Luật số lớn cho mảng phù hợp các phần tử ngẫu nhiêntrong không gian Banach p-trơn đều

1 MỤC LỤC Mục lục Lời nói đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Banach p-trơn 1.2 Mảng phù hợp mảng hiệu martingale 1.3 Khái niệm bị chặn ngẫu nhiên bị chặn theo xác suất 1.4 Một số bổ đề 1.5 Một số bất đẳng thức Luật số lớn cho mảng phù hợp phần tử ngẫu nhiên không gian Banach p-trơn 2.1 Luật yếu số lớn 11 11 2.2 Luật mạnh số lớn 18 Kết luận Tài liệu tham khảo 23 24 LỜI NÓI ĐẦU Luật số lớn đóng vai trò vô quan trọng Lý thuyết Xác suất Luật số lớn J Bernoulli công bố vào năm 1713 Về sau kết Poisson, Chebyshev, Markov, Liapunov, mở rộng Trong năm qua có hướng nghiên cứu Luật số lớn mở rộng kết Luật số lớn trường hợp dãy (một số) cho trường hợp nhiều số Smythe (1972) thu luật mạnh số lớn Kolmogorov cho dãy nhiều số biến ngẫu nhiên Luật số lớn Marcinkiewicz-Zygmund dãy nhiều chiều Gut (1987), Klesov (1996) thiết lập Thời gian gần có nhiều báo nghiên cứu trường hợp hai số cho biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực (Hong and Volodin (1999), L V Thanh (2005), N V Quang and N N Huy (2008)) nhận giá trị không gian Banach (N V Quang and L H Son (2006), Rosalsky and L V Thanh (2006), N V Quang and N V Huan (2008)) Trên sở đọc tìm hiểu tài liệu tham khảo, nghiên cứu đề tài Luật số lớn cho mảng phù hợp phần tử ngẫu nhiên không gian Banach Bố cục khóa luận gồm chương Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, trình bày khái niệm không gian Banach p-trơn đều, khái niệm tính bị chặn ngẫu nhiên bị chặn theo xác suất, đặc biệt xây dựng khái niệm mảng hiệu martingale Đồng thời đưa số bổ đề bất đẳng thức, chìa khóa để có kết luật số lớn khóa luận Chương Luật số lớn cho mảng phù hợp phần tử ngẫu nhiên không gian Banach p−trơn Nội dung khóa luận trình bày chương này, bao gồm hai tiết Tiết 2.1 trình bày Luật yếu số lớn cho mảng phù hợp phần tử ngẫu nhiên không gian Banach p-trơn trường hợp số tất định số ngẫu nhiên Kết tiết trình bày báo [8] mà tác giả viết chung với thầy giáo Nguyễn Văn Quảng Tiết 2.2 thiết lập Luật mạnh số lớn cho mảng hiệu martingale, luật số lớn kiểu Marcinkiewicz cho mảng phù hợp phần tử ngẫu nhiên Một số kết đưa tổng quát kết trước Khóa luận thực trường Đại học Vinh hướng dẫn tận tình, chu đáo Thầy giáo, PGS TS Nguyễn Văn Quảng Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy, người dạy tác giả kiến thức, kinh nghiệm học tập, nghiên cứu khoa học học sống Nhân dịp tác giả xin gửi lời cảm ơn đến Thầy giáo, Th.S Lê Văn Thành giúp đỡ tác giả tài liệu tham khảo Đồng thời tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban Chủ nhiệm khoa Toán, thầy cô giáo khoa Toán nhiệt tình giảng dạy suốt trình học tập Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, người thân tất bạn bè động viên giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập hoàn thành khóa luận Mặc dù có nhiều cố gắng lực hạn chế nên khóa luận chắn tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận lời bảo quý báu thầy cô giáo góp ý bạn đọc để khóa luận hoàn thiện Vinh, tháng năm 2009 Tác giả CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong toàn khóa luận, ta giả sử (Ω, F, P) không gian xác suất đầy đủ cố định Với a, b ∈ R, min{a, b} max{a, b} kí