Bài giảng Lý thuyết điều khiển tự động 2: Chương 7 do Đỗ Quang Thông biên soạn nhằm mục đích phục vụ cho việc giảng dạy. Nội dung bài giảng gồm: tính ổn định của các hệ thống điều khiển tự động gián đoạn, đánh giá sai số của hệ thống điều khiển tự động gián đoạn trong chế độ xác lập,...
Chương PHÂN TÍCH CÁC HTĐKTĐ GIÁN ĐOẠN 7.1 TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA CÁC HTĐKTĐ GIÁN ĐOẠN 7.1.1 Điều kiện cần đủ để HTĐKTĐGĐ ổn định xét mặt phẳng s mặt phẳng z Điều kiện ổn định HTĐKTĐGĐ kín: nghiệm tự (nghiệm riêng) phương trình (đa thức) đặc trưng, hay trình độ tắt dần theo thời gian n y td (i ) = i ∑ Ak z k k =1 i=0, 1, 2, 3, , (7.1) s kT = zk e nghiệm phương trình (đa thức) đặc trưng HTĐKTĐGĐ kín ( n −1) n (7.2) ( ) = + + + d n = D z d z d1z Do i z k = e s k iT , nên suy rằng: - sk nằm nửa trái mặt phẳng phức s i z k tắt dần theo thời gian i→∞ - tất nghiệm sk nằm nửa trái mặt phẳng phức s HT ổn định Thay s=α±jω vào biểu thức z, nhận số phức z = e(α ± j ω ) T Với giá trị tần số ω, số phức z biểu diễn mặt phẳng phức z véc tơ có gốc nằm gốc toạ độ, có toạ độ tương ứng với phần thực phần ảo jIm j1 |z|=1 ω=π/T0 ω=0; ω=2π/T0 Re Khi α=0, tức z = e j ω T |z|=1 Vì vậy, trục ảo mặt phẳng phức s tương ứng với đường tròn có tâm gốc toạ độ, bán kính đơn vị mặt phẳng phức z Khi tần số ω thay đổi khoảng [0, 2π/T0] véc tơ z quay vòng đường tròn Thay s=-α±jω (với α>0) vào biểu thức z, nhận z = e −α T ± j ωT = e −α T e ± j ω T < Vì vậy, nửa trái mặt phẳng phức s tương ứng với phía đường tròn có tâm gốc toạ độ, bán kính đơn vị mặt phẳng phức z Thay s=α±jω (với α>0) vào biểu thức z, nhận z = eα T ± j ωT = eα T e ± j ω T > Vì vậy, nửa phải mặt phẳng phức s tương ứng với phía ngồi đường tròn có tâm gốc toạ độ, bán kính đơn vị mặt phẳng phức z Do đó, điều kiện cần đủ để HTĐKTĐGĐ ổn định phương trình đặc trưng D(z)=0 có tất nghiệm nằm phía đường tròn bán kính đơn vị, tâm gốc toạ độ mặt phẳng phức z Điều kiện để HTĐKTĐGĐ nằm biên giới ổn định phương trình đặc trưng có nghiệm nằm đường tròn bán kính đơn vị, tâm gốc tọa độ khơng có nghiệm nằm ngồi đường tròn HT cần có nghiệm nằm ngồi đường tròn bán kính đơn vị khơng ổn định 7.1.2 Các tiêu chuẩn ổn định 7.1.2.1 Tiêu chuẩn ổn định Hurwitz phát biểu cho HTĐKTĐGĐ Phép biến đổi w thực ánh xạ phía đường tròn có tâm gốc toạ độ, bán kính đơn vị (|z|0, điều kiện cần đủ để HTĐKTĐGĐ kín ổn định tất định thức Hurwitz dương (∆k>0, k=1÷n) a0 w a1 a 0 M 0 a a a M a a a M L L L O 0 0 0 a n HT nằm biên giới ổn định khi: 1) a0>0 ∆n=0 định thức ∆1÷∆n-2>0 Điều xẩy a0>0, ∆1÷∆n-1>0 an=0; a0>0, ∆1÷∆n-2>0, an>0 ∆n-1=0 ; 2) a0=0; a1÷an>0 Thí dụ 7.1 Xác định điều kiện để HTĐKTĐ thí dụ 6.8 ổn định, nằm biên giới ổn định? x(t) e(t) e(iT0) T0 GN W(s) y(t) k W (s ) = s So sánh hệ số α kT e0 = α e0 (1− kT 0) + kT e1 = α e1 (1− kT 0) + kT e2 = ⇒ e0 = ⇒ e1 = kT kT −1 ⇒ e2 = 2 k T0 Chuỗi sai số có dạng kT −1 2 ( ) = [ + ( ) ] + i i − , e x1T x2 T0 2 x2 T kT k T0 kT −1 x x = + [(i −0,5 ) T + ] k k k Như vậy, i→∞, sai số tiến tới vô 7.2.2 Đánh giá sai số ngẫu nhiên HTĐKTĐGĐ chế độ xác lập Khi HTĐKTĐGĐ chịu tác động trình ngẫu nhiên lượng sai số trình ngẫu nhiên Sai số ngẫu nhiên E(i) phân tích thành kỳ vọng tốn học thành phần ngẫu nhiên trung tâm E (i ) = M [ E (i )] + E (i ) Thành phần kỳ vọng toán học xác định sai số tiền định Thành phần ngẫu nhiên trung tâm đánh giá theo phương sai D e (i )=M { [ E (i )] } Phương sai sai số xác định sau N D e = DeX + ∑ DeV j j =1 Phương pháp xác định phương sai sai số lượng vào nhiễu loạn gây giống nhau, vậy, ta nghiên cứu phương sai lượng vào gây Hàm tương quan sai số xác định sau (7.7) R (k ) = M [ E (i ) E (i + k )] 0 ex Mật độ phổ sai số xác định sau ∞ S ex ( z ) = ∑ k = −∞ −k ( ) k Rex z (7.8) Mặt khác, hàm tương quan sai số biến đổi ngược Fourier mật độ phổ R ex (k ) = T0 2π k T = τ jΩ / ∫ j ω k T d ω, ( ) S ex ω e − jΩ / z = e s T = e j ω T ⇒ dz = Vì R ex (k ) = j T 0e 2π j jωT0 ∫ −1 dz z dω ⇒ dω = jT , k −1 ( ) S ex z z dz z =1 Phương sai sai số giá trị hàm tương quan τ =0 D ex = R ex (0 ) = 2π j ∫ z =1 −1 ( ) S ex z z dz (7.9) Rx(k) k Hàm tương quan trình ngẫu nhiên Rx(k) Dx k Hàm tương quan trình tạp trắng Xác định phương sai sai số lượng vào gây biết lượng vào cấu trúc HT x(i) Tại thời điểm i ta có ∞ 0 E (i ) = ∑ X [(i − r1)] g ex (r1) e(i) Wh(z) y(i) H.7-12 r1= −∞ Tại thời điểm (i+k) ta có E [(i + k )] = ∞ ∑ X [(i + k − r 2)] g ex (r 2) r = −∞ Hàm tương quan sai số xác định theo (7.7) Rex (k ) = M [ E (i ) E (i + k )] ∞ = ∞ 0 ∑ ∑ M [ X (i − r1) X (i + k − r 2)] g ex (r1) g ex (r 2) r1= −∞ r = −∞ Biến đổi biểu thức 0 M [ X (i − r1) X (i + k − r 2)] 0 = M [ X (i − r1) X (i − r1 + k + r1 − r 2)] = R x (k + r1 − r 2) Như ∞ Rex (k )= ∞ ∑ ∑ R x (k r1= −∞ r = −∞ + r1 − r 2) g ex (r1) g ex (r 2) Mật độ phổ sai số xác định theo (7.8) ∞ S ex ( z ) = ∑ R ex (k ) z − k k = −∞ ∞ = ∞ ∞ ∑ ∑ ∑ k = −∞ r1= −∞ r −∞ −k ( + − ) ( ) ( ) g g R x k r1 r ex r1 ex r z ∞ = ∞ ∞ ∑ g ex (r1) z r ∑ g ex (r 2) z − r ∑ R x (k r1= −∞ r = −∞ k = −∞ Theo (6.42) ta có ∞ −1 r ( ) = ( g ∑ ex r1 z W ex z ) r1= −∞ ∞ ∑ g ex (r 2) z − r = W ex ( z r = −∞ ) + r1 − r 2) z −( k + r1− r ) Theo (7.8) ta có ∞ ∑ k = −∞ − ( k + r1− r ) ( + − ) = S x (z ) R x k r1 r z Vì −1 ( ) = ( S ex z W ex z )W ex ( z ) S x ( z ) (7.10) Biểu diễn Sx(z) dạng −1 ( ) = ( ) ( Sx z Fx z Fx z ) Fx(z)-HST lọc tạo hình dừng, biến đổi tạp trắng với mật độ phổ thành tín hiệu ngẫu nhiên dừng có mật độ phổ Sx(z) Cuối cùng, (7.10) có dạng −1) −1) ( ) = ( ) ( ) ( ( S ex z W ex z F x z W ex z F x z Phương sai sai số (7.9) xác định sau −1 −1 −1 = ( ) ( ) ( ) ( W ex z F x z W ex z F x z ) z dz D ex ∫ π j z =1 2dw +w z = − ⇒ dz = w (1− w) j∞ W ex ( w ) F x ( w ) W ex (− w ) F x (− w ) ⇒ D ex = dw π j − ∫j∞ 1− w 1+ w D ex = 2π j j∞ ∫ F (w ) F (− w ) dw, − j∞ W ex ( w ) F x ( w F (w ) = 1− w ) ; W ex (− w ) F x (− w F (− w ) = 1+ w Cuối cùng, biểu thức phương sai có dạng Dex = 2I [ F ( w )], I [ F (w )] -tích phân Parseval, xác định HTĐKTĐ liên tục ) Thí dụ 7.9 HTĐKTĐGĐ có sơ đồ H.7-15, V(i) −1 y(i) x(i) e(i) kT z Wh(z) W h (z ) = −1 1− z RV (i ) = N V δ (i SV = N V ) Hình 7-15 W h (z ) W eV ( z ) = − + W h (z W eV −1 z kT =− −1 ) + ( − ) kT z 1− w kT 1+ w (w ) = − 1− w + ( − ) kT 1+ w S V = N V ⇒ F V (w )= kT (1− w ) =− ( − kT ) w + kT NV W eV ( w ) F V ( w ⇒ F (w ) = 1− w ) kT Nv =− (2 − kT 0) w + kT ⇒ D eV = I [− n =1 kT N V ] (2 − kT 0) w + kT ; α = − kT N V ; β = kT ; β = − kT ⇒ D eV = 2 α0 β β1 = kT N V − kT ... giới ổn định khi: 1) a0>0 ∆n=0 định thức ∆1÷∆n-2>0 Điều xẩy a0>0, ∆1÷∆n-1>0 an=0; a0>0, ∆1÷∆n-2>0, an>0 ∆n-1=0 ; 2) a0=0; a1÷an>0 Thí dụ 7. 1 Xác định điều kiện để HTĐKTĐ thí dụ 6.8 ổn định, nằm... chuẩn Hurwitz, nhận điều kiện để HT ổn định a = (2 − k T 0) > ⇒ k T < 2; ⇒ k T < a1 = k T > HT nằm biên giới ổn định a0=0 Vì vậy, kT0=2 Thí dụ 7. 2 Tìm điều kiện để gián đoạn H . 7- 2 ổn định; k ổn... 2 2 2 + + − T 4k T 0T 4k T T 16kT ; Điều kiện để HT ổn định |z| T 2 Điều kiện để HT nằm biên giới ổn định z1 =-1 |z2|≤1, z2 =-1 |z1|≤1 k = ; T 0T T > T