay 1 nên B(1.000; 80%) ≈ N(800, 160)

1.2 Phân phối Poisson

1.2.1 Định nghĩa và các số đặc trưng

ĐLNN rời rạc X nhận các giá trị 0, 1, với P(X=k) định bởi công thức sau gọi là ĐLNN có phân phối Poisson với tham số λ (λ > 0), ký hiệu X ~ P(λ):

1.2.2 Xấp xỉ Nhị thức bởi phân phối Poisson

Xét ĐLNN B(n, p) Nếu n đủ lớn và p đủ nhỏ thì phân phối Nhị thức được xấp xỉ bởi phân phối Poisson có cùng kỳ vọng:

B(n, p) ≈ P(np) Ghi chú

"n đủ lớn và p đủ nhỏ" nghĩa là n≥20 và p≤5% Điều kiện khác là n≥30, p≤ 10% và np<10

Xấp xỉ sẽ tốt hơn nếu n≥100 và np<10

Ví dụ

(1) Xác suất bị đứt trong 1 giờ hoạt động của một ống sợi là 0,2% Một máy dệt có 1.000 ống sợi Tính xác suất trong 1 giờ hoạt động của máy dệt có nhiều hơn 2 ống sợi bị đứt

Biến cố "ống sợi bị đứt" có xác suất p = 0,2% Gọi X là số ống sợi bị đứt trong số n = 1.000 ống sợi thì X~B(1.000, 0,2%) Xác suất cần tính là P(X > 2)

Do n đủ lớn và p đủ nhỏ nên ta xấp xỉ X bởi P(λ) với λ=1.000×0,2%=2 Ta có:

(2) Một cộng đồng có khoảng 2% người sống đến 90 tuổi Cộng đồng hiện có 1.000 người

a) Tính trung bình cộng đồng có bao nhiêu người sống đến 90 tuổi?

b) Tính xác suất cộng đồng có đúng 20 người sống đến 90 tuổi

c) Tính xác suất cộng đồng có hơn 20 người sống đến 90 tuổi

(3) Trung bình một ngày bãi giữ xe nhận 600 xe Tính xác suất ngày mai có 700 xe được gởi tại bãi giữ xe này

1.3 Phân phối Siêu bội

1.3.1 Định nghĩa và các số đặc trưng

Xét tập hợp gồm N phần tử trong đó có M phần tử có tính chất tốt Gọi X là số phần tử có tính chất tốt có được khi lấy ngẫu nhiên n phần tử Xét k là một số nguyên từ max(0, n+M–N) đến min(M, n) Theo công thức Siêu bội ta có:

P(X====k) ==== kM n kN M

n N

C CC

E(X) ==== np Var(X) ==== npq N n

N 1

−−−−

−−−− Mod(X) ==== (n 1)(M 1)

Ví dụ

(1) Một công ty có 10 chiếc xe trong đó có 3 chiếc Lexus Điều ngẫu nhiên 4 chiếc xe để đi công tác Tính xác suất trong các xe đó có 1 chiếc Lexus

Mô hình Siêu bội

C C

C =50% =HYPGEOMDIST(1, 4, 3, 10)

(2) Một lớp 70 sinh viên trong đó có 40 sinh viên giỏi Toán Chọn ngẫu nhiên 10 sinh viên Tính xác suất có ít ra là 3 sinh viên giỏi Toán

1.3.2 Xấp xỉ Siêu bội bởi phân phối Nhị thức

Nếu n đủ nhỏ so với N, M và p=M/N không quá gần 0 hay 1 thì ta có xấp xỉ:

H(N, M, n) ≈ B(n, M

N ) Ghi chú

"n đủ nhỏ so với N, M và p = M/N không quá gần 0 hay 1" nghĩa là 20n<N, 20n<M và 10% ≤p≤90%

* Khi n đủ nhỏ so với N thì việc lấy ngẫu nhiên có hoàn lại hoặc không hoàn lại là gần như nhau

Ví dụ

(1) Lô hàng gồm 10.000 sản phẩm trong số có 9.000 chính phẩm Lấy ra 10 sản phẩm Tính xác suất trong các sản phẩm này có 9 chính phẩm

Mô hình Siêu bội

Gọi X là số chính phẩm có trong 10 sản phẩm lấy ra thì X ~ H(1.000, 900, 10) Cần tính P(X=9)

Vì n đủ nhỏ so với N, M và p=M/N không quá gần 0 hay 1 nên:

