Bài giảng Lý thuyết xác suất thống kê toán - Chương 4: Đại lượng ngẫu nhiên hai chiều, hàm của đại lượng ngẫu nhiên

Bài giảng Lý thuyết xác suất thống kê toán - Chương 4: Đại lượng ngẫu nhiên hai chiều, hàm của đại lượng ngẫu nhiên trình bày về đại lượng ngẫu nhiên hai chiều, bảng phân phối xác suất đồng thời của đại lượng ngẫu nhiên hai chiều rời rạc, quy luật phân phối xác suất có điều kiện của các thành phần của đại lượng ngẫu nhiên hai chiều kỳ vọng có điều kiện,... Mời các bạn cùng tham khảo.

CHƯƠNG ĐLNN 2-chiều – Hàm ĐLNN Đại lượng ngẫu nhiên 2-chiều 1.1 Khái niệm Khi cho tương ứng kết phép thử với hai số có thứ tự, ta có ĐLNN 2-chiều Xét ĐLNN 2-chiều (X, Y) X, Y gọi ĐLNN thành phần Nếu X, Y rời rạc (X, Y) gọi ĐLNN 2-chiều rời rạc Nếu X, Y liên tục (X, Y) gọi ĐLNN 2-chiều liên tục Xét (X, Y) ĐLNN 2-chiều rời rạc Biến cố X nhận giá trị x Y nhận giá trị y ghi (X=x, Y=y) hay (X=x)(Y=y) Xác suất biến cố ghi P(X=x, Y=y) hay P((X=x)(Y=y)) Ví dụ (1) Gọi X Y điểm thi môn Toán tuổi sinh viên gặp ngẫu nhiên (X, Y) ĐLNN 2chiều rời rạc (2) Gọi X chiều dài, Y trọng lượng gia súc chọn ngẫu nhiên (X, Y) ĐLNN 2chiều liên tục 1.2 Bảng phân phối xác suất 1.2.1 Bảng phân phối đồng thời Quy luật phân phối xác suất ĐLNN 2-chiều rời rạc xác định bảng phân phối xác suất đồng thời (bảng PPXSĐT) Bảng PPXSĐT ĐLNN (X, Y) liệt kê tất giá trị xi, yj mà X, Y nhận giá trị pij P((X=xi)(Y=yj)): X Y x1 x2 xm Σ y1 p11 p21 pm1 q1 y2 p12 p22 pm2 q2 yn Σ p1n p1 p2n p2 pmn pm qn Bảng PPXSĐT ký hiệu ((xi, yj), pij), i= 1, m ; j=1, n Đặt: pi = pi1 + pi2 + + pin i=1, m (coäng theo doøng) qj = p1j + p2j + + pmj j= 1, n (cộng theo cột) Ta phải có: pi > 0, qj > i=1, m ; j=1, n pij ≥ i=1, m ; j= 1, n p11 + p12 + + p1n + + pmn = Σpi = Σqj = 1.2.2 Bảng phân phối thành phần Bảng PPXS ĐLNN thành phần ĐLNN 2-chiều rời rạc gọi Bảng phân phối xác suất thành phần (bảng PPXSTP) Từ bảng PPXSĐT, ta lập bảng PPXSTP X (xi, pi), i=1, m bảng PPXSTP Y (yj, qj), j= 1, n Bảng PPXSTP gọi bảng phân phối biên hay bảng phân phối lề Kỳ vọng, phương sai, độ lệch chuẩn ĐLNN thành phần gọi kỳ vọng lề, phương sai lề, độ lệch chuẩn lề Các tham số đặc trưng ĐLNN thành phần X ký hiệu E(X), σ X2 , σ X Ví dụ Xét ĐLNN (X, Y) có bảng PPXSĐT sau: X Y –1 0,12 0,03 0,10 0,25 0,10 0,11 0,04 0,25 0,05 0,07 0,03 0,15 0,10 0,37 0,05 0,26 0,20 0,37 0,35 Bảng phân phối theo thành phần X Y là: X P 0,37 0,26 0,37 E(X) = σ X2 = 0,74 Y –1 P 0,25 0,25 0,15 0,35 E(Y) = 0,95 σ Y2 = 2,6475 1.2.3 Baûng phân phối có điều kiện Xét ĐLNN 2-chiều Nếu biết thành phần xảy thành phần lại gọi ĐLNN thành phần có điều kiện Bảng PPXS ĐLNN thành phần có điều kiện gọi Bảng phân phối có điều kiện (Bảng PPXSCĐK) Kỳ vọng, phương sai, độ lệch chuẩn ĐLNN loại gọi kỳ vọng phương sai, độ lệch chuẩn có điều kiện Xét ĐLNN (X, Y) có bảng phân phối đồng thời ((xi,yj), pij), i= 1, m ; j= 1, n Giả sử biết biến cố (Y=yj) xảy ĐLNN theo X có điều kiện Y=yj ký hiệu X /Y=yj hay X /yj Xác suất để X nhận giá trị xi xác suất có điều kiện biến cố (X=xi) biết (Y=yj), ký hiệu P(X=xi /yj) hay P(X=xi /Y=yj) Ta coù: P(X=xi /yj) = P(X =x i , Y =y j ) p = ij P(Y =y j ) qj Kỳ vọng ĐLNN X /Y=yj ký hiệu E(X /yj) hay E(X /Y=yj) Tương tự, bảng phân phối ĐLNN có điều kiện Y /X=xi có: P(X =x i , Y =y j ) p ij P(Y=yj /xi) = = P(X =x i ) pi Ví dụ Xét ĐLNN (X, Y) có bảng phân phối sau: X Y –1 0,12 0,10 0,05 0,10 0,03 0,11 0,07 0,05 0,10 0,04 0,03 0,20 Lấy số lẻ, bảng phân phối X có điều kiện Y=0 bảng phân phối Y có điều kiện X=1 là: X /Y=0 E(X /0) = 0,76 P 0,40 0,44 0,16 Y /X=1 –1 P 0,12 0,42 0,27 0,19 E(Y /1) = 0,72 Ghi Lấy thành phần cột Y=0 chia cho tổng cột ta có P X Lấy thành phần dòng X=1 chia cho tổng dòng ta có P Y 1.3 Hiệp phương sai hệ số tương quan Để đánh giá mức độ phụ thuộc hai ĐLNN thành phần, ta đưa khái niệm hiệp phương sai hệ số tương quan 1.3.1 Hiệp phương sai Hiệp phương sai hai ĐLNN thành phần X Y, ký hiệu cov(X, Y), định nghóa: cov(X, Y) = E([X – E(X)].[Y – E(Y)]) cov(X, Y) thường tính theo công thức: cov(X, Y) = E(X.Y) – E(X).E(Y)  m  n = ∑ ∑ x i y jpij −  ∑ xi pi   ∑ y jq j     i = j=  i =1   j=  m n Hiệp phương sai đo mức độ phụ thuộc X, Y: X, Y độc lập E(X.Y) = E(X).E(Y) nên cov(X,Y) = Hiệp phương sai có tính chất sau: (i) cov(X, X) = var(X) (ii) var(aX ± bY) = a2var(X) + b2var(Y) ± 2ab.cov(X, Y) Ví dụ Xét ĐLNN (X, Y) có bảng phân phối: X Y –1 0,12 0,10 0,05 0,10 0,03 0,11 0,07 0,05 0,10 0,04 0,03 0,20 Từ bảng phân phối lề, ta có E(X) = E(Y) = 0,95 Vậy: cov(X, Y) = m n ∑ ∑ xi y jpij − E(X).E(Y) i =1 j =1 = 1,25 − 1×0,95 = 0,3 1.3.2 Hệ số tương quan Hệ số tương quan hai ĐLNN thành phần X Y, ký hiệu ρ XY , định nghóa: Cov(X, Y) ρ XY = σ X σ Y Hệ số tương quan có tính chất sau: (i)  ρ XY  ≤ (ii) ρ XY > ⇒ X, Y đồng biến ρ XY < ⇒ X, Y nghịch biến (iii)  ρ XY  = ⇔ P(Y = aX + b) = Hệ số tương quan đo mức độ phụ thuộc tuyến tính hai ĐLNN thành phần Ví dụ Xét ĐLNN (X, Y) có bảng phân phối sau: X Y –1 0,12 0,10 0,05 0,10 0,03 0,11 0,07 0,05 0,10 0,04 0,03 0,20 Ta tính được: cov(X, Y) = 0,3 σ X2 = 0,74 ⇒ σX = 0,86 σ Y2 = 2,6475 ⇒ σY = 1,6371 ⇒ ρ XY = cov(X, Y)/(σX.