Bài giảng Xác suất thống kê Chương 3: Luật số lớn và định lý giới hạn trung tâm

XÁC SUẤTCHƯƠNG 3 LuẬT SỐ LỚN VÀ ĐỊNH LÝ GiỚI HẠN TRUNG TÂM... Định lý Chebysev chứng tỏ rằng trung bình số học của các biến ngẫu nhiên độc lập hội tụ theo xác suất về trung bình số học c

Bài giảng

Xác suất thống kê

Nam Dinh,Februay, 2008

XÁC SUẤT

CHƯƠNG 3

LuẬT SỐ LỚN VÀ ĐỊNH LÝ GiỚI HẠN TRUNG TÂM

khi n khá lớn thì 𝑍𝑛 có tính chất gì đặc biệt hay không Trước hết ta cần định nghĩa sự hội tụ của 𝑍𝑛 về một biến ngẫu nhiên khác có ý nghĩa như thế nào Sau đây

sẽ trình bày hai kiểu hội tụ cơ bản

1 Hội tụ theo xác suất

Định nghĩa

Dãy biến ngâu nhiên 𝑍1, 𝑍2, … gọi là hội tụ theo xác suất

về biến ngẫu nhiên Z khi 𝑛 → ∞ nếu:

Với mọi ε > 0, 𝑃 𝑍𝑛 − 𝑍 > 𝜀 → 0 𝑘𝑕𝑖 𝑛 → ∞ (tương đương với 𝑃 𝑍𝑛 − 𝑍 ≤ 𝜀 → 1 𝑘𝑕𝑖 𝑛 → ∞)

Ký hiệu: 𝑍𝑛 → 𝑍𝑃

Nghĩa là với mọi ε,δ cho trước nhỏ tùy ý thì với xác suất

ít nhất 1 – δ ta sẽ có |𝑍𝑛 − 𝑍| ≤ 𝜀 nếu n đủ lớn

Ví dụ

Cho day biến ngẫu nhiên 𝑍𝑛 có hàm mật độ:

𝑓𝑛(𝑥) = 0 𝑘𝑕𝑖 𝑥 < 0

𝑛 𝜆𝑒−𝑛𝜆𝑥 𝑘𝑕𝑖 𝑥 ≥ 0 , 𝑛 ∈ 𝑁, 𝜆 > 0 Chứng minh 𝑍𝑛 → 0 𝑃

Định nghĩa

Dãy biến ngâu nhiên 𝑍1, 𝑍2, … gọi là hội tụ theo phân phối

về biến ngẫu nhiên Z khi 𝑛 → ∞ nếu:

hiệu 𝑋𝑖 là sai số giữa số mét vải thực bán và số mét vải

đã tính tròn của khách hàng thứ i Với xác suất ít nhất

0,99 hãy ước lượng sai số giữa số mét vải thực bán và số mét vải đã làm tròn trong tháng biết số khách mua hàng trong tháng là 1 vạn khách

1 Bất đẳng thức Chebysev

Giải

Các sai số 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛 là các biến ngẫu nhiên độc lập và

có phân phối đều trong đoạn [-0,5; 0,5] Khi đó

𝐸𝑋𝑖 = 0, 𝐷𝑋𝑖 = 1

12 , 𝑖 = 1 𝑛 Khi đó sai số tổng cộng trong tháng là

𝑆 = 𝑋1 + 𝑋2 + ⋯ + 𝑋𝑛

𝑃 𝑆 > 288,67 < 0,01 Vậy có thể kết luận: Với xác suất tối thiểu 0,99 sai số giữa số mét vải thực bán và số vải đã làm tròn không vượt quá 289 m

2 Luật số lớn

Định lý

Giả sử 𝑋1, 𝑋2, … là các biến ngẫu nhiên độc lập có kỳ vọng hữu hạn và phương sai bị chặn bởi C (𝐷𝑋𝑖 ≤ 𝐶, ∀𝑖) Khi đó với mọi ε > 0 ta có:

2 Luật số lớn

Hệ quả 1

Giả sử 𝑋1, 𝑋2, … là các biến ngẫu nhiên độc lập có kỳ vọng

là μ và phương sai bị chặn bởi C (𝐷𝑋𝑖 ≤ 𝐶, ∀𝑖) Khi đó ta có:

Giả sử 𝑋1, 𝑋2, … là các biến ngẫu nhiên độc lập có kỳ

vọng là μ và phương sai 𝐷𝑋𝑖 = 𝜎2, ∀𝑖 Khi đó ta có:

𝑋1 + 𝑋2 + ⋯ + 𝑋𝑛

𝑛

𝑃

𝜇, 𝑘𝑕𝑖 𝑛 → +∞

Định lý Chebysev chứng tỏ rằng trung bình số học của các biến ngẫu nhiên độc lập hội tụ theo xác suất về trung bình

số học của kỳ vọng tương ứng của nó Nói cách khác nó chứng tỏ sự ổn định của trung bình số học của một số lớn các biến ngẫu nhiên xung quanh trung bình số học của các

kỳ vọng của các biến ngẫu nhiên ấy Như vậy mặc dù từng biến ngẫu nhiên độc lập có thể nhận giá trị khác nhiều so với kỳ vọng của chúng, song trung bình số học của một số lớn của một số lớn các biến ngẫu nhiên lại nhận giá trị gần bằng trung bình số học của chúng với xác suất rất lớn Điều

đó cho phép dự đoán giá trị trung bình số học của các biến ngẫu nhiên

2 Luật số lớn

Chẳng hạn, gieo một con xúc xắc cân đối Giả sử X là số nốt xuất hiện ở mặt trên con xúc xắc Ta có EX = 3,5 Một nhà thống kê đã gieo một con xúc xắc cân đối 1 triệu lần (nhờ sự trợ giúp của máy vi tính) và ghi lại số nốt xuất hiện

ở mặt trên con xúc xắc Số trung bình của 1 triệu lần gieo được tìm thấy là

𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥106

106 ≈ 3,500867 ≈ 3,5 = 𝐸𝑋

Xét phép thử (C) và A là một biến cố liên quan đến phép thử Thực hiện phép thử (C) n lần độc lập và gọi 𝑘𝑛 là số lần A xuất hiện trong n lần thực hiện phép thử Khi đó tần suất xuất hiện của A là: 𝑓𝑛 = 𝑘𝑛𝑛

3 Luật số lớn Bernoulli (Becnuli)

Định lý Bernoulli chỉ ra rằng tần suất xuất hiện của biến

cố trong n phép thử độc lập sẽ hội tụ theo xác suất về xác suất của biến cố đó khi số lần thử tăng lên vô hạn Chính vì vậy định lý Bernoulli là cơ sở lý thuyết của định nghĩa thống kê về xác suất

3 Luật số lớn Bernoulli (Becnuli)

Ở thế kỷ 18, nhà toán học Pháp Buffon gieo một đồng tiền 4040 lần và ghi được 2048 lần xuất hiện mặt ngửa, tần suất là 0,507 Một nhà thống kê người Anh gieo đồng tiền 12000 lần và thu được 6019 lần xuất hiện mặt ngửa, tần suất tương ứng 0,5016 Trong một thí nghiệm khác,ông ta gieo 24000 lần và thu được 12012 lần xuất hiện mặt ngửa, tần suất tương ứng là 0,5005 Như vây ta thấy rằng khi số phép thử tăng lên thì tần suất tương ứng

sẽ càng gần 0,5

Định lý giới hạn trung tâm nói về sự hội tụ theo phân

phối của trung bình cộng các biến ngẫu nhiên, nó có vai trò qua trọng trong xác suất thống kê Tuy nhiên do

chứng minh phức tạp nên trong phạm vi chương trình này

ta không chứng minh

1 Định lý giới hạn trung tâm

Định lý

Giả sử 𝑋1, 𝑋2, … là các biến ngẫu nhiên độc lập có kỳ vọng

là μ và phương sai 𝐷𝑋𝑖 = 𝜎2, ∀𝑖 Khi đó ta có:

Khi n >> 0 thì 𝑋1+𝑋2+⋯+𝑋𝑛−𝑛𝜇

𝜎 𝑛 có quy luật xấp xỉ quy luật chuẩn tắc nên 𝑋1 + 𝑋2 + ⋯ + 𝑋𝑛 có quy luật xấp xỉ

𝑁(𝑛𝜇; 𝑛𝜎2)

Vậy qua định lý giới hạn trung tâm ta thấy trung bình

cộng của một số lớn các biến ngẫu nhiên độc lập có cùng

kỳ vọng và phương sai có quy luật phân phối xấp xỉ quy luật phân phối chuẩn

1 Định lý giới hạn trung tâm

Ví dụ

Gieo một con xúc sắc 30 lần, tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện lớn hơn 120

𝐹

𝑍~𝑁 0; 1 , 𝑘𝑕𝑖 𝑛 → +∞

1 Định lý giới hạn trung tâm

Khi n >> 0 thì 𝑋1+𝑋2+⋯+𝑋𝑛−3,5𝑛

35𝑛 12

có quy quy luật xấp xỉ quy

quy luật chuẩn tắc Nên 𝑆 = 𝑋1 +𝑋2+⋯+𝑋30−105

= 1 − 𝑃(𝑆 ≤ 120 − 105

87,5 )

𝑃 𝑇 > 120 ≈ 1 − Φ 120 − 105

87,5 = 1 − Φ 1,6

= 0,054

1 Định lý giới hạn trung tâm

Ví dụ

Trong một khu phố có 180 hộ gia đình ít người (số thành viên không quá 4 người) và 50 hộ gia đình đông người (số thành viên hơn 4 người) Lượng nước sinh hoạt của các hộ gia đình ít người dùng trong một ngày là biến ngẫu nhiên với trung bình là 0,6 𝑚3 và độ lệch chuẩn là 0,04 𝑚3 còn lượng nước sinh hoạt của các hộ gia đình đông người dùng trong một ngày là biến ngẫu nhiên với trung bình là 1,9 𝑚3 và độ lệch chuẩn là 0,14 𝑚3 Tính xác suất để trong một ngày khu phố đó sử dụng hơn

205 𝑚3 nước

Giải

Gọi 𝑋𝑖 là lượng nước mà gia đình ít người thứ i dùng trong ngày 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋180 độc lập và có cùng kỳ vọng là 0,6 và

độ lệch chuẩn là 0,04 Đặt 𝑈 = 𝑋1 + 𝑋2 + ⋯ + 𝑋180, 𝐸𝑈 =180.0,6 = 108, 𝐷𝑈 = 0,288

1 Định lý giới hạn trung tâm

2 Định lý Moivre – Laplace

Chứng minh

Do 𝐸𝑋𝑖 = 𝑝, 𝐷𝑋𝑖 = 𝑝𝑞 nên áp dụng định lý giới hạn trung tâm ta có điều phải chứng minh

Chú ý

Khi n >> 0 thì 𝑋1+𝑋2+⋯+𝑋𝑛−𝑛𝑝

𝑛𝑝𝑞 xấp xỉ quy luật N(0;1) nên 𝑋1 + 𝑋2 + ⋯ + 𝑋𝑛 xấp xỉ quy luật 𝑁(𝑛𝑝, 𝑛𝑝𝑞) mà

𝑋1 + 𝑋2 + ⋯ + 𝑋𝑛~𝐵(𝑛; 𝑝) nên ta có các công thức xấp xỉ

Định lý

Cho 𝑋~𝐵(𝑛; 𝑝) Nếu 𝑛 ≫ 0, 𝑝 ≈ 0 thì ta có thể xấp xỉ X bởi quy luật Poisson với 𝜆 = 𝑛𝑝 (𝑋 ≈ 𝑃(𝑛𝑝))