hiệu a ∧ b a ∨ b Kí hiệu C số dương, số không thiết phải giống lần xuất Kí hiệu log logarit số log+ x = log(1∨x) Với x 1.1 0, kí hiệu [x] số nguyên lớn không vượt x Không gian Banach p-trơn 1.1.1 Định nghĩa Không gian Banach khả li X gọi không gian Banach p-trơn (1 ρ(τ ) = sup p 2) x+y + x−y − 1; ∀ x, y ∈ X ; x = 1, y = τ Cτ p với C số Nhận xét Đường thẳng thực R trường hợp đặc biệt không gian Banach p-trơn với p = Định lý sau Assouad đưa điều kiện cần đủ để không gian Banach khả li X không gian Banach p-trơn 1.1.2 Định lý (Assouad) Không gian Banach khả li X p-trơn (1 p 2) với q martingale {Sn , Fn , n 1, tồn số C > cho với 1} nhận giá trị X có n E Sn q Si − Si−1 CE p q/p , ∀n ∈ N i=1 (Bất đẳng thức Marcinkiewicz - Zygmund) (1.1.1) 1.1.3 Định lý (Assouad, Hoffmann Jφrgensen) Không gian Banach nhận giá trị thực X p-trơn (1 p 2) tồn số dương L cho với x, y ∈ X , ta có x+y 1.2 p + x−y p x p + L y p (1.1.2) Mảng phù hợp mảng hiệu martingale Cho (Ω, F, P) không gian xác suất, X không gian Banach khả li B(X ) σ-đại số tất tập Borel X Cho mảng hai chiều {Fmn , m 1, n 1} σ-đại số F với số N × N Khi mảng hai chiều {Xmn , Fmn , m 1, n 1} gọi mảng phù hợp thỏa mãn điều kiện sau: Xmn Fmn /B(X ) đo Với n ∈ N m2 > m1 Fm1 n ⊂ Fm2 n , với m ∈ N n2 > n1 Fn1 m ⊂ Fn2 m Chú ý định nghĩa mảng phù hợp khác với định nghĩa mảng phù hợp nêu [6] [7] Trong định nghĩa đó, khái niệm mảng phù hợp xây dựng dựa quan hệ thứ tự tần số N2 Kí hiệu F∞n = σ( m Fmn ), Fm∞ = σ( n Fmn ) ∗ Fmn = σ(Fm−1,∞ F∞,n−1 ) Ta quy ước F0,∞ = F∞,0 = {∅, Ω} Một mảng phù hợp {Xmn , Fmn , m 1, n 1} gọi mảng hiệu martingale ∗ E{Xmn |Fmn } = hầu chắn (h.c.c) ∀m, n ∈ N Ví dụ sau cho thấy tồn khái niệm mảng hiệu martingale Ví dụ Cho {Xmn , m 1, n 1} mảng phần tử ngẫu nhiên độc lập có kì vọng Với m 1, n 1, gọi Fmn σ-đại số sinh Xmn , ∗ E(Xmn |Fmn ) = EXmn = {Xmn , Fmn , m hiệu martingale 1, n 1} lập thành mảng Ví dụ Cho dãy (Xn , Fn , n 1) hiệu martingale (Xn , n 1) không độc lập Với n 1, đặt Xmn = Xn m = Xmn = m > 1; Fmn = Fn , m ≥ Ta có Xmn ∈ Fmn với m 1, n ∗ Fmn ∗ Fmn 1; ∞ = Fn−1 m = 1; Fn = σ m > n=1 Khi {Xmn , Fmn , m 1, n 1} mảng hiệu martingale không mảng phần tử ngẫu nhiên độc lập kì vọng Từ hai ví dụ ta thấy tập hợp tất mảng hiệu martingale thực rộng tập hợp tất mảng phần tử ngẫu nhiên độc lập kì vọng 1.3 Khái niệm bị chặn ngẫu nhiên bị chặn theo xác suất 1.3.1 Định nghĩa Mảng phần tử ngẫu nhiên {Xmn , m 1, n 1} gọi bị chặn ngẫu nhiên phần tử ngẫu nhiên X tồn số C < ∞ thỏa mãn P{ Xmn > t} CP{ X > t}, với t 1.3.2 Nhận xét Nếu {Xmn , m 1, n 0, m 1, n (1.3.1) 1} mảng phần tử ngẫu nhiên phân phối bị chặn ngẫu nhiên phần tử ngẫu nhiên X11 C = 1.3.3 Định nghĩa Cho dãy phần tử ngẫu nhiên {Xn , n số dương {bn , n 1} dãy 1}, ta nói Xn /bn bị chặn theo xác suất kí hiệu Xn = OP (bn ), lim sup P K→∞ n Xn >K bn = (1.3.2) 1.4 Một số bổ đề Bổ đề sau cho ta cách chứng minh hội tụ hầu chắn mảng phần tử ngẫu nhiên hay sử dụng trình chứng minh hội tụ hầu chắn mảng phần tử ngẫu nhiên 1.4.1 Bổ đề Giả sử {Xmn , m 1, n 1} mảng hai chiều phần tử ngẫu nhiên Với ε > bất kì, ∞ ∞ P( Xmn > ε) < ∞ m=1 n=1 Xmn → h.c.c m ∨ n → ∞ Với p > 0, ∞ ∞ E Xmn p ε), k 1, m∨n=k dãy {Ak , k 1} dãy giảm biến cố, đặt ∞ A= Ak k=1 Với k đuôi 1, chuỗi kép m∨n k ∞ m=1 ∞ n=1 P( Xmn > ε) hội tụ nên phần P{ Xmn > ε} dần tới k → ∞ Ta có: P{ Xmn > ε} → k → ∞ P(Ak ) = P{ sup Xmn > ε} m∨n k m∨n k Từ P(A) = lim P(Ak ) = lim P{ sup Xmn > ε} = k→∞ k→∞ m∨n k Nếu ω ∈ / A tồn k0 cho ω ∈ / Ak0 hay Xmn (ω) m∨n k0 , điều kéo theo ε với lim Xmn (ω) = m∨n→∞ Vì P(A) = nên Xmn → h.c.c m ∨ n → ∞ ∞ m=1 Với p > 0, chuỗi kép E Xmn p Xmn p hội tụ nên hiển nhiên suy → m ∨ n → ∞ Do Xmn → Lp m ∨ n → ∞ Mặt khác, với k ∞ ∞ n=1 E áp dụng bất đẳng thức Markov ta có ∞ ∞ ∞ E Xmn εp m=1 n=1 P( Xmn > ε) m=1 n=1 p < ∞ (do giả thiết) Theo ý thứ ta suy Xmn → h.c.c m ∨ n → ∞ Bổ đề sau thiết lập bất đẳng thức cực đại cho mảng hiệu martingale không gian Banach p-trơn Cho {Xij ; 1.4.2 Bổ đề Cho < p j n} họ mn phần tử ngẫu nhiên không gian Banach khả li Khi < p ta giả thiết thêm {Xij , Fij ; i m, j i m, n} mảng hiệu martingale không gian Banach p-trơn k E l max k m l n m p Xij n E Xij p C i=1 j=1 (1.4.1) i=1 j=1 với số C không phụ thuộc vào m n Chứng minh Trong trường hợp < p Đặt Skl = k i=1 l j=1 Xij , số sinh {Xij ; i 2: Yl = max Skl với l = 1, 2, , n Nếu σl σ-đại k m m, j ∗ l} σl ⊂ Fi,l+1 với i kéo theo ∗ E(Xi,l+1 |σl ) = E(E(Xi,l+1 |Fi,l+1 )|σl ) = h.c.c Do ta có E(Sk,l+1 |σl ) = E(Skl + X1,l+1 + · · · + Xk,l+1 |σl ) 1, điều = E(Skl |σl ) + E(X1,l+1 |σl ) + · · · + E(Xk,l+1 |σl ) = Skl Suy {Skl , σl ; n} martingale Vì { Skl , σl ; l l h.c.c n} martingale không âm với k = 1, 2, , m Vì { max Skl = Yl , σl ; 1 k m l n} martingale không âm Theo bất đẳng thức Doob (xem [11], tr 255) p = E( max Yl )p max Skl E k m l n CEYnp l n (1.4.2) ∗ m ∗ }m Mặt khác, {Skn , Fk+1,1 k=1 martingale nên { Skn , Fk+1,1 }k=1 martingale không âm Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức Doob ta có p EYnp = E max Skn CE Smn k m k ∗ m i=1 Xil , Fk+1,l }k=1 ∗ Ta lại có {Sml , F1,l+1 }nl=1 { p (1.4.3) (với l = 1; ; n) martingale Vì theo Định lý 1.1.2 ta có n E Smn p (Sml − Sm,l−1 ) =E n p m =C l=1 p Xkl E p l=1 m n l=1 n E Sml − Sm,l−1 C C E Xkl p (1.4.4) k=1 l=1 k=1 Kết hợp (1.4.2), (1.4.3) (1.4.4) cho ta (1.4.1) Trường hợp lại < p k E l max k m l n 1, ta có k p Xij E i=1 j=1 l max Xij k m l n i=1 j=1 m n =E Xij i=1 j=1 p m p n = E Xij p i=1 j=1 Ta nhận (1.4.1) Bổ đề chứng minh hoàn toàn 1.5 Một số bất đẳng thức Các bổ đề sau số bất đẳng thức sơ cấp số kết chuỗi số, sử dụng trình thiết lập luật số lớn 10 1.5.1 Bổ đề (xem [7], Bổ đề 2.4) Với p ∈ [1, 2] với k ∈ N ta có bất đẳng thức sau k p r p r k p i r −1 với r ∈ (0, p) i=1 k p p r k r −1 − (i0 − 1) r −1 p−r p i r −2 (1.5.1) i=i0 p r Chứng minh Với r ∈ (0, p) ta có p với i0 ∈ N, r ∈ ( , p) (1.5.2) p − > 0, hàm số y = x r −1 tăng (0, ∞) Vì i p r −1 i = i p r −1 i i−1 Nên i−1 k k i p x r −1 dx với i = 1, 2, , k dx i p r −1 x i=1 i=1 p r −1 k i−1 p x r −1 dx = dx = r p kr p p Với r ∈ ( p2 , p) pr − < Vì hàm số y = x r −2 giảm (0, ∞) Nên i p r −2 i = i p r −2 i p x r −2 dx với i = 1, 2, , k dx i−1 i−1 Suy k k i i p r −2 i=i0 p x r −2 dx = i=i0 i−1 p p r k r −1 − (i0 − 1) r −1 p−r 1.5.2 Bổ đề Cho k số nguyên dương Gọi d(k) số ước số dương k, ta có ∞ d(k) p r k k=i+1 n d(k) k=1 kr C logi p (i + 1) r −1 C n1− r logn với p > r > với r > (1.5.3) (1.5.4) Chứng minh bổ đề tìm thấy từ Bổ đề [9] số tài liệu Giải tích số 11 