Bài giảng Xác suất thống kê Chương 1: Xác suất của biến cố

I/Phép thử ngẫu nhiên và biến cố ngẫu nhiên: Phép thử ngẫu nhiên: là việc thực hiện 1 thí nghiệm/thực nghiệm, hoặc việc quan sát 1 hiện tượng tự nhiên trong 1 số điều kiện nhất định..

PHẦN 1

XÁC SUẤTCHƯƠNG 1:

XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ

Bài 2

PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ

I/Phép thử ngẫu nhiên và biến cố ngẫu nhiên:

Phép thử ngẫu nhiên: là việc thực hiện 1 thí

nghiệm/thực nghiệm, hoặc việc quan sát 1 hiện

tượng tự nhiên trong 1 số điều kiện nhất định Nó

có thể dẫn đến kết cục này hoặc kết cục khác (có ít nhất 2 kết cục) Và việc làm này có thể thực hiện

bao nhiêu lần cũng được

Các kết cục của phép thử NN gọi là các biến cố

Có 3 loại biến cố: bc ngẫu nhiên, bc chắc chắn, bc

không thể có

BcNN: là bc có thể xãy ra hoặc không xãy ra khi thực hiện phép thử Ký hiệu A, B, C,…

Bc cc: là bc luôn xãy ra khi thực hiện phép thử Ký hiệu

Vd1: Tung 1 con xúc xắc cân đối, đồng chất (các mặt

được đánh số nút từ 1->6) , xét xem mặt nào xuất hiện Đặt: A= bc xuất hiện mặt có số nút <=6

B=bc xuất hiện mặt có số nút >7

C=bc xuất hiện mặt có số nút là số chẳn

Biến cố nào là biến cố chắc chắn, bc ktc, bcNN?

VD2: Xét 1 gia đình có 2 con

Đặt: A = bc gia đình có 1 trai, 1 gái

B = bc gia đình có 2 con

C = bc gia đình có 3 con

Bc nào là bccc, bcktc, bcNN?

Vd3: hộp có 8 bi: 6 bi Trắng, 2 bi Xanh Lấy ra 3 bi xem màu

Đặt A= bc lấy được 3 bi T

B= bc lấy được 3 bi X

C= bc lấy được 3 bi

Bc nào là bccc, bcNN, bcktc?

II/QUAN HỆ GIỮA CÁC BIẾN CỐ:

 1)Kéo theo: bc A gọi là kéo theo bc B nếu bc A xãy

ra thì dẫn đến bc B xãy ra, khi thực hiện phép thử

Ký hiệu: A⊂B hay A=>B

 Vd1: Một sv mua 1 tờ vé số

Đặt A=bc sv này trúng số độc đắc

B=bc sv này trúng số

A⊂B hay B⊂A ?

Dùng biểu đồ Venn minh họa?

1)KÉO THEO

VD2: xét 1 gia đình có 2 con

Đặt A= bc gia đình có con trai

B= bc gia đình có 2 con trai

A⊂B hay B⊂A ?

VD3: Xét 1 học sinh đi thi đại học khối A

Đặt A= bc học sinh này thi đậu

B= bc học sinh này có điểm Toán là 10

A⊂B hay B⊂A ?

2) TƯƠNG ĐƯƠNG (BẰNG NHAU):

 bc A gọi là bằng bc B nếu bc A xãy ra thì bc B

xãy ra, và ngược lại bc B xãy ra thì bc A xãy ra, khi thực hiện phép thử Ký hiệu A=B hay A⇔B

Vậy A=B nếu A⊂B và B⊂A

 Vd1: Tung 1 con xúc xắc

Đặt A=bc con xx xh mặt có số nút chẳn

B=bc con xx xh mặt có số nút là: 2,4,6

C= bc con xx xh mặt có số nút là: 2,4

A=B? A=C?

2)TƯƠNG ĐƯƠNG

 Vd2: hộp có 8 bi: 6T, 2 X lấy 2 bi ra xem màu

 Đặt A= bc lấy được 1 bi T

3)TỔNG (HỢP):

 bc C gọi là tổng của 2 bc A và B, ký hiệu C=A+B

hay C=A∪B

C xãy ra nếu có ít nhất 1 trong 2 bc A hoặc B xãy ra,

khi thực hiện phép thử

Câu hỏi: Vậy A và B cùng xãy ra khi thực hiện phép

thử được hông?

3)HỢP

 Vd1: tung 1 con xúc xắc Xét xem mặt nào xuất hiện

 Đặt C= bc con xx xh mặt có số nút chẳn

B= bc con xx xh mặt có số nút là 2

A= bc con xx xh mặt có số nút là 4,6

D= bc con xxxh mặt có số nút là 2,4

 C=A+B? C=A+D?

