Bài giảng môn học LOGIC mờ và ứng dụng

Bài giảng môn học LOGIC MỜ VÀ ỨNG DỤNG PGS.TS Nguyễn Văn Định, Khoa CNTT, Học Viện NN Việt Nam Mở đầu Trong sống, người truyền thông tin cho chủ yếu ngôn ngữ tự nhiên Mặc dù ngôn ngữ tự nhiên thường đa nghĩa, không xác, không đầy đủ, phương tiện truyền thông tin mạnh mẽ thông dụng người với Vượt qua tất hạn chế ngôn ngữ tự nhiên (thiếu xác, không rõ ràng – vaguenees), người thường hiểu hiểu sai điều mà người khác muốn nói với Đây điều mà máy móc nói chung máy tính nói riêng thực cách hoàn hảo Tham vọng nhà toán học, logic học công nghệ thông tin muốn xây dựng cho máy móc khả suy diễn xử lý thông tin, tức có khả hoạt động óc người để chúng nhận mệnh lệnh người thông qua ngôn ngữ tự nhiên thực thi nhiệm vụ Như vậy, vấn đề đặt làm để máy tính hiểu xử lý tri thức diễn đạt ngôn ngữ tự nhiên Để đạt điều này, trước hết người ta cần phải xây dựng lý thuyết logic toán cho phép mô tả xác ý nghĩa mệnh đề không rõ ràng, đa nghĩa Logic toán học cổ điển nghiên cứu phép suy luận với mệnh đề có giá trị chân lý (đúng/sai) rõ ràng Chẳng hạn ta có mệnh đề logic cổ điển:  p: ‘hôm trời mưa’ , giá trị chân lý p ‘T’(đúng) hay ‘F’ (sai) xác định  q: ‘hôm Trung nghỉ học’,sẽ có giá trị chân lý T F  r: ‘tuổi Trung 22’ Với mệnh đề trên, logic cổ điển áp dụng quy tắc suy diễn, chẳng hạn quy tắc modus ponens : ‘’nếu p  q p q đúng’’ có luật ‘trời mưa SV nghỉ học’ có p : ‘hôm trời mưa’ suy q : ‘hôm Trung nghỉ học’ Tuy nhiên thực tế, có nhiều mệnh đề chứa thông tin không rõ ràng, không xác, chẳng hạn ta thường gặp mệnh đề :  p’ : ‘A người lập trình giỏi’  q’ : ‘lương A cao’  r’ : ‘A có cảm tình với B’ Những mệnh đề chứa thông tin không xác không đầy đủ (gọi thông tin mờ), chẳng hạn: lập trình giỏi, có giá trị chân lý p’, hay lương A cao bao nhiêu, A cảm tình với B đến mức ? Tất mệnh đề có giá trị chân lý (đúng/sai) rõ ràng (gọi mệnh đề ‘mờ’) Chúng ta Bài giảng Chuyên đề Logic mờ ứng dụng – nvdinh@vnua.edu.vn áp dụng quy tắc modus ponens logic cổ điển với mệnh đề ‘mờ’ đây, để suy ‘A có lương cao’ đúng, có luật : ‘người lập trình giỏi có lương cao’ Để máy tính hiểu tri thức diễn đạt ngôn ngữ tự nhiên chứa đựng nhũng thông tin ‘mờ’, người ta cần phải xây dựng lý thuyết logic mới, cho phép mô tả xác ý nghĩa mệnh đề có chứa thông tin không rõ ràng, đa nghĩa Vào năm 1965, Giáo sư Lotfi Zadeh - trưởng khoa điện tử thuộc trường đại học California, nhà toán học logic học người Hà Lan, xây dựng thành công lý thuyết tập mờ hệ thống logic mờ Phát minh Zadeh cho phép người lượng hóa giá trị mệnh đề mờ, nhờ truyền đạt số thông tin cho máy móc qua ngôn ngữ tự nhiên, chúng “hiểu” xác nội dung thông tin Đây bước tiến có tính đột phá việc phiên dịch hay lượng hóa mệnh đề ngôn ngữ tự nhiên, có chứa thông tin không xác không đầy đủ, (các thông tin “mờ”) sang ngôn ngữ hình thức, ngôn ngữ lập trình Bài giảng Chuyên đề Logic mờ ứng dụng – nvdinh@vnua.edu.vn Chương I LÝ THUYẾT TẬP MỜ 1.1 BỔ TÚC CÁC KIẾN THỨC VỀ TẬP HỢP Để nghiên cứu tập hợp mờ (FUZZY SET) logic mờ (FUZZY LOGIC) trước hết ta nhắc lại kiến thức lý thuyết tập hợp cổ điển (CRISP SET), ánh xạ quan hệ tập hợp Đây kiến thức tảng toán học, hầu hết kiến thức sinh viên ngành Tin học học tập năm đầu bậc đại hoc, nhiên, sinh viên cần ôn lại chắn nắm vững kiến thức trước bắt đầu môn học Logic mờ ứng dụng 1.1.1 Mô tả tập hợp  Một tập hợp mô tả nhóm đối tượng lặp lại Mỗi đối tượng tập hợp gọi phần tử tập hợp Các chữ in hoa (có thể kèm theo số): A, B, C, hay A1, A2, A3… thường dùng để đặt tên cho tập hợp Các chữ in thường (có thể kèm theo số): a, b, c, hay a1, a2, a3… thường dùng để phần tử tập hợp  Nếu số phần tử tập hợp hữu hạn không lớn ta đặc tả tập hợp cách liệt kê tất phần tử hai dấu ngoặc {…}, phần tử tập hợp viết cách dấu phảy “ , “ không quan tâm đến thứ tự phần tử tập hợp Nếu phần tử x thuộc tập hợp A, ta viết x  A (đọc: x thuộc A), trái lại, ta viết x  A (đọc x không thuộc A)  Hai tập hợp hai tập hợp có chứa phần tử Chẳng hạn: Tâp hợp A = {1, 2, 3, 4, 5} tập hợp B, với B = {2, 1, 4, 3, 5}, ta viết A = B Thí dụ 1.1 Gọi D tập hợp ngày tuần, ta cho D cách liệt kê phần tử nó: D = {Mon, Tues, Wed, Thurs, Fri, Sat, Sun} Ta có Mon  D, Fri  D, September  D Ngoài ra, tập hợp: {Sat, Tues, Wed, Mon,Thurs, Fri, Sun} tập hợp D Nếu tập hợp chứa số lớn phần tử, vô hạn phần tử, người ta không liệt kê tất phần tử tập hợp, mà dùng cách đặc tả tập hợp theo số tính chất đặc trưng phần tử Bài giảng Chuyên đề Logic mờ ứng dụng – nvdinh@vnua.edu.vn Thí dụ 1.2 Có thể cho số tập hợp sau : a/ D = {x | x ngày tuần }, D tập ngày tuần lễ, b/ C = {z | z = a + ib, với a, b  R, i2 = -1}, C tập hợp số phức, c/ X = {x | x > 5}, X tập số thực có giá trị lớn  Ta nói tập hợp A tập hợp tập hợp B ký hiệu A  B, phần tử A phần tử B Ta nói tập hợp A tập hợp thực tập hợp B ký hiệu A  B, A tập hợp B, B có phần tử không thuộc A Nếu A có dù phần tử mà phần tử B A tập hợp tập hợp B Nếu A  B ta nói A bị chứa B, hay B chứa A Nếu A  B ta nói A bị chứa thực B, hay B thực chứa A  Hai tập hợp A B gọi A  B B  A, viết A = B Phương pháp chứng minh hai tập hợp Để chứng minh tập nhau, A = B, ta chứng minh hai bao hàm thức A  B B  A Để chứng minh A  B ta cần rằng: với phần tử x  A có x  B, với bao hàm thức ngược lại B  A chứng minh tương tự (xem thí dụ 1.5)  Một trường hợp đặc biệt tập hợp “tập hợp rỗng”, tập hợp không chứa phần tử nào, ký hiệu Ø, hay { } Tập hợp rỗng xem tập tập hợp  Tập hợp tất tập hợp tập hợp A (kể tập A tập rỗng) gọi tập hợp lũy thừa A, ký hiệu 2A, tập hợp ký hiệu P(A)  Lực lượng tập hợp A số phần tử A Ký hiệu lượng tập hợp A | A | Rõ ràng ta có | 2A| = | A | Thí dụ 1.3 Một số kết so sánh tập hợp : a/ {1, 2, 3, 4} {2, 1, 4, 5, 3} b/ {1, 2, 3, 4, 5}={5, 1, 2, 3, 4} c/ Cho A = {1, 2, 3}thì tập hợp lũy thừa A 2A = {Ø , {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}} Ta có | 2A| = | A | = 23 = phần tử Trong chuyên đề này, từ sau, ngắn gọn, ta dùng từ “tập” để thay cho “tập hợp” 1.1.2 Các phép toán tập hợp Các tập hợp xét ỏ xem tập tập vũ trụ X Các phép toán xác định tập hợp là: a Phần bù tập hợp A X, ký hiệu A , tập phần tử X mà không thuộc A Bài giảng Chuyên đề Logic mờ ứng dụng – nvdinh@vnua.edu.vn A = {x  X | x  A } b Hợp A B, ký hiệu A  B, tập phần tử thuộc hai tập A , B A  B = {x | x  A x  B} c Giao A B, ký hiệu A  B, tập hợp phần tử đồng thời thuộc A B A  B = {x | x  A x  B} d Hiệu A B, ký hiệu A \ B (hoặc A – B), tập phần tử thuộc A mà không thuộc B A \ B = {x | x  A x  B} Một số tính chất phép toán tập hợp: Cho A, B, C tập tập vũ trụ X, chứng minh tính chất sau:  Một số tính chất phần bù (phủ định): A A ; X =Ø; Ø =X  Giao hoán: AB=BA AB=BA  Kết hợp: (A  B)  C = A  (B  C) (A  B)  C = A  (B  C)  Phân bố: A  (B  C) = (A  B)  (A  C) A  (B  C) = (A  B)  (A  C)  Đối ngẫu (công thức Demorgan): A B  A B A B  A B  (1) (2) Lực lượng hai tập hợp: | A | + | B | = |A  B| + |A  B| 1.1.3 Tich Decac tập hợp Tích Decac (Descartes Product) hai tập A B phép ghép hai tập để tập hợp mới, ký hiệu A  B: A  B = {(a, b) | a  A, b  B} Dễ thấy lực lượng tích Decac A  B là: | A  B | = | A | | B | Có thể mở rộng tích Decac cho nhiều tập hợp: A1  A2  …  An = {(a1, a2 , …, an) |  Ai , i = 1, 2, n} Có thể dùng ký hiệu lũy thừa để tích Decac tập hợp: Bài giảng Chuyên đề Logic mờ ứng dụng – nvdinh@vnua.edu.vn Ak = A  A   A (k lần) Thí dụ 1.4: Cho R tập số thực, biểu diễn điểm đường thẳng, đó: R2 = {(x, y) | x  R, y  R}biểu diễn điểm mặt phẳng, R3 = {(x, y, z) | x  R, y  R, z  R}biểu diễn điểm không gian, Thí dụ 1.5: Chứng minh công thức Demorgan thứ nhất: A  B  A  B Ta cần chứng minh hai bao hàm thức : A  B  A  B A  B  A  B  Chứng minh A  B  A  B (a) : Giả sử x phần tử mà x  A  B , x A  B, suy x  A x B, x  A  B Bao hàm thức (a) chứng minh  Với bao hàm thức A  B  A  B (b) ta chứng minh tương tự Từ (a) (b) suy A  B  A  B Các bạn sinh viên tự chứng minh công thức Demorgan thứ hai tập 1.1.4 Quan hệ tập hợp Trong nhiều vấn đề, ta cần xem xét đến mối quan hệ phần tử tập hợp Trường hợp đơn giản xem xét quan hệ hai phần tử tập hợp Những cặp phần tử tạo nên tập tích Decac X  X, gọi quan hệ hai tập hợp X Ta có định nghĩa hình thức cho quan hệ R tập X sau: Định nghĩa 1.1 Một quan hệ hai R (hay đơn giản quan hệ R) tập hữu hạn phần tử X, tập tích Decac X  X, ký hiệu R(X) Nếu hai phần tử a, b  X có quan hệ với theo quan hệ R ta viết aRb hay (a, b)  R(X) Chúng ta quan tâm đến tính chất sau quan hệ hai R tập X:  Phản xạ: Quan hệ R có tính phản xạ nếu: aRa,  a  X  Đối xứng: Quan hệ R có tính đối xứng nếu: aRb  bRa  Bắc cầu: Quan hệ R có tính bắc cầu nếu: (aRb bRc)  aRc Mỗi quan hệ có số tất ba tính chất Một quan hệ gọi quan hệ phản xạ, quan hệ đối xứng quan hệ bắc cầu có tính chất tương ứng Thí dụ 1.6 Xét tập X = {1, 2, 3, 4} Ta xác định quan hệ : a/ Ta xác định mối quan hệ L phần tử X sau: với a, b  X, ta nói a có quan hệ L với b, a nhỏ b Vậy quan hệ L X xác định tập hợp: Bài giảng Chuyên đề Logic mờ ứng dụng – nvdinh@vnua.edu.vn L(X) = {(1,2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4) } b/ Ta xác định mối quan hệ D phần tử X sau: với a, b  X, ta