Bài giảng Xác suất thống kê Chương 1: Xác suất của biến cố

Giảng viên: Chu Bình Minh Bài giảng Xác suất thống kê Nam Dinh,Februay, 2008 PHẦN XÁC SUẤT CHƯƠNG 1: XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ Bài NHẮC LẠI VỀ TỔ HỢP I Quy tắc đếm II Hoán vị III Chỉnh hợp IV Tổ hợp Bài PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ I/Phép thử ngẫu nhiên biến cố ngẫu nhiên: Phép thử ngẫu nhiên: việc thực thí nghiệm/thực nghiệm, việc quan sát tượng tự nhiên số điều kiện định Nó dẫn đến kết cục kết cục khác (có kết cục) Và việc làm thực lần Các kết cục phép thử NN gọi biến cố Có loại biến cố: bc ngẫu nhiên, bc chắn, bc có BcNN: bc xãy không xãy thực phép thử Ký hiệu A, B, C,… Bc cc: bc xãy thực phép thử Ký hiệu U Bc có: bc xãy thực phép thử Ký hiệu V Ta nghiên cứu bcNN mà Vd1: Tung xúc xắc cân đối, đồng chất (các mặt đánh số nút từ 1->6) , xét xem mặt xuất Đặt: A= bc xuất mặt có số nút 7 C=bc xuất mặt có số nút số chẳn Biến cố biến cố chắn, bc ktc, bcNN? VD2: Xét gia đình có Đặt: A = bc gia đình có trai, gái B = bc gia đình có C = bc gia đình có Bc bccc, bcktc, bcNN? Vd3: hộp có bi: bi Trắng, bi Xanh Lấy bi xem màu Đặt A= bc lấy bi T B= bc lấy bi X C= bc lấy bi Bc bccc, bcNN, bcktc? II/QUAN HỆ GIỮA CÁC BIẾN CỐ:  1)Kéo theo: bc A gọi kéo theo bc B bc A xãy dẫn đến bc B xãy ra, thực phép thử Ký hiệu: A⊂B hay A=>B  Vd1: Một sv mua tờ vé số Đặt A=bc sv trúng số độc đắc B=bc sv trúng số A⊂B hay B⊂A ? Dùng biểu đồ Venn minh họa? II CÁC ĐỊNH LÝ VỀ XÁC SuẤT Định lý nhân xác suất a Cơng thức xác suất có điều kiện Ví dụ 4: Một tổ điều tra dân số vào ngẫu nhiên gia đình có a Tính xác suất để gia đình có trai b Đang ngồi nói truyện có cậu trai chào Tính xác suất để gia đình có Giải Ta thấy có cậu trai chào tức ta biết gia đình có trai, loại bỏ trường hợp gia đình có gái nên xác suất để gia đình có trai là: 𝑃(𝐴/𝐵) = TT TG GT GG II CÁC ĐỊNH LÝ VỀ XÁC SuẤT Định lý nhân xác suất b Công thức nhân xác suất Từ cơng thức xác suất có điều kiện ta có: 𝑷 𝑨𝑩 = 𝑷 𝑩 𝑷(𝑨/𝑩) = 𝑷(𝑨) 𝑷(𝑩/𝑨) Chú ý: - Nếu A, B độc lập P(AB) = P(A).P(B) - P(ABC) = P(A).P(B/A).P(C/AB) - Khi tính P(AB), biến cố A xuất trước B tính theo công thức P(AB) = P(A).P(B/A), B xuất trước A tính P(AB) = P(B).P(A/B) II CÁC ĐỊNH LÝ VỀ XÁC SuẤT Định lý nhân xác suất b Cơng thức nhân xác suất Ví dụ 5: Để hồn thành mơn học, sinh viên thi tối đa lần Nếu lần không qua thi phải thi lần 2(thi lại) Xác suất