Bài giảng lý thuyết xác suất và thống kê toán NEU

LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN NEU Chương I : Biến cố ngẫu nhiên xác suất 1.1.Phép thử loại biến cố 1.1.1.Phép thử a) Các thí dụ +) Muốn biết sản phẩm hộp sản phẩm tốt hay xấu ta lấy từ hộp sản phẩm quan sát xem sản phẩm tốt hay xấu v.v b) Khái niệm phép thử Việc thực nhóm điều kiện để quan sát tượng xảy hay khơng xảy gọi thực phép thử Chú ý : Ứng với phép thử gắn với hành động mục đích quan sát 1.1.2.Biến cố Khái niệm : Hiện tượng xảy hay không xảy kết phép thử gọi biến cố Thí dụ : Một hộp đựng 10 sản phẩm có sản phẩm tốt, sản phẩm xấu Lấy sản phẩm (tức ta thực phép thử), gọi A = (Lấy sản phẩm tốt) A biến cố 1.1.3.Phân loại biến cố +) Biến cố chắn (ký hiệu chữ U): Là biến cố định xảy thực phép thử +) Biến cố khơng thể có (ký hiệu chữ V): Là biến cố định không xảy thực phép thử +) Biến cố ngẫu nhiên (ký hiệu chữ A, B, C, ): Là biến cố xảy thực phép thử Thí dụ 1: Tung đồng xu có mặt Sấp(S) Ngửa(N) Gọi A = (Đồng xu xuất mặt sấp), ta có A biến cố ngẫu nhiên Thí dụ 2: Gieo xúc xắc (giải thích xúc xắc) Gọi U = (Con xúc xắc xuất mặt có số chấm ≤ 6), ta có U biến cố chắn V = (Con xúc xắc xuất mặt chấm), ta có V biến cố khơng thể có A1 = (Con xúc xắc xuất mặt chấm), ta có A biến cố ngẫu nhiên C = (Con xúc xắc xuất mặt có số chấm chẵn), ta có C biến cố ngẫu nhiên Chú ý : Việc đưa biến cố U, V vào để hoàn thiện mặt lý thuyết , thực tế ta quan tâm tới biến cố ngẫu nhiên, từ nói biến cố ta hiểu biến cố ngẫu nhiên 1.2.Xác suất biến cố, định nghĩa cổ điển xác suất 1.2.1.Khái niệm xác suất biến cố Cho A biến cố, xác suất biến cố A, ký hiệu P(A) (Probability of event A) số đặc trưng cho khả khách quan xuất biến cố A thực phép thử 1.2.2.Định nghĩa cổ điển xác suất biến cố a) Kết cục đồng khả xảy Thí dụ 1: Tung đồng xu cân đối đồng chất, giả sử khả đồng xu xuất mặt sấp hay mặt ngửa Khi ta có hai kết cục đồng khả xảy ra, là: {S; N} Thí dụ 2: Gieo xúc xắc cân đối đồng chất Gọi A i = (Con xúc xắc xuất mặt i chấm); ≤ i ≤ Khi ta có kết cục đồng khả xảy ra, {A1; A2; ;A6} Thí dụ 3: Một hộp đựng 10 sản phẩm loại, có phẩm phế phẩm, lấy sản phẩm từ hộp Khi ta có 10 kết cục đồng khả xảy b) Kết cục thuộn lợi cho biến cố Thí dụ 1: Trở lại thí dụ gọi C = (Con xúc xắc xuất mặt có số chấm chẵn), C xảy A2 xảy A4 xảy ra, A6 xảy Do kết cục {A2; A4; A6} gọi kết cục thuộn lợi cho biến cố C xảy ra, ta nói có kết cục thuộn lợi cho C Thí dụ 2: Một hộp đựng 10 sản phẩm loại, có phẩm phế phẩm, lấy sản phẩm từ hộp, gọi A = (Lấy phẩm) ta có kết cục thuộn lợi cho A Vậy kết cục xảy làm cho biến cố A xảy thực phép thử gọi