CHƯƠNG LUẬT SỐ LỚN CHO MẢNG PHÙ HỢP CÁC PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN TRONG KHÔNG GIAN BANACH P -TRƠN ĐỀU 2.1 Luật yếu số lớn Luật yếu số lớn cho dãy phù hợp phần tử ngẫu nhiên đưa N V Quang and L H Son [5] Sau luật yếu số lớn cho mảng phù hợp biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực với quan hệ thứ tự tần số N2 thiết lập N V Quang and N N Huy (xem [6]) Kết N V Quang and N V Huan mở rộng cho mảng phù hợp phần tử ngẫu nhiên không gian Banach (xem [7]) Trong tiết thiết lập luật yếu số lớn với số tất định số ngẫu nhiên với mảng phù hợp phần tử ngẫu nhiên (theo định nghĩa đưa chương trước) Các kết phần công bố [8] Sau luật yếu số lớn cho mảng phù hợp phần tử ngẫu nhiên không gian Banach p-trơn 2.1.1 Định lý Cho {Xmn , Fmn , m 1, n gian Banach p-trơn X (1 2), {bmn , m p bmn m 1, n 1} mảng số bmn } Ta có thực dương Đặt Yij = Xij I{ Xij 1} mảng phù hợp không n P Xij −→ m ∨ n −→ ∞, i=1 j=1 (2.1.1) 12 i) P ii) iii) max Xij > bmn −→ m ∨ n −→ ∞, (2.1.2) E{Yij |Fij∗ } −→ m ∨ n −→ ∞, (2.1.3) i m j n m n P bmn i=1 j=1 m n bpmn E Yij − E{Yij |Fij∗ } p −→ m ∨ n −→ ∞ (2.1.4) i=1 j=1 Chứng minh Với m m 1, n 1, đặt n n m m Yij Xij ; Smn = Smn = ; E{Yij |Fij∗ } µmn = i=1 j=1 i=1 j=1 i=1 j=1 n Theo (2.1.2) ta có P Smn Smn = = P(Smn = Smn ) bmn bmn { Xij > bmn } = P =P i m j n {Xij = Yij } P i m j n max Xij > bmn −→ m ∨ n −→ ∞ i m j n Để chứng minh (2.1.1) ta cần chứng minh P bmn Smn −→ đủ Lại theo (2.1.3) nên ta cần chứng minh bmn P (Smn − µmn ) −→ m ∨ n −→ ∞ (2.1.5) Với ε > 0, theo bất đẳng thức Markov ta có P bmn m n Yij − E{Yij |Fij∗ } (Smn − µmn ) > ε = P > bmn ε i=1 j=1 m bpmn εp n Yij − E{Yij |Fij∗ } E p i=1 j=1 Mặt khác, {Yij , Fij , i ≥ 1, j ≥ 1} E{Yij |Fij∗ }, Fij , i ≥ 1, j ≥ mảng phù hợp nên {Yij − E{Yij |Fij∗ }, Fij , i ≥ 1, j ≥ 1} mảng hiệu martingale 13 Theo (1.4.4) (2.1.4), ta P bmn (Smn − µmn ) > ε m C bpmn n E Yij − E{Yij |Fij∗ } εp p i=1 j=1 −→ m ∨ n −→ ∞ Đến ta thu (2.1.5) P P Dễ dàng nhận thấy Xmn −→ X m ∨ n −→ ∞, X1n −→ X n → ∞ Hơn nữa, ý m P n P{ Xij > bmn } max Xij > bmn i m j n i=1 j=1 ta nhận n i=1 Xi , Fn ; n 2.1.2 Hệ (xem [5], Định lý 2.1) Cho {Sn = hợp không gian Banach p-trơn X (1 1} dãy phù 2) giả sử {bn , n p dãy số dương với bn ↑ ∞ Kí hiệu Xni = Xi I{ Xi bn } , i 1} n, ta có P Sn −→ n −→ ∞, bn n P{ Xi > bn } −→ 0, i) i=1 ii) bn iii) bpn n P E{Xni |Fi−1 } −→ 0, i=1 n E Xni − E{Xni |Fi−1 } p −→ i=1 Nhận xét: Trong trường hợp đặc biệt, X = R, hệ thật mạnh Định lý 2.13 Hall Heyde nêu [10]: đưa kết tương tự với giả thiết mạnh { n i=1 Xi , Fn ; n ≥ 1} martingale (xem ví dụ để chứng tỏ điều [5]) Định lý thiết lập luật số lớn cho mảng phần tử ngẫu nhiên với số ngẫu nhiên không gian Banach p-trơn Định lý dạng 14 tương tự Định lý 4.2 [2], nhiên Định lý 4.2 [2] xét cho mảng phần tử ngẫu nhiên độc lập Định lý sau xét cho mảng phù hợp phần tử ngẫu nhiên Ngoài ra, phép chứng minh sử dụng số kĩ thuật khác so với kĩ thuật trình bày [2] 2.1.3 Định lý Cho {Xmn , Fmn ; m 1, n gian Banach p-trơn X , (1 2) Giả sử {Xmn , m p 1} mảng phù hợp không ngẫu nhiên phần tử ngẫu nhiên X Cho {Tn ; n 1, n 1} bị chặn 1} {τn ; n 1} dãy đại lượng ngẫu nhiên nhận giá trị nguyên dương cho Tn = OP (n) τn = OP (n) Cho số thực r ∈ (0, p) Đặt Yij = Xij