Bài giảng lý thuyết xác suất và thống kê toán

khi đó, hiện tượng có xảy ra hay không trong phép thử được gọi là biến cố ngẫu nhiên Ví dụ 1.. Việc gieo một con xúc xắc và quan sắt số chấm xuất hiện ở mặt trên của con xúc xắc là thực

BÀI GIẢNG

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN

Giảng viên

ThS Lê Trường Giang

BỘ MÔN TOÁN – THỐNG KÊ

BÀI GIẢNG XÁC SUẤT THỐNG KÊ

Cán bộ giảng dạy:

Ths Lê Trường Giang

Chương 1 BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT

toán học hoá các trò trơi đánh

bạc này, nâng lên thành những

bài toán phức tạp hơn và trao

đổi với nhà toán học Fermat

Những cuộc trao đổi đó đã nảy

sinh ra Lý thuyết Xác suất – Lý

thuyết toán học về các hiện

tượng ngẫu nhiên

Gottfried Wilhelm Leibniz

MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ CÔNG THỨC XÁC SUẤT

Bài 1 Phép thử, không gian mẫu và biến cố

Bài 2 Định nghĩa xác suất của biến cố

Bài 3 Công thức tính xác suất

2 Không gian mẫu và biến cố

3 Phép toán và quan hệ giữa các biến cố

1 Phép thử ngẫu nhiên

Phép thử ngẫu nhiên là việc thực hiện một thí nghiệm

hay quan sát một hiện tượng nào đó để xem có xảy ra

hay không (khi đó, hiện tượng có xảy ra hay không

trong phép thử được gọi là biến cố ngẫu nhiên)

Ví dụ 1 Việc gieo một con xúc xắc và quan sắt số chấm

xuất hiện ở mặt trên của con xúc xắc là thực hiện một phép thử ngẫu nhiên

trong tập hợp các kết quả xuất hiện

+ Một kết quả trong phép thử này được gọi là kết quả sơ cấp + Tập hợp tất cả các kết quả sơ cấp được gọi là không gian mẫu

Ta kí hiệu một kết quả sơ cấp là  và không gian mẫu là 

Ví dụ 2 Gieo một con xúc xắc và quan sát số chấm xuất

hiện ở mặt trên của con xúc xắc Khi đó, không gian mẫu

là  1,2,3,4,5,6

2 Không gian mẫu và biến cố

Một biến cố (sự kiện) A trong  là một tập hợp gồm một số

kết quả sơ cấp thuộc 

Biến cố A là một tập con của không gian mẫu 

A   và A xảy ra nếu và chỉ nếu kết quả sơ cấp  A.

Tập hợp rỗng  gọi là biến cố rỗng

Bản thân  được gọi là biến cố chắc chắn

Sự kiện   chỉ chứa một kết quả sơ cấp  được gọi là biến cố sơ cấp

Biến cố mặt trên của con xúc xắc xuất hiện số chấm nhỏ hơn 7 là 

Biến cố mặt trên của con xúc xắc xuất hiện số chấm bằng 7 là 

Biến cố mặt trên của con xúc xắc xuất hiện số chấm nhỏ hơn 4 là biến cố ngẫu nhiên

3 Phép toán và quan hệ giữa các biến cố

a Tổng của hai biến cố

=

C A B 

=

C A B

Tổng của hai biến cố A và B là một biến cố

kí hiệu xảy ra khi và chỉ khi ít nhất một trong hai

biến cố A hoặc B xảy ra

Ví dụ 4A Kiểm tra hai lô hàng,

gọi A1 là sự kiện lô hàng thứ nhất có sản phẩm bị lỗi

A2 là sự kiện lô hàng thứ hai có sản phẩm bị lỗi

A A A 1  2 là sự kiện có sản phẩm bị lỗi trong hai lô hàng

Tích của hai biến cố A và B là một biến cố C A B  

kí hiệu là C A B  xảy ra khi và chỉ khi cả hai biến cố

A và B cùng đồng thời xảy ra

Ví dụ 4B Kiểm tra hai lô hàng,

gọi A1 là sự kiện lô hàng thứ nhất có sản phẩm bị lỗi

A2 là sự kiện lô hàng thứ hai có sản phẩm bị lỗi

A A A 1. 2 là sự kiện trong hai lô hàng đều có sản phẩm lỗi

c Quan hệ kéo theo

3 Phép toán và quan hệ giữa các biến cố

Biến cố A được gọi là biến cố thuận lợi cho biến cố B khi và chỉ khi

nếu A xảy ra thì B xảy ra, kí hiệu là A B

Ví dụ 5 Gieo một con xúc xắc,

gọi A là sự kiện xuất hiện mặt có số chấm nhỏ hơn 4

Gọi B i là sự kiện xuất hiện mặt có số chấm là i i,  1,6.