kết cục thuộn lợi cho biến cố A c) Định nghĩa cổ điển xác suất Định nghĩa: Xét phép thử, gọi n số kết cục đồng khả xảy ra, gọi m số kết cục thuộn lợi cho biến cố A xảy ra, P ( A) = m n ( P(A) xác suất xảy biến cố A) Thí dụ 1: Gieo xúc xắc cân đối đồng chất, tính xác suất để xúc xắc xuất măt có số chấm chẵn Lời giải: Gọi C = (Con xúc xắc xuất mặt có số chấm chẵn), ta có n = P (C ) = 6, mC = đó: = 0,5 Thí dụ 2: Một hộp đựng 10 cầu giống hệt mặt hình thức, có màu đỏ, màu xanh Lấy ngẫu nhiên cầu từ hộp, tính xác suất lấy cầu màu đỏ Lời giải: Gọi A = (Lấy cầu màu đỏ), ta có n = 10, mA = P ( A) = = 0,8 10 d) Các tính chất xác suất +) Nếu A biến cố ngẫu nhiên < P(A) < +) Nếu B biến cố ≤ P(B) ≤ +) Nếu U biến cố chắn P(U) = +) Nếu V biến cố khơng thể có P(V) = Chú ý : P(A) = chưa A biến cố chắn P(B) = chưa B biến cố khơng thể có Thí dụ : 1.3.Các phương pháp tính xác suất định nghĩa cổ điển 1.3.1.Phương pháp suy luận trực tiếp Thí dụ 1: Tính xác suất cách vẽ hình (biểu đồ Ven, hình cây) Tính xác suất cách liệt kê tất giá trị có thực phép thử, đếm kết cục thuộn lợi cho biến cố, sau áp dụng cơng thức tính xác suất định nghĩa cổ điển (xem thí dụ giáo trình) Thí dụ 2: Tung đồng xu giống đồng xu cân đối đồng chất, tính xác suất để có đồng xu xuất mặt ngửa Lời giải : Gọi A = (Có đồng xu xuất mặt ngửa) Những khả xảy tung đồng thời 3đồng xu {NNN, NNS, NSN, NSS, SNN, SSN, SNS, SSS} ta thấy n = 8, mA = P( A) = 1.3.2.Phương pháp dùng công thức giải tích tổ hợp (Nhắc lại ý nghĩa phương pháp tính cơng thức n!, Cnk , Ank , Ank ) Thí dụ 1: Một hộp đựng 10 cầu có kích thước giống có màu xanh, màu đỏ Lấy ngẫu nhiên từ hộp cầu, tính xác suất để a) Lấy màu xanh b) Lấy màu đỏ Lời giải : Ta có số kết cục đồng khả xảy n = C103 a) Gọi A = (Lấy màu xanh), ta có mA = C63 P ( A) = C63 20 = = C10 120 b) Gọi B = (Lấy màu đỏ), ta có mB = C61.C42 C61 C42 36 P ( B) = = = 0,3 C103 120 Thí dụ 2: Một cơng ty cần tuyển người Có 20 người nộp đơn có nam 12 nữ Giả sử khả trúng tuyển 20 người nhau, tính xác suất để a) Có nam trúng tuyển b) Có nữ trúng tuyển Lời giải: Số khả xảy n = C205 = 15504 a) Gọi A = (có nam trúng tuyển); có mA = C82 C123 = 6160 P ( A) = ta có C82 C123 6160 = = 0,3973 C20 15504 b) Gọi B = (có nữ trúng tuyển); có mB = C123 C82 + C124 C81 + C125 = 10912 P( B) = ta có 10912 = 0, 70382 15504 1.3.3.Ưu điểm hạn chế phương pháp cổ điển *) Ưu điểm : +) Không cần thực phép thử, phép thử tiến hành cách giả định +) Cho phép tìm cách xác giá trị xác suất *) Hạn chế : +) Số kết cục đồng khả phải hữu hạn thực tế có nhiều phép thử mà số kết cục vơ hạn +) Tính đối xứng hay tính đồng khả thực gặp thực tế 1.4.