3)HỢP

Vd2: Lớp có 50 sv, trong đó có: 20 sv giỏi AV, 15

sv giỏi PV, 7 sv giỏi cả 2 ngoại ngữ trên

Chọn NN 1 sv trong lớp

Đặt A=bc sv này giỏi Anh

B=bc sv này giỏi Pháp

C=bc sv này giỏi ít nhất 1 ngoại ngữ

D=bc sv này giỏi cả 2 ngoại ngữ

C=A+B? D=A+B?

 Tổng quát: C= A1+A2+ +An

C xãy ra nếu có ít nhất 1 bc Ai xãy ra, khi thực hiện

phép thử

 Vd: Kiểm tra chất lượng n sản phẩm

Đặt Ai=bc sp thứ i xấu

C=bc có ít nhất 1 sp xấu

C= A1+A2+ +An

 Vậy “hiểu” dấu + giữa các biến cố nghĩa là gì?

4)TÍCH

Vd1: tung 1 con xx Xét xem mặt nào xh

Đặt A= bc con xx xh mặt có số nút là 2,4 B= bc con xx xh mặt có số nút là 2,6

C= bc con xx xh mặt có số nút là 2

D= bc con xx xh mặt có số nút là 2,4,6

C=A.B? C=A.D?

4) TÍCH

 Vd2: Chọn NN 1 lá bài từ bộ bài tây 52 lá

Đặt A=bc có được lá già

B=bc có được lá cơ

C=bc có được lá già cơ

C=A.B?

4)TÍCH

 Vd3: Lớp có 50 sv, trong đó có: 20 sv giỏi AV,

15 sv giỏi PV, 7 sv giỏi cả 2 ngoại ngữ trên

Chọn NN 1 sv trong lớp

Đặt A=bc sv này giỏi Anh

B=bc sv này giỏi Pháp

C=bc sv này giỏi cả 2 ngoại ngữ

C=A.B?

4)TÍCH

 Tổng quát: C =A1.A2 An

C xãy ra nếu tất cả các Ai cùng xãy ra, khi

thực hiện phép thử

 Vd: Kiểm tra chất lượng n sp

Đặt Ai=bc sp thứ i tốt

C=bc tất cả các sp đều tốt

C =A1.A2 An

 Vậy “hiểu” dấu giữa các biến cố nghĩa là gì?

5)XUNG KHẮC:

A và B gọi là xung khắc nếu A và B không đồng thời

xãy ra, khi thực hiện phép thử Ký hiệu A.B=V

Với 2 biến cố A, B thì ta có 4 trường hợp:

5)XUNG KHẮC

 Vd 1: Tung 1 con xúc xắc

đặt A=bc được mặt có số nút chẵn B=bc được mặt có số nút là 2

C=bc được mặt có số nút lẻ

D=bc được mặt có số nút 1,3

Xác định A.B? A.C?

A,B xung khắc? A,C xk? A,D xk?

5)XUNG KHẮC

 Ví dụ 2: Hộp phấn có: 9 viên phấn trắng, 2 viên phấn

đỏ Lấy NN 1 viên phấn ra xem màu

Đặt T=bc được viên phấn T

Đ=bc được viên phấn Đ

A=bc lấy được 1 viên phấn

T,Đ xung khắc? T,A xk?

5)XUNG KHẮC

 Ví dụ 3: Hộp phấn có: 9 viên phấn trắng, 2 viên

phấn đỏ Lấy NN 2 viên phấn ra xem màu

 Đặt A=bc được 1 viên phấn T

B=bc được 1 viên phấn Đ

C=bc được 2 viên phấn T

D=bc lấy được viên phấn T

A,B xung khắc? A,C xk? B,D xk?

A= bc sv này có tóc màu đen

B= bc sv này có tóc màu vàng

A, B xung khắc?

VD5: giả thiết giống VD4 Lấy NN 2 sinh viên

A= bc 2 sv này có tóc màu đen

B= bc 2 sv này có tóc màu vàng

A, B xung khắc?

VD6: giống VD5 Nhưng lớp chỉ có 1 sv có tóc 7 màu

28

5)Xung khắc

VD7: Bộ bài tây có 52 lá Lấy ngẫu nhiên ra 1 lá

A=bc lấy được lá ách

B=bc lấy được lá cơ

A, B xung khắc?

VD8: Bộ bài tây có 52 lá Lấy ngẫu nhiên ra 2 lá

A=bc lấy được 2 lá ách

B=bc lấy được 2 lá cơ

A, B xung khắc?