nói a có quan hệ D với b, a chia hết cho b Vậy quan hệ D X xác định tập: D(X) = {(2, 1), (3, 1), (4, 1), (4, 2), (1, 1), (2, 2), (3, 3) (4, 4)} Dễ thấy L quan hệ bắc cầu X, đối xứng phản xạ, D quan hệ phản xạ bắc cầu X, D quan hệ đối xứng Người ta quan tâm đến loại quan hệ đặc biệt, quan hệ tương đương Định nghĩa 1.2 Một quan hệ hai R X gọi quan hệ tương đương R quan hệ phản xạ, đối xứng bắc cầu; tức là: với phần tử a, b, c  X R thỏa tính chất:  aRa,  a  X (Tính phản xạ)  aRb  bRa (Tính đối xứng)  (aRb bRc)  aRc (Tính bắc cầu) Nếu R quan hệ tương đương X cặp phần tử thuộc R(X) gọi tương đương với (theo quan hệ R) Thí dụ 1.7 Xét tập m số tự nhiên: M = {1, 2, … m}, với cặp số a b thuộc M, ta nói a đồng dư với b modulo k, a mod k = b mod k, ( < k < m), ký hiệu là: a~b (mod k) Dễ thấy a~b (mod k) a – b bội số k Có thể thấy quan hệ a~b (mod k) thỏa mãn ba tính chất phản xạ, đối xứng bắc cầu, quan hệ tương đương Chẳng hạn, với m = 5, k = Ta có M = {1, 2, 3, 4, 5}, Xét quan hệ R M quan hệ a~b(mod 2) Khi số a, b thỏa quan hệ R cặp số chia cho có số dư R(M) = {(1, 3), (1, 5), (2, 4), (3, 5), (3, 1), (5, 1), (4, 2), (5, 3), (1, 1) (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5)} Rõ ràng R thỏa tính chất phản xạ, đối xứng bắc cầu, R quan hệ tương đương  Phân hoạch tập hợp: Một quan hệ tương đương xác định cách chia tập X thành tập rời gọi phân hoạch tập X Cụ thể, ta có định nghĩa sau: Định nghĩa 1.3 Phân hoạch tập hợp X tập P tập X: P = {X1 , X2 , …Xk }, Xi  X , i = 1, 2, …, k; X1X2…Xk = X , XiXj =  với i  j Một quan hệ tương đương R tập hợp X chia tập X thành lớp tương đương, cho hai phần tử thuộc lớp tương đương với (theo quan hệ R) Một phần tử a tập X phải thuộc lớp tương đương đó, chứa tất phần tử tương đương với a, ký hiệu lớp C(a,R) Như lớp tương đương tập rời X, phủ kín tập X Do đó, quan hệ tương đương R tập hợp xác định phân hoạch tập hợp đó, ngược lại, phân hoạch tập hợp tương ứng với quan hệ tương đương tập hợp Bài giảng Chuyên đề Logic mờ ứng dụng – nvdinh@vnua.edu.vn Trở lại thí dụ 1.6, chẳng hạn, với m = 5, k = 2, ta có M = {1, 2, 3, 4, 5}, ta gọi R quan hệ tương đương a~b (mod 2) M, R chia tập M thành hai lớp tương đương tập phần tử chia cho có số dư : C(1, R) = {1, 3, 5} C(2, R) = {2, 4} Rõ ràng C(1, R)  C(2, R) = M, C(1, R)  C(2, R) =  nên lớp tương đương làm thành phân hoạch tập M, chia M thành tập số lẻ tập số chẵn M  Quan hệ thứ tự: Đôi khi, ta ý đến tính chất khác quan hệ, tính phản đối xứng Quan hệ R có tính phản đối xứng nếu: (aRb bRa) (a = b) Ta có định nghĩa: Định nghĩa 1.4 Quan hệ R tập X gọi quan hệ thứ tự có ba tính chất: phản xạ, phản xứng bắc cầu đối Thí dụ 1.8 Trên tập X = {1, 2, 3, 4}xét quan hệ R: với cặp số a b thuộc X, ta nói aRb a ≤ b Ta có R(X) = {(1,2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4), (1, 1) (2, 2), (3, 3), (4, 4)} Dễ thấy R quan hệ thứ tự tập X  Bao đóng quan hệ Cho quan hệ R tập hợp X, giả sử P tập tính chất quan hệ (chẳng hạn tính chất phản xạ, đối xứng hay bắc cầu…) Định nghĩa 1.5 Bao đóng P (P-closure) quan hệ R tập X, quan hệ nhỏ chứa tất cặp R, cặp suy dẫn từ tính chất P Ta xét hai loại bao đóng sau quan hệ R  Bao đóng bắc cầu (bao đóng truyền ứng) R, ký hiệu R+ xác định sau: - Nếu (a, b)  R (a, b) thuộc R+ - Nếu (a, b)  R+ (b, c)  R (a, c)  R+  Bao đóng phản xạ bắc cầu R, ký hiệu R* xác định sau: R* = R+  {(a, a) |  a  X} Thí dụ 1.9 Cho quan hệ R = {(1, 2), (2, 2), (2, 3), (3, 4)} tập X = {1, 2, 3, 4}, Ta có: R+ = {(1, 2), (2, 2), (2, 3), (3, 4), (1, 3), (2, 4), (1, 4)} Ta có: R* = {(1, 2), (2, 2), (2, 3), (3, 4), (1, 3), (2, 4), (1, 4), (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)} 1.1.5 Ánh xạ tập hợp Giũa tập hợp có tương ứng (nhiều) phần tử (nhiều) tập hợp với phần tử (các) tập hợp khác, ta có ánh xạ tập hợp Trường hợp đơn giản nhất, ta có định nghĩa sau : Bài giảng Chuyên đề Logic mờ ứng dụng – nvdinh@vnua.edu.vn Định nghĩa 1.6 Cho hai tập hợp A B, có quy tắc f cho tương ứng phần tử x A với phần tử y  B ta nói có ánh xạ f từ A vào B, ký hiệu : f : A B  Phần tử y  B mà tương ứng với phần tử x  A gọi ảnh x qua ánh xạ f, thường ký hiệu y = f(x)  Tập tất giá trị y  B ảnh x A, gọi ảnh A qua ánh xạ f, ký hiệu xác định sau: f(A) = {y  B | có x  A để y = f(x)} Từ định nghĩa ánh xạ đây, ý ánh xạ f phải thỏa mãn hai tính chất: (i) Mọi phần tử x  A có tương ứng với phần tử y  B Tập A gọi miền xác định ánh xạ f (không thể có phần tử A tương ứng vào B) (ii) Có thể có hai phần tử khác A tương ứng với phần tử B, phần tử A tương ứng với hai phần tử khác