Bài viết trình bày về tính ổn định của trung bình cộng một số lớn các đại lượng ngẫu nhiên theo nghĩa hội tụ theo xác suất và ứng dụng các định lý về luật yếu số lớn để giải một số bài toán trong xác suất thống kê, trong đó có những bài toán thống kê có ý nghĩa trong nghiên cứu khoa học thực nghiệm.
TẠP CHÍ KHOA HỌC Khoa học Tự nhiên Cơng nghệ, Số 16 (6/2019) tr.38 - 48 HỘI TỤ THEO XÁC SUẤT CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Đặng Kim Phương, Nguyễn Thanh Lâm Trường Đại học Tây Bắc Tóm tắt: Trong khn khổ viết chúng tơi trình bày tính ổn định trung bình cộng số lớn đại lượng ngẫu nhiên theo nghĩa hội tụ theo xác suất ứng dụng định lý luật yếu số lớn để giải số toán xác suất thống kê, có tốn thống kê có ý nghĩa nghiên cứu khoa học thực nghiệm Từ khóa: Đại lượng ngẫu nhiên, Hội tụ theo xác suất, Luật yếu số lớn, Kỳ vọng, Hội tụ hầu chắn Mở đầu Nghiên cứu lý thuyết xác suất ta biết: Một biến cố ngẫu nhiên xảy khơng xảy phép thử Đại lượng ngẫu nhiên lấy giá trị có Nhưng xét số lớn biến cố ngẫu nhiên hay đại lượng ngẫu nhiên, ta thu kết luận mà thực tế xem chắn Trong lý thuyết xác suất người ta gọi định lý mà nội dung khẳng định hội tụ theo xác suất dãy đại lượng ngẫu nhiên tới số, hay tính ổn định trung bình cộng số lớn đại lượng ngẫu nhiên theo nghĩa hội tụ theo xác suất định lý luật yếu số lớn Luật yếu số lớn có ý nghĩa quan trọng lý thuyết xác suất thực tiễn Nghiên cứu điều kiện để dãy đại lượng ngẫu nhiên tuân theo luật yếu số lớn vấn đề quan trọng Vậy điều kiện để dãy đại lượng ngẫu nhiên tuân theo luật yếu số lớn gì? Việc ứng dụng định lý luật yếu số lớn để giải số tốn xác suất thống kê, có toán thống kê nghiên cứu khoa học thực nghiệm thực nào? Thông qua sở lý luận thực tiễn viết làm sáng tỏ thêm vấn đề Hội tụ theo xác suất dãy đại lượng ngẫu nhiên số ứng dụng Chúng nhắc lại số khái niệm kết sau [2] [4] Định nghĩa 2.1 Dãy đại lượng ngẫu nhiên X n , n gọi hội tụ theo xác suất tới đại lượng ngẫu nhiên X n với lim P n Ký hiệu: Xn P X, n Nhận xét 2.1: Ta có Xn Xn X P nghĩa là: X, n P Xn X 0, , n 0, N N ( , ), cho N Ngày nhận bài: 11/03/2019 Ngày nhận đăng: 05/05/2019 Liên lạc: Đặng Kim Phương, e-mail: dangkimphuongtbu@gmail.com 38 Hay nói cách khác, với : lim P Xn n Nghĩa là: 0, : N 1, X cho N ( , ), Định nghĩa 2.2 Dãy đại lượng ngẫu nhiên yếu số lớn với P X n,n Xn X , n N có kỳ vọng gọi tuân theo luật cho trước tùy ý ta có n lim P n n i n Xi EX i n i Nhận xét 2: Các hệ thức sau tương đương với định nghĩa: i) X n , n tuân theo luật yếu số lớn ii) iii) n n n n Xi i Xi i n EX i n i 1 n n n 0, lim P EX i i P 0, n Định lý 2.1 (Bất đẳng thức Chebyshev) Nếu cho trước tùy ý ta có: hạn với P Bất đẳng thức tương đương X P X đại lượng ngẫu nhiên có phương sai DX EX X EX hữu DX DX ; Bất đẳng thức Chebyshev ứng dụng vào thực tiễn việc đánh giá cận cận xác suất để đại lượng ngẫu nhiên X nhận giá trị sai lệch so với kỳ vọng E X không cho trước mà không cần biết qui luật phân phối xác suất X , từ lý giải cho số sai số đo lường