6)ĐỐI LẬP:

A, B gọi là đối lập nếu A và B không đồng

thời xãy ra, và 1 trong 2 bc A hoặc B phải xãy ra, khi thực hiện phép thử Ký hiệu:

biến cố đối lập của A ký hiệu là 𝐴 hay A*

Với 2 bc A,B ta có 4 trường hợp xãy ra:

6)ĐỐI LẬP

Nhận xét sau đúng hay sai?

A, 𝐴 đối lập ⟺ A+𝐴 = U

và A.A* = V

Nhận xét sau đúng hay sai? A,B xung khắc > A,B đối lập

6)ĐỐI LẬP

 Vd1: Tung 1 con xúc xắc

A=bc xuất hiện mặt có số nút chẳn

B=bc xuất hiện mặt có số nút lẻ

C=bc xuất hiện mặt có số nút là : 2 hoặc 4 A,B đối lập? B,C đối lập?

6)ĐỐI LẬP

 Ví dụ 2: Hộp phấn có: 9 viên phấn trắng, 2 viên phấn

đỏ Lấy NN 1 viên phấn ra xem màu

Đặt T=bc được viên phấn T

Đ=bc được viên phấn Đ

A=bc lấy được 1 viên phấn

T,Đ đối lập? T,A đối lập?

6)ĐỐI LẬP

 Ví dụ 3: Hộp phấn có: 9 viên phấn trắng, 2 viên phấn

đỏ Lấy NN 2 viên phấn ra xem màu

Đặt B=bc được 2 viên phấn T

C=bc được 2 viên phấn Đ

A=bc lấy được nhiều nhất 1 viên phấn Đ

D=bc lấy được viên phấn T

B,C đối lập? A,C đối lập? C,D đối lập?

7)NHÓM BIẾN CỐ XUNG KHẮC TỪNG ĐÔI:

Nhóm (họ) n biến cố A1,A2, ,An gọi là xung khắc từng đôi nếu hai biến cố bất kỳ trong nhóm là xung

khắc nhau (nghĩa là Ai.Aj=V, với mọi i,j)

7)NHÓM BIẾN CỐ XUNG KHẮC TỪNG ĐÔI:

VD1: tung 1 con xúc xắc

Đặt A= bc con xx xh mặt có số nút là 1,2 B= bc con xx xh mặt có số nút là 4,6

C= bc con xx xh mặt có số nút là 5

D= bc con xx xh mặt có số nút là lẻ

A,B,C xktđ? A,B,D xktđ?

7)XKTĐ

 Vd2: Hộp phấn có: 9 viên phấn trắng, 2 viên phấn

đỏ, 3 viên phấn Xanh Lấy NN 1 viên phấn ra xem màu

 T=bc được viên phấn T

Đ=bc được viên phấn Đ

X=bc được viên phấn X

 T,Đ,X xktđ?

7)XKTĐ

 Vd3: Hộp phấn có: 9 viên phấn trắng, 2 viên phấn

đỏ Lấy NN 2 viên phấn ra xem màu

 A=bc được 2 viên phấn T

B=bc được 2 viên phấn Đ

C=bc được 1 viên phấn T

 A,B,C xktđ?

7)XKTĐ

 Ví dụ 4: Khối tứ diện có 4 mặt: 1 mặt sơn xanh, 1 mặt

sơn trắng, 1 mặt sơn vàng, mặt còn lại ½ sơn xanh và

½ sơn vàng Chọn ngẫu nhiên 1 mặt của tứ diện để

xem màu

 T=bc chọn được mặt có sơn T

X=bc chọn được mặt có sơn X

V=bc chọn được mặt có sơn V

X,T,V xk tđ?

8)NHÓM BC ĐẦY ĐỦ:

Nhóm n biến cố A1,A2, ,An gọi là đầy đủ nếu

9)NHÓM BC DẦY ĐỦ VÀ XUNG KHẮC

TỪNG ĐÔI:

A1,A2, ,An gọi là nhóm bc đđ và xktđ nếu

A1,A2, ,An là nhóm bc đđ và là nhóm bc xktđ

Nhận xét: A, A* là nhóm bc đầy đủ và xung khắc

9)NHÓM BC ĐĐ VÀ XKTĐ

 Vd2: Hộp phấn có: 9 viên phấn trắng, 2 viên phấn đỏ,

3 viên phấn Xanh Lấy NN 1 viên phấn ra xem màu

 T=bc được viên phấn T

Đ=bc được viên phấn Đ

X=bc được viên phấn X

 T,Đ,X là nhóm bc đđ và xktđ?