Định nghĩa xác suất tần suất 1.4.1.Tần suất xuất biến cố Ta biết với phép thử ta có biến cố A (mà ta quan tâm) xuất không xuất Giả sử ta thực n phép thử độc lập, n phép thử biến cố A xuất k lần tần suất xuất biến f ( A) = cố k n A ký hiệu f ( A) xác định: Thí dụ : Kiểm tra ngẫu nhiên 100 sản phẩm máy sản xuất người ta phát phế phẩm Gọi A biến cố (lấy phế phẩm) 100 sản phẩm f ( A) = = 0, 03 100 1.4.2.Định nghĩa xác suất tần suất Khi số phép thử n tăng lên lớn (tùy thuộc tình thực tế) ta định nghĩa xác suất để biến cố A xảy P( A) = f ( A) 1.4.3.Ưu điểm hạn chế phương pháp tần suất *) Ưu điểm : Khơng đòi hỏi điều kiện áp dụng định nghĩa cổ điển *) Hạn chế : Phải thực phép thử với số lần lớn dẫn đến tốn nhiều thời gian 1.5.Nguyên lý xác suất lớn nguyên lý xác suất nhỏ *) Nguyên lý xác suất lớn : Biến cố A coi xảy phép thử thực tế P ( A) ≥ − α , với α xác suất nhỏ tùy thuộc vào tình thực tế Thí dụ : *) Nguyên lý xác suất nhỏ : Biến cố B coi không xảy phép thử thực tế P( B) ≤ α , với α xác suất nhỏ tùy thuộc vào tình thực tế Thí dụ : 1.6.Mối quan hệ biến cố 1.6.1 Tổng biến cố a) Tổng hai biến cố : Biến cố C gọi tổng hai biến cố A B, ký hiệu C = A + B, biến cố C xảy có hai biến cố A B xảy Thí dụ : Hai người bắn vào bia viên đạn, gọi A = (Người thứ bắn trúng bia), gọi B = (Người thứ hai bắn trúng bia), C = (Bia bị trúng đạn) Khi C=A+B n +) Mở rộng : Cho A1 , A2 , , An biến cố, đặt biến cố A = ∑ Ai , i =1 biến cố A xảy có biến cố A1 , A2 , , An xảy b) Hai biến cố xung khắc : Hai biến cố A B gọi xung khắc với chúng không xảy phép thử Trong trường hợp chúng xảy phép thử gọi hai biến cố khơng xung khắc Thí dụ : Gieo xúc xắc, gọi A1 = (Con xúc xắc xuất mặt chấm); A2 = (Con xúc xắc xuất mặt hai chấm), A 1, A2 hai biến cố xung khắc Thí dụ : Hai người bắn viên đạn vào bia, gọi B = (Người thứ bắn trúng bia); B2 = (Người thứ hai bắn trúng bia), B 1, B2 hai biến cố không xung khắc +) Mở rộng : Nhóm biến cố A1 ; A2 ; ; An gọi xung khắc với đôi hai biến cố nhóm xung khắc với c) Nhóm đầy đủ biến cố : Các biến cố H1; H2; ; Hn gọi nhóm đầy đủ biến cố kết phép thử xảy biến cố Hay nói khác biến cố H 1; H2; ; Hn tạo thành nhóm đầy đủ biến cố chúng đôi n xung khắc ∑H i =1 i =U Thí dụ : Gieo xúc xắc cân đối đồng chất, gọi A i = ( Con xúc xắc xuất mặt i chấm ),1 ≤ i ≤ biến cố A1; A2; ; A6 tạo thành nhóm đầy đủ biến cố Nếu gọi HC = (Con xúc xắc xuất mặt có số chấm chẵn); H L = (Con xúc xắc xuất mặt có số chấm lẻ) biến cố H C, HL tạo thành nhóm đầy đủ biến cố Chú ý: Với phép thử có nhiều nhóm đầy đủ d) Hai biến cố đối lập : Hai biến cố A A gọi đối lập với chúng tạo