vật lý Ví dụ 2.1 Kiểm tra ngẫu nhiên 10.000 máy tính kho máy tính Xác suất máy tính lấy kiểm tra khơng đảm bảo chất lượng 0,3 Tìm xác suất để độ lệch tuyệt đối tần suất xuất máy tính khơng đảm bảo chất lượng 10.000 máy tính so với xác suất để máy tính lấy kiểm tra không đảm bảo chất lượng không 0,01 Gọi A biến cố “máy tính lấy kiểm tra không đảm bảo chất lượng” Đặt X k số lần xuất A lần kiểm tra thứ k , X k , k đại lượng ngẫu nhiên độc lập, phân phối: Xk P 0,7 0,3 n Ta có: EXk 0, , D X k 0, , m Xk, n k P m n 0, 0, P m n 0 0 E m n 0, 1 0, n ( 0, 1) 0, 0, 0, Ví dụ 2.2 Thu nhập trung bình hàng năm dân cư vùng 20 triệu đồng độ lệch chuẩn 1,5 triệu Hãy xác định khoảng thu nhập trung bình hàng năm 90% dân cư vùng 39 Gọi mức thu nhập hàng năm dân cư ta có: X thức Chebyshev ta có với P Ta có 1, khoảng X EX Chứng minh Đặt Nếu X n,n Xi i ta có Xi n Vậy EX n 1, i i EX X EX n , DX n n n D Xi i : n n 0, n n ta có với n 0, n n X i P EX i n 1 n n Xi n n n X 20 dãy đại lượng ngẫu nhiên thỏa mãn n n P lim P X 1 ,n Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev Do Theo bất đẳng triệu đồng D X P n 1, Vậy 90% dân cư vùng có mức thu nhập nằm Định lý 2.2 (Định lý Markov) [4] điều kiện n DX 3, (1 6, ; 3, ) ; DX 0, EX D Xi i 0, n n n n i n Xi n Ví dụ 2.3 Cho P EX i i 0, n X k,k dãy đại lượng ngẫu nhiên độc lập xác định sau: P (X k Chứng minh dãy Với k k) 1, 2, ta có EX k DXk k k) k , P (X k 0) 1 k tuân theo luật yếu số lớn X k,k EX k , P (X k k k 2 k ) k (1 k ) k k) ( (1 k) ( k k k k Ta có n lim n dãy n 2 n D Xk k n n D X k,k Xk k n DXk k n n k k 1 n ( n n nên 0, n n Vậy theo định lý Markov ta có 1 n) n Xk n k n n P EX k k hay 0, n tuân theo luật yếu số lớn Định lý 2.3 (Định lý Chebyshev) [2] Giả sử X n,n lập, có phương sai bị chặn đều, nghĩa tồn Khi C dãy đại lượng ngẫu nhiên độc cho DXi C với i 1, 2, 40 n n Chứng minh Đặt i n n i X n an ) D (X n an ) i Do Vậy lim P n n X an n n Xi i n n P i (X i i ) C DXi i X n ta có với an , n C an n 0, EX i n n 0, n : n n X i n n Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev P n Xi n E (X i n ta có: EX i, n an n 1 n ,n X i , an i P EX i n n X n Xi hay 0, n n n Xi i P n n EX i,n i Định lý Chebyshev chứng minh hội tụ theo xác suất trung bình số học số lớn đại lượng ngẫu nhiên trung bình số học kỳ vọng tương ứng, tức chứng minh tính ổn định giá trị trung bình Hệ 2.1 Giả sử X n , n dãy đại lượng ngẫu nhiên độc lập, phân phối, có kỳ vọng phương sai Khi n n P Xi i ,n Như vậy, đại lượng ngẫu nhiên X i nhận giá trị khác nhiều so với kỳ vọng E X i , trung bình cộng số lớn đại lượng ngẫu nhiên X i lại nhận giá trị gần với kỳ vọng với xác suất gần tùy ý Mặt khác ta có n n tức lim P n Xn X 1, P Xi i 0, n điều chứng tỏ cho P X n X chọn , n N Nếu , nhỏ đến mức: Sự khác biệt nhỏ thua coi đồng nhất, biến cố có xác suất lớn n X i có tính chất ngẫu nhiên ta đồng với coi ln xuất X n 0, : 1, N N( , ) n i số Điều thể rõ ổn định trung bình số học đại lượng ngẫu nhiên độc lập phân phối có phương sai hữu hạn, ổn định