Khi đó ta có B1  A B, 2  A B, 3  A

Hai sự kiện A và B được gọi là bằng nhau (tương đương nhau)

Ví dụ 6 Gieo hai con xúc xắc,

A là sự kiện tổng số chấm xuất hiện là số lẻ

B là sự kiện một con xúc xắc xuất hiện là số lẻ

và một con xuất hiện số chấm là số chẳn

Ta có A B

e Quan hệ xung khắc

3 Phép toán và quan hệ giữa các biến cố

Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc

nếu hai biến cố A và B không cùng xảy ra

Kí hiệu A B  

Ví dụ 7 Gieo một con xúc xắc,

gọi A là sự kiện xuất hiện mặt có số chấm nhỏ hơn 3

B là sự kiện xuất hiện mặt có số chấm lớn hơn 4

Khi đó hai sự kiện A và B là xung khắc

gọi A là sự kiện xuất hiện mặt có số chấm nhỏ hơn 3

A là sự kiện xuất hiện mặt có số chấm lớn hơn 2

3 Phép toán và quan hệ giữa các biến cố

g Biến cố độc lập

Hai sự kiện A và B được gọi là độc lập nhau nếu sự kiện A xảy ra hay không sẽ không ảnh hưởng đến sự xảy ra hay không của sự kiện B và ngược lại

2 Định nghĩa xác suất theo quan điểm thống kê

3 Định nghĩa xác suất theo quan điểm hình học

4 Định nghĩa xác suất theo quan điểm tiên đề

1 Định nghĩa xác suất theo quan điểm cổ điển

Xét một khơng gian các biến cố sơ cấp cĩ n

biến cố sơ cấp đồng khả năng và giả sử cĩ m

biến cố sơ cấp thuận lợi cho một biến cố ngẫu

nhiên A Khi đĩ, xác suất của của A kí hiệu P(A)

  số cácsự sơ cấp kiện thuận lợi cho số cácsự kiệnsơ cấpcủa A [ ] [ ] A m

Tính chất của xác suất

a) 0  P A  1

b) P  1, P   0 c) P A   1 P A 

d) Nếu A B thì P A   P B 

Ví dụ 1 Gieo một con xúc xắc cân đối đồng chất Quan sát số chấm ở mặt trên của con xúc xắc

a Tính xác suất số chấm là số chẵn?

b Tính xác suất số chấm bé hơn 4?

c Tính xác suất số chấm là 6?

1 Định nghĩa xác suất theo quan điểm cổ điển

Ví dụ 2 Trong 1 bình kín có 5 cầu trắng, 3 cầu đen giống nhau về hình dạng, kích thước Lấy ngẫu nhiên 2 quả

Tính xác suất để:

a.Lấy được 2 cầu trắng

b.Lấy được 2 cầu đen

c.Lấy được một cầu trắng và một cầu đen

Ví dụ 3 (BTN) Chọn ngẫu nhiên 5 sản phẩm từ một lô

hàng chứa 12 sản phẩm, trong đó có 4 phế phẩm và 8 chính phẩm Tính xác suất để trong 5 sản phẩm lấy

a Có 2 chính phẩm

b Có ít nhất 1 phế phẩm

c Có cả chính phẩm và phế phẩm ít nhất là 2

1 Định nghĩa xác suất theo quan điểm cổ điển

Ví dụ 4 (BTN) Trong một hộp kín chứa các quả cầu

cùng hình dạng và kích thức Trong đó có 5 quả màu màu xanh, 4 quả màu đỏ, 3 quả màu trắng? Chọn ngẫu nhiên cùng lúc 3 quả cầu Tính các xác suất sau

a Cả 3 quả cầu cùng một màu

b Đúng hai quả cầu cùng màu

c Ít nhất hai quả cầu cùng màu

d Cả 3 quả khác màu nhau

Định nghĩa Giả sử một phép thử được thực hiện lập lại n lần

trong trong cùng một điều kiện xác định và đếm được n A lần

xuất hiện một sự kiện A Khi đó, tần suất (tỉ lệ) n A

3 Định nghĩa xác suất theo quan điểm hình học

Không gian mẫu có thể được biểu diễn bởi

một miền hình học    có độ đo là mes( ) 

