Bài giảng Lý thuyết điều khiển tự động 2: Chương 2 - Đỗ Quang Thông

Bài giảng Lý thuyết điều khiển tự động 2: Chương 2 giúp người học hiểu về Khảo sát hệ thống điều khiển tự động phi tuyến bằng phương pháp không gian pha. Nội dung trình bày cụ thể gồm có: Phương pháp không gian pha, thí dụ khảo sát một số hệ thống điều khiển tự động phi tuyến bằng phương pháp mặt phẳng pha.

Chương KHẢO SÁT HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG PHI TUYẾN BẰNG PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN PHA 2.1 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN PHA Khái quát chung: Đây phương pháp đồ họa để nghiên cứu HTĐKTĐ phi tuyến Ưu điểm: - cho phép quan sát chuyển động HTĐKTĐ phi tuyến với ĐKBĐ khác nhau; - áp dụng với nhiều đối tượng phi tuyến; - dễ dàng phân tích HTĐKTĐ bậc (PP mặt phẳng pha) Nhược điểm: - dùng để nghiên cứu HT có bậc khơng lớn hai, vì, HT có bậc cao hơn, việc dựng đồ thị gặp nhiều khó khăn Nếu trạng thái HTĐKTĐ phi tuyến mơ tả bằng hệ n phương trình vi phân: y& i = f i ( y1, y , y n , t ) ; i =1 ÷ n (2.1) tham số t tác động bên thay đổi theo thời gian, nghiệm hồn tồn xác định ĐKBĐ yi0 Nghiệm gọi chuyển động “không bị nhiễu loạn” Sự thay đổi ĐKBĐ giá trị ∆yi0 dẫn đến thay đổi nghiệm Sai lệch nghiệm so với nghiệm khơng nhiễu loạn gọi chuyển động nhiễu loạn Hệ phương trình (2.1) tính đến thay đổi ĐKBĐ có dạng: y& i + ∆y& i = f i ( y1 + ∆y1, y + ∆y , y n + ∆y n , t ) Có thể biến đổi hệ phương trình dạng: ∆y& i = F i (∆y1, ∆y , ∆y n , t ) (2.2) Hệ phương trình (2.2) gọi hệ phương trình sai lệch Nếu Fi (∆y1 , ∆y , , ∆y n , t ) = Fi (∆y1 , ∆y , , ∆y n ) tức tác động bên khơng đổi, khơng có tác động bên ngồi, HT gọi ôtônôm (tự trị) Trong HT không tự trị tác động bên thay đổi theo thời gian Việc nghiên cứu tính ổn định chuyển động không bị nhiễu loạn chuyển sang nghiên cứu nghiệm hệ phương trình (2.2) Nghiệm mơ tả chuyển động HT trạng thái cân tọa độ ∆yi Khái niệm không gian pha: Các giá trị tức thời tọa ∆y2 t0 độ ∆yi HTĐKTĐ phi t1 tuyến biểu diễn t2 dạng điểm không ∆y1 gian Đề Các n chiều gọi ∆y3 không gian pha H.2-1 Khái niệm quỹ đạo pha: Vị trí hình học điểm phù hợp với thay đổi nối tiếp trạng thái HT không gian pha gọi quỹ đạo pha (H.2-1) Khái niệm ảnh pha: Tập hợp đầy đủ tất quỹ đạo pha tương ứng với tất ĐKBĐ có, gọi ảnh pha HT Nội dung phương pháp không gian pha chuyển hệ tọa độ theo thời gian hệ tọa độ pha với biến thời gian ẩn Trong không gian pha, biến pha thành phần nguyên hàm đạo hàm cấp f (y ( 0) ,y (1) ,y ( 2) , y (n ) ) (ở đây, để đơn giản cách viết, bỏ ký hiệu ∆) Mặt phẳng pha: Đối với HT có bậc phương trình hai khơng gian pha mặt phẳng pha Thông thường mặt phẳng pha, tọa độ biểu diễn chuyển động HT, tọa độ tốc độ biến thiên chuyển động Trong mặt phẳng pha, động học HTĐKTĐ phi tuyến mô tả hệ hai phương trình vi  dy phân phi tuyến bậc 1:  = f (y , y ) 1  dt    dy  2=  dt f ( y1, y 2), y1 hồnh độ, biến số HT; y2 tung độ, tốc độ biến thiên y1: y& = y f 2( y1, y 2) dy dy / dt = = dy1 dy1 / dt f ( y1 , y 2) Các điểm đặc biệt: giá trị dy2/dy1 xác định tang góc nghiêng trục hồnh (trục y1) quỹ đạo pha Trong hàng loạt trường hợp, với giá trị định y1, y2 xuất dạng vô định 0/0 Các điểm gọi điểm đặc biệt Chúng đặc trưng cho trạng thái cân HT y2 Đánh dấu quỹ đạo pha mũi tên chiều thay đổi trạng thái HT, xác y1 định tính ổn định trạng thái cân bằng: tất quỹ đạo H.2-2 Thí dụ dạng quỹ đạo pha pha hội tụ tới điểm đặc biệt điểm cân bền (H.2-2) Ở nửa trục hồnh quỹ đạo hướng sang phải, nửa quỹ đạo hướng sang trái Đặc điểm phương pháp mặt phẳng pha: - phần tuyến tính HT có bậc khơng lớn hai, bậc cao (khơng gian pha), tính trực quan phương pháp bị hạn chế; - phương pháp áp dụng với HT dừng (tham số không thay đổi theo thời gian); - phương pháp áp dụng thuận tiện với HT gồm phần tử phi tuyến phần tử tuyến tính Thí dụ 2.1 Dựng quỹ đạo pha HTTT có SĐCT H.2-5 u =0 ω0 y& s y2 s y = y1 H.2-5 Hệ phương trình vi phân mơ tả HT có dạng:  dy1  y& = y =  dt     y& = − ω 02 y1 =  dy dt Chia phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất, nhận 2 dy y2 y1 2 y1 = −ω0 ⇒ y dy = − ω y1 dy1 ⇒ + ω0 = C 2 y2 dy1 Thí dụ, với điều kiện đầu: y& = y y2(0)=0, y1(0)=A A A ⇒ C = ω02 y phương trình phương 2 trình ellip: y y H 2-6 2+ = 2A ω0 ω0 2.2 THÍ DỤ KHẢO SÁT MỘT SỐ HTĐKTĐ PHI TUYẾN BẰNG PHƯƠNG PHÁP MẶT PHẲNG PHA 2.2.1 HT với khâu rơ le hai vị trí Thí dụ 2.2 Khảo sát HTĐKTĐ phi tuyến H.2-7 phương pháp mặt phẳng pha u =0 e x B -B y s H.2-7 - Bước 1: Xác định phương trình HT:  = ⇒ s  = u − y   y x e ⇒ s2 y = x =  B  ⇒ = − B dt d y e >0 ( y 0 e0 từ điểm đầu tùy ý cho trước mặt A y1 phẳng pha Chẳng hạn Ky +Ty a dt  dt dt  dy  T dt + ( K +1) y < a  Sử dụng mặt phẳng pha mặt phẳng có trục hồnh y1=y trục tung y2=dy1/dt, sau chia thành ba miền điểm khác hai đường thẳng θ 1: =T y + ( K +1) y1= a ; θ 2: =T y + ( K +1) y1= −a θ2 θ1 y2 III y Lúc (2.16) có dạng  B ( I ) dy  T + y = − B ( III ) dt  ( II )  I II A H.2-17 dy B − y dy1 = ; = y2; Trong miền I: dt T dt ⇒ y1 = −Ty − TB ln y2 − B +C1; dy1 Ty ⇒ = dy B − y Trong miền II: dy − y dt = T ⇒ y1 ; dy1 dy1 = y2; ⇒ = −T dy dt = −Ty + C Trong miền III: dy B + y =− ; dt T dy1 = y2; dt dy1 Ty ⇒ =− dy B + y ⇒ y1 = −Ty + TB ln y2 + B +C ... H . 2- 2 Thí dụ dạng quỹ đạo pha pha hội tụ tới điểm đặc biệt điểm cân bền (H . 2- 2) Ở nửa trục hoành quỹ đạo hướng sang phải, nửa quỹ đạo hướng sang trái y2 y2 y1 y2 y2 y2 y1 y1 y1 y2 y1 y1 H . 2- 3... nhận 2 dy y2 y1 2 y1 = −ω0 ⇒ y dy = − ω y1 dy1 ⇒ + ω0 = C 2 y2 dy1 Thí dụ, với điều kiện đầu: y& = y y2(0)=0, y1(0)=A A A ⇒ C = ω 02 y phương trình phương 2 trình ellip: y y H 2- 6 2+ = 2A ω0 ω0 2. 2... có d y 1=−1 dt T Ky1+Ty2=0 Ky1+Ty20 y1 miền phía có y2 T + C 1t + C = − H . 2- 10 2y d = T (2. 9) dt dy1 t + = = − y2 C1 dt T 2  −t   TC1   + C