Bài giảng xác suất thống kê chương 3 các biến ngẫu nhiên đặc biệt

27 3.5K 1
Bài giảng xác suất thống kê   chương 3 các biến ngẫu nhiên đặc biệt

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

Chương CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN ĐẶC BIỆT Biến ngẫu nhiên nhị thức Biến ngẫu nhiên Poisson Biến ngẫu nhiên siêu bội Biến ngẫu nhiên chuẩn Biến ngẫu nhiên nhị thức Dãy phép thử Bernoulli: dãy n phép thử gọi dãy n phép thử Bernoulli nếu: Các phép thử độc lập với nhau, Trong phép thử biến cố A mà ta quan tâm có xác suất p khơng đổi Số p gọi xác suất thành công Số lần A xuất n phép thử gọi số lần thành công dãy phép thử Bernoulli Xác suất để có k lần thành cơng n phép thử 𝐶 𝑛𝑘 𝑝 𝑘 (1 − 𝑝) 𝑛−𝑘 Biến ngẫu nhiên nhị thức Ví dụ: Tại tỉnh A, theo số liệu thống kê cho biết có 25% dân số bị sốt rét Chọn ngẫu nhiên người Kiểm tra người người xem có mắc bệnh sốt rét hay khơng Phép thử kiểm tra người có bệnh sốt rét hay không thực lần? Trong lần kiểm tra, xác suất người kiểm tra mắc bệnh bao nhiêu? Hãy tính xác suất để có người mắc bệnh người này!? Biến ngẫu nhiên nhị thức Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên 𝑋 số lần thành công dãy 𝑛 phép thử Bernoulli với xác xuất thành công 𝑝 gọi biến ngẫu nhiên nhị thức, ký hiệu 𝑋~𝐵(𝑛; 𝑝) 𝑃 𝑋 = 𝑘 = 𝐶 𝑛𝑘 𝑝 𝑘 (1 − 𝑝) 𝑛−𝑘 , ≤ 𝑘 ≤ 𝑛 Nhận xét: Xét dãy 𝑛 phép thử Bernoulli với xác xuất thành công 𝑝 Đặt 1, phép thử thứ 𝑘 thành công 𝑋𝑘 = 0, phép thử thứ 𝑘 thất bại Thế 𝑋 = 𝑋1 + 𝑋2 + ⋯ + 𝑋 𝑛 Biến ngẫu nhiên nhị thức Ví dụ: Tại tỉnh A, theo số liệu thống kê cho biết có 25% dân số bị sốt rét Chọn ngẫu nhiên người Tính xác suất có người bị sốt rét người chọn Ví dụ: Có máy hoạt động độc lập Xác suất để ngày máy bị hỏng 0,1 Tìm xác suất để: (a) Trong ngày có máy hỏng; (b) Trong ngày có khơng q máy hỏng Biến ngẫu nhiên nhị thức Định lý: Cho 𝑋~𝐵 𝑛; 𝑝 Ta có  𝐸 𝑋 = 𝑛𝑝;  𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝑛𝑝(1 − 𝑝)  𝑛𝑝 + 𝑝 − ≤ 𝑀𝑜𝑑 𝑋 ≤ 𝑛𝑝 + 𝑝 Ví dụ: Một đề thi có 20 câu hỏi, câu có đáp án có đáp án Sinh viên A trả lời cách ngẫu nhiên tất câu