B Nếu vi phạm tính chất phép tương ứng f ánh xạ Định nghĩa 1.7 Cho ánh xạ f từ A vào B, đó: a/ Ánh xạ f : A B gọi đơn ánh ảnh phần tử khác khác Nói cách khác: ánh xạ f gọi đơn ánh với x1, x2 A, mà x1  x2, f( x1)  f( x2) b/ Ánh xạ f : A B gọi toàn ánh f(A) = B Nói cách khác: ánh xạ f gọi toàn ánh với y B, có phần tử x A tương ứng với y, tức có x  A cho y = f( x) c/ Ánh xạ f : A B gọi song ánh f vừa đơn ánh vừa toàn ánh Chú ý: Nếu f : A B ánh xạ song ánh, tồn ánh xạ ngược từ B vào A, ký hiệu f -1: B A, ứng phần tử y B với phần tử x A mà y = f(x) Ánh xạ ngược f -1: B A song ánh ánh xạ song ánh có ánh xạ ngược Ánh xạ đơn ánh gọi ‘ánh xạ – 1’; ánh xạ toàn ánh gọi ‘ánh xạ lên’ ánh xạ song ánh gọi ánh xạ ‘1 – 1’ ‘lên’ Ánh xạ f : A B gọi hàm từ A vào B Khi tập A, B tập tập số thực R, ánh xạ gọi hàm số Thí dụ 1.10 a/ Gọi A tập sinh viên lớp, B = {0, 1, 2, …, 100}, phép tương ứng f ứng sinh viên với giá trị B điểm thi môn tiếng Anh sinh viên (thang điểm 100, Bài giảng Chuyên đề Logic mờ ứng dụng – nvdinh@vnua.edu.vn điểm lẻ) Rõ ràng f ánh xạ từ A vào B, với sinh viên có điểm (thỏa mãn tính chất (i), sinh viên có điểm (thỏa mãn tính chất (ii) ánh xạ) b/ Phép tương ứng ngược lại từ B vào A ánh xạ, với giá trị B ứng với nhiều sinh viên nhận giá trị điểm (phá vỡ tính chất (ii) ánh xạ Ngoài ra, có giá trị B sinh viên có điểm (phá vỡ tính chất (i) ánh xạ) Phép tương ứng phá vỡ hai tính chất ánh xạ c/ Nếu gọi C tập mã sinh viên lớp, tương ứng g sinhh viên với mã SV ánh xạ vừa có tính đơn ánh, vừa có tính toàn ánh, g ánh xạ song ánh từ A vào C Ta có ánh xạ ngược từ tập mã sinh viên C vào tập sinh viên A: g -1: C A Rõ ràng ánh xạ g -1 song ánh Các bạn sinh viên tìm thêm thí dụ loại ánh xạ 1.2 CÁC KHÁI NIỆM CƠ SỞ CỦA TẬP MỜ 1.2.1 Khái niệm tập hợp mờ Khái niệm ‘Tập hợp mờ’ (Fuzzy Set) mở rộng khái niệm tập hợp cổ điển, nhằm đáp ứng nhu cầu biểu diễn tri thức không xác Trong lý thuyết tập hợp cổ điển (Crisp set), quan hệ thành viên phần tử tập hợp đánh giá theo kiểu nhị phân cách rõ ràng : phần tử u vũ trụ tham chiếu U chắn thuộc tập A chắn không thuộc tập A Như vậy, để xem phần tử có là thành viên tập A hay không, ta gán cho phần tử giá trị phần tử chắn thuộc A, giá trị không thuộc tập hợp A, tức ta xây dựng hàm thành viên (hay hàm thuộc) để đánh giá phần tử có thuộc tập A hay không : 1 if u  A u  U ,  A (u )   0 if u  A Rõ ràng, hàm thuộc μA xác định tập cổ điển A tập vũ trụ U với μ A nhận giá trị tập hợp{0,1} Ngược lại, lý thuyết tập mờ cho phép đánh giá nhiều mức độ khác khả phần tử thuộc tập hợp Ta dùng hàm thành viên (hàm thuộc) để xác định mức độ mà phần tử u thuộc tập A : u  U ,   A (u )  Chẳng hạn, xét vũ trụ tham chiếu nhân viên công ty, gọi A tập ‘những người có mức lương từ triệu đến triệu đồng, A ‘tập rõ’, gồm tất người có mức lương S, mà 6000000  S  8000000 Rõ ràng có lương 5.990.000đ hay 8.010.000đ không thuộc tập A Nếu ta coi mức lương từ 6.000.000 trở lên mức ‘thu nhập cao’, người có mức lương thấp 6.000.000 vài chục ngàn đến vài trăm ngàn đồng xem thuộc tập hợp ‘những người có thu nhập cao’ Tập A tập hợp theo nghĩa cổ điển (tập rõ), tập B : ‘những người có thu nhập cao’ tập mờ, phần tử vũ trụ tham chiếu gán giá trị mức độ thuộc tập mờ này, chẳng hạn nhân viên có mức lương 6.800.000 Bài giảng Chuyên đề Logic mờ ứng dụng – nvdinh@vnua.edu.vn 10 có độ thuộc vào tập B (chắc chắn người có thu nhập cao), người có mức lương 2.000.000 coi thành viên tập với độ thuộc thấp, độ thuộc tăng dần với người có mức lương cao Những người có thu nhập 1.000.000 đ chắn thuộc tập B (mức độ thành viên tập B 0) Ta có định nghĩa hình thức cho tập mờ vũ trụ tham chiếu sau : Định nghĩa 1.8 Cho U vũ trụ tham chiếu, tập mờ A U xác định hàm thuộc μA, gán cho phần tử u U, giá trị μA(u), với ≤ μA(u) ≤1, để mức độ mà phần tử u thuộc tập mờ A Nói cách khác, tập mờ A U xác định ánh xạ : μA : U  [0, 1] Tập mờ A U xác định hàm thuộc μA : U  [0, 1] biểu diễn sau :  Với U tập rời rạc giá trị, U = {u1, u2, ,un} tập mờ A U biểu diễn: A = { μA (u )/u , μA (u )/u ,…, μA (u n )/u n | u i  U, i = 1, 2, …, n }  Với U miền không đếm được, tập mờ A U biểu diễn ký pháp: A=  U  A (u ) / u Ký pháp cách biểu diễn thứ hai không liên quan đến tích phân, có nghĩa với phần tử u miền vũ trụ U (U miền liên tục không đếm được) gán với độ thuộc u vào tập mờ A Nếu hàm μA(u) cho kết phần tử u  U phần tử tập cho, kết phần tử hoàn toàn thuộc tập cho Các giá trị khoảng mở từ đến đặc trưng cho phần tử mờ, tức mức độ thành viên phần tử tập hợp dã cho Trường hợp đặc biệt, hàm μA(u) lấy