Mỗi sự kiện ngẫu nhiên được biểu diễn bởi

một miền hình học   A có độ đo là mes A( )

Xác suất P(A) của sự kiện A được xác định bởi

P A  mes A( )( )

mes





Cho không gian mẫu  và  - đại số các sự kiện của 

Một hàm P:     0,1  được gọi là một “độ đo xác suất”

hay nói gọn là xác suất nếu thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

1 Công thức cộng xác suất

2 Công thức xác suất có điều kiện

3 Công thức nhân xác suất và tính độc lập của các sự kiện

4 Công thức xác suất đầy đủ và Bayes

5 Công thức Bernoulli

Khi đó đẳng thức sau luôn đúng

ĐS: 0,86

Ví dụ 3 (BTN) Một lớp học có 80 sinh viên, trong đó có 50 sinh viên

giỏi Tin học, 30 sinh viên giỏi Anh văn, 10 sinh viên giỏi cả

Tin học và Anh văn Chọn ngẫu nhiên một sinh viên trong lớp đó

Tính xác suất chọn được sinh viên giỏi ít nhất một trong hai môn

Tin học và Anh văn?

Ví dụ 4 (BTN) Một cửa hàng cần bán 50 sản phẩm, trong đó

có 15 sản phẩm không đạt trọng lượng, 10 sản phẩm không đạt chất lượng và 5 sản phẩm không đạt cả chất lượng và trọng lượng Khách hàng vào chọn mua ngẫu nhiên 1 sản phẩm

a Tính xác suất chọn phải sản phẩm không đạt ít nhất một trong hai chuẩn trên?

b Tính xác suất chọn được sản phẩm không vi phạm cả hai tiêu chuẩn?

c Tính xác suất chọn sản phẩm đạt chất lượng nhưng không đạt trọng lượng?

d Tính xác suất chọn sản phẩm không đạt chất lượng nhưng đạt trọng lượng?

e Tính xác suất chọn phải sản phẩm chỉ vi phạm 1 tiêu chuẩn?

1 Công thức cộng xác suất

sự kiện B đã xảy ra thì sẽ ảnh hưởng đến sự xảy ra của sự kiện A

Xác suất của sự kiện A khi biết sự kiện B đã xảy ra trước đó gọi là

xác suất có điều kiện và kí hiệu là P(A/B)

Công thức tính xác suất có điều kiện như sau

P A B /   P A B .

P B



P AB     P A P B A / 

P AB     P B P A B / 

Hai sự kiện A và B độc lập nếu và chỉ nếu P AB      P A P B

Với A, B, C là ba sự kiện trong một không gian xác suất

P ABC   P A P B A P C AB   /   / 

3 Công thức nhân xác suất và tính độc lập của các sự kiện

Ví dụ 5 Một hộp kín chứa 8 quả cầu màu đỏ và 5 quả màu trắng Lấy ngẫu nhiên hai lần, mỗi lần một quả cầu, không hoàn lại Tính xác suất lấy được

a Cả hai quả cầu màu đỏ?

b Hai quả cầu khác màu?

c Quả cầu thứ hai màu trắng?

ĐS: 14/39; 20/39; 5/13

Ví dụ 6 (BTN) Đề bài tương tự ví dụ 6, nhưng chọn 2 lần

và có hoàn lại

Ví dụ 7 Hai xạ thủ cùng bắn vào một tấm bia một cách độc lập, mỗi người bắn một phát Xác suất để

xạ thủ thứ nhất và thứ hai bắn trúng bia lần lượt là 0,7 và 0,8 Tính xác suất để

a Cả hai xạ thủ bắn trúng bia

b Chỉ có xạ thủ thứ nhất bắn trúng bia

ĐS: 0,56; 0,14

3 Công thức nhân xác suất và tính độc lập của các sự kiện

Ví dụ 8 (BTN) Để dập tắt nạn dịch sâu bệnh hại

lúa, đội bảo vệ thực vật đã tiến hành phun thuốc 3 lần liên tiếp trong 1 tuần Xác suất sâu bị chết sau lần phun thứ nhất là 0,5 Nếu sống sót ở lần phun thứ nhất thì khả năng sâu bị chết ở lần phun thứ hai là 0,7 Nếu sống sót ở lần phun thứ hai thì khả năng sâu bị chết ở lần phun thứ 3 là 0,9 Tính xác suất sâu bị chết sau đợt phun thuốc