H(1.000,900, 10) ≈ B(10,900/1.000) = B(10, 90%) Vậy:

P(X=9) = 9

10

C (90%)9.(10%)1 ≈ 39%

(2) Tỷ lệ phế phẩm của nhà máy là 90% Khách hàng lấy 100 sản phẩm để kiểm tra và nếu thấy có

ít ra là 93 chính phẩm thì đồng ý mua sản phẩm của nhà máy Tính xác suất khách hàng đồng ý mua

Gọi N, M là tổng số sản phẩm, chính phẩm của nhà máy, X là số chính phẩm có trong 100 sản phẩm lấy

ra kiểm tra thì X ~ H(N,M,100) Cần tính P(X ≥93)

Do số sản phẩm lấy ra kiểm tra đủ nhỏ so với số sản phẩm cũng như số chính phẩm của nhà máy và tỷ chính phẩm M/N=90% không quá gần 0 hay 1 nên:

H(N,M,100)≈B(100,90%)

Lại do n = 100 đủ lớn và p = 90% không quá gần 0 hay 1 nên B(100,90%) ≈ N(90, 9) Vậy:

2 Các phân phối của ĐLNN liên tục

2.1 Phân phối Chuẩn

Theo Liapunov, một ĐLNN X là tổng của một số lớn các ĐLNN độc lập và mỗi giá trị của ĐLNN thành phần có vai trò rất nhỏ trong tổng thì X sẽ là một ĐLNN có quy luật phân phối Chuẩn

Xét Z ~ N(0; 1), ta có P(–zα/2 < Z < zα/2) = 1–α Lấy α = 5% thì P(–1,96 < Z < 1,96) = 95%

Điều này chứng tỏ một ĐLNN có phân phối Chuẩn Chính tắc thì 95% giá trị của nó đều nằm trong khoảng (–1,96; 1,96) Nói theo nguyên lý Xác suất Lớn thì hầu hết giá trị của phân phối Chuẩn Chính tắc đều nằm trong khoảng (–1,96;1,96)

Lấy α = 5% thì P(Z<1,6449) = 95%

Điều này chứng to một ĐLNN có phân phối Chuẩn Chính tắc thì 95% giá trị của nó đều nhỏ hơn 1,6449 Nói theo nguyên lý Xác suất Lớn thì hầu hết giá trị của phân phối Chuẩn Chính tắc đều nhỏ hơn 1,6449

Ví dụ

Trọng lượng ghi trên bao bì của một bao cám là 5Kg với độ lệch chuẩn là 0,1Kg Biết trọng lượng của một bao cám lấy ngẫu nhiên là một ĐLNN có phân phối Chuẩn

a) Một bao cám được coi là đạt tiêu chuẩn nếu trọng lượng sai lệch không quá 200g trọng lượng ghi trên bao bì Tính tỷ lệ bao cám đạt tiêu chuẩn

b) Tính xác suất mua được một bao cám có trọng lượng từ 4,9Kg đến 5,2Kg

c) Trọng lượng tối đa của một bao cám trong số 95% bao cám nhẹ nhất là bao nhiêu?

Gọi X là trọng lượng một bao cám (đơn vị: Kg) Theo giả thiết thì X ~ N(µ, σ2) với µ = 5, σ = 0,1

0,1

−) = Φ(2)– Φ(–1)=Φ(2)+Φ(1) ≈ 82%

=NORMDIST(5.2, 5, 1, 1) − NORMDIST(4.9, 5, 1, 1)

c) Gọi x là trọng lượng cần tìm Trọng lượng của một bao cám trong số 95% bao cám nhẹ nhất có điểm−Z không quá 1,6449 Vậy:

x 5

0,1

−

= 1,6449 ⇒ x = 5,1645 Trọng lượng tối đa của một bao cám trong số 95% bao cám nhẹ nhất là 5,1645Kg

2.2 Phân phối Chi Bình phương

Xét X1, X2, …, Xk là các ĐLNN độc lập và có phân phối Chuẩn Chính tắc Đặt:

Trong ứng dụng, ta cần tìm phân vị mức α của phân phối Chi Bình phương χ2~χ2(k), tức là tìm χ2αsao cho P(χ2 >χ2

α) =α Giá trị χ2α được tìm bằng cách tra bảng kê số hoặc dùng hàm Excel =CHIINV(α, k)

2.3 Phân phối Student

Xét hai ĐLNN độc lập Z~N(0, 1), χ2~χ2(k) Đặt:

