Bài giảng Lý thuyết xác suất thống kê toán - Chương 1: Biến cố - Các công thức tính xác suất

Bài giảng Lý thuyết xác suất thống kê toán - Chương 1: Biến cố - Các công thức tính xác suất cung cấp cho các bạn những kiến thức về phép thử và các loại biến cố; xác suất; mối quan hệ giữa các biến cố; các công thức tính xác suất. Mời các bạn tham khảo bài giảng để hiểu rõ hơn về những nội dung này.

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT CHƯƠNG Biến cố – Các công thức tính xác suất Phép thử biến cố 1.1 Khái niệm Phép thử ngẫu nhiên Không gian mẫu Ω Biến cố Biến cố A xảy Biến cố chắn Ω Biến cố ∅ Ví dụ “Tung xúc sắc xem mặt xuất hiện" chấm: ω1, chấm: ω2, , chấm: ω6 Không gian mẫu Ω = {ω1, ω2,…, ω6} A = {ω1, ω6} biến cố 1.2 Các phép toán biến cố Biến cố tập hợp Dựa theo phép toán quan hệ tập hợp ta có phép toán biến cố 1.2.1 Biến cố kéo theo, biến cố tương đương A ⊂ B: A kéo theo B, ký hiệu A ⇒ B A = B: A B tương đương, ký hiệu A = B 1.2.2 Biến cố tổng A+B (A∩B) xảy A hay B xaûy n A1 + A2 + + An ( ∑ A i hay i =1 n ∪ Ai ) xảy có i =1 biến cố Ai xảy Nếu A1 + A2 + + An = Ω A1, A2, , An gọi họ biến cố đầy đủ Kết phép thử phải xảy biến cố họ đầy đủ 1.2.3 Biến cố hiệu A–B (A\B) xảy biến cố A xảy biến cố B không xảy A = Ω–A gọi biến cố đối lập A Một biến cố không xảy biến cố đối lập với xảy 1.2.4 Biến cố tích A.B (A∪B) xảy A B đồng thời xảy n A1.A2 An ( ∏ A i hay i =1 n ∩ Ai ) xảy biến i =1 cố Ai xảy đồng thời Nếu A.B = ∅ ta nói hai biến cố A B xung khắc Một biến cố xảy biến cố xung khắc với không xảy A1, A2, , An họ biến cố xung khắc đôi hai biến cố họ xung khắc Ghi Trong hai biến cố đối lập phải xảy Hai biến cố xung khắc không xảy Phải xảy biến cố họ đầy đủ xung khắc đôi A A họ biến cố đầy đủ xung khắc đôi Ví dụ Xét phép thử tung xúc sắc {ω1} {ω2} hai biến cố xung khắc {ω1, ω3, ω3} {ω2, ω4, ω6} hai biến cố đối lập {ω1}, {ω2}, , {ω6} họ đầy đủ xung khắc đôi Ví dụ (1) Trong lớp có sinh viên giỏi Toán, giỏi Anh văn Gặp ngẫu nhiên sinh viên lớp Gọi A biến cố "sinh viên giỏi Toán", B biến cố "sinh viên giỏi Anh văn" A+B biến cố "gặp sinh viên giỏi Toán hay giỏi Anh văn" (giỏi môn) A.B biến cố "gặp sinh viên giỏi Toán giỏi Anh văn" (giỏi hai môn) A+B biến cố "gặp sinh viên giỏi Toán hay giỏi Anh văn" (không giỏi môn cả) A B biến cố "gặp sinh viên không giỏi Toán không giỏi Anh văn" (không giỏi môn cả) A.B biến cố "gặp sinh viên giỏi Toán giỏi Anh văn" (không giỏi hai môn) A + B biến cố "gặp sinh viên không giỏi Toán hay không giỏi Anh văn" (không giỏi hai môn) A B , A