thành nhóm đầy đủ biến cố Thí dụ : Bắn viên đạn vào bia, gọi A = (Viên đạn trúng bia) A = (Viên đạn khơng trúng bia) A A hai biến cố đối lập Thí dụ : Một hộp đựng 10 sản phẩm có phẩm phế phẩm Lấy sản phẩm, gọi B = (Lấy phẩm) B = (Lấy phế phẩm) B B hai biến cố đối lập 1.6.2.Tích biến cố a) Tích hai biến cố : Biến cố C gọi tích hai biến cố A B, ký hiệu C = A.B, biến cố C xảy đồng thời hai biến cố A B xảy Thí dụ : Hai người bắn vào bia viên đạn, gọi A = (Người thứ bắn trúng bia), B = (Người thứ hai bắn trúng bia), gọi C = (Bia bị trúng viên đạn) C = A.B n +) Mở rộng : Cho A1 , A2 , , An biến cố, đặt biến cố A = ∏ Ai , biến cố i =1 A xảy tất biến cố A1 , A2 , , An xảy b) Hai biến cố độc lập : Hai biến cố A B gọi độc lập với việc xảy hay không xảy biến cố A không làm thay đổi xác suất xảy biến cố B ngược lại Trong trường hợp biến cố A xảy hay không xảy có làm thay đổi xác suất xảy biến cố B A B hai biến cố phụ thuộc Thí dụ : Một hộp đựng 10 sản phẩm có phẩm phế phẩm, người ta lấy sản phẩm theo hai phương thức, thứ có hồn lại thứ hai khơng hồn lại Gọi A = (Lấy phẩm lần thứ nhất), B = (Lấy phẩm lần thứ hai) Hỏi lấy theo phương thức hai biến cố A B độc lập Lời giải : Lấy theo phương thức thứ +) Mở rộng : -) Các biến cố A1 , A2 , , An gọi độc lập đôi với hai biến cố n biến cố độc lập với -) Các biến cố A1 , A2 , , An gọi độc lập toàn phần với biến cố n biến cố độc lập với tổ hợp biến cố lại Thí dụ : Tung đồng xu lần, gọi Ai = (Đồng xu xuất mặt ngửa lần tung thứ i), i = 1;3 biến cố A1; A2; A3 độc lập với đôi 1.7.Các định lý công thức xác suất 1.7.1 Định lý cộng xác suất +) Nếu A B hai biến cố xung khắc P(A + B) = P(A) + P(B) +) Nếu A B hai biến cố khơng xung khắc P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) +) Nếu biến cố A1 , A2 , , An xung khắc với đơi n n i =1 i =1 P (∑ Ai ) = ∑ P ( Ai ) +) Nếu biến cố H1 , H , , H n tạo thành nhóm đầy đủ biến cố n ∑ P( H ) = i =1 i +) Nếu A A hai biến cố đối lập P(A) + P(A) = +) Nếu A1, A2, A3 ba biến cố khơng xung khắc P(A1+A2+A3) = P(A1) + P(A2) + P(A3) - P(A1A2)-P(A2A3)-P(A3A1) + P(A1A2A3) +) Nếu cặp giả thuyết H0: µ1 = µ2 ; H1: µ1 ≠ µ2 miền bác bỏ hai phía giả thuyết H0 Wα = { T= ( X1 − X ) u S12 S 22 ; T > α } + n1 n2 Chú ý : Với hai mẫu cụ thể w n = ( x11 , x12 , , x1n ) w n = ( x21 , x22 , , x2 n ) ta 1 2 có Tqs = x1 − x2 s12 s22 + n1 n2 Thí dụ : Làm tập 8.19 sách tập Gợi ý : kiểm định cặp giả thuyết H0: µ1 = µ2 ; H1: µ1 < µ2 µ1 = µ2 8.2.3.Kiểm định giả thuyết tham số p biến ngẫu nhiên gốc có phân phối Khơng - Một Giả sử ta có tổng thể với dấu hiệu nghiên cứu định tính đặc trưng biến ngẫu nhiên X ~ A(p) Ta chưa biết p, song có ý kiến cho p = p0 (p0 cho trước), ta đưa giả thuyết H0: p = p0 Để kiểm định giả thuyết từ tổng thể ta rút mẫu ngẫu nhiên kích thước n : Wn = (X1, X2, , Xn) với Xi = {0; 1} ∀i = 1; n , từ mẫu Wn ta xác định thống kê tần suất mẫu f Chọn tiêu chuẩn kiểm định G =U = ( f − p0 ) n p0 (1 − p0 ) Nếu giả thuyết H0: p = p0 U ~ N(0; 1) Với mức ý nghĩa α cho trước, tùy thuộc giả thuyết đối H1 mà ta xây dựng miền bác bỏ Wα tốt tương ứng với trường hợp sau : +) Nếu cặp giả thuyết H0: p = p0 ; H1: p > p0 ta có miền bác bỏ bên phải giả thuyết H0 Wα = { U = ( f − p0 ) n ; U > uα } p0 (1 − p0 ) +) Nếu cặp giả thuyết H0: p = p0 ; H1: p < p0 miền bác bỏ bên trái giả thuyết H0 Wα = { U = ( f − p0 ) n ; U < - uα } p0 (1 − p0 ) +) Nếu cặp giả thuyết H0: p = p0 ; H1: p ≠ p0 miền bác bỏ hai phía giả thuyết H0 Wα = { U = ( f − p0 ) n ; U > uα2 } p0 (1 − p0 ) Chú ý : Với mẫu cụ thể wn = (x1, x2, , xn) với xi = {0; 1} ∀i = 1; n f giá trị cụ thể, ta có U qs = ( f − p0 ) n so sánh với uα ; - uα p0 (1 − p0 ) uα2 Thí dụ : Làm tập 8.29 sách tập Gợi ý : kiểm định cặp giả thuyết H0: p = 0, 03 ; H1: p > 0, 03 8.2.4.Kiểm định giả thuyết hai tham số p hai biến ngẫu nhiên gốc có phân phối Khơng - Một Giả sử ta có hai tổng thể với dấu hiệu nghiên cứu định tính đặc trưng hai biến ngẫu nhiên X X2 với X1 ~ A(p1), X2 ~ A(p2) Ta chưa biết p1, p2 song có ý kiến cho chúng nhau, ta đưa giả thuyết H0: p1 = p2 Để kiểm định giả thuyết từ hai tổng thể X X2 ta rút hai mẫu ngẫu nhiên kích thước n1 > 30, n2 > 30 : Wn1 = ( X 11 , X 12 , , X 1n1 ), Wn = ( X 21 , X 22 , , X n2 ) từ hai mẫu Wn1 , Wn ta xác định thống kê mẫu (chú ý X 1i = {0; 1} ∀i = 1; n1 , X2j = {0; 1} ∀j = 1; n2 ) từ hai mẫu Wn1 , Wn ta xác định thống kê mẫu f1 f2 Chọn tiêu chuẩn kiểm định G =U = ( f1 − f ) − ( p1 − p2 ) p1 (1 − p1 ) p2 (1 − p2 ) + n1 n2 Nếu giả thuyết H0: p1 = p2 (giả sử p1 = p2 = p đó) thống kê U ~ N(0; 1), p chưa biết mà n1 > 30, n2 > 30 nên ta lấy xấp xỉ p f với f = n1 f1 + n2 f n1 + n2 Với mức ý nghĩa α cho trước, tùy thuộc giả thuyết đối H1 mà ta xây dựng miền bác bỏ Wα tốt tương ứng với trường hợp sau : +) Nếu cặp giả thuyết H0: p1 = p2 ; H1: p1 > p2 ta có miền bác bỏ bên phải giả thuyết H0 Wα = { U= f1 − f u 1 f (1 − f )( + ) ; U > α } n1 n2 +) Nếu cặp giả thuyết H 0: p1 = p2 ; H1: p1 < p2 miền bác bỏ bên trái giả thuyết H0 Wα = { U= f1 − f u 1 f (1 − f )( + ) ; U < - α } n1 n2 +) Nếu cặp giả thuyết H0: p1 = p2 ; H1: p1 ≠ p2 miền bác bỏ hai phía giả thuyết H0 Wα = { U= f1 − f U > uα } 1 f (1 − f )( + ) ; n1 n2 Thí dụ : Làm tập 8.41 sách tập Gợi ý : kiểm định cặp giả thuyết H0: p1 = p2 ; H1: p1 ≠ p2 8.2.5.Kiểm định giả thuyết tham số σ biến ngẫu nhiên gốc có phân phối chuẩn (ý nghĩa : kiểm định độ phân tán tổng thể ) Giả sử ta có tổng thể với dấu hiệu nghiên cứu định lượng đặc trưng biến ngẫu nhiên X ~ N( µ ;σ ) Ta chưa biết σ song có ý kiến cho σ 02 ( σ 02 cho trước), ta đưa giả thuyết H 0: σ = σ 02 Để kiểm định giả thuyết từ tổng thể ta rút mẫu ngẫu nhiên kích thước n : Wn = (X1, X2, , Xn) từ mẫu Wn ta xác định thống kê mẫu X , S Ta chọn tiêu chuẩn kiểm định G = χ2 = (n − 1) S σ 02 Nếu giả thuyết H0: σ = σ 02 thống kê χ ~ χ ( n − 1) Với mức ý nghĩa α cho trước tùy thuộc vào giả thuyết đối H1 mà ta xây dựng miền bác bỏ Wα tốt tương ứng với trường hợp sau : +) Nếu cặp giả thuyết H0: σ = σ 02 ; H1: σ > σ 02 miền bác bỏ bên phải giả thuyết H0 Wα = { χ = (n − 1) S ; χ > χα2 (n − 1) } σ0 +) Nếu cặp giả thuyết H0: σ = σ 02 ; H1: σ < σ 02 miền bác bỏ bên trái giả thuyết H0 Wα = { χ = (n − 1) S ; χ < χ12−α (n − 1) } σ0 +) Nếu cặp giả thuyết H0: σ = σ 02 ; H1: σ ≠ σ 02 miền bác bỏ hai phía giả thuyết H0 Wα = { χ = (n − 1) S χ > χ ( n − 1) χ < χ α (n − 1) } α ; 1− 2 σ0 Chú ý : -)Với mẫu cụ thể wn = (x1, x2, , xn) ta có χ qs = (n − 1) s σ 02 -) Khi nói độ đồng giảm sút tức độ phân tán tăng lên, độ ổn định giảm sút tức độ bất ổn định tăng lên, độ an toàn giảm sút tức độ rủi ro tăng lên Thí dụ : Làm tập 8.46 sách tập Gợi ý : kiểm định cặp giả thuyết H0: σ = 10 ; H1: σ > 10 8.2.6.Kiểm định giả thuyết hai tham số σ hai biến ngẫu nhiên gốc có phân phối chuẩn (Ý nghĩa : kiểm định độ phân tán hai tổng thể) Giả sử ta có hai tổng thể với dấu hiệu nghiên cứu định lượng đặc trưng hai biến ngẫu nhiên X1 X2 Giả sử ta biết X1 ~ N( µ1; σ 12 ) X2 ~ N( µ2 ; σ 22 ) chưa biết σ 12 σ 22 song có ý kiến cho chúng ta đưa giả thuyết H : σ 12 = σ 22 Để kiểm định giả thuyết từ hai tổng thể X X2 ta rút hai mẫu ngẫu nhiên kích thước n1, n2 : Wn = ( X 11 , X 12 , , X 1n ), Wn = ( X 21 , X 22 , , X n ) 1 2 từ hai mẫu Wn , Wn ta xác định thống kê mẫu X , S12 X , S22 Ta chọn tiêu chuẩn kiểm định G=F= S12 σ 22 S 22 σ 12 Nếu giả thuyết H0 F ~ F(n1 - 1; n2 - 1) Với mức ý nghĩa α cho trước tùy thuộc vào giả thuyết đối H mà ta xây dựng miền bác bỏ Wα tốt tương ứng với trường hợp sau : +) Nếu cặp giả thuyết H0: σ 12 = σ 22 ; H1: σ 12 > σ 22 miền bác bỏ bên phải giả thuyết H0 S12 Wα = { F = ; F > fα( n1 −1;n2 −1) } S2 +) Nếu cặp giả thuyết H0: σ 12 = σ 22 ; H1: σ 12 ≠ σ 22 miền bác bỏ hai phía giả thuyết H0 Wα = { F = Với mẫu cụ thể ta có Fqs = S12 F > f ( n1 −1;n2 −1) F < f ( nα1 −1;n2 −1) } α 1− ; 2 S2 s12 s22 Thí dụ : Làm 8.49 Gợi ý : kiểm định cặp giả thuyết H 0: σ A2 = σ B2 ; H1: σ A2 ≠ σ B2 8.3.Kiểm định phi tham số 8.3.1.Kiểm định giả thuyết tính độc lập hai dấu hiệu định tính Giả sử cần nghiên cứu đồng thời hai dấu hiệu định tính A B tổng thể Dấu hiệu A có phạm trù A1, A2, , Ah, dấu hiệu B có phạm trù B1, B2, , Bk Nếu có ý kiến cho A B độc lập, ta đưa cặp giả thuyết H0: A B độc lập H1: A B phụ thuộc Để kiểm định cặp giả thuyết từ tổng thể lập mẫu kích thước n trình bày số liệu mẫu dạng bảng sau B1 B Bj B ∑ B A A1 n1 A2 k n1 n1 n2 j n2 n1 n2 n2 k n2 n1 j k Ai ni1 ni ni ni nij k Ah nh nh nh nh m ∑= n m ∑ nh j m k m j k Trong n kích thước mẫu, ni tổng tần số ứng với thành phần Ai, mj tổng tần số ứng với thành phần B j, nij tần số ứng với phần tử đồng thời mang dấu hiệu Ai Bj Tiêu chuẩn kiểm định chọn h k χ = n[(∑∑ i =1 j =1 nij2 ni m j ) − 1] Nếu giả thuyết H0 với n lớn χ ~ χ [(h − 1).(k − 1)] Do với mức ý nghĩa α cho trước ta có miền bác bỏ giả thuyết H0 Wα = {χ >χα2 [(h-1).(k-1)]} Thí dụ : Làm tập 8.55 sách tập Lời giải : 8.55 Ta kiểm định cặp giả thuyết H0: Quy mô công ty hiệu quảng cáo độc lập H1: Quy mô công ty hiệu quảng cáo phụ thuộc Tiêu chuẩn kiểm định h nij2 k χ = n[(∑∑ i =1 j =1 ni m j ) − 1] Với mẫu cụ thể ta có χ qs2 = 356( 202 522 322 532 47 282 67 322 252 + + + + + + + + − 1) 140.104 131.104 85.104 140.128 131.128 85.128 140.124 131.124 85.124 = 356(1,08325252-1) = 29,6379 Với mức ý nghĩa α = 0,1 ta có miền bác bỏ giả thuyết H0 2 Wα = ( χ 0,1 [(3-1).(3-1)];+∞) = ( χ 0,1 (4); +∞) = (7, 779; +∞) => χ qs2 ∈ Wα => Bác bỏ giả thuyết H0, quy mô công ty hiệu quảng cáo phụ thuộc 8.3.2.Kiểm định giả thuyết dạng phân phối xác suất biến ngẫu nhiên gốc Giả sử chưa biết quy luật phân phối xác suất biến ngẫu nhiên gốc X tổng thể nghiên cứu Song có sở để giả thiết X phân phối theo quy luật A (như - 1, B(n; p), P( λ ), N( µ ;σ ), U(a; b)) Lúc ta đưa cặp giả thuyết thống kê H0: X có phân phối theo quy luật A H1: X không phân phối theo quy luật A Để kiểm định cặp giả thuyết ta sử dụng tiêu chuẩn kiểm định bình phương Ta xét hai trường hợp : 1) Nếu X biến ngẫu nhiên rời rạc A quy luật - 1, B(n; p) hay P( λ ) Từ tổng thể ta rút mẫu ngẫu nhiên có kích thước n, giả sử mẫu có bảng tần số thực nghiệm sau Dấu hiệu nghiên cứu Tần số thực nghiệm k Trong ∑n i =1 i x1 n1 x2 n2 xk nk = n Nếu giả thuyết H0 tính xác suất lý thuyết pi = P ( X = x i ), i = 1; k từ tần số lý thuyết phân phối xác suất ni' = n pi bảng phân phối tần số lý thuyết có dạng Dấu hiệu nghiên cứu Tần số lý thuyết k Trong ∑n i =1 ' i x1 x2 ' ' n n xk nk' = n k Ta chọn tiêu chuẩn kiểm định G = χ = ∑ i =1 (ni − ni' ) Người ta chứng ni' minh χ ~ χ (k − r − 1) r số tham số cần ước lượng quy luật cần kiểm định (chẳng hạn quy luật cần kiểm định P( λ ) r = ) Các tham số ước lượng phương pháp hợp lý tối đa Với mức ý nghĩa α cho trước, miền bác bỏ Wα xác định sau (ni − ni' ) 2 Wα = {χ = ∑ ; χ > χα2 (k − r − 1)} ' ni i =1 k Nếu với mẫu cụ thể với mức ý nghĩa α cho trước mà χ qs ∈ Wα ta bác bỏ H0, ngược lại χ qs ∉ Wα chưa có sở bác bỏ H0 Thí dụ : (đọc thí dụ 3,4,5 từ trang 486 - 490 giáo trình NXB Thống kê) 2) Nếu X biến ngẫu nhiên liên tục A quy luật N( µ ;σ ) hay U(a; b) Từ tổng thể ta rút mẫu ngẫu nhiên có kích thước n, giả sử số liệu mẫu ghép lớp cho dạng bảng tần số thực nghiệm sau Dấu hiệu nghiên cứu Tần số thực nghiệm k Trong ∑n i =1 i x0 - x1 n1 x1 - x2 n2 xk-1 - xk nk = n Nếu giả thuyết H0 tính xác suất lý thuyết pi = P ( xi −1 < X < x i ), i = 1; k từ tần số lý thuyết phân phối xác suất ni' = n pi bảng phân phối tần số lý thuyết có dạng Dấu hiệu nghiên cứu Tần số thực nghiệm k Trong ∑n i =1 ' i x0 - x1 n1 x1 - x2 n2 xk-1 - xk nk = n (ni − ni' ) Ta chọn tiêu chuẩn kiểm định G = χ = ∑ Người ta chứng ni' i =1 k minh χ ~ χ (k − r − 1) r số tham số cần ước lượng quy luật cần kiểm định (chẳng hạn quy luật cần kiểm định N( µ ;σ ) r = ) Các tham số ước lượng phương pháp hợp lý tối đa Với mức ý nghĩa α cho trước, miền bác bỏ Wα xác định sau (ni − ni' ) 2 Wα = {χ = ∑ ; χ > χα2 (k − r − 1)} ' ni i =1 k Nếu với mẫu cụ thể với mức ý nghĩa α cho trước mà χ qs ∈ Wα ta bác bỏ H0, ngược lại χ qs ∉ Wα chưa có sở bác bỏ H0 Ta xét trường hợp phổ biến thực tế kiểm định giả thuyết dạng phân phối chuẩn biến ngẫu nhiên Trong trường hợp phân phối chuẩn ta có pi = P( xi −1 < X < x i ) = Φ0( xi − µ x −µ ) - Φ0( i −1 ); σ σ ∀i = 1; k Do µ σ chưa biết, mà theo chương ta biết với mẫu ngẫu nhiên rút từ tổng thể X ước lượng hợp lý tối đa µ , MS ước lượng hợp lý tối đa σ , với mẫu cụ thể ta lấy xấp xỉ µ x lấy xấp xỉ σ ms Khi pi = P ( xi −1 < X < x i ) ; Φ0( xi − x x −x ) - Φ0( i −1 ); ms ms Thí dụ : (đọc thí dụ trang 491 giáo trình NXB Thống kê) ∀i = 1; k ... ii) Vẽ hình iii) Ta có F(x) = Vậy P(0 ≤ x < 3 x+ với ≤ x < 4 [0; 1 ) ⊂ (-1 ; ] 3 1 3 3 ) = F( ) - F(0) = ( + ) - ( + ) = - = = 0, 25 3 4 4 4 Chú ý : F(x) = P(X < x) phản ánh mức độ tập trung... 1  với x ≤ với < x ≤ F(x) = với x > iii) P(X > 0,6) = P(0,6 < X < 1) = F(1) - F(0,6) = - (3.0,6 - 2.0,63) = 0,352 Bài tập tự giải lớp học 1) Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất... F(x) = với x > b +) F (- ∞ ) = 0; F(+ ∞ ) = +) F(x) hàm liên tục Thí dụ : Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm phân bố xác suất sau 0 k  F ( x) =  x + 4 1 với x ≤ -1 với -1 < x ≤ với x > 3