Gọi X số câu trả lời sinh viên Tính 𝐸 𝑋 , 𝑉𝑎𝑟 𝑋 , 𝑀𝑜𝑑 𝑋 Ví dụ: Một máy sản xuất 200 sản phẩm ngày Xác suất để sản xuất phế phẩm 0,05 Tìm số phế phẩm trung bình số phế phẩm tin máy ngày Biến ngẫu nhiên Poisson Định nghĩa: BNN 𝑋 nhận giá trị 0,1, … , 𝑛, … với xác xuất 𝜆 𝑘 −𝜆 𝑃 𝑋= 𝑘 = 𝑒 𝑘! gọi BNN Poisson với tham số 𝜆, ký hiệu 𝑋~𝑃(𝜆) BNN Poisson thường số kiện xảy khoảng thời gian đó; tham số 𝜆 trung bình số kiện xảy khoảng thời gian Ví dụ: Quan sát phút thấy có 15 người vào đại lý internet Tính xác suất phút có người vào nơi Nhị thức xấp xỉ Poisson Định lý: Cho 𝑋~𝐵 𝑛; 𝑝 Khi 𝑛 lớn 𝑝 nhỏ, 𝑛𝑝 = 𝜆 𝑋~𝑃(𝜆) Quy ước: 𝑛 ≥ 100 𝑝 ≤ 0.01 Ví dụ: Trong lơ thuốc dạng ống, tỷ lệ thuốc hư 0,003 Kiểm nghiệm 1000 ống Tính xác suất để gặp ống bị hỏng Ví dụ: Giả sử xác suất tử vong bệnh sốt xuất huyết 0,7% Tính xác suất để có người chết sốt xuất huyết nhóm 400 người Nhị thức xấp xỉ Poisson Bài tập: máy dệt có 4000 ống sợi Xác suất để ống sợi bị đứt phút 0,0005 Tính xác suất để phút: Có ống sợi bị đứt; Có hai ống sợi bị đứt Bài tập: Xác suất chai rượu bị bể vận chuyển 0,001 Giả sử vận chuyển 4000 chai Tìm số chai rượu bị bể trung bình số chai bị bể tin vận chuyển Bài tập: Một nhà vườn trồng 256 mai với xác suất nở hoa dịp tết năm 0,62 Giá bán mai nở hoa 0,5 triệu đồng Giả sử nhà vườn bán hết mai nở hoa Hỏi nhà vườn thu chắn tiền? Biến ngẫu nhiên siêu bội Ví dụ: Trong hộp có 10 hịn bi, gồm bi đỏ bi đen Lấy ngẫu nhiên lần bi Gọi X số bi đen bi lấy Tính xác suất để có m bi đen Định nghĩa: BNN rời rạc 𝑋 nhận giá trị nguyên 𝑘 thỏa max(0, 𝑛 − (𝑁 − 𝑀)) ≤ 𝑘 ≤ min(𝑛, 𝑀) với xác suất 𝑘 𝑛−𝑘 𝐶 𝑀 × 𝐶 𝑁−𝑀 𝑃 𝑋= 𝑘 = 𝑛 𝐶𝑁 gọi BNN siêu bội, ký hiệu 𝑋~𝐻 𝑁, 𝑀, 𝑛 Xấp xỉ siêu bội nhị thức Định lý: Cho 𝑋~𝐻 𝑁, 𝑀, 𝑛 Nếu 𝑛 nhỏ so với 𝑁 𝑋 có phân phối xấp xỉ nhị thức với hai tham số 𝑛 𝑀 𝑝 với 𝑝 = 𝑁 Ví dụ: Trong lơ hàng gồm 1000 sản phẩm, có 800 sản phẩm loại A 200 sản phẩm loại B Lấy ngẫu nhiên từ lơ hàng 10 sản phẩm để kiểm tra Tìm xác suất để có sản phẩm loại A 10 sản phẩm lấy Ví dụ: Một ao cá có 10.000 cá da trơn, có 1.000 cá tra Tính xác suất để bắt ngẫu