giá trị hay 1, tức μA : U  {0, 1}, tập mờ A tập cổ điển U Như vậy, tập cổ điển (tập rõ) trường hợp riêng tập mờ Thí dụ 1.11 Xét tập U gồm hộ ký hiệu u1, u2, u3, u4, u5, u6, u7 u8, hộ có số phòng tương ứng 1, 2,…,8 phòng Gọi A tập hợp gồm hộ “rộng”, B tập hợp gồm hộ “thích hợp cho người” Ta xây dựng hàm thuộc cho tập mờ A B sau: μA : μA(u3) = 0.4; μA(u4) = 0.5; μA(u5) = 0.6; μA(u6) = 0.8; μA(u7) = 0.9; μA(u8) = 1.0 μB : μB(u3) = 0.4; μB(u4) = 1.0; μB(u5) = 0.7; μB(u6) = 0.5, phần tử khác, giá trị hàm thuộc Như biểu diễn tập mờ sau: A = {0.4/u3; 0.5/u4; 0.6/u5; 0.8/u6; 0.9/u7; 1.0/u8} B = {0.4/u3; 1.0/u4; 0.7/u5; 0.5/u6} Nếu gọi C tập hộ có số phòng không rõ ràng C = {u1, u2, u3, u4}là tập cổ điển (tập rõ) U, Tuy nhiên coi C tập mờ U với hàm thuộc μC sau: Bài giảng Chuyên đề Logic mờ ứng dụng – nvdinh@vnua.edu.vn 11 μC(u1) = 1.0; μC(u2) = 1.0; μC(u3) = 1.0; μC(u4) = 1.0, μC(u5) = μC(u6 ) = μC(u7) = μC(u8) = Biểu diễn C dạng tập mờ U: C = {1.0/u1 ; 1.0/u2 ; 1.0/u3 ; 1.0/u4} Thuật ngữ “Tập mờ” dịch từ “Fuzzy set”, với mục đích phân biệt với “Tập rõ” (Crisp Set) Thực phải dùng thuật ngữ “Tập mờ” tập vũ trụ Tuy nhiên, gọn ta dùng “Tập mờ” thay cho “Tập mờ” mà không gây sai sót hiểu lầm 1.2.2 Các đặc trưng tập mờ Các đặc trưng tập mờ A U, thông tin để mô tả phần tử liên quan đến tập mờ A, đặc trưng rõ khác biệt tập mờ A, so với tập cổ điển khác U Định nghĩa 1.9 Giá đỡ tập mờ A (Support) tập phần tử có giá trị hàm thuộc lớn tập mờ A, ký hiệu xác định sau: supp(A) = {u | u  U | μA(u) > 0} Định nghĩa 1.10 Chiều cao tập mờ A (Hight) giá trị lớn mà hàm thuộc lấy tập mờ A, ký hiệu xác định sau: h(A) = sup{A (u ), u  U } Chú ý U tập rời rạc h(A) = max { A (u ), u  U } Định nghĩa 1.11 Tập mờ A gọi chuẩn hóa chiều cao h(A) = Như tập mờ A U gọi chuẩn hóa, chắn có phần tử U thật thuộc A Định nghĩa 1.12 Hạt nhân tập mờ A (Kernel) tập phần tử có giá trị hàm thuộc 1, ký hiệu xác định sau: ker(A) = {u | uU | A(u) = 1} Như vậy, tập mờ A có nhân khác rỗng A tập mờ chuẩn hóa Định nghĩa 1.13 Lực lượng tập mờ A ký hiệu xác định sau: |A|=  uU A (u ) Bài giảng Chuyên đề Logic mờ ứng dụng – nvdinh@vnua.edu.vn 12 Chú ý A tập rõ μA(u) = với u thuộc A, tổng số phần tử A, trùng với định nghĩa lực lượng tập hợp cổ điển Định nghĩa 1.14 α - nhát cắt tập mờ A (hay tập mức α A) tập phần tử có giá trị hàm thuộc lớn α, với α  [0, 1], ký hiệu định nghĩa sau: Aα = {u | uU | A(u)  } Chú ý - nhát cắt tập mờ A tập “rõ”, phần tử Aα hoàn toàn xác định Thí dụ 1.12 Xét tập mờ A thí dụ 1.11: A = {0.4/u3; 0.5/u4; 0.6/u5; 0.8/u6; 0.9/u7; 1.0/u8} Giá đỡ, hạt nhân, chiều cao, tập mức α tập mờ A xác định sau: supp(A) = {u3, u4, u5, u6, u7, u8} ker(A) = u8 h(A) = 1.0 A tập mờ chuẩn hóa, có h(A) = Nhát cắt mức  = 0.5 tập mờ A: A0.5 = {u4, u5, u6, u7, u8}; A0.9 = {u7, u8} 1.2.3 Số mờ tập mờ lồi Khi U tập số thực R (hoặc tập tập R), biểu diễn giá trị số chiều cao, khoảng cách, trọng lượng, tuổi tác, mức lương, nhiệt độ tập mờ U biểu diễn giá trị ‘mờ’ gần, xa, cao, thấp, nặng, nhẹ, trẻ, già Các tập mờ R có hàm thuộc hàm lồi gọi tập mờ lồi, đặc trưng cho ‘đại lương mờ’ tập số thực 1.2.3.1 Tập mờ lồi số mờ Định nghĩa 1.15  Một tập mờ A tập số thực R tập mờ lồi với cặp phần tử a, b R với số thực   [0, 1], hàm thuộc A thỏa mãn: μA(a + (1 - )b)  {μA(a), μA(b)}  Tập mờ A tập số thực gọi số mờ, A tập mờ lồi chuẩn hóa Trong chuyên đề này, chủ yếu nghiên cứu tập mờ vũ trụ tham chiếu tập số thực R Trong hầu hết trường hợp, vũ trụ tham chiếu tập số thực R, ta đồng khái niệm ‘tập mờ’ ‘số mờ’ Thí dụ 1.13 Xét tập H nhà ‘gần bãi biển’tại địa phương, thông thường ta hiểu cách bãi biển 50m gần, hay cách bãi biển đến 200m gần, 200m tính chất ‘gần bãi biển’ dần đi, từ 500m trở lên không coi gần bãi biển Có thể biểu diễn tri thức tập mờ, gọi A tập khoảng cách đến bãi biển nhà ‘gần bãi biển’ A tập mờ R, với hàm thuộc là: Bài giảng Chuyên đề Logic mờ ứng dụng – nvdinh@vnua.edu.vn 13 if  u  200 1  500  u  u  R,  A (u )   , if 200  u  500  300 if u  500 0 Đồ thị số mờ A thí dụ 1.13 sau: μA Khoảng cách (m) 200 500 Hình 1.1 Hàm thuộc μA hàm lồi, tập mờ A xác định μA tập mờ lồi, A tập mờ chuẩn hóa, A gọi số mờ 1.2.3.2 Các kiểu hàm thuộc tập mờ Kiểu tập mờ phụ thuộc vào kiểu hàm thuộc khác Đã có nhiều kiểu hàm thuộc khác đề xuất Dưới số hàm thuộc tiêu biểu Tập mờ tam giác Các tập mờ xác định hàm thuộc với tham số cận a, cận b giá trị m (ứng với đỉnh tam giác), với a < m < b Hàm thuộc gọi hàm thuộc ab tam giác, gọi đối xứng nếu giá trị b – m giá trị m – a, hay m = if u  a, or u  b 0 u  a  , if a  u  m m  a  A (u )    b  u , if m  u  b b  m h if u  m , vói h   Đồ thị hàm thuộc tam giác (không đối xứng đối xứng) có dạng: µ A(u) µ A(u) h h a m b u a m Hình 1.2 Các tập mờ tam giác Bài giảng Chuyên đề Logic mờ ứng dụng – nvdinh@vnua.edu.vn b u 14 Tập mờ hình thang Hàm thuộc tập mờ gọi hàm thuộc hình thang, xác định giá trị a, b, c, d theo công thức sau: if u  a, or u  d 0 u  a  , if a  u  b b  a  A (u )    d  u , if c  u  d d  c h if b  u  c , vói h   Đồ thị hàm thuộc hình thang có dạng sau: µ A(u) h a b c d Hình 1.3 Tập mờ hình thang u Tập mờ L Hàm thuộc tập mờ gọi hàm thuộc L, xác định sau: if u  a, vói h  h b  u   A (u )   , if a  u  b b  a if u  b 0 Đồ thị hàm thuộc L có dạng sau: μA h a b u Hình 1.4 Tập mờ L Hàm thuộc thí dụ 1.13 có dạng hàm thuộc L, với a = 100, b = 500 Tập mờ Gamma tuyến tính (hay L trái) Hàm thuộc tập mờ gọi hàm thuộc Gamma tuyến tinh (hay hàm thuộc ‘L- trái’, có dạng ngược với hàm thuộc L), xác định hai tham số a b theo công thức sau: Bài giảng Chuyên đề Logic mờ ứng dụng – nvdinh@vnua.edu.vn 15 if u  a, 0 u  b   A (u )   , if a  u  b b  a if u  b , vói h  h Đồ thị hàm thuộc gama tuyến tính có dạng sau: μA h a b u Hình 1.5 Tập mờ Gamma tuyến tính Hàm thuộc Singleton Đây hàm thuộc cho tập A có phần tử u = m, có giá trị tất điểm tập vũ trụ, ngoại trừ điểm m hàm có giá trị Hàm thuộc Singleton A ký hiệu xác định sau: 1 if u  m SGA (u )   0 if u  m Đồ thị hàm Singleton: SGA(u) m Hình 1.6 Tập mờ Singleton u Trong hầu hết trường hợp ứng dụng lý thuyết tập mờ vũ trụ tham chiếu tập số thực R kiểu hàm thuộc thường gặp dạng trên, hàm lồi tuyến tính Trong trường hợp tổng quát, ta có hàm thuộc hàm lồi tổng quát, tuyến tính phi tuyến, vấn đề lý thuyết tập mờ trình bày với hàm lồi tổng quát Chẳng hạn, u số thực, ta vẽ đồ thị hàm thuộc μA với đặc trưng tập mờ A: giá đỡ, hạt nhân, α-nhát cắt hình sau: Bài giảng Chuyên đề Logic mờ ứng dụng – nvdinh@vnua.edu.vn 16 µ A(u) 1.0  u ker (A) A supp(A) Hình 1.7 Giá đỡ, hạt nhân α - nhát cắt tập mờ A 1.3 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP MỜ Tương tự lý thuyết tập hợp, tập mờ định nghĩa khái niệm nhau, bao hàm số phép toán như: phép hợp, phép giao, tích Descartes, tập mờ, mở rộng phép toán tương ứng lý thuyết tập hợp cổ điển 1.3.1 So sánh tập mờ Để so sánh tập mờ A, B vũ trụ tham chiếu U, ta xem xét hàm thuộc Định nghĩa 1.16 Cho A B hai tập mờ vũ trụ tham chiếu U với hai hàm thuộc tương ứng A B, ta có:  Hai tập mờ A B gọi nhau: ký hiệu A = B,  u  U A(u) = B(u)  Tập mờ A chứa tập mờ B: ký hiệu A  B,  u  U A(u)  B (u) Từ định nghĩa 1.3, ta thấy hai tập mờ nhau, phần tử tập thuộc tập (với độ thuộc) ngược lại Điều hoàn toàn tương tự khái niệm hai tập hợp cổ điển Ngoài ra, tập mờ A tập tập mờ B phần tử thuộc A thuộc B (với độ thuộc không thấp độ thuộc phần tử A), điều tương tự tập hợp cổ điển 1.3.2 Các phép toán tập mờ Bài giảng Chuyên đề Logic mờ ứng dụng – nvdinh@vnua.edu.vn 17 Cũng với tập hợp cổ điển, ta có phép toán hợp, giao, lấy phần bù tích Decac tập mờ Các phép toán định nghĩa thông qua hàm thuộc tập mờ 1.3.2.1 Phép hợp phép giao tập mờ Định nghĩa 1.17 Hợp hai tập mờ A B U, ký hiệu A  B, tập mờ U với hàm thuộc ký hiệu AB(u) xác định sau:  u U, AB(u) = max{A(u), B (u)} Đồ thị hàm thuộc hợp mờ A, B tập mờ A  B cho hình sau: Hình 1.8 Hợp hai tập mờ A B Định nghĩa 1.18 Giao hai tập mờ A B U, ký hiệu A  B, tập mờ U với hàm thuộc ký hiệu A  B(u) xác định sau:  u U, AB(u) = min{A(u), B (u)} Đồ thị hàm thuộc hợp mờ A, B tập mờ A  B cho hình sau: Hình 1.9 Giao hai tập mờ A B Một số tính chất phép hợp phép giao tập mờ: Bài giảng Chuyên đề Logic mờ ứng dụng – nvdinh@vnua.edu.vn 18 Giao hai tập mờ lồi tập mờ lồi, hợp hai tập mờ lồi chưa tập mờ lồi Các tính chất giao hoán, kết hợp phân bố phép hợp phép giao lý thuyết tập hợp cổ điển phép hợp, phép giao tập mờ Tức A, B, C tập mờ vũ trụ tham chiếu U, ta có công thức sau:  Giao hoán: AB=BA AB=BA  Kết hợp: (A  B)  C = A  (B  C) (A  B)  C = A  (B  C)  Phân bố: A  (B  C) = (A  B)  (A  C) A  (B  C) = (A  B)  (A  C) Nói chung, công thức tập hợp cổ điển liên quan đến phép hợp phép giao, tập mờ, chẳng hạn: AB  A  AB, AU = A, AU = U, … 1.3.2.2 Phần bù tập mờ Trong tập hợp cổ điển, phần bù tập hợp chứa phần tử không thuộc tập (trên tập vũ trụ tham chiếu) Đối với tập mờ A U, phần bù A, ký hiệu A , chứa phần tử với độ thuộc cao độ thuộc phần tử vào A nhỏ Nói cách khác, phần tử có khả thuộc vào tập mờ A có nhiều khả thuộc vào phần bù A , A tập mờ U, định nghĩa sau: Định nghĩa 1.19 Phần bù tập mờ A, ký hiệu A tập mờ U với hàm