2.4 Phân phối Fisher–Snedecor

Xét hai ĐLNN độc lập là χ2(n1) và χ2(n2) Đặt:

F ==== 22 1 1

(n ) / n(n ) / n

χχχχχχχχ

F là ĐLNN liên tục gọi là có phân phối Fisher–Snedecor bậc tự do n1 và n2, ký hiệu F ~ F(n1, n2) Khi n2 > 4, ta tính được:

3 Phép toán trên các phân phối

3.1 Tổng của các phân phối Nhị thức

Nếu X1~B(n1, p), X2~B(n2, p), , Xm~B(nm, p) là các ĐLNN độc lập thì tổng của chúng sẽ là ĐLNN có phân phối Nhị thức với n=n1+n2 + +nm Tức là:

B(n1,p) +B(n2, p)+B(nm,p) = B(n1 +n2+ +nm, p)

Ví dụ

Lô hàng I (II) gồm 500 (750) sản phẩm trong đó có 200 (300) sản phẩm tốt Mua 5 sản phẩm thuộc lô hàng I và 10 sản phẩm thuộc lô hàng II Tính xác suất mua được 8 sản phẩm tốt

Gọi X1 (X2) là số sản phẩm tốt mua được tại cửa hàng I (II) thì số sản phẩm tốt mua được là

Y = X1 + X2 Xác suất cần tính là P(X = 8) Ta có:

3.2 Tổng của các phân phối Poisson

Nếu X1~P(λ1), X2~P(λ2), , Xn~P(λn) là các ĐLNN độc lập thì tổng của chúng sẽ là ĐLNN có phân phối Poisson với tham số λ = λ1 + λ2 + + λn Tức là:

P(λ1) + P(λ2) + + P(λn) = P(λ1 + λ2 + + λn)

Ví dụ

Máy dệt I (II, III) có 1.000 (1.500, 1.000) ống sợi Xác suất bị đứt một ống sợi trên máy I (II, III) là 0,2% (0,1%, 0,15%) Tính xác suất 3 máy dệt có từ

5 ống sợi các loại bị đứt trở lên

Gọi X1, X2, X3 là số ống sợi loại A, B, C bị đứt thì tổng số ống sợi bị đứt là Y= X1 + X2 + X3 Cần tính P(Y ≥ 5) Ta có:

X1~B(1000;0,2%) X2~B(1500;0,1%) X3~B(1000;0,15%)

Do n đủ lớn và p đủ nhỏ nên X1, X2, X3 được xấp xỉ:

X1≈P(2) X2≈P(1,5) X3 ≈P(1,5)

⇒ Y≈P(2) + P(1,5) + P(1,5) = P(2 + 1,5 + 1,5) = P(5) ⇒ P(Y ≥ 5) = 1 − P(Y ≤ 4) ≈ 56% =1 − POISSON(4, 5, 1)

3.3 Tổ hợp tuyến tính các phân phối Chuẩn

Nếu X1~N(µ1,σ ), X12 2~N(µ2,σ ), , X22 n~N(µn,σ ) là n2các ĐLNN độc lập thì tổ hợp tuyến tính của chúng

a1X1 + a2X2 + + anXn cũng là ĐLNN có phân phối Chuẩn với kỳ vọng là a1µ1 +a2µ2+ +anµn, phương sai là a12σ +12 a22σ +22 a+ 22σ Tức là: n2

a1N(µ1, σ ) + a12 2N(µ2, σ ) + + a22 nN(µn, σ ) n2

= N(a1µ1+a2µ2+ +anµn, a12σ +12 a22σ +22 a+ 22σ ) n2

Ví dụ

Trong một nông trại, trọng lượng trung bình của một con gà trống là 1,5Kg với độ lệch chuẩn 100g, trọng lượng trung bình của một con gà mái là 1,7Kg với độ lệch chuẩn 200g Được biết, trọng lượng của một con gà được chọn ngẫu nhiên là ĐLNN có phân phối Chuẩn Một người mua 2 con gà trống và 3 con gà mái Tính xác suất trọng lượng của 5 con gà này không vượt quá 8,5Kg

Gọi X1 (X2) là trọng lượng (Kg) một con gà trống (mái) Trọnglượng 5 congà được mua làY =2X1+3X2 Cần tính P(X ≤ 8,5)

Theo giả thiết X1~N(1,5; 0,12), X2~N(1,7; 0,22) nên

Y = 2X1 + 3X2 là phân phối Chuẩn với kỳ vọng và phương sai là: