xác suất thống kê chương 3 xstk các đặc trưng cua đại lượng ngẫu nhiên va vecto ngẫu nhiên sinhvienzone com

Chương 3.Các đặc trưng đại lượng ngẫu nhiên véctơ ngẫu nhiên §1 Kỳ vọng Định nghĩa     xi   pi        xi pi Định nghĩa 1.1: Giả sử i Định nghĩa 1.2: Giả sử X liên tục có hàm mật độ f X  x         x f X  x  dx  Ý nghĩa: Kỳ vọng E(X) giá trị trung bình X Tính chất: (1) E(C) = C,(2) E(CX) = C.E(X) ,C số (3) E(X+Y) = E(X) + E(Y) (4) X, Y độc lập suy E(XY) = E(X).E(Y) SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn §2: PHƯƠNG SAI 1.Định nghĩa 2.1:Phương sai đại lượng ngẫu nhiên X là:  D              Định lý 2.1 :    D()           với  2   xi2.pi , X rời rạc ;    2  i  x  f  x dx , neáu X liên tục  C D() Tính chất: (1) D(C) = ; (2) D(CX) = (3) X,Y độc lập suy D(X+Y) = D(X)+D(Y) (4) D(C+ X) = D(X), với C số Độ lệch:      D    SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn §3.Các đặc trưng khác đại lượng ngẫu nhiên 1.Mod X (giá trị X ứng với xác suất lớn nhất) Định nghĩa 3.1: Giả sử X rời rạc     xi   pi  M o d   xi n e áu p i  M a x p i Định nghĩa 3.2: Giả sử X liên tục có hàm f X  x , ta có  Mod   x0 neáu f X  x0   Max f X  x  Med X(medium – trung vị X) Định nghĩa 3.3: Med   m      m  1/ 2,   X  m  1/ Định lý 3.1: Nếu X liên tục M edX  m  F X ( m )  SinhVienZone.com  m  f X  x  dx  https://fb.com/sinhvienzonevn 3.Moment Định nghĩa 3.4: Moment cấp k cuả đại lượng ngẩu nhiên X số a : k    X  a    a = 0: moment gốc a = E(X): moment trung tâm Hệ số nhọn hệ số bất đối xứng(xem SGK) Ví dụ 3.1: cos x, x   0,  / 2  ~ fX  x   0, x   0,  / 2        SinhVienZone.com x f X  x  d x    /2 x co s xd x  https://fb.com/sinhvienzonevn  1   D  X    x cos xdx           2   /2    X2 Mod X =0 Med X = m   m  f X  x  dx   m cos xdx  /  sin m  / 2, m  [0,  / 2]  m   / Ví dụ 3.2 :Cho X có bảng phân phối xác suất sau X m 1 m2 P p qp q SinhVienZone.com m m1 p q m 1 m k k 1 p q p q p https://fb.com/sinhvienzonevn  E(X )   k p q k 1 k 1   p 1  q    D ( X )   k pq    p k 1       k 1    p    1 q  p    (1  q ) p   1 q q    2 p p p2 Mod X =  p 1  q   q m    /  Med X =m   m2 m 1 p  q   q  q  1/   SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn m1  1 q  m1 p  1/ q   1 q m1   1  q  1/       m m 1  q  1/  p  q  1/ qm     q  m ln q   ln ,  m  1 ln q   ln  ln  ln  m 1 ln q ln q SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn .Ví dụ 3.3 : Cho X có bảng phân phối xác suất sau: X P 0, 0,3 0,3     2.0,4  5.0,3  7.0,3  4,4 2 D    2 0.4    0,3  0,3  4,4        2     D( X )  2,107 Mod X = ; Med X = SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn Cách dùng máy tính bỏ túi ES • Mở tần số(1 lần): Shift Mode • Nhập: Mode Stat 1-var xi Stat On(Off) ni 0,4 0,3 0,3 AC: báo kết thúc nhập liệu Cách đọc kết quả: Shift Stat Var x       4,  n  x n   x       2,107 SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn Cách dùng máy tính bỏ túi MS: Vào Mode chọn SD Xóa liệu cũ: SHIFT CLR SCL = Cách nhập số liệu : 2; 0,4 M+ 5; 0,3 M+ 7; 0,3 M+ Cách đọc kết quả: SHIFT S – VAR SinhVienZone.com x       4,  n  x n   x       2,107 https://fb.com/sinhvienzonevn 10 Ví dụ 3.4: Tung lúc xúc xắc cân đối,đồng chất Gọi X tổng số điểm nhận Hãy tính E(X), D(X) Giải: Gọi Xi số điểm xúc xắc thứ i   1 2  5     1    5   5 1  Xi độc lập  D   D 1   D 2    D 5   5D 1  X1 PX 1 SinhVienZone.com    1   , 1 6 35 D  1   12 https://fb.com/sinhvienzonevn 11 §4: Kỳ vọng hàm Y      1.Trường hợp rời rạc:   xi   pi  E(Y)    xi  pi i 2.Trường hợp liên tục:  ~ f X  x    Y   Ví dụ 4.1: Cho   fX x       x  f X  x  d x     c o s x , x  ,          0 , x  0,    Tìm kỳ vọng phương sai Y= sinX SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn 12  Y     /2  Y  sin x sin x cos xdx   /2 sin x sin x cos xdx    /2 D Y    Y    E Y   SinhVienZone.com  /2  1    12 https://fb.com/sinhvienzonevn 13 §5: Kỳ vọng hàm     ,Y   1.Trường hợp rời rạc:    x i , Y  y j      Ví dụ 5.1:  Y   x i y j p ij  p ij    x , y  p i j ij i, j i, j 2.Trường hợp liên tục: (X,Y) liên tục có hàm mật độ f(x,y) Ví dụ 5.2:          x, y  f  x, y  dxdy    R Z     8xy, neáu  x  y  1, (hình 5.1) f  x, y   0 , trái lại SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn 14 HÌNH 5.1 y   SinhVienZone.com X https://fb.com/sinhvienzonevn 15      R  Y y f  R  X  X Y x, y dxdy  y2 f x, y dxdy x2 f x, y dxdy   dy  dy  y y x x y d x y x y d x       R SinhVienZone.com    x, y dxdy    R  Y x f xy f x, y dxdy https://fb.com/sinhvienzonevn 16 §6: Các đặc trưng vectơ ngẫu nhiên 1.Kỳ vọng: E(X,Y) = (E(X),E(Y)) Hiệp phương sai (covarian): Định nghĩa 6.1: cov(X,Y) = E[(X - E(X)).(Y – E(Y))] Định lý 6.1: cov(X,Y) = E(XY) – E(X).E(Y) Tính chất: (1) X,Y độc lập cov(X,Y) = (2) cov(X,X) = D(X) n m n  m  (3) cov    i ,  Y j     cov   i , Y j  j 1  i 1  i 1 j 1 m m  m  (4) cov    i ,   k    D   i    cov   i , X k  k 1 ik  i 1  i 1 SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn 17 Hệ số tương quan Định nghĩa 6.2: R XY cov  ,Y         Y  Tính chất: (1) X,Y độc lập  RY  (2) R X Y  1,   , Y (3) R X Y    a , b , c : a   b Y  c Ý nghĩa: Hệ số RXY đặc trưng cho ràng buộc tuyến tính X Y: R X Y gần1, X,Y gần có quan hệ tuyến tính  cov ,  ,cov ,Y   Ma trận tương quan: D ,Y     covY,  ,covY,Y     SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn 18 • Ví dụ 6.1:Cho biến ngẫu nhiên có phương sai 1, 2 , , m;Y1,Y2 , ,Yn cov i , j   p1;covYi ,Yj   p2;cov i ,Yj   p3 Tìm hệ số tương quan biến ngẫu nhiên: U   1 2  m  V  Y1 Y2  Yn  Giải: n m  m n cov U ,V   cov   i , Yi   .cov  i , Yj   m.n p3 j 1  i1  i1 j 1 m m  m D U   cov   i ,  X k    D  i   cov  i , k   m  m(m 1) p1 k 1 i k  i1  i1 D V   n  n(n 1) p2 cov U ,V  m.n p3 RUV    U   V  m  m  m 1 p1 n  n  n 1 p2 SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn 19 Cách dùng máy tính bỏ túi a)Loại ES: MODE STAT a+bx xi yj pij AC Cách đọc kết quả: SHIFT STAT VAR SHIFT STAT VAR SHIFT STAT VAR SHIFT STAT VAR SHIFT STAT REG SHIFT STAT SUM SinhVienZone.com x    X  x n    X  y   Y  y n   Y  r  R XY  xy    XY  https://fb.com/sinhvienzonevn 20 b) Loại MS: MODE REG LIN Cách xóa liệu cũ : SHIFT CLR SCL = Cách nhập liệu : Cách đọc kết quả: SHIFT S-VAR SHIFT S-VAR SHIFT S-VAR SHIFT S-VAR SHIFT S-VAR SHIFT S-SUM SinhVienZone.com xi , y j ; p ij x   M  X  x n    X   y    Y   y  n    Y    r   R XY   xy   XY  https://fb.com/sinhvienzonevn 21 Ví dụ 6.2: Giả sử X,Y có bảng phân phối xác suất sau: Y 0,1 0,2 0,3 0,4 X SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn 22 .Bảng tương đương với bảng sau: SinhVienZone.com xi yj pij 0,1 0,2 0,3 0,4 https://fb.com/sinhvienzonevn 23 Nhập bảng số liệu vào máy tính,ta có: x    X   1, x n    X   0,9165 y   Y   4, y n   Y   0, 9798 r  R XY   0, 0891  xy    XY   5,8 SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn 24 ... q SinhVienZone. com https://fb .com/ sinhvienzonevn .Ví dụ 3. 3 : Cho X có bảng phân phối xác suất sau: X P 0, 0 ,3 0 ,3     2.0,4  5.0 ,3  7.0 ,3  4,4 2 D    2 0.4    0 ,3  0 ,3. .. D(CX) = (3) X,Y độc lập suy D(X+Y) = D(X)+D(Y) (4) D(C+ X) = D(X), với C số Độ lệch:      D    SinhVienZone. com https://fb .com/ sinhvienzonevn ? ?3. Các đặc trưng khác đại lượng ngẫu nhiên 1.Mod... SinhVienZone. com    x, y dxdy    R  Y x f xy f x, y dxdy https://fb .com/ sinhvienzonevn 16 §6: Các đặc trưng vectơ ngẫu nhiên 1.Kỳ vọng: E(X,Y) = (E(X),E(Y)) Hiệp phương sai (covarian):