σY) = 0,2144 Hàm ĐLNN 2.1 Khái niệm 2.1.1 Hàm biến ngẫu nhiên Xét hàm số y = g(x) Nếu thay x ĐLNN X Y = g(X) ĐLNN gọi hàm biến ngẫu nhiên Kỳ vọng, phương sai, độ lệch chuẩn ĐLNN g(X) biết g X tính theo công thức quen thuộc, miễn thay x g(x) Chẳng hạn với ĐLNN X có bảng phân phối (xi, pi), i=1, n thì: E(g(X)) = n ∑ g(xi )pi i =1 var(g(X)) = E(g(X)2) – [E(g(X))]2 Ví dụ Cho ĐLNN X có bảng phân phối: X –2 –1 p 6% 14% 30% 20% 10% Đặt Y = X2 + X − thì: E(X +X−1) = ∑ (x i2 + x i − 1)pi = 8,12 i =1 5  2 var(X +X−1) = ∑ (x i + x i − 1) pi −  ∑ (x i2 + x i − 1)pi  i =1  i =1  = 98,0656 2.1.2 Hàm n-biến ngẫu nhiên Xét hàm số n-biến y = g(x1, x2, , xn) Neáu thay x1, x2, , xn ĐLNN X1, X2, , Xn Y = g(X1, X2, , Xn) ĐLNN gọi hàm n-biến ngẫu nhiên Các biểu thức Y = X1+X2, Y = X1.X2 X1, X2 ĐLNN ví dụ hàm 2-biến ngẫu nhiên Ví dụ Lô hàng I gồm phẩm phế phẩm Lô hàng II gồm phẩm phế phẩm Một người mua sản phẩm từ lô hàng I sản phẩm từ lô hàng II Gọi X số phẩm mua Lập bảng phân phối ĐLNN X Gọi X1, X2 số phẩm mua từ lô hàng I, II Y = X1 + X2 Do X1~H(10; 8; 2) vaø X2~H(10; 6; 1) nên bảng phân phối X1, X2 sau: X1 p 1/45 16/45 28/45 X2 p 0,4 0,6 Do hai lô hàng độc lập nên ta có: ΣP(X1=xi, X2=x–xi) = ΣP(X1=xi).P(X2=x–xi) P(Y = x) = Lập bảng để tính giá trị mà Y nhận xác suất tương ứng: X1 (P) (1/45) X2 (P) (0,4) Y=0 (4/450) (0,6) Y=1 (6/450) (16/45) (28/45) Y=1 (64/450) Y=2 (96/450) Y=2(112/450) Y=3(168/450) Suy bảng phân phối Y: Y p 4/450 70/450 208/450 168/450 3.2 Phân phối hàm n-biến ngẫu nhiên Không có công thức tổng quát để tìm quy luật phân phối ĐLNN Y = g(X1, X2, , Xn) biết quy luật phân phối ĐLNN X1, X2, , Xn Tuy nhiên, ta biết số kết ĐLNN thành phần có phân phối Nhị Thức, phân phối Poisson hay phân phối Chuẩn  ... súc chọn ngẫu nhiên (X, Y) ĐLNN 2chiều liên tục 1.2 Bảng phân phối xác suất 1.2.1 Bảng phân phối đồng thời Quy luật phân phối xác suất ĐLNN 2-chiều rời rạc xác định bảng phân phối xác suất đồng... i =1  = 98,0656 2.1.2 Hàm n-biến ngẫu nhiên Xét hàm số n-biến y = g(x1, x2, , xn) Nếu thay x1, x2, , xn ĐLNN X1, X2, , Xn Y = g(X1, X2, , Xn) ĐLNN gọi hàm n-biến ngẫu nhiên Các biểu thức Y =... ⇒ ρ XY = cov(X, Y)/(σX.σY) = 0,2144 Hàm ĐLNN 2.1 Khái niệm 2.1.1 Hàm biến ngẫu nhiên Xét hàm số y = g(x) Nếu thay x ĐLNN X Y = g(X) ĐLNN gọi hàm biến ngẫu nhiên Kỳ vọng, phương sai, độ lệch chuẩn