I{ Xij m r n r } Nếu lim λP{ X > λ r } = (2.1.6) λ→∞ ta có luật yếu số lớn Tm i=1 τn j=1 Xij − E{Yij |Fij∗ } r r P −→ m ∨ n −→ ∞, m n Chứng minh Theo (1.3.2), với ε > 0, tồn số nguyên dương K = Kε để τn Tn >K ε supP >K ε supP n n n n Đầu tiên, ta chứng minh Tm i=1 τn j=1 (Xij r − Yij ) r m n Thật vậy, với ε > tùy ý ta có Tm i=1 P τn j=1 (Xij − Yij ) mr nr Tm Tm >ε i=1 j=1 Tm (2.1.7) τn Xij = P Yij i=1 j=1 τn Yij ∩ Tm Xij = P τn i=1 j=1 Tm τn P −→ m ∨ n −→ ∞, Km ∩ τn Kn i=1 j=1 + P{Tm > Km} + P{τn > Kn} Km Kn P Km Kn [ Xij > mn] + ε i=1 j=1 P{ Xij > mn} + ε i=1 j=1 CK mnP{ X > mn} + 2ε = o(1) + ε (theo (1.3.1)) 15 Vì ε > tùy ý nên ta nhận (2.1.7) Từ (2.1.7), ta cần chứng minh Tm i=1 τn j=1 Yij − E{Yij |Fij∗ } r m n r P −→ m ∨ n −→ ∞, (2.1.8) Với ε > tùy ý, ta có Tm i=1 P τn j=1 Yij − E{Yij |Fij∗ } 1 mr nr Tm i=1 τn j=1 Yij − E{Yij |Fij∗ } > ε ∩ Tm 1 mr nr + P{Tm > Km} + P{τn > Kn} P 1 1 Yij − E{Yij |Fij∗ } > εm r n r Yij − E{Yij |Fij∗ } > εm r n r P Kn + 2ε i=1 j=1 k=1 l=1 l k max k Km l Kn C p εp (mn) r Km ∩ τn l k Km Kn =P >ε + 2ε i=1 j=1 Km Kn E Yij − E{Yij |Fij∗ } p + 2ε i=1 j=1 (Vì Yij − E{Yij |Fij∗ } , Fij ; m 1, n lập thành mảng hiệu mar- tingale theo Bổ đề 1.4.2) Kết hợp (1.1.2) bất đẳng thức Jensen cho kì vọng có điều kiện ta thu E Yij − E{Yij |Fij∗ } p 2E Yij p E Yij p + L E{Yij |Fij∗ } + L E E{ Yij p p |Fij∗ } = (L + 2)E Yij p (2.1.9) Bởi p p mr nr Km Kn Km Kn E Yij − E{Yij |Fij∗ } p (L + 2)(mn) i=1 j=1 E Yij i=1 j=1 Km Kn = (L + 2)(mn) −p r −p r E Xij i=1 j=1 p I{ Xij 1 mr nr } p 16 Km Kn mn = (L + 2)(mn) −p r p E Xij I{(k − 1) r < Xij kr} i=1 j=1 k=1 Km Kn mn (L + 2)(mn) −p r p k r P{(k − 1) r < Xij k r } i=1 j=1 k=1 Theo (1.5.1), ta thu p p mr nr Km Kn E Yij − E{Yij |Fij∗ } p i=1 j=1 −p p(L + 2) (mn) r r −p p(L + 2) (mn) r = r Km Kn mn k p l r −1 P{(k − 1) r < Xij i=1 j=1 k=1 kr} l=1 Km Kn mn mn l p r −1 i=1 j=1 l=1 P{(k − 1) r < Xij kr} k=l Km Kn mn = C(mn) −p r p l r −1 P{(l − 1) r < Xij (mn) r } i=1 j=1 l=1 Km Kn mn C(mn) −p r p l r −1 P{ Xij > (l − 1) r } i=1 j=1 l=1 Km Kn mn C(mn) = C(mn) −p r −p r p l r −1 P{ X > (l − 1) r } i=1 j=1 l=1 mn K mn p l r −1 P{ X > (l − 1) r } l=1 mn = C(mn) −p r +1 p l r −2 l P{ X > (l − 1) r } (2.1.10) l=1 p Trong trường hợp < r p , ta có l r −2 p (mn) r −2 với l = 1, 2, , mn Sử dụng giả thiết lim P{ X > (l − 1) r } = 0, (2.1.10) Định lý Stolz ta có l→∞ p p mr nr m n E Yij − E{Yij |Fi,j−1 } p i=1 j=1 mn l P{ X > (l − 1) r } C l=1 mn −→ m ∨ n −→ ∞ 17 p Trường hợp lại, < r < p Từ giả thiết lim P{ X > (l − 1) r } = 0, với ε > cho trước, tồn l0 ∈ N để l→∞ l P{ X > (l − 1) r } < ε với l l0 Khi ta mn (mn) = (mn) −p r +1 −p r +1 p l r −2 l P{ X > (l − 1) r } l=1 l0 mn l r p r −2 p l r −2 l P{ X > (l − 1) r } l P{ X > (l − 1) } + l=l0 l=1 mn C(mn) −p r +1 + (mn) −p r +1 p l r −2 ε l=l0 Chú ý C(mn) −p r +1 → m ∨ n −→ ∞ Mặt khác p < r < p, nên theo (1.5.2), ta thu mn (mn) −p r +1 p l r −2 ε (mn) −p r +1 l=l0 p p r (mn) r −1 − (l0 − 1) r −1 ε p−r r ε = ε với mn > l0 p−r Vậy (mn) −p r +1 mn p −2 r l=1 l l P{ X > (l − 1) r } −→ m ∨ n −→ ∞ Vì ε > tùy ý nên ta nhận (2.1.8) 2.1.4 Hệ Cho {Xmn , Fmn ; m 1, n gian Banach p-trơn X , (1 2) Giả sử {Xmn , m p 1} mảng phù hợp không ngẫu nhiên phần tử ngẫu nhiên X Cho {Tn ; n 1, n 