B, A B + A B ? Ví dụ (1) Hộp I có bi trắng 10 bi đen, hộp II có bi trắng bi đen Lấy bi từ hộp Tính xác suất bi trắng Gọi A "lấy bi trắng từ hộp I", B "lấy bi trắng từ hộp II" biến cố độc lập Xác suất cần tính P(A.B) Theo công thức nhân: P(A.B) = P(A).P(B) = × ≈ 11% 12 12 (2) Một xạ thủ bắn phát vào bia Xác suất bắn trúng phát I 90%, xác suất bắn trúng phát 80% Tính xác suất phát II bắn trúng biết phát I bắn trúng (3) Một người muốn mua hàng cách đấu giá Xác suất mua hàng I (II) 90% (85%) Nếu biết mua hàng I xác suất mua hàng II 92% Tính xác suất người mua hàng I biết người mua hàng II (4) Biết 80% sinh viên đạt điểm giỏi làm đầy đủ tập nhà Lớp có 16% sinh viên làm đầy đủ tập nhà Vậy việc làm đầy đủ tập nhà làm tăng khả đạt điểm giỏi lên lần? Gặp ngẫu nhiên sinh viên, gọi G "sinh viên đạt điểm giỏi", B "sinh viên làm đầy đủ tập nhà" Tỷ lệ cần tính P(G/B)/P(G) Ta coù: P(B/G) = 80% P(B) = 16% P(G/B) P(B/G) = = 80%/16% = P(G) P(B) Việc làm đầy đủ tập nhà làm tăng khả đạt điểm giỏi lên lần (5) Một người tìm việc làm cách nộp đơn xin việc công ty Xác suất nhận vào làm việc 90%, 88%, 85% Tính xác suất người xin việc làm (6) Một câu hỏi trắc nghiệm có câu trả lời có câu Một thí sinh làm câu hỏi trắc nghiệm chọn câu trả lời cách ngẫu nhiên Tính xác suất thí sinh câu Gọi A biến cố "thí sinh chọn câu trả lời" p = p(A) = 1/4 vaø P( A ) = – p Sau thí sinh trả lời xong câu hỏi trắc nghiệm biến cố xảy có dạng B1.B2.B3.B4.B5 Bi A A Do thí sinh chọn ngẫu nhiên nên việc trả lời câu trắc nghiệm độc lập, tức họ biến cố B1, B2, B3, B4, B5 độc lập toàn phần Vậy: P(B1.B2.B3.B4.B5) = P(B1).P(B2).P(B3).P(B4).P(B5) Để chọn câu, vị trí Bi phải có vị trí A vị trí lại A Vậy xác suất biến cố dạng B1.B2.B3.B4.B5 là: P(B1.B2.B3.B4.B5) = p2(1 – p)3 Các biến cố ta quan tâm có dạng "chọn vị trí để ghi A, vị trí lại ghi A " nên có C52 biến cố dạng Ngoài chúng xung khắc đôi có khác vị trí A xảy đồng thời Theo công thức cộng, xác suất cần tính là: p2 = C52 p2(1 – p)3 ≈ 26% Mô hình thường gặp toán xác suất Tổng quát hoá, ta có: Công thức Nhị thức (Bernoulli) Sau phép thử biến cố A xảy với xác suất p Lập lại phép thử n lần độc lập Gọi X số lần xảy biến cố A P(X=k) = Ckn pk (1 − p)n − k 4.3 Công thức Xác Suất Đầy Đủ A1, A2, , An họ biến cố đầy đủ xung khắc đôi, B biến cố P(B) = n ∑ P(B/Ai ).P(Ai ) i =1 Công thức họ A1, A2, , An xung khắc đôi B ⊂ A1+A2+ +An Ví dụ (1) Một lớp có 50 nam 70 nữ Tỷ lệ nam biết luật bóng đá 90%, nữ 60% Gặp ngẫu nhiên sinh viên lớp Tính xác suất sinh viên biết luật bóng đá Gọi