Cho A 1 , A 2 , ,A n là họ đầy đủ các biến cố

Khi đó, với một biến cố B trong không gian mẫu  ta có

Ví dụ 9 Có ba lô hàng, tỉ lệ phế phẩm ở từng lô hàng

tương ứng là 7%, 5%, 3% Chọn ngẫu nhiên một lô hàng rồi từ đó lấy ngẫu nhiên một sản phẩm Tính xác suất chọn được phế phẩm?

ĐS: 0,05

4 Công thức xác suất đầy đủ và Bayes

4.1 Công thức xác suất đầy đủ

Giả sử A1, A2, ,An là nhóm biến cố đầy đủ,

A là biến cố đã xảy ra cùng với một trong các biến cố Ai

               

  1 1

Thomas Bayes (1702 – 1761)

Ví dụ 11 Một kho hàng chứa cùng một loại sản phẩm do

ba nhà máy sản xuất, biết số sản phẩm của nhà máy I chiếm 2/3 số sản phẩm của kho hàng, số sản phẩm của nhà máy II chiếm 1/4 số sản phẩm của kho hàng, số sản phẩm còn lại của nhà máy III Tỷ lệ sản phẩm tốt của mỗi nhà máy lần lượt là 80%, 60% và 40% Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm từ kho hàng

a Tính xác suất để sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt?

b Giả sử sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt, tính xác suất

để sản phẩm đó do nhà máy II sản xuất?

ĐS: 0,72; 9/43

Ví dụ 12 Trong số 10 xạ thủ có 5 người bắn trúng bia với xác suất 0,9 (nhóm thứ nhất); có 3 người bắn trúng bia với xác suất 0,8 (nhóm thứ hai) và có 2 người bắn trúng bia với xác suất 0,7 (nhóm thứ ba) Chọn ngẫu nhiên một

xạ thủ và cho anh ta bắn một viên đạn nhưng kết quả không trúng bia Tính xác suất để xạ thủ đó thuộc nhóm thứ hai

ĐS: 0,17; 6/17

4 Công thức xác suất đầy đủ và Bayes

4.2 Công thức Bayes

Ví dụ 13 (BTN) Có hai hộp thuốc Hộp thứ nhất

đựng 8 lọ thuốc, trong đó có 3 lọ kém chất lượng; hộp thứ hai đựng 6 lọ thuốc, trong đó có 2 lọ kém chất lượng

a Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra một lọ Tính xác suất để được 1 lọ tốt 1 lọ kém chất lượng?

b Lấy ngẫu nhiên một hộp rồi từ hộp đó lấy ra một

lọ thì được lọ kém chất lượng Tính xác suất để lọ kém chất lượng đó thuộc hộp 2?

5 Công thức Bernoulli

Xét loại phép thử chỉ có hai kết quả là “thành công” kí hiệu T

hoặc “thất bại” kí hiệu T Nếu xác suất thành công P T   q thì xác suất thất bại sẽ là P T    1 q

Phép thử loại trên được gọi là phép thử Bernuolli, kí hiệu là B(q) Lập lại phép thử B(q) n lần độc lập nhau, xác suất để có k lần

thành công 0 k n  , kí hiệu P k q n  , được cho bởi công thức  , k k  1 n k .

P k q C q q 

Ví dụ 15.(BTN) Tỷ lệ sản xuất phế phẩm của một máy là

5%, Kiểm tra một lô hàng gồm 100 sản phẩm

a Tính xác suất có 6 phế phẩm trong lô hàng?

b Tính xác suất có không ít hơn 3 phế phẩm?

Ví dụ 16 Người ta muốn lấy ngẫu nhiên một số hạt từ một

lô hạt giống có tỉ lệ hạt lép là 3% để nghiên cứu Hỏi phải lấy ít nhất bao nhiêu hạt sao cho xác suất để có ít nhất một hạt lép không bé hơn 95% ?

ĐS: 99