9)NHÓM BC ĐĐ VÀ XKTĐ

 Vd3: Hộp phấn có: 5 viên phấn trắng, 3 viên phấn

Xanh Lấy NN 2 viên phấn ra xem màu

A=bc được 2 viên phấn T

B=bc được 2 viên phấn X

C=bc được 1 viên phấn X

A,B,C là nhóm bc đđ và xktđ?

10)BIẾN CỐ SƠ CẤP:

Bc sơ cấp là bc không thể phân chia (chẻ nhỏ) thành các biến cố khác

 Tập hợp các bc sc tạo thành không gian các bc sc, hay kg mẫu Ký hiệu Ω

Bc sc còn được gọi là kết cục tối giản

46

10) BIẾN CỐ SƠ CẤP

 Vd1: Tung 1 con xúc xắc, xét xem mặt nào xuất

hiện

Ai=bc xuất hiện mặt có số nút là i, i=1,6 B=bc xh mặt có số nút chẳn

 Ta có: Ai, i=1,6 là các bc sc

B không là bcsc vì: B=A2+A4+A6

Ω={A1,A2, ,A6} : kg mẫu

10)BC SƠ CẤP

Vd2: xét gia đình có 2 con

Hãy xác định các bc sơ cấp và kg mẫu?

III)TÍNH CHẤT

 Vd1: Kiểm tra chất lượng 4 sản phẩm

Đặt Ak=bc sp thứ k tốt Biểu diễn các bc sau theo Ak:

A=bc cả 4 sp đều tốt

B=bc có 3 sp tốt , C=bc có ít nhất 1 sp xấu

D=bc có ít nhất 1 sp tốt , E=bc có tối đa 1 sp xấu

Tính chất:

VD2: Có 2 sinh viên đi thi

A=bc sv 1 thi đậu , B=bc sv 2 thi đậu

Hãy diễn tả các bc sau theo A, B :

 1)cả hai sv đều thi đậu

 2)không có ai thi đậu

 3)có ít nhất một người thi đậu

 4)chỉ có sv 1 thi đậu

 5)sv 1 thi đậu

 6)chỉ có một sv thi đậu

 7)có nhiều nhất một người thi đậu

 8)có sv thi đậu

Bài tập 1:

Có 3 sv đi thi A, B, C lần lượt là bc sv 1, 2, 3 thi đậu

Hãy diễn tả các bc sau theo A, B, C :

 1)cả 3 đều thi đậu

 2)không có ai thi đậu

 3)có 2 người thi đậu

 4)có 1 người thi đậu

 5)có ít nhất 1 người thi đậu

 6)có nhiều nhất 1 người thi đậu

 7)có nhiều nhất 1 người thi rớt

 8)có nhiều nhất 2 người thi rớt

 9)chỉ có sv 1 thi đậu

 10)chỉ có sv 1 thi rớt

 11)sv 1 thi đậu

BT2:

Hộp có 3 bi T, 2 bi X Lấy lần lượt 2 bi từ hộp

 Ti= bc lấy được bi T ở lần lấy thứ i, i=1,2

Biểu diễn các biến cố sau theo các Ti (xét cho 2 bi lấy ra):

 1)lấy được 0 bi T

 2)lấy được 1 bi T

 3)lấy được 2 bi T

 4)lấy được ít nhất 1 bi T

 5)lấy được 2 bi cùng màu

 6)lấy được nhiều nhất 1 bi T

 7)lấy được bi T

BT3:

Hộp 1 có: 2 bi T, 3 bi X Hộp 2 có: 2 bi T, 2 bi X Lấy 1

bi từ hộp 1 bỏ sang hộp 2, rồi sau đó lấy ngẫu nhiên 2

bi

từ hộp 2 ra

A=bc lấy được bi T từ hộp 1

Bi=bc lấy được i bi T từ hộp 2, i=0,2

Biểu diễn các biến cố sau theo A, Bi (xét cho 3 bi

BT4: Hộp 1 có: 3 bi T, 2 bi X Hộp 2 có: 3 bi T, 3 bi X

 Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 2 bi

Ai=bc lấy được i bi T từ hộp 1, i=0,2

Bi=bc lấy được i bi T từ hộp 2, i=0,2

Hãy diễn tả các bc sau theo Ai, Bi (xét cho 4 bi lấy

 6)lấy được ít nhất 1 bi T

 7)lấy được nhiều nhất 2 bi T

 8)lấy được 3 bi cùng màu

 9)lấy được 4 bi cùng màu

Bài 3

XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ

I ĐỊNH NGHĨA

1 Khái niệm xác suất

Xác suất của một biến cố là một con số đặc trưng cho khả năng xuất hiện của biến cố đó

2 Định nghĩa xác suất theo quan điểm cổ điển.