XSTK đỗ môn lần sinh viên An 0,8 lần 0,9 Tính xác suất để sinh viên An học lại môn XSTK Giải Gọi A:”Sinh viên An thi đỗ lần 1”, B:” Sinh viên An thi đỗ lần 1” H:” Sinh viên An học lại” 𝐻 = 𝐴 𝐵 ⇒ 𝑃 𝐻 = − 𝑃 𝐻 = − 𝑃 𝐴 𝐵 𝑃(𝐻) = − 𝑃 𝐴 𝑃 𝐵/𝐴 = − 0.2.0,1 = 0.98 II CÁC ĐỊNH LÝ VỀ XÁC SuẤT Định lý nhân xác suất b Công thức nhân xác suất Ví dụ 6: Hai sinh viên An Bình làm XSTK độc lập, xác suất đỗ An 0,8 Bình 0,7 Tính xác suất để sinh viên đỗ Giải A:”Sinh viên An đỗ”, B:”Sinh viên Bình đỗ”, A, B độc lập nên: P(AB) = P(A).P(B) = 0,8.0,7 = 0,56 Mở rộng: Nếu lớp gồm 100 sv làm độc lập xác suất đỗ sv 0,95 xác suất lớp đỗ bao nhiêu? II CÁC ĐỊNH LÝ VỀ XÁC SuẤT Định lý nhân xác suất b Công thức nhân xác suất Ví dụ 7: Một cửa hàng có ti vi có khách đến mua Cửa hàng tổ chức bốc thăm cách làm thăm có đánh dấu cho khách bốc, bốc thăm đánh dấu mua Hãy chứng minh cách làm công cho khách Giải Gọi 𝐴𝑖 :” Người bốc thứ i mua" 𝑃 𝐴1 𝑃 𝐴1 𝐴2 𝑃 𝐴1 𝐴2 𝐴3 = 21 = 𝑃 𝐴1 𝑃(𝐴2 /𝐴1 ) = = 32 21 = 𝑃 𝐴1 𝑃(𝐴2 /𝐴1 )𝑃(𝐴3 /𝐴1 𝐴2 ) = 1= 32 II CÁC ĐỊNH LÝ VỀ XÁC SuẤT Công thức đầy đủ Cho {𝐴𝑖 }𝑚 𝑖=1 hệ đầy đủ xung khắc đôi, H biến cố đó, ta có: 𝒎 𝑷 𝑯 = 𝑷 𝑨𝒊 𝑷(𝑯/𝑨𝒊 ) 𝒊=𝟏 |H| = |HA1| + |HA2| + |HA3| |Ω| |Ω| |Ω| |Ω| Ω A2 A1 H P(H) = P(HA1)+P(HA2)+P(HA3) P(H) = P(A1)P(H/A1)+P(A2)P(H/A2)+P(A3)P(H/A3) A3 II CÁC ĐỊNH LÝ VỀ XÁC SuẤT Cơng thức đầy đủ Ví dụ 8: Trong nhà máy có phân xưởng A, B, C tương ứng làm 25%, 35% 40% tổng số sản phẩm nhà máy Biết xác suất làm sản phẩm hỏng phân xưởng A, B, C 1%, 2% 2,5% Chọn ngẫu nhiên sản phẩm nhà máy, tính xác suất để sản phẩm hỏng Giải Gọi A:” Sản phẩm phân xưởng A” B:” Sản phẩm phân xưởng B” C:” Sản phẩm phân xưởng C”, H:” Sản phẩm hỏng”, ta có A, B, C lập thành hệ đầy đủ xung khắc đôi P(H) = P(A)P(H/A) + P(B)P(H/B) + P(C)P(H/C) P(H) = 0,25.0,01 + 0,25.0,02 + 0,4.0,25 = 0,0195 II CÁC ĐỊNH LÝ VỀ XÁC SuẤT Công thức đầy đủ Chú ý: Trong trường hợp ta cần tính xác suất biến cố H mà biến cố liên quan đến kết phép thử trước dựa vào phép thử trước ta xây dựng hệ đầy đủ xung khắc đôi tính P(H) thơng qua hệ Bước Bước P(H) Xây dựng hệ đầy đủ xktđ II CÁC ĐỊNH LÝ VỀ XÁC SuẤT Công thức đầy đủ Ví dụ 9: Có chuồng thỏ Chuồng thứ có thỏ trắng thỏ nâu Chuồng thứ hai có thỏ trắng thỏ nâu Bắt ngẫu nhiên thỏ chuồng thứ bỏ vào chuồng thứ hai sau từ chuồng thứ hai bắt ngẫu nhiên thỏ Tính xác suất để thỏ thỏ nâu Giải II CÁC ĐỊNH LÝ VỀ XÁC SuẤT Công thức đầy đủ Gọi 𝐴𝑖 :” Trong thỏ bắt