lấy làm sở cho định nghĩa xác suất theo tần suất Định lý 2.4 (Định lý Poisson) [2] Giả sử dãy phép thử độc lập, xác suất để biến cố A xảy phép thử thứ k p k Ký hiệu Y n số lần xuất biến cố A n phép thử đầu Khi 41 n n Yn n P pk k Chứng minh Định nghĩa dãy đại lượng ngẫu nhiên nhận giá trị Xk xảy phép thử thứ với k, Ta có: 1, 2, sau: X , X , X n , xảy phép thử thứ A k k Xk nhận giá trị không A đại lượng ngẫu nhiên độc lập, X , X , X n , n Yn Xk k Với k thì: 1, 2, P (X k k EX k EX DXk EX k Theo định lý Chebyshev ta có p k , P (X k 1) n (E X k ) P (A ) p P pk k p k (1 pk ) Hệ 2.2 (Định lý Bernoulli) [4] Giả sử thử Bernoulli n n pk pk Yn 0) số lần xuất biến cố Sn không đổi phép thử, Sn P A p ,n n dãy n phép Định lý Bernoulli khẳng định rằng: Với n đủ lớn tần suất xác suất xuất biến cố A dãy n phép thử Bernoulli sai khác lượng không số cho trước tùy ý với xác suất gần Kết luận cho ta xác định xấp xỉ (ước lượng) xác suất chưa biết biến cố A qua tần suất Sn n A dãy phép thử Bernoulli Luật yếu số lớn ứng dụng nhiều lý thuyết xác suất sở khoa học nghiên cứu khoa học thực nghiệm Thông qua số ví dụ sau thấy rõ vấn đề Ví dụ 2.4 Cho X n , n dãy đại lượng ngẫu nhiên độc lập xác định sau: P Xk Dãy đại lương ngẫu nhiên X n,n Bảng phân phối xác suất X EX k 0, D X k k k n ln k 1 2 : EX k k k ln k n k n Xk n 2 ln k ( * ) k 1) (vì ln x ln ( n 1)[ n 1] n ln ( n 1 ln k d x n P n k ln k n ln x d x k ln x d x k k n k Xk ln k k k n n Ta lại có: n P Xk : Với ln k có tuân theo luật yếu số lớn khơng? P Ta có ln k ) Thay vào (*) có: P n n Xk k 1 n 2 n ln ( n 1) ;n 42 Vậy dãy đại lượng ngẫu nhiên Ví dụ 2.5 Cho X k,k X n,n dãy đại lượng ngẫu nhiên độc lập xác định sau: Với P (An ) X1 X2 Vậy n 2 X1 P Xn n X2 n X1 n Xn X1 X2 Xn k , P (X k ) Xét biến cố n n Xn ,Xn n có xác suất ta có Xn An 2 n n (2 2 n ) n n n P (An ) n n X2 n lim P EXk xảy với An Xn ) không tuân theo luật yếu số lớn ta có 1, 2, Nếu biến cố k X k,k k P (X k Chứng minh dãy tuân theo luật yếu số lớn n , Vậy dãy 1, khơng xảy giới hạn X k,k khơng tn theo luật yếu số lớn Ví dụ 2.6 Một cửa hàng bán vải muốn ước lượng nhanh chóng số vải bán tháng (số vải khách hàng mua làm tròn đến số nguyên gần nhất) Ký hiệu X i sai số số mét vải thực bán số mét vải tính tròn khách hàng thứ i Với xác suất 0,99 ước lượng sai số số mét vải thực bán số mét vải tính trịn tháng cửa hàng Các sai số X i , i 1, n đại lượng ngẫu nhiên độc lập có phân phối đoạn [- ,5 ; ,5 ] nên với i 1, 2, , n EX i Sai số tổng cộng tháng n tháng) và: Xi i S ; DS DXi i 12 X1 n ES ; DXi X2 n 12 Xn ( n số khách hàng mua vải Theo bất đẳng thức Chebyshev, xác suất để sai số khơng vượt q P S mét n 12 0, DS n 12 Với n 0, xác suất P S 0, 9 mét đánh giá để sai số không vượt Giả sử số khách hàng đến mua tháng n 10000 10000 0, 8, Vậy ta kết luận rằng, với xác suất 0,99 sai số số mét vải thực bán số mét vải tính trịn tháng cửa hàng khơng vượt q 289 mét số khách hàng đến mua vạn Ví dụ 2.7 Xác định số phép thử Bernoulli tối thiểu để ước lượng xác suất độ xác 0,1 với độ tin cậy 0,95 Yêu cầu diễn đạt sau: Xác định n nhỏ cho P Sn n p 0, 1 0, p biến cố A với 0, 43 Sn Từ hệ 2.2 ta biết dãy Ta có Vì p (1 P n phép thử Bernoulli Sn p n p) hội tụ theo xác suất tới xác suất n 0, Sn E p , D n p (1 p) p 0, 1 0 p (1 nên để Sn P n Theo lý thuyết thống kê, có kỳ vọng E X a phương sai phân phối EX1 n Xi i n lim P X 100 4n p ) 0, hay n Vậy 500 n m in 500 mẫu ngẫu nhiên dấu hiệu nghiên cứu DX2 na EX i a DXn a n X đại lượng ngẫu nhiên độc lập X , X , , X n n i p (1 chưa biết Tuy nhiên P (A ) a ;DX1 EX Theo định lý chebyshev ta có EX n n X n ( X , X , , X n ) n p) 0, DX EX n 0, n Sn p 0, n Đây sở khoa học để nghiên cứu khoa học thực nghiệm, ước lượng trung bình tổng thể thơng qua giá trị trung bình mẫu, ước lượng tỷ lệ tổng thể thơng qua tần suất Ví dụ 2.8 Để đánh giá mức thu nhập (triệu đồng/ tháng) người lao động thời kỳ hội nhập kinh tế quốc tế nhà máy, tiến hành khảo sát thu nhập 100 người lao động Kết thu sau: Tổng thu nhập Số người 10 (10 - 12] (12 - 14] (14 - 16] (16 - 18] (18 - 20] > 20 10 12 15 20 20 15 Giả sử thu nhập người lao động đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn dạng tổng quát N (a ; ) Với độ tin cậy 0,95 khẳng định thu nhập trung bình người lao động thời kỳ hội nhập kinh tế quốc tế nhà máy bao nhiêu? Lập bảng số liệu: Khoảng STT Tần số Xi (n i ) Ta có trung bình mẫu 10 12 15 20 20 15 100 10 (10 - 12] (12 - 14] (14 - 16] (16 - 18] (18 - 20] > 20 X X0 11 13 15 17 19 21 ui Xi X0 h -3 -2 -1 ;i n iui n u 1, 2, 3, 4, 5, 6i i -24 -20 -12 20 40 45 49 72 40 12 20 80 135 359 hu 44 Tính: u X 49 n iu i n i X hu 0, 100 15 0, 5, Nếu kích thước mẫu đủ lớn theo định lý Chebyshev ta kết luận thu nhập trung bình người lao động nhà máy 15,98 triệu đồng/ tháng Nhưng thực tế ta chưa biết kích thước mẫu thỏa mãn đủ lớn hay chưa? Nếu kết luận thu nhập trung bình người lao động nhà máy 15,98 triệu đồng/ tháng xảy sai số lớn, vào kết tính X mẫu tìm khoảng ước lượng thu nhập trung bình a tổng thể: Tính: *2 S n (X ) h n 2 n iu i i u 359 n *2 S n (X ) * S n (X ) 100 n 3, 0, 100 S n (X ) 99 3, 3, 3, Khoảng ước lượng thu nhập trung bình người lao động nhà máy là: * X x * S n (X ) a X x S n (X ) n 5, 1, n 3, 10 5, a 5, a 6, 1, 3, 10 Kết cho biết thu nhập trung bình người lao động nhà máy nằm khoảng từ 15,27 đến 16,69 (triệu đồng/ tháng) nên dự đốn thu nhập trung bình người lao động nhà máy 16,6 (triệu đồng/ tháng) Kiểm định giả thiết: H : a K :a Với mức ý nghĩa Ta có 6, 6, 0, X T a0 n 5, * N (0, 1) 100 3, S n (X ) Tra bảng phân phối chuẩn 6, ta có x 1, Do T 1, x nên giả thiết H : a 6, chấp nhận mức ý nghĩa 0, Với kết ta kết luận, thu nhập trung bình người lao động thời kỳ hội nhập kinh tế quốc tế nhà máy 16,6 triệu đồng/ tháng Ví dụ 2.9 Để kiểm tra chất lượng sản phẩm nhà máy sản xuất, người ta sử dụng phương pháp chọn mẫu sau: Từ lô sản phẩm chọn ngẫu nhiên n sản phẩm để kiểm tra Với a số cho trước, số sản phẩm không đảm bảo chất lượng nhỏ a lơ sản phẩm chấp nhận, số sản phẩm không đảm bảo chất lượng lớn a khơng chấp nhận lơ sản phẩm Từ lô sản phẩm nhà máy sản xuất chọn ngẫu nhiên 100 sản phẩm để kiểm tra, thấy có sản phẩm khơng đảm bảo chất lượng Có thể khẳng định tỷ lệ sản phẩm không đảm bảo chất lượng lô sản phẩm bao nhiêu? 45 Giả sử có lơ hàng nhà máy có 5% sản phẩm không đảm bảo chất lượng Với n ; a xác suất để lơ hàng chấp nhận bao nhiêu? không chấp nhận bao nhiêu? Theo kết thống kê, tần suất sản phẩm không đảm bảo chất lượng mẫu 100 Theo luật số lớn, tần suất xuất sản phẩm không đảm bảo chất lượng mẫu coi tỷ lệ sản phẩm không đảm bào chất lượng lơ sản phẩm kích thước mẫu n đủ lớn Nhưng ta chưa biết kích thước mẫu n 0 đủ lớn hay chưa? Do để khẳng định tỷ lệ sản phẩm không đảm bảo chất lượng ( p ) lô sản phẩm bao nhiêu? Ta thực sau: Với độ tin cậy 0,95 xác định khoảng ước lượng tỷ lệ sản phẩm không đảm bảo chất lượng lô hàng: pˆ pˆ (1 x pˆ ) pˆ p n x pˆ (1 pˆ ) n Ta có: pˆ 0, ; x 100 1, nên 0, 1, 0, 0, 100 0, 0 p p 0, 1, 0, 0, 100 0, Kết cho biết, tỷ lệ sản phẩm không đảm bảo chất lượng lô hàng nằm khoảng từ 0,73% đến 9,27% Với mức ý nghĩa 0, kiểm định giả thiết H : p 0, K :p 0, Tính Z X np0 n p (1 p0 ) 0 0, 1, 0 0, 0, 1, nên giả thiết H 0, chấp nhận mức ý nghĩa Bởi Z 0, Do khẳng định tỷ lệ sản phẩm không đảm bảo chất lượng lơ hàng 9,25% Phân tích tốn: - Việc chọn mẫu n thực lần thử giống - Số lượng sản phẩm lô hàng lớn nên lần thử độc lập với - Mỗi lần thử có khả xảy ra: Sản phẩm lấy đảm bảo chất lượng không đảm bảo chất lượng - Lơ hàng có 5% sản phẩm khơng đảm bảo chất lượng, nên theo luật yếu số lớn xác suất để sản phẩm lô hàng chọn sản phẩm không đảm bảo chất lượng 0,05 Do việc chọn mẫu thực dãy phép thử Bernoulli Ta có P (k ) k k C 0, 0, 5 k ; k 0, 1, 2, 3, 4, Vậy P P (Chấp nhận) = P ( ) P (1) C 50 0, 0, 5 (Không chấp nhận) = 1- P (Chấp nhận) = C 0, 0, 0, 0, 0, 46 Ví dụ 2.10 Trong viết ”Tòa án tối cao đồng ý quyền Quốc hội việc điều tiết truyền hình cáp” David Savage (1994) ghi nhận 60% hộ gia đình Hoa Kỳ có truyền hình cáp Giả sử số 60% xác, điều tra hộ gia đình Hoa Kỳ việc họ có hay khơng có truyền hình cáp thì: Xác suất để hộ gia đình sử dụng truyền hình cáp bao nhiêu? Xác suất để hộ gia đình sử dụng truyền hình cáp bao nhiêu? Nếu khảo sát 50 hộ gia đình trung bình có hộ gia đình sử dụng truyền hình cáp? Theo kết thống kê, có 60% hộ gia đình Hoa Kỳ sử dụng truyền hình cáp, nên theo luật yếu số lớn xác suất để hộ gia đình Hoa Kỳ có sử dụng truyền hình cáp 0,6 Phân tích tương tự ví dụ 2.9 ta thấy, việc điều tra hộ gia đình thực dãy phép thử Bernoulli Ta có k P (k ) k C 0, 0, 4 k ; k 0, 1, 2, 3, Vậy: P (k 4) C P (k 1) 4 0, 0, P (k 0, 0) C 0, 0, 4 0, Nếu khảo sát 50 hộ gia đình trung bình có n p 0, hộ gia đình có sử dụng truyền hình cáp Ví dụ 2.11 Trong nhìn nhận tồn diện người Nhật người Mỹ, người Nhật cho thấy niềm tự hào to lớn chất lượng sản phẩm họ Tuy thế, họ cho Hoa Kỳ đóng vai trị lớn lãnh đạo lẫn quyền lực kinh tế so với người Nhật năm tới Cụ thể là, 71% số người Nhật cho sản phẩm họ tốt sản phẩm