thuộc ký hiệu  A (u) xác định sau:  u U,  A (u) = 1- A(u) Đồ thị hàm thuộc tâp mờ A tập mờ A sau: Hình 1.10 Phần bù tập mờ A Một số tính chất phép lấy phần bù tập mờ: Bài giảng Chuyên đề Logic mờ ứng dụng – nvdinh@vnua.edu.vn 19 Đối với tập cổ điển tập vũ trụ U, ta có A  A =  A  A = U , tập mờ hai tính chất nói chung không đúng, tức A phần bù tập mờ A U thì:  A  A  ,  A  A  U Đây điểm khác quan trọng tập cổ điển tập mờ Các tính chất khác phần bù tập cổ điển cho tập mờ, tức A, B tập mờ U ta có :  Một số tính chất phần bù (phủ định): A  A; U = Ø ; Ø = U  Các công thức đối ngẫu (công thức De Morgan): A B  A B (1) A B  A B (2) Thí dụ 1.14 Trở lại tập mờ A, B thí dụ 1.11: A tập hợp hộ “rộng” A = {0.4/u3; 0.5/u4; 0.6/u5; 0.8/u6; 0.9/u7; 1.0/u8} B tập hợp hộ “thích hợp cho người” B = {0.4/u3; 1.0/u4; 0.7/u5; 0.5/u6} Khi ta có: A  B = {Các hộ thích hợp cho người “hoặc” rộng} = {0.4/u3; 1.0/u4; 0.7/u5; 0.8/u6; 0.9/u7; 1.0/u8} A  B = {Các hộ thích hợp cho người “và” rộng} = {0.4/u3; 0.5/u4; 0.6/u5; 0.5/u6} A = {Các hộ không rộng} = {0.6/u3; 0.5/u4; 0.4/u5;0.2/u6; 0.1/u7} A  A = {0.4/u3 ; 0.5/u4 ; 0.4/u5 ; 0.2/u6 ; 0.1/u7}   1.3.2.3 Tích Descartes tập mờ Trước hết ta định nghĩa tích Decac tập mờ A B vũ trụ tham chiếu tương ứng U V, giả sử U V độc lập với Định nghĩa 1.20 Cho A B hai tập mờ có hàm thuộc μA μB vũ trụ tham chiếu tương ứng U V, tích Descartes A B tập mờ ký hiệu A B vũ trụ tham chiếu U V, với hàm thuộc μA B xác định sau: (u,v)  UV, μAB (u,v) = min{μA(u), μB( v)} Tương tự lý thuyết tập hợp cổ điển, ta mở rộng định nghĩa tích Decac cho k tập mờ vũ trụ tham chiếu độc lập: Bài giảng Chuyên đề Logic mờ ứng dụng – nvdinh@vnua.edu.vn 20 Định nghĩa 1.21 Tích Descartes k tập mờ A1, A2, Ak vũ trụ tham chiếu U1,U2, ,Uk tập mờ ký hiệu A1 A2  Ak vũ trụ tham chiếu U1 U2  Uk , với hàm thuộc μA1 A2  Ak xác định sau:  u=(u1, u2, uk,)  U1 U2  Uk , μA1 A2  Ak (u) = min{μA1(u1), μA2( u2), , μAk( uk)} Dựa định nghĩa tích Descartes tập mờ, nghiên cứu quan hệ mờ phần sau Bài tập chương 1 Cho A, B, C tập cổ điển tập vũ trụ X, chứng minh tính chất sau: a/ A  A ; X = Ø ; Ø = X b/ A  B = B  A ; A  B = B  A c/ (AB)  C = A  (BC) ; (AB)  C = A  (BC) d/ A  (BC) = (AB)  (AC) ; A  (BC) = (AB)  (AC) e/ A  B  A  B ; A  B  A  B f/ | A | + | B | = |A  B| + |A  B| Cho A, B tập cổ điển tập vũ trụ X Có thể dùng hàm thuộc để biểu diễn tập A, B sau: 1 if u  A 1 if u  B x  X ,  B ( x)   x  X ,  A ( x)   0 if u  A 0 if u  B Hãy xây dựng hàm thuộc để biểu diễn tập AB ; AB A Cho A, B, C tập cổ điển tập vũ trụ X Hãy dùng hàm thuộc để chứng minh công thức sau, cách với công thức hàm thuộc tập hợp vế trái hàm thuộc tập hợp vế phải a/ A(BC) = (AB)  (AC) ; A  (BC) = (AB)  (AC) b/ A  B  A  B ; A  B  A  B Với tri thức cho thí dụ 1.13: a/ Hãy xây dựng vẽ đồ thị hàm thuộc tập mờ B khoảng cách đến bãi biển nhà ‘không gần bãi biển’ Hàm thuộc có phải hàm lồi không? b/ Hãy xây dựng vẽ đồ thị hàm thuộc tập mờ C khoảng cách đến bãi biển nhà cách biển khoảng 300 đến 400 m, chấp nhận sai số đến 50 m c/ Xác định tập mờ khoảng cách nhà không gần bãi biển, cách bãi biển khoảng 300-400m Cho A tập mờ tập vũ trụ U, chứng minh với , ‘  [0, 1], ’  A  A‘ , với A A‘ nhát cắt mức  ‘ tập mờ A Bài giảng Chuyên đề Logic mờ ứng dụng – nvdinh@vnua.edu.vn 21 Cho A, B tập mờ tập vũ trụ U, chứng minh với mức  [0, 1], nhát cắt mức  tập mờ A, B, AB, AB thỏa mãn tính chất sau: a/ (AB) = A B b/ (AB) = A B c/ A  B A  B Xét tập U gồm ứng cử viên vào chức vụ quản đốc phân xưởng, U = {u1,u2,u3,u4,u5 }, họ lựa chọn theo hai tiêu chuẩn: A – trình độ nghiệp vụ (mức độ lành nghề), B - kinh nghiệm nghề nghiệp Tập thể có ý kiến đánh giá mức độ phù hợp ứng viên với tiêu chuẩn A B sau: U Tiêu chuẩn A Tiêu chuẩn B u1 phù hợp tương đối phù hợp u2 hoàn toàn phù hợp phù hợp u3 phù hợp hoàn toàn phù hợp u4 phù hợp không phù hợp u5 tương đối phù hợp phù hợp Các mức độ phù hợp xếp loại sau: - hoàn toàn phù hợp: mức độ phù hợp 1; - phù hợp: mức độ phù hợp0.8; - phù hợp: mức độ phù hợp 0.6; - tương đối phù hợp: mức độ phù hợp 0.4; - phù hợp: mức độ phù hợp 0.2 - không phù hợp: mức độ phù hợp: 0; Gọi A B tập mờ người thỏa tiêu chuẩn A B tương ứng Viết biểu diễn tập a/ Tìm tập mờ U ứng viên thỏa hai tiêu chuẩn b/ Thỏa hai tiêu chuẩn c/ Không thỏa tiêu chuẩn A d/ Tìm nhát cắt mức  tập mờ ứng viên thỏa tiêu chuẩn, với  = 0.6  = 0.8 Bài giảng Chuyên đề Logic mờ ứng dụng – nvdinh@vnua.edu.vn 22 [...]