1} {τn ; n 1} bị chặn 1} dãy biến ngẫu nhiên nhận giá trị nguyên dương Tn = OP (n) τn = OP (n) Cho số thực α, β ∈ (0, p) Đặt Yij = Xij I{ Xij 1 m α n β } Nếu lim λP{ X > λ max{α,β} } = λ→∞ ta có luật số lớn Tm i=1 τn j=1 ∗ Xij − E{Yij |Fi,j } α m n β P −→ m ∨ n −→ ∞, (2.1.11) 18 Chứng minh Trong trường hợp α = β, theo Định lý 2.1.3, ta có (2.1.11) Trong trường hợp α = β, ta giả sử α < β Dễ dàng chứng minh Tm i=1 τn j=1 (Xij α m n − Yij ) β P −→ m ∨ n −→ ∞, ta cần chứng minh Tm i=1 τn j=1 Yij − E{Yij |Fij∗ } α m n β P −→ m ∨ n −→ ∞ Với ε > bất kì, tồn số nguyên dương K = Kε cho Tm i=1 P τn j=1 Yij − E{Yij |Fij∗ } α m n β >ε −p α Cm n −p β Km Kn E Yij p + 2ε i=1 j=1 Mặt khác ta lại có −p α m n −p β Km Kn E Yij −p α p =m n −p β i=1 j=1 Km Kn p E Xij 1 mβ nβ } I{ Xij i=1 j=1 −p α +m n −p β Km Kn E Xij p 1 I{m β n β < Xij 1 mα nβ } i=1 j=1 m p p β−α (mn) −p β Km Kn Km Kn E Xij p I{ Xij β β m n } + i=1 j=1 i=1 j=1 Km Kn 1 P X > mβ nβ o(1) + C i=1 j=1 1 = o(1) + CK mnP X > m β n β −→0 m ∨ n −→ ∞ Hệ chứng minh hoàn toàn 2.2 Luật mạnh số lớn Trong tiết thiết lập Luật mạnh số lớn cho mảng phù hợp phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach p-trơn Đầu tiên Luật mạnh số lớn cho mảng hiệu martingale P Xij > m β n β 19 Cho {Xij ; 2.2.1 Định lý Cho α > 0, β > < p i m, j n} họ mn phần tử ngẫu nhiên không gian Banach khả li Khi < p ta giả thiết thêm {Xij , Fij ; i m, j n} mảng hiệu martingale không gian Banach p- trơn Nếu ∞ ∞ i=1 j=1 E Xij p tùy ý, ta có S2k 2l ε P{|Tkl | > ε} P > (2αk 2βl ) S2k 2l ε > (2αk 2βl ) p (1.4.4)) ∞ E Xij p (2αk 2βl )p i=1 j=1 k=[logi] l=[logj] ∞ ∞ E Xij p ε} ∞ 2k+1 2l+1 C k=1 l=1 i=1 j=1 k=1 l=1 ∞ E Xij p (2α(k+1) 2β(l+1) )p ∞ C i=1 j=1 E Xij p (ij) r ) nguyên dương k Đặt Xij = Xij I( Xij Khi với i j ta có Xij − E{Xij |Fij∗ } = (Xij − E{Xij |Fij∗ }) + (Xij − E{Xij |Fij∗ }) (2.2.7) Đầu tiên ta chứng minh n m (mn) Xij − E{Xij |Fij∗ } → h.c.c r m ∨ n → ∞ (2.2.8) i=1 j=1 Thật vậy, sử dụng (1.5.3) ta có đánh giá ∞ ∞ E Xij − E{Xij |Fij∗ } ∞ ∞ =C i=1 j=1 ∞ =C k=1 ∞ p (ij) r d(k) p kr C i=0 ∞ k−1 i=0 logi p (i + 1) r −1 ∞ k=1 ∞ (i+1) r i=0 ir x dF (x) (i+1) r d(k) p r k k=i+1 ∞ p xp dF (x) ∞ xp dF (x) = C (i+1) r kr d(k) p kr xp dF (x) = C ir (theo (2.1.9)) (ij) r i=1 j=1 p p (ij) r xr log+ |x| dF (x) C E Xij C p (ij) r i=1 j=1 ∞ ∞ p C i=0 (i+1) r xp (x ir ir p r −1 )r xp dF (x) log+ |x| dF (x) CE X r log+ X < ∞ Theo Định lý 2.2.1 α = β = r ta thu (2.2.8) Tiếp theo ta chứng minh m (mn) r n (Xij − E{Xij |Fij∗ }) → h.c.c i=1 j=1 m ∨ n → ∞ (2.2.9) 22 Thật vậy, sử dụng (1.5.4) ta có đánh giá ∞ ∞ ∞ E Xij − E{Xij |Fij∗ } i=1 j=1 ∞ (ij) ∞ C (ij) r i=1 j=1 ∞ i C d(k) i=1 ∞ k=1 kr |x| dF (x) C (ij) r (ij) r k=1 ir ∞ d(k) (i+1) r kr |x|dF (x) kr ∞ |x|dF (x) C i 1− 1r (i+1) r logi i=1 |x|r log+ |x| dF (x) C i=1 j=1 ∞ E Xij C r ∞ ∞ CE X r ir |x|dF (x) log+ X < ∞ Theo Định lý 2.2.1 α = β = r p = ta thu (2.2.9) Kết hợp (2.2.7) (2.2.8) với (2.2.9) ta có (2.2.6) Nhận xét Trong trường hợp riêng, Fmn = σ{Xij ; i < m j < n} ta nhận Định lý 3.3 < r < p [4] 23 KẾT LUẬN Kết Khóa luận nghiên cứu Luật yếu số lớn luật mạnh số lớn cho mảng hai chiều phần tử ngẫu nhiên không gian Banach p-trơn Khóa luận đưa khái niệm mảng hiệu martingale- hướng mở rộng cho khái niệm mảng