chuồng thứ có i thỏ nâu”, i=1,3 𝐴1 , 𝐴2 , 𝐴3 hệ đầy đủ xung khắc đôi 𝑃 𝐴1 𝐶31 𝐶33 𝐶32 𝐶32 𝐶33 𝐶31 = = , 𝑃 𝐴2 = = , 𝑃 𝐴3 = = 5 𝐶6 𝐶6 𝐶6 H:” Bắt thỏ nâu từ chuồng thứ hai” 𝑃 𝐻 = 𝑃 𝐴1 𝑃(𝐻/𝐴1 ) + 𝑃 𝐴2 𝑃(𝐻/𝐴2 ) + 𝑃 𝐴3 𝑃(𝐻/𝐴3 ) 𝑃 𝐻 = + + = 14 14 14 II CÁC ĐỊNH LÝ VỀ XÁC SuẤT Công thức Bayes Cho {𝐴𝑖 }𝑚 𝑖=1 hệ đầy đủ xung khắc đôi, H biến cố khác V, ta có: 𝑷 𝑨𝒌 𝑷(𝑯/𝑨𝒌 ) 𝑷 𝑨𝒌 /𝑯 = 𝑷(𝑯) 𝑷 𝑨𝒌 𝑷(𝑯/𝑨𝒌 ) 𝑷 𝑨𝒌 /𝑯 = 𝒎 𝒊=𝟏 𝑷 𝑨𝒊 𝑷(𝑯/𝑨𝒊 ) Với 𝑘 ∈ {1,2, … , 𝑚} II CÁC ĐỊNH LÝ VỀ XÁC SuẤT Cơng thức Bayes Ví dụ 10: Trong nhà máy có phân xưởng A, B, C tương ứng làm 25%, 35% 40% tổng số sản phẩm nhà máy Biết xác suất làm sản phẩm hỏng phân xưởng A, B, C 1%, 2% 2,5% Chọn ngẫu nhiên sản phẩm nhà máy sp hỏng,tính xác suất để sản phẩm pxA Giải Ở ví dụ ta có: P(H) = P(A)P(H/A) + P(B)P(H/B) + P(C)P(H/C) = 0,25.0,01 + 0,25.0,02 + 0,4.0,25 = 0,0195 Vậy 𝑃 𝐴 𝑃 𝐻/𝐴 0,25.0,01 𝑃 𝐴/𝐻 = = = 0,128 𝑃 𝐻 0,0195 II CÁC ĐỊNH LÝ VỀ XÁC SuẤT Cơng thức Bayes Ví dụ 11 Xác suất cặp sinh đôi cùng trứng (sinh đôi thật) 0,7 khác trứng (sinh đôi giả) 0,3 Nếu sinh đơi thật ln giới tính, sinh đơi giả xác suất giới tính 0,5 Chọn ngẫu nhiên cặp sinh đơi, tính xác suất để chúng cặp sinh đơi thật biết chúng giới tính Giải A:”chọn cặp sinh đôi thật”, B:”chọn cặp sinh đôi giả ”, H:”chọn cặp sinh đơi giới tính” P(H) = P(A)P(H/A) + P(B)P(H/B) = 0,7.1+0,3.0,5 = 0,85 𝑃 𝐴 𝑃(𝐻/𝐴) 0,7.1 𝑃(𝐴/𝐻) = = = 0,8235 𝑃(𝐻) 0,85 II CÁC ĐỊNH LÝ VỀ XÁC SuẤT Công thức Becnuli Xác suất xuất biến cố A phép thử p Thực phép thử n lần độc lập gọi 𝐻𝑘 :” A xuất k lần n lần thực phép thử” 𝑷 𝑯𝒌 = 𝑪𝒌𝒏 𝒑𝒌 (𝟏 − 𝒑)𝒏−𝒌 = 𝑷𝒌 (𝒏; 𝒑), 𝒌 = 𝟎, 𝒏 II CÁC ĐỊNH LÝ VỀ XÁC SuẤT Cơng thức Becnuli Ví dụ 12 Gieo xúc sắc 10 lần, tính xác suất để lần xuất mặt Giải A:” Xuất mặt 5” nên P(A) = 1/6 𝐻𝑘 :” A xuất k lần 10 lần gieo” 𝑘 𝑃 𝐻𝑘 = 𝐶10 Vậy 𝑃 𝐻2 = 𝐶10 6 𝑘 10−𝑘 ...PHẦN XÁC SUẤT CHƯƠNG 1: XÁC SUẤT CỦA BIẾN COÁ Bài NHẮC LẠI VỀ TỔ HỢP I Quy tắc đếm II Hoán vị III Chỉnh hợp IV Tổ hợp Bài PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ I/Phép thử ngẫu nhiên biến cố ngẫu nhiên:... lập? 7)NHÓM BIẾN CỐ XUNG KHẮC TỪNG ĐÔI: Nhóm (họ) n biến cố A1,A2, ,An gọi xung khắc đôi hai biến cố nhóm xung khắc (nghóa Ai.Aj=V, với i,j) 7)NHÓM BIẾN CỐ XUNG KHẮC TỪNG ĐÔI: VD1: tung xúc... 10)BIẾN CỐ SƠ CẤP: Bc sơ cấp bc phân chia (chẻ nhỏ) thành biến cố khác  Tập hợp bc sc tạo thành không gian bc sc, hay kg mẫu Ký hiệu Ω Bc sc gọi kết cục tối giản 46 10) BIẾN CỐ SƠ CẤP  Vd1: