Bài giảng Xác suất thống kê Chương 3: Luật số lớn và định lý giới hạn trung tâm

Giảng viên: Chu Bình Minh Bài giảng Xác suất thống kê Nam Dinh,Februay, 2008 PHẦN XÁC SUẤT CHƯƠNG LuẬT SỐ LỚN VÀ ĐỊNH LÝ GiỚI HẠN TRUNG TÂM Cho 𝑍1 , 𝑍2 , … , 𝑍𝑛 dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc vào số n Chương nhằm mục đích nghiên cứu xem n lớn 𝑍𝑛 có tính chất đặc biệt hay không Trước hết ta cần định nghĩa hội tụ 𝑍𝑛 biến ngẫu nhiên khác có ý nghĩa Sau trình bày hai kiểu hội tụ I CÁC DẠNG HỘI TỤ CỦA DÃY BIẾN NGẪU NHIÊN Hội tụ theo xác suất Định nghĩa Dãy biến ngâu nhiên 𝑍1 , 𝑍2 , … gọi hội tụ theo xác suất biến ngẫu nhiên Z 𝑛 → ∞ nếu: Với ε > 0, 𝑃 𝑍𝑛 − 𝑍 > 𝜀 → 𝑘𝑕𝑖 𝑛 → ∞ (tương đương với 𝑃 𝑍𝑛 − 𝑍 ≤ 𝜀 → 𝑘𝑕𝑖 𝑛 → ∞) 𝑃 Ký hiệu: 𝑍𝑛 → 𝑍 Nghĩa với ε,δ cho trước nhỏ tùy ý với xác suất – δ ta có |𝑍𝑛 − 𝑍| ≤ 𝜀 n đủ lớn I CÁC DẠNG HỘI TỤ CỦA DÃY BIẾN NGẪU NHIÊN Hội tụ theo xác suất Ví dụ Cho day biến ngẫu nhiên 𝑍𝑛 có hàm mật độ: 𝑓𝑛 (𝑥) = 𝑛 𝜆𝑒 −𝑛𝜆𝑥 𝑘𝑕𝑖 𝑥 < , 𝑛 ∈ 𝑁, 𝜆 > 𝑘𝑕𝑖 𝑥 ≥ 𝑃 Chứng minh 𝑍𝑛 → Giải Với ε > cho trước ta có: +∞ 𝑛 𝜆𝑒 −𝑛𝜆𝑥 𝑑𝑥 𝑃 𝑍𝑛 − > 𝜀 = 𝑃 𝑍𝑛 > 𝜀 = = −𝑛𝜆𝑥 +∞ −𝑒 𝜀 𝜀 = 𝑒 −𝑛𝜆𝜀 𝑛→+∞ I CÁC DẠNG HỘI TỤ CỦA DÃY BIẾN NGẪU NHIÊN Hội tụ theo phân phối Định nghĩa Dãy biến ngâu nhiên 𝑍1 , 𝑍2 , … gọi hội tụ theo phân phối biến ngẫu nhiên Z 𝑛 → ∞ nếu: lim 𝐹𝑍𝑛 𝑥 = 𝐹𝑍 (𝑥) , ∀𝑥 ∈ 𝑅 𝑛→+∞ ⇔ lim 𝑃(𝑍𝑛 < 𝑥) = 𝑃(𝑍 < 𝑥) 𝑛→+∞ 𝐹 Ký hiệu: 𝑍𝑛 → 𝑍 Với 𝐹𝑍𝑛 𝑥 , 𝐹𝑍 (𝑥) hàm phân phối 𝑍𝑛 , 𝑍 II LUẬT SỐ LỚN Bất đẳng thức Chebysev Định lý Cho Y biến ngẫu nhiên không âm Khi với a > ta có: 𝐸𝑌 𝑃 𝑌>𝑎 ≤ 𝑎 II LUẬT SỐ LỚN Bất đẳng thức Chebysev Chứng minh Cho Y biến ngẫu nhiên rời rạc, giả sử C tập giá trị Y Khi 𝐸𝑌 = 𝑐𝑖 𝑝𝑖 = 𝑐 𝑖 ∈𝐶 𝑐𝑖 𝑝𝑖 + 𝑐 𝑖 ≤𝑎 ≥𝑎 𝑐𝑖 𝑝𝑖 ≥ 𝑐 𝑖 >𝑎 𝑐𝑖 𝑝𝑖 𝑐 𝑖 >𝑎 𝑝𝑖 = 𝑎𝑃(𝑌 > 𝑎) 𝑐 𝑖 >𝑎 Trường hợp Y biến ngẫu nhiên liên tục chứng minh tương tự II LUẬT SỐ LỚN Bất đẳng thức Chebysev Hệ Cho X biến ngẫu nhiên với EX = μ Khi với ε > ta có: 𝐷𝑋 𝑃 𝑋−𝜇 >𝜀 ≤ 𝜀 Tương đương với 𝐷𝑋 𝑃 𝑋−𝜇 ≤𝜀 >1− 𝜀 II LUẬT SỐ LỚN Bất đẳng thức Chebysev Chứng minh Đặt 𝑌 = (𝑋 − 𝜇)2 , đó: 𝑃 𝑋−𝜇 >𝜀 =𝑃 𝑌 >𝜀 𝐸𝑌 𝐸 𝑋 − 𝜇 ≤ = 𝜀 𝜀2 𝐷𝑋 = 𝜀 III ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM Định lý giới hạn trung tâm 𝑃 𝑇 > 120 ≈ − Φ = 0,054 120 − 105 87,5 = − Φ 1,6 III ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM Định lý giới hạn trung tâm Ví dụ Trong khu phố có 180 hộ gia đình người (số thành viên không người) 50 hộ gia đình đơng người (số thành viên người) Lượng nước sinh hoạt hộ gia đình người dùng ngày biến ngẫu nhiên với trung bình 0,6 𝑚3 độ lệch chuẩn 0,04 𝑚3 lượng nước sinh hoạt hộ gia đình đơng người dùng ngày biến ngẫu nhiên với trung bình 1,9 𝑚3 độ lệch chuẩn 0,14 𝑚3 Tính xác suất để ngày khu phố sử dụng 205 𝑚3 nước III ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM Định lý giới hạn trung tâm Giải Gọi 𝑋𝑖 lượng nước mà gia đình người thứ i dùng ngày 𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋180 độc lập có kỳ vọng 0,6 độ lệch chuẩn 0,04 Đặt 𝑈 = 𝑋1 + 𝑋2 + ⋯ + 𝑋180 , 𝐸𝑈 = 180.0,6 = 108, 𝐷𝑈 = 0,288 Do U có quy luật xấp xỉ N(108;0,288) Gọi 𝑌𝑖 lượng nước mà gia đình đơng người thứ i dùng ngày 𝑌1 , 𝑌2 , … , 𝑌50 độc lập có kỳ vọng 1,9 độ lệch chuẩn 0,14 Đặt 𝑉 = 𝑌1 + 𝑌2 + ⋯ + 𝑌50 , 𝐸𝑉 = 95, 𝐷𝑉 = 0,98 III ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM Định lý giới hạn trung tâm Do V có quy luật xấp xỉ N(95;0,98) Lượng nước khu phố dùng ngày U + V có quy luật xấp xỉ N(203;1,268) Vậy 𝑃 𝑈 + 𝑉 > 205 = − 𝑃 𝑈 + 𝑉 ≤ 205 205 − 203 ≈1−Φ = − Φ 1,78 = 0,0379 1,268 III ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM Định lý Moivre – Laplace Định lý Giả sử 𝑋1 , 𝑋2 , … biến ngẫu nhiên độc lập 𝑋𝑖 ~𝐴(𝑝) Khi lim 𝑃 𝑛→+∞ 𝑋1 + 𝑋2 + ⋯ + 𝑋𝑛 − 𝑛𝑝 𝑛𝑝𝑞 < 𝑥 = Φ 𝑥 , ∀𝑥 ∈ 𝑅 III ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM Định lý Moivre – Laplace Chứng minh Do 𝐸𝑋𝑖 = 𝑝, 𝐷𝑋𝑖 = 𝑝𝑞 nên áp dụng định lý giới hạn trung tâm ta có điều phải chứng minh Chú ý Khi n >> 𝑋1 +𝑋2 +⋯+𝑋𝑛 −𝑛𝑝 𝑛𝑝𝑞 xấp xỉ quy luật N(0;1) nên 𝑋1 + 𝑋2 + ⋯ + 𝑋𝑛 xấp xỉ quy luật 𝑁(𝑛𝑝, 𝑛𝑝𝑞) mà 𝑋1 + 𝑋2 + ⋯ + 𝑋𝑛 ~𝐵(𝑛; 𝑝) nên ta có cơng thức xấp xỉ IV XẤP XỈ QUY LUẬT NHỊ THỨC Xấp xỉ quy luật nhị thức quy luật Poisson Định lý Cho 𝑋~𝐵(𝑛; 𝑝) Nếu 𝑛 ≫ 0, 𝑝 ≈ ta xấp xỉ X quy luật Poisson với 𝜆 = 𝑛𝑝 (𝑋 ≈ 𝑃(𝑛𝑝)) Ví dụ Xác suất để làm đinh ốc không quy cách 0,015 Người ta xếp hộp gồm 100 đinh ốc a Tính tỉ lệ hộp chứa tồn đinh ốc quy cách b Cần phải xếp hộp tối thiểu đinh ốc để tỉ lệ hộp chứa 100 đinh ốc quy cách tối thiểu 80% IV XẤP XỈ QUY LUẬT NHỊ THỨC Xấp xỉ quy luật nhị thức quy luật Poisson Giải a, Gọi X số đinh ốc không quy cách hộp X ~ B(n; p) với n = 100 p = 0,015 𝑃 𝑋 = = 𝐶100 0,0150 0,985100 = 0,985100 = 0,22061 Hoặc ta xấp xỉ X qui luật Poisson với λ = np = 1,5 nên 𝑃 𝑋 = ≈ 𝑒 −1,5 = 0,22313 Như vậy, tỉ lệ hộp chứa toàn đinh ốc quy cách xấp xỉ 22% IV XẤP XỈ QUY LUẬT NHỊ THỨC Xấp xỉ quy luật nhị thức quy luật Poisson b Gọi số đinh ốc xếp vào hộp n = 100 + k X số đinh ốc không quy cách hộp X ~ B(n; p) với n = 100 + k p = 0,015 Để hộp chứa 100 đinh ốc quy cách số đinh ốc khơng quy cách phải không lớn k, tức 𝑋 ≤ 𝑘 Vậy 𝑘 𝑃 𝑋≤𝑘 = 𝑃(𝑋 = 𝑖) ≥ 0.8 𝑖=0 IV XẤP XỈ QUY LUẬT NHỊ THỨC Xấp xỉ quy luật nhị thức quy luật Poisson Do ta xấp xỉ X quy luật Poisson với λ = np = (100 + k)0,015 ≈1,5 (k nhỏ) nên 𝑖 1,5 𝑃 𝑋 = 𝑖 = 𝑒 −1,5 𝑖! Suy 𝑘 𝑃 𝑋≤𝑘 = 𝑖=0 𝑖 1,5 −1,5 𝑒 = 𝑒 −1,5 𝑖! 𝑘 𝑖=0 1,5𝑖 ≥ 0.8 𝑖! IV XẤP XỈ QUY LUẬT NHỊ THỨC Xấp xỉ quy luật nhị thức quy luật Poisson Với k = ta có 𝑃 𝑋 ≤ = 𝑒 −1,5 𝑖=0 1,5𝑖 = 0,8022 𝑖! Vậy ta cần xếp hộp 102 đinh ốc để xác suất hộp có 100 đinh ốc quy cách 80,22 % IV XẤP XỈ QUY LUẬT NHỊ THỨC Xấp xỉ quy luật nhị thức quy luật chuẩn Định lý Cho 𝑋~𝐵(𝑛; 𝑝) Nếu 𝑛 ≫ p không gần gần ta xấp xỉ X quy luật chuẩn với tham số 𝜇 = 𝑛𝑝 𝜎 = 𝑛𝑝𝑞 (𝑋 ≈ 𝑁 𝑛𝑝, 𝑛𝑝𝑞 ) Khi 𝑃 𝑎≤𝑋≤𝑏 =Φ 𝑏 − 𝑛𝑝 𝑛𝑝𝑞 −Φ 𝑎 − 𝑛𝑝 𝑛𝑝𝑞 Và 𝑃 𝑋=𝑘 ≈ = 2𝜋 𝑛𝑝𝑞 𝑥2 𝑒− 𝜑 𝑘 − 𝑛𝑝 𝑛𝑝𝑞 , 𝑣ớ𝑖 𝜑 𝑥 − 𝑕à𝑚 𝐺𝑎𝑢𝑠𝑠 IV XẤP XỈ QUY LUẬT NHỊ THỨC Xấp xỉ quy luật nhị thức quy luật chuẩn Ví dụ Một ký túc xá có 650 sinh viên, Xác suất để sinh viên đến xem phim câu lạc tối thứ 0,7 a Tính xác suất để số sinh viên đến xem phim tối thứ 440 người b Cần phải chuẩn bị ghế để với xác suất 0,99 ta bảo đảm đủ ghế cho người đến xem Giải IV XẤP XỈ QUY LUẬT NHỊ THỨC Xấp xỉ quy luật nhị thức quy luật chuẩn Gọi X số sinh viên đến câu lạc để xem phin X ~ B(650;0,7) Ta xấp xỉ X quy luật chuẩn với 𝜇 = 𝑛𝑝 = 455, 𝜎 = 𝑛𝑝𝑞 = 136,5 a 𝑃 𝑋 ≤ 440 ≈ Φ 440 − 455 136,5 = − Φ 1,33 = 0,0923 = Φ −1,33 IV XẤP XỈ QUY LUẬT NHỊ THỨC Xấp xỉ quy luật nhị thức quy luật chuẩn b Gọi k số ghế cần chuẩn bị, ta có: 𝑃 𝑋 ≤ 𝑘 ≥ 0,99 Mà Φ 𝑘 − 455 136,5 ≈ 𝑃 𝑋 ≤ 𝑘 ≥ 0,99 = Φ 2,33 Suy 𝑘 − 455 136,5 ≥ 2,33 ⇒ 𝑘 ≥ 481,7 Vậy cần phải chuẩn bị 482 cho ngồi ... Như vây ta thấy số phép thử tăng lên tần suất tương ứng gần 0,5 III ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM Định lý giới hạn trung tâm Định lý giới hạn trung tâm nói hội tụ theo phân phối trung bình cộng... hạn trung tâm Ví dụ Gieo xúc sắc 30 lần, tính xác suất để tổng số chấm xuất lớn 120 III ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM Định lý giới hạn trung tâm Ví dụ Gieo xúc sắc 30 lần, tính xác suất để tổng số. .. vai trị qua trọng xác suất thống kê Tuy nhiên chứng minh phức tạp nên phạm vi chương trình ta khơng chứng minh III ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM Định lý giới hạn trung tâm Định lý Giả sử