Định nghĩa

𝑷 𝑨 = 𝑨

𝛀 =

𝒎 𝒏

a Mỗi sv vào 1 quán.

b Hai sv vào 1 quán và người còn lại vào quán khác

I ĐỊNH NGHĨA

3 Định nghĩa xác suất theo quan điểm thống kê.

Giải Gọi A:”Người đó mắc bệnh tim” , B:”Người đó mắc

bệnh huyết áp” Từ giả thiết ta có:

II CÁC ĐỊNH LÝ VỀ XÁC SuẤT

2 Định lý nhân xác suất.

a Công thức xác suất có điều kiện

Xác suất để biến cố A suất hiện nếu biết rằng biến cố B đã suất hiện gọi là xác suất của A với điều kiện B, ký hiệu là

II CÁC ĐỊNH LÝ VỀ XÁC SuẤT

2 Định lý nhân xác suất.

a Công thức xác suất có điều kiện

người bị cận thị và trong 40 nữ có 10 người bị cận thị Chọn ngẫu nhiên một người trong lớp, tính xác suất để người này bị cận thị nếu biết rằng người này là nữ

II CÁC ĐỊNH LÝ VỀ XÁC SuẤT

2 Định lý nhân xác suất.

a Công thức xác suất có điều kiện

Ví dụ 4:

Một tổ điều tra dân số vào ngẫu nhiên một gia đình có 2 con.

a Tính xác suất để gia đình đó có 2 con trai.

b Đang ngồi nói truyện thì có một cậu con trai ra chào Tính xác suất để gia đình đó có 2 con trai.

TT TG

GT GG

TT TG GT

II CÁC ĐỊNH LÝ VỀ XÁC SuẤT

2 Định lý nhân xác suất.

a Công thức xác suất có điều kiện

Ví dụ 4:

Một tổ điều tra dân số vào ngẫu nhiên một gia đình có 2 con.

a Tính xác suất để gia đình đó có 2 con trai.

b Đang ngồi nói truyện thì có một cậu con trai ra chào Tính xác suất để gia đình đó có 2 con.

Giải

TT TG

GT GG

TT TG GT

Ta cũng thấy rằng khi có một cậu con trai ra

chào tức là ta đã biết gia đình có con trai, có

thể loại bỏ trường hợp gia đình có 2 con gái

nên xác suất để gia đình có 2 con trai khi này

sẽ là:

𝑃(𝐴/𝐵) = 1

3

II CÁC ĐỊNH LÝ VỀ XÁC SuẤT

2 Định lý nhân xác suất.

b Công thức nhân xác suất

Từ công thức xác suất có điều kiện ta có:

là 1%, 2% và 2,5% Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm của nhà

máy, tính xác suất để đây là một sản phẩm hỏng.

Giải

Gọi A:” Sản phẩm của phân xưởng A”

B:” Sản phẩm của phân xưởng B”

C:” Sản phẩm của phân xưởng C”,

H:” Sản phẩm đó hỏng”, ta có A, B, C lập thành một hệ đầy đủ

và xung khắc từng đôi.

P(H) = P(A)P(H/A) + P(B)P(H/B) + P(C)P(H/C)

P(H) = 0,25.0,01 + 0,25.0,02 + 0,4.0,25 = 0,0195

II CÁC ĐỊNH LÝ VỀ XÁC SuẤT

3 Công thức đầy đủ.

Chú ý:

Trong trường hợp ta cần tính xác suất của biến cố H mà biến

cố này liên quan đến kết quả của một phép thử trước đó thì dựa vào phép thử trước đó ta sẽ xây dựng hệ đầy đủ và xung khắc từng đôi và tính P(H) thông qua hệ này.

Bước 1 Bước 2

P(H)

Xây dựng hệ đầy đủ và xktđ

Giải

Với 𝑘 ∈ {1,2, … , 𝑚}

là 1%, 2% và 2,5% Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm của nhà máy thì được sp hỏng,tính xác suất để đây là một sản phẩm của pxA.

A:” Xuất hiện mặt 5” nên P(A) = 1/6

𝐻𝑘:” A xuất hiện k lần trong 10 lần gieo”

𝑃 𝐻𝑘 = 𝐶10𝑘 1

6

𝑘

5 6

10−𝑘

Vậy 𝑃 𝐻2 = 𝐶102 1

6

2 56 8