nhiên 1) 20 từ ao cá tra 2) 50 từ ao 10 cá tra Biến ngẫu nhiên chuẩn Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên 𝑋 gọi BNN chuẩn 𝑋 có hàm mật độ (𝑥−𝜇)2 − 𝑓 𝑥 = 𝑒 2𝜎2 𝜎 2𝜋 đó, 𝜇, 𝜎 ∈ ℛ, 𝜎 > 0, ký hiệu 𝑋~𝑁 𝜇; 𝜎 Đồ thị hàm mật độ chuẩn Định lý: 𝑋~𝑁(𝜇, 𝜎 ) 𝐸 𝑋 = 𝜇, 𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝜎 , 𝑀𝑜𝑑 𝑋 = 𝜇 𝑦 𝑂 𝜇 𝑥 Biến ngẫu nhiên chuẩn Định nghĩa: Cho 𝑋~𝑁 𝜇; 𝜎 Nếu 𝜇 = 𝜎 = ta gọi 𝑋 biến ngẫu nhiên chuẩn tắc Hàm mật độ biến ngẫu nhiên chuẩn tắc 𝑋 𝑓 𝑥 = Có đồ thị 𝑦 2𝜋 𝑥2 − 𝑒 Định lý: Cho 𝑋~𝑁 𝜇; 𝜎 Thế 𝑋−𝜇 ~𝑁(0,1) 𝜎 𝑂 𝑥 Biến ngẫu nhiên chuẩn Hàm phân phối biến ngẫu nhiên chuẩn tắc 𝑋 𝐹 𝑥 = Tích phân Laplace 𝜙 𝑥 = 2𝜋 𝑥 𝑑𝑡 𝑡2 − 𝑒 𝑑𝑡 −∞ 𝑥 2𝜋 𝑡2 − 𝑒 Liên hệ tích phân Laplace hàm phân phối 𝐹 𝑥 = + 𝜙 𝑥 Tính chất tích phân Laplace: 𝜙(𝑥) hàm lẻ lim 𝜙(𝑥) = 0.5 𝑥→+∞ Biến ngẫu nhiên chuẩn Định lý: Cho 𝑋~𝑁 0,1 Ta có 1) 𝑃 𝑎 < 𝑋 < 𝑏 = 𝜙 𝑏 − 𝜙 𝑎 ; 2) 𝑃 −𝑎 < 𝑋 < 𝑎 = 2𝜙(𝑎) Ví dụ: Cho 𝑋~𝑁 0,1 Tính 1) 𝑃 −1 < 𝑋 < ; 2) 𝑃 𝑋 > ; 3) 𝑃(𝑋 < −1) 4) 𝑃( 𝑋 < 2) 5) 𝑃( 𝑋 > 1) Biến ngẫu nhiên chuẩn Hệ quả: Cho 𝑋~𝑁 𝜇, 𝜎 Ta có 1) 2) 𝑃 𝑎< 𝑋< 𝑏 = 𝜙 𝑏−𝜇 𝜎 − 𝜙 𝑃 −𝑎 < 𝑋 − 𝜇 < 𝑎 = 2𝜙 Ví dụ: Cho 𝑋~𝑁 3, 22 Tính 1) 𝑃 −1 < 𝑋 < ; 2) 𝑃 𝑋 > ; 3) 𝑃 𝑋 < −1 ; 4) 𝑃 𝑋 − < ; 5) 𝑃( 𝑋 − > 1) 𝑎−𝜇 𝜎 𝑎 𝜎 ; Biến ngẫu nhiên chuẩn Ví dụ: Đường kính loại chi tiết máy sản xuất có phân phối chuẩn, kỳ vọng 20mm, độ lệch chuẩn 0,2mm Tính xác suất lấy ngẫu nhiên chi tiết: a) Có đường kính khoảng 19,9mm đến 20,3mm; b) Có đường kính sai khác với kỳ vọng khơng q 0,3mm Bài tập: Điểm Toeic sinh viên tốt nghiệp trường đại học có phân phối chuẩn với giá trị trung bình 560 độ lệch chuẩn 78 Tính: a Tỷ lệ sinh viên có điểm từ 600 đến 700 b Tỷ lệ sinh viên có điểm Toeic 500 c Giả sử nhà trường muốn xác định điểm Toeic tối thiểu để sinh viên trường với tỉ lệ 80% Tính điểm Toeic tối thiểu (lấy phần nguyên) Xấp xỉ phân phối nhị thức pp chuẩn Định lý: Cho 𝑋~𝐵 𝑛, 𝑝 Nếu 𝑛 lớn 𝑝 không gần với 𝑋 có phân phối xấp xỉ chuẩn với kỳ vọng 𝑛𝑝 phương sai 𝑛𝑝𝑞, 𝑞 = − 𝑝 Khi ấy,   𝑃 𝑋= 𝑘 ≈ 𝑛𝑝𝑞 𝑓 𝑃 𝑘1 ≤ 𝑋 ≤ 𝑘2 ≈ đó, 𝑓 𝑥 = 2𝜋 𝑥2 𝑒− , 𝑘−𝑛𝑝 𝑛𝑝𝑞 𝑘2 −𝑛𝑝 𝜙 𝑛𝑝𝑞 𝜙 𝑥 = − 𝜙 𝑥 2𝜋 𝑘2 −𝑛𝑝 