... được cho trong hình sau: Hình 1.9 Giao của hai tập mờ A và B Một số tính chất của phép hợp và phép giao các tập mờ: Bài giảng Chuyên đề Logic mờ và ứng dụng – nvdinh@vnua.edu.vn 18 1 Giao của hai tập mờ lồi cũng là một tập mờ lồi, nhưng hợp của hai tập mờ lồi thì chưa chắc đã là tập một mờ lồi 2 Các tính chất giao hoán, kết hợp và phân bố của phép hợp và phép giao trong lý thuyết tập hợp cổ điển vẫn... cũng là một tập con mờ trên U, và được định nghĩa như sau: Định nghĩa 1.19 Phần bù của tập mờ A, ký hiệu A là một tập con mờ trên U với hàm thuộc được ký hiệu  A (u) và xác định như sau:  u U,  A (u) = 1- A(u) Đồ thị hàm thuộc của tâp mờ A và tập mờ A như sau: Hình 1.10 Phần bù của tập mờ A Một số tính chất của phép lấy phần bù các tập mờ: Bài giảng Chuyên đề Logic mờ và ứng dụng – nvdinh@vnua.edu.vn... trên các tập mờ Bài giảng Chuyên đề Logic mờ và ứng dụng – nvdinh@vnua.edu.vn 17 Cũng như với các tập hợp cổ điển, ta có các phép toán hợp, giao, lấy phần bù và tích Decac của các tập con mờ Các phép toán này được định nghĩa thông qua các hàm thuộc của các tập con mờ 1.3.2.1 Phép hợp và phép giao của các tập con mờ Định nghĩa 1.17 Hợp của hai tập mờ A và B trên U, ký hiệu A  B, là một tập mờ trên U với... độ phù hợp: 0; Gọi A và B là các tập con mờ những người thỏa tiêu chuẩn A và B tương ứng Viết biểu diễn của các tập con này a/ Tìm tập con mờ của U những ứng viên thỏa ít nhất một trong hai tiêu chuẩn b/ Thỏa cả hai tiêu chuẩn c/ Không thỏa tiêu chuẩn A d/ Tìm nhát cắt mức  của tập mờ những ứng viên thỏa cả 2 tiêu chuẩn, với  = 0.6 và  = 0.8 Bài giảng Chuyên đề Logic mờ và ứng dụng – nvdinh@vnua.edu.vn... biển khoảng 300-400m 5 Cho A là tập con mờ trên tập vũ trụ U, chứng minh rằng với mọi , ‘  [0, 1], nếu ’  thì A  A‘ , với A và A‘ là các nhát cắt mức  và ‘ của tập mờ A Bài giảng Chuyên đề Logic mờ và ứng dụng – nvdinh@vnua.edu.vn 21 6 Cho A, B là các tập con mờ trên tập vũ trụ U, chứng minh rằng với mọi mức  [0, 1], những nhát cắt mức  của các tập mờ A, B, AB, AB thỏa mãn các tính chất... sau: Bài giảng Chuyên đề Logic mờ và ứng dụng – nvdinh@vnua.edu.vn 16 µ A(u) 1.0  0 u ker (A) A supp(A) Hình 1.7 Giá đỡ, hạt nhân và α - nhát cắt của tập mờ A 1.3 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP MỜ Tương tự như lý thuyết tập hợp, trên các tập mờ cũng định nghĩa các khái niệm bằng nhau, bao hàm nhau và một số phép toán như: phép hợp, phép giao, tích Descartes, của 2 tập mờ, là sự mở rộng các phép toán tương ứng. .. 0.1/u7}   1.3.2.3 Tích Descartes của các tập con mờ Trước hết ta định nghĩa tích Decac của 2 tập con mờ A và B trên các vũ trụ tham chiếu tương ứng U và V, giả sử U và V là độc lập với nhau Định nghĩa 1.20 Cho A và B là hai tập con mờ có các hàm thuộc μA và μB trên các vũ trụ tham chiếu tương ứng U và V, khi đó tích Descartes của A và B là một tập con mờ ký hiệu là A B trên vũ trụ tham chiếu U V,... là đối xứng nếu nếu giá trị b – m bằng giá trị m – a, hay m = 2 if u  a, or u  b 0 u  a  , if a  u  m m  a  A (u )    b  u , if m  u  b b  m h if u  m , vói h  1  Đồ thị của các hàm thuộc tam giác (không đối xứng và đối xứng) có dạng: µ A(u) µ A(u) h 0 h a m b u 0 a m Hình 1.2 Các tập mờ tam giác Bài giảng Chuyên đề Logic mờ và ứng dụng – nvdinh@vnua.edu.vn b u 14 2 Tập mờ hình... AB(u) và xác định như sau:  u U, AB(u) = max{A(u), B (u)} Đồ thị hàm thuộc của hợp mờ A, B và tập mờ A  B được cho trong hình sau: Hình 1.8 Hợp của hai tập mờ A và B Định nghĩa 1.18 Giao của hai tập mờ A và B trên U, ký hiệu A  B, là một tập mờ trên U với hàm thuộc được ký hiệu A  B(u) và được xác định như sau:  u U, AB(u) = min{A(u), B (u)} Đồ thị hàm thuộc của hợp mờ A, B và tập mờ A... lồi được gọi là các tập mờ lồi, đặc trưng cho các ‘đại lương mờ trên tập số thực 1.2.3.1 Tập mờ lồi và số mờ Định nghĩa 1.15  Một tập con mờ A trên tập số thực R là tập mờ lồi nếu với mọi cặp phần tử a, b R và với mọi số thực   [0, 1], hàm thuộc của A thỏa mãn: μA(a + (1 - )b)  min {μA(a), μA(b)}  Tập con mờ A trên tập số thực được gọi là một số mờ, nếu A là tập mờ lồi và chuẩn hóa Trong chuyên ... đối xứng đối xứng) có dạng: µ A(u) µ A(u) h h a m b u a m Hình 1.2 Các tập mờ tam giác Bài giảng Chuyên đề Logic mờ ứng dụng – nvdinh@vnua.edu.vn b u 14 Tập mờ hình thang Hàm thuộc tập mờ gọi... hợp mờ A, B tập mờ A  B cho hình sau: Hình 1.9 Giao hai tập mờ A B Một số tính chất phép hợp phép giao tập mờ: Bài giảng Chuyên đề Logic mờ ứng dụng – nvdinh@vnua.edu.vn 18 Giao hai tập mờ lồi... (u) = 1- A(u) Đồ thị hàm thuộc tâp mờ A tập mờ A sau: Hình 1.10 Phần bù tập mờ A Một số tính chất phép lấy phần bù tập mờ: Bài giảng Chuyên đề Logic mờ ứng dụng – nvdinh@vnua.edu.vn 19 Đối với