Ví dụ

Xác suất để làm ra một đinh ốc không đúng quy cách là 0,015 Người ta xếp mỗi hộp gồm 100 chiếc đinh ốc

a Tính tỉ lệ hộp chứa toàn đinh ốc đúng quy cách

b Cần phải xếp mỗi hộp tối thiểu bao nhiêu chiếc đinh ốc

để tỉ lệ mỗi hộp chứa ít nhất 100 đinh ốc đúng quy cách tối thiểu là 80%

1 Xấp xỉ quy luật nhị thức bởi quy luật Poisson

𝑃 𝑋 = 0 ≈ 𝑒−1,5 = 0,22313 Như vậy, tỉ lệ hộp chứa toàn đinh ốc đúng quy cách xấp

xỉ 22%

b Gọi số đinh ốc xếp vào mỗi hộp là n = 100 + k và X là

số đinh ốc không đúng quy cách trong một hộp thì X ~ B(n; p) với n = 100 + k và p = 0,015

Để mỗi hộp chứa ít nhất 100 đinh ốc đúng quy cách thì

số đinh ốc không đúng quy cách phải không lớn hơn k, tức là 𝑋 ≤ 𝑘 Vậy

𝑃 𝑋 ≤ 𝑘 = 𝑃(𝑋 = 𝑖)

𝑘

𝑖=0

≥ 0.8

1 Xấp xỉ quy luật nhị thức bởi quy luật Poisson

Do ta xấp xỉ X bởi quy luật Poisson với λ = np = (100 + k)0,015 ≈1,5 (k rất nhỏ) nên

2 Xấp xỉ quy luật nhị thức bởi quy luật chuẩn

Định lý

Cho 𝑋~𝐵(𝑛; 𝑝) Nếu 𝑛 ≫ 0 và p không quá gần 0 và gần

1 thì ta có thể xấp xỉ X bởi quy luật chuẩn với tham số

𝜇 = 𝑛𝑝 và 𝜎2 = 𝑛𝑝𝑞 (𝑋 ≈ 𝑁 𝑛𝑝, 𝑛𝑝𝑞 ) Khi đó

𝑃 𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏 = Φ 𝑏 − 𝑛𝑝

𝑛𝑝𝑞 − Φ

𝑎 − 𝑛𝑝 𝑛𝑝𝑞

Và

𝑃 𝑋 = 𝑘 ≈ 1

𝑛𝑝𝑞 𝜑

𝑘 − 𝑛𝑝 𝑛𝑝𝑞 , 𝑣ớ𝑖 𝜑 𝑥

= 1 2𝜋 𝑒

−𝑥22 − 𝑕à𝑚 𝐺𝑎𝑢𝑠𝑠

b Cần phải chuẩn bị bao nhiêu ghế để với xác suất 0,99 ta

có thể bảo đảm đủ ghế cho người đến xem

Giải

2 Xấp xỉ quy luật nhị thức bởi quy luật chuẩn

Gọi X là số sinh viên đến câu lạc bộ để xem phin thì X ~ B(650;0,7)

Ta xấp xỉ X bởi quy luật chuẩn với 𝜇 = 𝑛𝑝 = 455, 𝜎2 =𝑛𝑝𝑞 = 136,5

a

𝑃 𝑋 ≤ 440 ≈ Φ 440 − 455

136,5 = Φ −1,33

= 1 − Φ 1,33 = 0,0923

𝑘 − 455 136,5 ≥ 2,33 ⇒ 𝑘 ≥ 481,7 Vậy cần phải chuẩn bị 482 cho ngồi