𝑛𝑝𝑞 𝑡2 𝑒− 𝑑𝑡 Xấp xỉ phân phối nhị thức pp chuẩn Ví dụ: Xác suất để máy sản xuất sản phẩm loại A 0,8 Tính xác suất để 400 sản phẩm máy sản xuất có: 1) 336 sản phẩm loại A; 2) Có từ 304 đến 328 sản phẩm loại A; Bài tập: Trong kho lúa giống có tỉ lệ hạt lúa lai 20% Tính xác suất cho chọn 1000 hạt lúa giống kho có: 1) Đúng 192 hạt lúa lai 2) Có từ 185 đến 195 hạt lúa lai Xấp xỉ phân phối nhị thức pp chuẩn Bài tập: Tuổi thọ loại máy cắt cỏ biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với trung bình 82 tháng Nhà sản xuất bảo hành sản phẩm bán 33 tháng Giả sử 2,5% sản phẩm bị trả lại (hỏng) thời gian bảo hành Tính: a Độ lệch chuẩn tuổi thọ sản phẩm b Xác suất máy loại có tuổi thọ 50 tháng c Một cửa hàng bán 10 máy cắt cỏ loại Tính: i) Xác suất có máy hỏng thời gian bảo hành ii) Số máy trung b.nh hỏng thời gian bảo hành Bài tập Bài 1: Tại bệnh viện A trung bình có ca mổ Tính a Số ca mổ chắn xảy bệnh viện A 25 b Tính xác suất có từ 10 đến 12 ca mổ Bài 2: Một lô hàng chứa 20 sản phẩm có phế phẩm Chọn liên tiếp lần (có hồn lại) từ lơ hàng, lần chọn sản phẩm Tính xác suất để lần chọn có: a Đúng lần chọn không phế phẩm b Trung bình số lần chọn khơng q phế phẩm Bài tập Bài 3: Giá cà phê thị trường biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với trung bình 26000 đồng/kg độ lệch chuẩn 2000 đồng Gọi k giá trị cà phê có giá lớn k với xác suất 90% Tính giá trị k Bài 4: Thời gian mang thai sản phụ biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với trung bình 280 ngày Cho biết tỷ lệ sản phụ mang thai 290 ngày 25,14%, tính độ lệch chuẩn thời gian mang thai Bài tập Bài 5: Chiều dài loại linh kiện điện tử A cửa hàng B biến ngẫu nhiên 𝑋(𝑚𝑚)~𝑁(12,2.5) Một công ty cần mua loại linh kiện với chiều dài từ 11,98mm đến 13mm họ chọn từ cửa hàng B Tính xác suất để chọn có: a Từ đến sử dụng b Ít sử dụng Bài tập Bài 6: Thời gian chơi thể thao ngày niên biến ngẫu nhiên X (giờ/ngày) có hàm mật độ 2𝜋 𝜋 sin 𝑥 , 0< 𝑥

Ngày đăng: 04/07/2014, 14:46

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

Tài liệu liên quan