phần tử ngẫu nhiên độc lập kì vọng Khóa luận thiết lập Luật yếu số lớn cho mảng phần tử ngẫu nhiên với số tất định với số ngẫu nhiên không gian Banach p-trơn Đó Định lý 2.1.1, Định lý 2.1.3 Hệ 2.1.4 Thiết lập Luật mạnh số lớn cho mảng hiệu martingale, Định lý 2.2.1, kết mở rộng Định lý 2.1 hội tụ hầu chắn [3] Luật mạnh số lớn kiểu Marcinkiewicz-Zygmund thiết lập Định lý 2.2.2 Hướng phát triển khóa luận Sử dụng khái niệm mảng hiệu martingale để thiết lập định lý hội tụ theo trung bình, đặc biệt Luật số lớn Mở rộng kết cho mảng đa trị 24 TÀI LIỆU THAM KHẢO tiếng việt [1] Nguyễn Văn Quảng (2007), Giáo trình xác suất, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội tiếng anh [2] A Rosalsky and L V Thanh (2006), Strong and weak law of large numbers for double sums of independent random elements in Rademacher type p Banach spaces, Stochastic Analysis and Applications, 24, 1097-1117 [3] L V Thanh (2005), Strong law of large numbers and Lp -convergence for double arrays of independent random variables, Acta Math Vietnam, 30, No 3, pp 225-232 [4] L V Dung, N D Tien and A Volodin, Marcinkiewicz-type law of large numbers for double arrays of random elements in martingale type p Banach spaces, preprint [5] N V Quang and L H Son (2006), On the weak law of large numbers for sequences of Banach space valued random elements, Bull Korean Math Soc 43, No 3, pp 551-558 [6] N V Quang and N N Huy (2008), Weak law of large numbers for adpted double arays of random variables, J Korean Math Soc 45, No 3, pp 795-805 [7] N V Quang and N V Huan (2008), On the weak law of large numbers for double arrays of Banach space valued random elements, Journal of Probability and Statistical Science, 6, No 2, pp 125-134 25 [8] N V Quang and N T Thuan (2009), On the weak law of large numbers for double adapted array of random elements in p-uniformly smooth Banach space, Lobachevski Journal of Mathematics, 30, No 2, pp 159-167 (accepted) [9] O I Klesov (1996), Almost sure convergence of multiple series of independent random variables, Theory Probab Appl., 40, No 1, pp 52-65 [10] P Hall, C C Heyde (1980), Martingale limit theory and its application, Academic Press, New York [11] Y S Chow and H Teicher (1997), Probability Theory: Independence, Interchangeability, Martingales, 3rd Ed Springer-Verlag, New York [...]... rộng cho mảng phù hợp các phần tử ngẫu nhiên trên không gian Banach (xem [7]) Trong tiết này chúng tôi sẽ thiết lập các luật yếu số lớn với chỉ số tất định và chỉ số ngẫu nhiên với các mảng phù hợp các phần tử ngẫu nhiên (theo định nghĩa chúng tôi đã đưa ra ở chương trước) Các kết quả chính trong phần này đã được chúng tôi công bố trong [8] Sau đây là luật yếu số lớn cho mảng phù hợp các phần tử ngẫu. ..11 CHƯƠNG 2 LUẬT SỐ LỚN CHO MẢNG PHÙ HỢP CÁC PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN TRONG KHÔNG GIAN BANACH P -TRƠN ĐỀU 2.1 Luật yếu số lớn Luật yếu số lớn cho dãy phù hợp các phần tử ngẫu nhiên được đưa ra bởi N V Quang and L H Son trong [5] Sau đó luật yếu số lớn cho mảng phù hợp các biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực với quan hệ thứ tự tần số trên N2 được thiết lập bởi N V Quang and N... chứng minh hoàn toàn 2.2 Luật mạnh số lớn Trong tiết này