Bài giảng Lý thuyết điều khiển tự động 2: Chương 3 Phương pháp tuyến tính hóa điều hòa sau khi học xong chương này người học có thể hiểu về: Phương pháp tuyến tính hóa điều hòa, phân tích tính ổn định của tự dao động và xác định biên độ, tần số dao động, khảo sát hiện tượng tự dao động,...
Chương PHƯƠNG PHÁP TUYẾN TÍNH HĨA ĐIỀU HỊA 3.1 PHƯƠNG PHÁP TTHĐH 3.1.1 Khái quát chung Ưu điểm: - áp dụng với HT bậc thấp bậc cao; - sử dụng phương pháp phân tích miền tần số HT tuyến tính nên dễ dàng áp dụng cho phép đánh giá tham số chuyển động HT; - áp dụng tương đối dễ dàng phần tử phi tuyến cứng có HTĐKTĐ Nhược điểm: phương pháp tính tốn gần Việc nghiên cứu HTĐKTĐ phi tuyến phương pháp tuyến tính hóa điều hòa thực qua hai giai đoạn : - giai đoạn 1: thay khâu phi tuyến HT khâu tuyến tính tương đương, có HST phụ thuộc vào tham số chuyển động HT; cách ta nhận HST HT tuyến tính hóa điều hòa; - giai đoạn 2: phương pháp LTĐKTĐ tuyến tính, tìm chuyển động HT tuyến tính hóa điều hòa Để thực phương pháp tuyến tính hóa điều hòa cấu trúc HT nghiên cứu cần tách phần tuyến tính khâu phi tuyến F(x) (H.3-1) Wtt(s) y(t) x(t) F(x) H 3-1 Điều kiện áp dụng phương pháp tuyến tính hóa điều hòa: - khâu phi tuyến tạo tín hiệu có hài bậc trội hài bậc hai trở lên khơng có thành phần chiều; - phần tuyến tính có tính chất lọc thấp tần: loại bỏ hài bậc cao Lúc tín hiệu x(t) làm gần với hài bậc nhất: x(t ) = A(t ) sin[ψ (t ) +ψ ], (3.1) biên độ A(t) pha Ψ( t) xác định sau: t A(t ) = A0 exp[ ∫ ξ t (τ )dτ ]; t ψ (t ) = ∫ ω (τ )dτ ξt-hệ số suy giảm, phụ thuộc vào thời gian,ω-tần số dao động Giả sử chu kỳ dao động giá trị hệ số suy giảm ξt tần số ω thay đổi khơng đáng kể, nên cho chúng khơng thay đổi Khi đó, biểu diễn tín hiệu y(t) chuỗi Fourier: y(t ) = a( A,ω ) A sinψ +b( A,ω ) A cosψ + R, (3.2) R- tổng hài bậc cao; a(A, ω), b(A, ω) – hệ số tuyến tính hóa điều hòa khâu phi tuyến 2π a( A,ω ) = ∫ f ( A sinψ ) sinψdψ πA 2π b( A,ω ) = ∫ f ( A sinψ ) cosψdψ πA Lúc khâu phi tuyến thay HST tương đương Để xác định cần thực biến đổi Laplace (3.1) (3.2): 2 −1 X ( s) = A0ω [(s −ξ ) +ω ] Y (s) = A0 [(s −ξ ) +ω ]−1[a( A,ω )ω + b( A,ω )(s −ξ )] Vì vậy, HST tương đương khâu phi tuyến xác định sau: W tđ (s, A,ξ ,ω ) = Y (s) X ( s) = a( A,ω ) +ω −1(s −ξ )b( A,ω ) (3.3) 3.1.2 Hệ số tuyến tính hóa điều hòa số khâu phi tuyến 3.1.2.1 Khâu rơle ba vị trí có trễ Trên H.3-2 biểu diễn tín hiệu đầu khâu rơ le ba vị trí có trễ tác động tín hiệu hình sin đầu vào f(x) f(x) B -a -ma ma a x -B ψ1 A ψ1 ψ2 x H.3-2 ψ2 ψ3 ψ4 ωt ψ3 ψ4 ωt M ( A) M ( A) 2 (3.9) = 0; (T 1+T 2) A 16 k B T T a =π 2 2 −16 2 2 2 k BT T A+ (3.10) Phương trình có nghiệm 2 A1,2 = k B 2 T1T ± với điều kiện k B T1T k B 2 + ( ) π T1 T k 2 2 2 − T T π (T 1+T 2) a (T 1+T 2) a π ≥ B T 1T 2 A2 = 8k B A1 = k B 2 T1T + 2 T1T − k B T 1T k B 2 ( + ) π T1 T 2 k B T 1T k B 2 π (T 1+T 2) 2 2 − T T π (T 1+T 2) a (3.11, a) 2 2 2 − ( + ) T1 T π T1 T a (3.11, b) Trong có nghiệm A2 = k B 2 2+ T1T k B T 1T k B 2 ( + ) π T1 T 2 2 2− T T π (T 1+T 2) a biên độ tự dao động HT Chứng minh: HT HT bậc Phương trình ( ) = ω A , ω ( − V ω T 1T 2) = có nghiệm ω1=0 ω3 Bây giờ, tăng biên độ dao động A, cần phải tồn nghiệm ω2 phương trình U ( A , ω ) = − ω (T + T 2) + kW tđ ( A , ω ) = ω1 0; M(A, ω3) xác định từ (3.10) Xét dấu (3.10) Biểu thức có giá trị âm 2 ( , A nằm khoảng A1 A2) , M A1 = k B 2 T1T − A1 A2 k B T 1T k B 2 ( + ) π T1 T 2 A 