người Mỹ, 42% cho Hoa Kỳ cường quốc kinh tế số giới kỷ tới (”How the Japanese See Themselves and US” (1990)) Lựa chọn ngẫu nhiên 50 công dân Nhật để thăm dị ý kiến Tìm phân phối xác suất số người Nhật cho sản phẩm họ tốt sản phẩm người Mỹ Tìm phân phối xác suất số người Nhật cho Hoa Kỳ cường quốc kinh tế số giới kỷ tới Tìm trung bình độ lệch chuẩn số người Nhật cho Hoa Kỳ cường quốc kinh tế số giới kỷ tới Theo kết thống kê: +) 71% số người Nhật cho sản phẩm họ tốt sản phẩm người Mỹ nên theo luật yếu số lớn, xác suất để cơng dân Nhật thăm dị ý kiến cho ”sản phẩm họ tốt sản phẩm người Mỹ” 0,71 +) 42% số người Nhật cho Hoa Kỳ cường quốc kinh tế số giới kỷ tới nên theo luật yếu số lớn, xác suất để công dân Nhật thăm dò ý kiến cho ’’Hoa Kỳ cường quốc kinh tế số giới kỷ tới’’ 0,42 Phân tích tương tự ví dụ ta thấy, việc lựa chọn ngẫu nhiên 50 cơng dân Nhật để thăm dị ý kiến thực dãy phép thử Bernoulli Gọi X số người Nhật cho sản phẩm họ tốt sản phẩm người Mỹ X đại lượng ngẫu nhiên có phân phối nhị thức với tham số (n , p ) (5 0; 0, 1) Do phân phối xác suất X P (X k) C k 50 k 0, 0, 50 k ; k 0; 47 Gọi Y số người Nhật cho Hoa Kỳ cường quốc kinh tế số giới kỷ tới Y đại lượng ngẫu nhiên có phân phối nhị thức với tham số (n , p ) (5 0; 0, 2) Do phân phối xác suất Y P (Y k) C k 50 k 0, 0, 50 k ; k 0; Trung bình số người Nhật cho Hoa Kỳ cường quốc kinh tế số giới kỷ tới E Y n p 0, 2 (người) Xác định độ lệch chuẩn số người Nhật cho Hoa Kỳ cường quốc kinh tế số giới kỷ tới: 2, 3, Ta có D Y n p q 0, 0, 2, nên độ lệch chuẩn D Y TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đinh Văn Gắng (2003), Lý thuyết xác suất thống kê, Nxb Giáo dục [2] Nguyễn Văn Hộ (2005), Xác suất thống kê, Nxb Giáo dục [3] Phạm Văn Kiều (2011), Giáo trình xác suất thống kê, Nxb Giáo dục [4] Đặng Hùng Thắng (2011), Mở đầu lý thuyết xác suất ứng dụng, Nxb Giáo dục CONVERGENCE IN PROBABILITY OF RANDOM VARIABLES AND SOME APPLICATIONS Dang Kim Phuong, Nguyen Thanh Lam Tay Bac University Abstract: In this article, we present the stability of the arithmetic mean of a large number of random variables in terms of convergence in probability and the applications of large number weak law theorems to solve some problems in statistical probability, including meaningful ones in experimental research Keywords: Random variables, Convergence in probability, Weak law of large numbers, Expected Value 48 ... tương đương X P X đại lượng ngẫu nhiên có phương sai DX EX X EX hữu DX DX ; Bất đẳng thức Chebyshev ứng dụng vào thực tiễn việc đánh giá cận cận xác suất để đại lượng ngẫu nhiên X nhận giá trị... suất trung bình số học số lớn đại lượng ngẫu nhiên trung bình số học kỳ vọng tương ứng, tức chứng minh tính ổn định giá trị trung bình Hệ 2.1 Giả sử X n , n dãy đại lượng ngẫu nhiên độc lập, phân... sai số số mét vải thực bán số mét vải tính trịn khách hàng thứ i Với xác suất 0,99 ước lượng sai số số mét vải thực bán số mét vải tính trịn tháng cửa hàng Các sai số X i , i 1, n đại lượng ngẫu