B "gặp sinh viên biết luật bóng đá", A1 "gặp sinh viên nam", A2 "gặp sinh viên nữ" A1, A2 họ đầy đủ xung khắc đôi Xác xuất cần tính P(B) Ta có: 50 70 P(A1)= P(A2)= P(B/A1)=90% P(B/A2)=60% 120 120 Theo công thức Xác Suất Đầy Đủ: P(B) = P(B/A1).P(A1) + P(B/A2).P(A2) ≈ 73% (2) Nhà máy gồm phân xưởng sản xuất loại sản phẩm Phân xưởng I sản xuất 20% sản phẩm với tỷ lệ phế phẩm 0,1%, phân xưởng II sản phẩm 30% với tỷ lệ phế phẩm 0,5%, nhà máy III sản xuất 50% với tỷ lệ phế phẩm 0,6% Lấy ngẫu nhiên sản phẩm nhà máy, tính xác suất gặp phế phẩm 4.4 Công thức Bayes A1, A2, , An họ biến cố đầy đủ xung khắc đôi, B biến cố P(B/Ai ).P(Ai ) P(Ai/B) = P(B) Ví dụ (1) Một hộp gồm bi trắng bi đen Lấy viên bi không hoàn lại Tính xác suất lần I lấy bi trắng biết lần II lấy bi trắng Gọi B "lần II lấy bi trắng", A1 "lần I lấy bi trắng", A2 "lần I lấy bi đen" A1, A2 họ đầy đủ xung khắc đôi Xác suất cần tính P(A1/B) Ta coù: 4 P(A2) = P(B/A1) = P(B/A2) = P(A1) = 6 5 Theo coâng thức Bayes: P(B) = P(B/A1).P(A1) + P(B/A2).P(A2) = P(A1/B) = P(B /A1 ).P(A1 ) = 60% P(B) (2) Số sản phẩm phân xưởng I sản xuất chiếm 25% tổng số sản phẩm với tỷ lệ phế phẩm 1%, phân xưởng II sản xuất 25% với tỷ lệ phế phẩm 5%, nhà máy III sản xuất 50% với tỷ lệ phế phẩm 10% Lấy ngẫu nhiên sản phẩm thấy phẩm Tính xác suất sản phẩm sản xuất từ nhà máy III (3) Trên bàn có 10 viết có viết đỏ Lấy ngẫu nhiên viết bỏ vào cặp Trong cặp có viết đỏ viết xanh Lấy ngẫu nhiên viết từ cặp Tính xác suất viết viết lấy từ bàn học biết viết đỏ (4) (Theo New York Times ngày 5/9/1987) Tỷ lệ nhiễm loại bệnh cộng đồng 1/10.000 Người ta dùng loại xét nghiệm để tìm bệnh nhân Xét nghiệm cho kết dương tính mẩu thử nhiễm bệnh cho kết dương tính với mẫu thử không nhiễm bệnh với tỷ lệ 1/20.000 Một người xét nghiệm thấy kết dương tính Tính xác suất người thực bị nhiễm bệnh Ghi Lưu ý phân biệt P(A/B) P(B/A) Hai giá trị khác xa giá trị P(A) P(B) có chênh lệch đáng kể ... Nguyên lý xác suất lớn: biến cố có xác suất lớn (từ 5% trở lên) chắn xảy thực tế Nguyên lý hợp lý tối đa: toán có (các) tham số chưa biết (các) tham số phải có giá trị cho xác suất (các) biến cố. .. ngẫu nhiên sinh viên Tính xác suất sinh viên đạt hai môn 4.2 Công thức nhân 4.2.1 Xác suất có điều kiện Xác suất biến cố A biết biến cố B xảy gọi xác suất có điều kiện biến cố A biết B, ký hiệu... {ω1, ω2,…, ω6} A = {ω1, ω6} biến cố 1.2 Các phép toán biến cố Biến cố tập hợp Dựa theo phép toán quan hệ tập hợp ta có phép toán biến cố 1.2.1 Biến cố kéo theo, biến cố tương đương A ⊂ B: A kéo