Chương 3: Các đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên và vec tơ ngẫu nhiên

Chương 3: Các đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên và vec tơ ngẫu nhiên

Chương 3.Các đặc trưng đại lượng ngẫu nhiên véctơ ngẫu nhiên §1 Kỳ vọng Định nghĩa Định nghĩa 1.1: Giả sử     xi   pi       xi pi i Định nghĩa 1.2: Giả sử X liên tục có hàm mật độ  f X  x        x f X  x  dx  Ý nghĩa:kỳ vọng E(X) giá trị trung bình X Tính chất: (1) E(C) = C,(2) E(CX) = C.E(X) ,C số (3) E(X+Y) = E(X) + E(Y) (4) X, Y độc lập suy E(XY) = E(X).E(Y) Khoa Khoa Học Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 §2: PHƯƠNG SAI 1.Định nghĩa 2.1:Phương sai đại lượng ngẫu nhiên X  D              là:   2 Định lý 2.1 : D( )            +    x p X rời rạc    i i i +       x f   x  dxnếu X liên tục  Tính chất: (1) D(C) = ; (2) D(CX) = C D( ) (3) X,Y độc lập suy D(X+Y) = D(X)+D(Y) (4) D(C+ X) = D(X), với C số Khoa Khoa Học Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 Độ lệch:      D    §3.Các đặc trưng khác đại lượng ngẫu nhiên 1.Mod X(giá trị X ứng với xác suất lớn nhất) Định nghĩa 3.1: Giả sử X rời rạc     xi   pi  Mod  xi0 , pi0 Maxpi Định nghĩa 3.2: Giả sử X liên tục có hàm f X  x  , ta có  Mod   x0 ; f X  x0  Maxf X  x  Med X(medium – trung vị X) Định nghĩa 3.3: Med  m      m  1/ 2,   X  m  1/ m Định lý 3.1: Nếu X liên tục MedX m    f X  x  dx  Khoa Khoa Học Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 3.Moment Định nghĩa 3.4: Moment cấp k cuả đại lượng ngẩu nhiên X k    X  a   số a   a = 0: moment gốc a = E(X):moment trung tâm Hệ số nhọn hệ số bất đối xứng(xem SGK) Ví dụ 3.1: cos x, x   0,  / 2  ~ f X  x   0, x   0,  / 2  /2      Khoa Khoa Học Máy Tính  x.cos xdx   Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010   D  X   x cos xdx    1   0      2   /2  X2   Mod X =0 Med X  m   m f X  x  dx  cos xdx 1/  sin m 1/  m  / Ví dụ 3.2 :Cho X có bảng phân phối xác suất sau   k p k1 m m pq pq pq Khoa Khoa Học Máy Tính m pq m  m pq Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 m  E ( X )  kp.q k   p k 1  k1 D ( X )  k pq k 1       1 q  1    p    p 2  1 1 q 1 q q  p       (1  q )3  p  p2 p2 p2 Mod X = Med X =m  p   q   q m   1 /    m m p  q   q  q   1 /   Khoa Khoa Học Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010  m 1 q  m    q  /     m    q 1 /  q m     m ln q  ln 2,  m  1 ln q  ln   q m 1 /  p 1 q    1  q m 1 /   ln  ln   m  ln q ln q Khoa Khoa Học Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 .Ví dụ 3.3 : Cho X có bảng phân phối xác suất sau: X P 0,4 0,3 0,3     2.0,  5.0,3  7.0,3 4, 2 D    2 0.4   5 .0,3   7 0,3    4,           D( X ) 2,017 Khoa Khoa Học Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 Cách dùng máy tính bỏ túi ES • Mở tần số(1 lần): Shift Mode • Nhập: Mode Stat 1-var xi Stat On(Off) ni 0,4 0,3 0,3 AC: báo kết thúc nhập liệu Cách đọc kết quả: Shift Stat Var x      x n      Khoa Khoa Học Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 Cách dùng máy tính bỏ túi MS:Vào Mode chọn SD Xóa liệu cũ: SHIFT CLR SCL = Cách nhập số liệu : 2; 0,4 M+ 5; 0,3 M+ 7; 0,3 M+ Cách đọc kết quả:  x      SHIFT S – VAR   x n      Khoa Khoa Học Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 10 Ví dụ 3.4: Tung cùng lúc xúc xắc cân đối,đồng chất Gọi X tổng số điểm nhận Hãy tính E(X), D(X) Giải: Gọi Xi số điểm xúc xắc thứ i  1            1        5  1  Xi độc lập  D     D  1   D      D    5D  1  X1 P 1…………6 1/6………1/6 Khoa Khoa Học Máy Tính    1   , D   i   35 12 Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 11 §4: Kỳ vọng hàm Y     1.Trường hợp rời rạc:     xi   pi ,    Y     xi  pi  i 2.Trường hợp liên tục:   f X  x     Y     x  f X  x  dx      Ví dụ 4.1: cos x, x   0,       f x    Cho  X 0     x   0,   2 Tìm kỳ vọng phương sai Y= sinX  /2   Y    Y sin x sin x cos xdx   /2    /2 sin x sin x cos xdx   1  1 D  Y    Y      Y      12 Khoa Khoa Học Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 12 §5: Kỳ vọng hàm    ,Y  1.Trường hợp rời rạc:     xi , Y  y j   pij Ví dụ 5.1:         xi , y j  pij i, j   Y   xi y j pij i, j 2.Trường hợp liên tục:(X,Y)liên tục có hàm mật độ f(x,y)         x, y  f  x, y  dxdy R2 Ví dụ 5.2: 8 xy ,nếu  x  y 1 f  x, y    0 ,nếu trái lại Khoa Khoa Học Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 13 HÌNH 5.1 y   Khoa Khoa Học Máy Tính X Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 14 .     x f R2   Y   y f R2 y y dy  x8 xydx  x, y  dxdy  0 dy  y xydx  x, y  dxdy  0   Y   y  f  x, y  dxdy R2   X   x  f  x, y  dxdy   X Y   xy f  x, y  dxdy R2 Khoa Khoa Học Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 15 §6: Các đặc trưng vectơ ngẫu nhiên 1.Kỳ vọng: E(X,Y) = (E(X),E(Y)) Hiệp phương sai (covarian): Định nghĩa 6.1: cov(X,Y) = E[(X - E(X)).(Y – E(Y))] Định lý 6.1: cov(X,Y) = E(XY) – E(X).E(Y) Tính chất: (1) X,Y độc lập cov(X,Y) = (2) cov(X,X) = D(X) n  m  m n (3) cov    i ,  Y j    cov  i , Y j  j 1  i 1  i 1 j 1 m  m  m (4) cov    i ,   k   D  i    cov   i , X k  k 1 i k  i 1  i 1 Khoa Khoa Học Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 16 Hệ số tương quan Định nghĩa 6.2: RXY  cov  , Y        Y  Tính chất: (1) X,Y độc lập  RY 0 (2) RXY 1, , Y (3) RXY 1  a, b, c : a  bY c Ý nghĩa: Hệ số RXY đặc trưng cho sự ràng buộc tuyến tính giữa X Y: RXY gần1, X,Y gần có quan hệ tuyến tính  cos  ,   ,cos  , Y   Ma trận tương quan: D  , Y     cov  Y ,   ,cov  Y , Y     Khoa Khoa Học Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 17 Ví dụ 6.1: • Cho biến ngẫu nhiên 1 ,  ,  m ; Y1 , Y2 .Yn có phương sai đều 1: cov i ,  j  p1 ;cov Yi , Y j  p2 ;cov i , Y j  p3 Tìm hệ số tương quan biến ngẫu nhiên: U  1      m  V  Y1  Y2   Yn  Giải: cov  U ,V  cov  m  , n Y   m n cov  , Y m.n p    i 1 i   j 1 i     i 1 j 1   i  j   n  m  m D  U  cov    i ,  X k   D   i    cov   i ,  k  m  m(m  1) p1 k 1 j k  i 1  i 1 D  V  n  n(n  1) p2 cov  U ,V  m.n p3 RUV     U    V  m  m  m  1 p1 n  n  n  1 p2 Khoa Khoa Học Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 18 Cách dùng máy tính bỏ túi a)Loại ES: MODE STAT a+bx xi yi pij AC Cách đọc kết quả: SHIFT STAT VAR SHIFT STAT VAR SHIFT STAT VAR SHIFT STAT VAR SHIFT STAT REG SHIFT STAT SUM Khoa Khoa Học Máy Tính x    X  x n    X  y    Y  y n    Y  r  RXY  xy    XY  Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 19 b) Loại MS: MODE REG LIN Cách xóa dữ liệu cũ : SHIFT CLR SCL = Cách nhập dữ liệu : xi , y j ; pij M Cách đọc kết quả: x    X  SHIFT S-VAR x n    X  SHIFT S-VAR y    Y  SHIFT S-VAR y n    Y  SHIFT S-VAR r  RXY SHIFT S-VAR SHIFT S-SUM  xy    XY  Khoa Khoa Học Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 20 ... C số Khoa Khoa Học Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 Độ lệch:      D    §3 .Các đặc trưng khác đại lượng ngẫu nhiên 1.Mod X(giá trị X ứng với xác suất lớn nhất)...   xy f  x, y  dxdy R2 Khoa Khoa Học Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 15 §6: Các đặc trưng vectơ ngẫu nhiên 1.Kỳ vọng: E(X,Y) = (E(X),E(Y)) Hiệp phương sai (covarian): Định... Tính Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 Cách dùng máy tính bỏ túi MS:Vào Mode chọn SD Xóa liệu cũ: SHIFT CLR SCL = Cách nhập số liệu : 2; 0,4 M+ 5; 0,3 M+ 7; 0,3 M+ Cách đọc kết quả:  x