chúng tôi sẽ thiết lập Luật mạnh số lớn cho mảng phù hợp các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trên không gian Banach p-trơn đều Đầu tiên là Luật mạnh số lớn cho mảng các hiệu martingale 1 P Xij > m β n β 19 2 Cho {Xij ; 1 2.2.1 Định lý Cho α > 0, β > 0 và 0 < p i m, 1 j n} là họ mn phần tử ngẫu nhiên trong không gian Banach khả li Khi 1 < p ta... tiếp theo thiết lập luật số lớn cho mảng các phần tử ngẫu nhiên với chỉ số ngẫu nhiên trong không gian Banach p-trơn đều Định lý này là một dạng 14 tương tự của Định lý 4.2 trong [2], tuy nhiên Định lý 4.2 trong [2] chỉ xét cho mảng các phần tử ngẫu nhiên độc lập còn Định lý sau đây xét cho mảng phù hợp các phần tử ngẫu nhiên Ngoài ra, phép chứng minh của chúng tôi cũng sử dụng một số kĩ thuật khác so... mảng các hiệu martingale- là một hướng mở rộng cho khái niệm mảng các phần tử ngẫu nhiên độc lập kì vọng 0 Khóa luận đã thiết lập được Luật yếu số lớn cho mảng các phần tử ngẫu nhiên với chỉ số tất định và với chỉ số ngẫu nhiên trong không gian Banach p-trơn đều Đó là Định lý 2.1.1, Định lý 2.1.3 và Hệ quả 2.1.4 Thiết lập được Luật mạnh số lớn cho mảng các hiệu martingale, đó là Định lý 2.2.1, kết quả... Cho {Xmn , Fmn ; m 1, n gian Banach p-trơn đều X , (1 2) Giả sử {Xmn , m p 1} là mảng phù hợp trong không ngẫu nhiên bởi phần tử ngẫu nhiên X Cho {Tn ; n 1, n 1} bị chặn 1} và {τn ; n 1} là dãy các đại lượng ngẫu nhiên nhận giá trị nguyên dương sao cho Tn = OP (n) và τn = OP (n) 1 Cho số thực r ∈ (0, p) Đặt Yij = Xij I{ Xij 1 m r n r } Nếu 1 lim λP{ X > λ r } = 0 (2.1.6) λ→∞ thì ta có luật yếu số lớn. .. được (2.2.9) Kết hợp (2.2.7) và (2.2.8) với (2.2.9) ta có (2.2.6) Nhận xét Trong trường hợp riêng, khi Fmn = σ{Xij ; i < m hoặc j < n} ta nhận được Định lý 3.3 đối với 1 < r < p 2 ở [4] 23 KẾT LUẬN 1 Kết quả chính Khóa luận nghiên cứu về Luật yếu số lớn và luật mạnh số lớn cho mảng hai chiều các phần tử ngẫu nhiên trong không gian Banach p-trơn đều Khóa luận đã đưa ra được khái niệm mảng các hiệu martingale-... Hệ quả Cho {Xmn , Fmn ; m 1, n gian Banach p-trơn đều X , (1 2) Giả sử {Xmn , m p 1} là mảng phù hợp trong không ngẫu nhiên bởi phần tử ngẫu nhiên X Cho {Tn ; n 1, n 1} và {τn ; n 1} bị chặn 1} là dãy các biến ngẫu nhiên nhận giá trị nguyên dương và Tn = OP (n) và τn = OP (n) Cho số thực α, β ∈ (0, p) Đặt Yij = Xij I{ Xij 1 1 m α n β } Nếu 1 lim λP{ X > λ max{α,β} } = 0 λ→∞ thì ta có luật số lớn Tm... mảng hai chiều các phần tử ngẫu nhiên 2.2.2 Định lý Cho 1 < r < p 2 và {Xmn , Fmn ; m 1, n hợp trong không gian Banach p-trơn đều X Giả sử {Xmn , m 1} là mảng phù 1, n 1} bị 21 r chặn ngẫu nhiên bởi phần tử ngẫu nhiên X Nếu E X m 1 (mn) n Xij − E{Xij |Fij∗ } → 0 h.c.c 1 r log+ X < ∞ thì m ∨ n → ∞ (2.2.6) khi i=1 j=1 Chứng minh Gọi F là hàm phân phối của X , d(k) là số ước số dương của số 1 1 (ij) r... tôi công bố trong [8] Sau đây là luật yếu số lớn cho mảng phù hợp các phần tử ngẫu nhiên trong không gian Banach p-trơn đều 2.1.1 Định lý Cho {Xmn , Fmn , m 1, n gian Banach p-trơn đều X (1 2), {bmn , m p bmn m 1, n 1} là mảng các số bmn } Ta có thực dương Đặt Yij = Xij I{ Xij 1 1} là mảng phù hợp trong không n P Xij −→ 0 khi m ∨ n −→ ∞, i=1 j=1 (2.1.1) 12 nếu i) P ii) iii) 1 max Xij > bmn −→ 0 khi