2 2 2 − ( + ) T1 T π T1 T a 2 A2 = k B 2 T1T + k B T 1T k B 2 π (T 1+T 2) 2 2 2 − ( + ) T1 T π T1 T a có giá trị dương khi A2 nằm ngồi khoảng Rõ ràng có giá trị biên độ A2 thoả mãn điều kiện (3.13) tăng Như vậy, A2 biên độ tự dao động HT Thay số vào (3.11,a), nhận A=1,1841; thay số vào (3.11,b), nhận A=0,10036 Phương pháp sử dụng tiêu chuẩn ổn định Nyquist cần thực sau: - xác định điều kiện để ĐTTSBĐP HT hở qua điểm (-1, j0); từ xác định biên độ tần số dao động; - tiến hành kiểm tra tính ổn định tự dao động (tự dao động ổn định, tăng biên độ A làm cho HT kín ổn định, tức là, ĐTTSBĐP HT hở không bao điểm (-1, j0) bao điểm l/2 lần theo chiều dương, với l số nghiệm PTĐT HT hở nằm nửa bên phải mặt phẳng nghiệm) Thí dụ 3.3 Xác định biên độ tần số dao động HTĐKTĐ phi tuyến thí dụ 3.1 Sau thực tuyến tính hố điều hoà khâu phi tuyến, nhận HST HT hở sau W h (s ) = K (T s +1 )(T s +1 ) s ; K=kWtđ(A) Hàm số truyền tần số HT hở có dạng K ( ) = W h jω, A jω ( jωT + )( jωT + ) 1 W h ( jω ) = K jω (1 + jωT )(1 + jωT ) =− jK (1 − jωT )(1 − jωT ) ω (1 + ω T )(1 + ω T ) 2 2 2 (T + T ) + jK (1 − ω T T ) K ω =− = u(ω) + jv(ω ) ω (1 + ω T )(1 + ω T ) 2 2 2 Khi ω=ωπ v(ω)=0, vậy: K (1 − ω π T T ) = ⇒ ωπ = TT 1 2 ω→∞ jv(ω) ωπ Wh(jω) ω=0 u(ω) Để HT nằm biên giới ổn định (tồn tự dao động) hàm tần số phần thực HT hở tần số ωπ phải -1 Từ nhận phương trình có dạng (3.9) nghiệm có dạng (3.11) Để tự dao động HT ổn định tăng giá trị biên độ, tần số ωπ, hàm tần số phần thực HT hở phải lớn -1 Từ nhận bất đẳng thức dạng (3.13) Xác định biên độ dao động tiêu chuẩn ổn định Hurwitz Các bước thực sau: - tìm PTĐT HT kín (3.7): W tt (s)W tđ (s, A,ω ) +1=0 - sử dụng tiêu chuẩn Hurwitz để viết điều kiện HT nằm biên giới ổn định (a0>0; an>0; ∆1÷∆n-2>0; ∆n-1=0; a0>0; an=0; ∆1÷∆n-1>0); từ xác định biên độ dao động A; - tiến hành kiểm tra tính ổn định tự dao động (tự dao động HT ổn định, tăng biên độ dao động A làm cho HT trở nên ổn định (a0>0 tất định thức Hurwitz trở nên dương)) Thí dụ 3.4 Xác định biên độ dao động HTĐKTĐ thí dụ 3.1 Sau thay HST tương đương khâu phi tuyến vào phương trình đặc trưng (3.7) biến đổi, nhận + ( + ) π A T 1T s π A T T s + π A s + B k − a = A a = π A T 1T ; a1 = π A (T + T 2); a2 = π A; a3 = B k Tất hệ số dương 1− a A Bậc HT ai>0 (i=0÷3) nên nằm biên giới ổn định ∆1>0 ; ∆2=0 ∆1 = a1( A,ω ) > 0; (3.14,a) ∆ = a1( A,ω ) a ( A,ω ) − a ( A,ω ) a3( A,ω ) (3.14,b) Từ nhận kết thí dụ 3.2 Thay A=1,1841 vào (3.14) nhận ∆1=1,116; ∆2=0; thay A=1,1842 vào (3.14) nhận ∆1=1,1161; ∆2=0,0003 Như vậy, dao động với biên độ A=1,1841 dao động ổn định Thay A=0,10036 vào (3.14) nhận ∆1=0,0946; ∆2=-1,1161.10-14; thay A=0,1004 vào (3.14) nhận ∆1=0,0946; ∆2=-0,0017; thay A=0,1005 vào (3.14) nhận ∆1=0,0947; ∆2=-0,0053 Như vậy, tồn dao động với biên độ A=0,10036 ... A2 hàm U ( A ,ω ) ω =ω = − ω 32 (T + T 2) + kW tđ ( A , ω 3) < U ω1 3 ω (3. 12) Sau biến đổi (3. 12), nhận M ( A) (3. 13) > 0; M(A, 3) xác định từ (3. 10) Xét dấu (3. 10) Biểu thức có giá trị âm... (3. 8) 3. 1 .3. 1 Phân tích tính ổn định tự dao động xác định biên độ, tần số dao động Phương pháp cân điều hoà (phương pháp Gôlpharba L.C.) Giải PTĐT (3. 8) W tt ( jω ) jIm (A4,ω4) (A1,ω1) Re (A3, 3) ... Nyquist cần thực sau: - xác định điều kiện để ĐTTSBĐP HT hở qua điểm (-1 , j0); từ xác định biên độ tần số dao động; - tiến hành kiểm tra tính ổn định tự dao động (tự dao động ổn định, tăng biên