Bài giảng - XÁC SUẤT THỐNG KÊ CHƯƠNG 3 pdf

' 3 XÁC SUẤT CỦA MỘT BIẾN CỐ Trong cuộc sống hàng ngày có những câu nói kiểu như “Chiều nay có thể mưa”, “Giá vàng ngày mai có thể giảm”, “Mua loại cổ phiếu này có thể thắng lợi”.. Toán

' 3



XÁC SUẤT CỦA MỘT BIẾN CỐ

Trong cuộc sống hàng ngày có những câu nói kiểu như “Chiều nay có thể mưa”, “Giá vàng ngày mai có

thể giảm”, “Mua loại cổ phiếu này có thể thắng lợi”

Đây chính là khẳng định về khả năng xảy ra của biến cố Toán học đã định lượng hóa các khả năng này bằng cách gán cho mỗi biến cố một con số thuộc [0; 1], gọi là xác sut ca bin c đó Ký hiệu xác suất của biến cố A là P(A)

a) Định nghĩa xác suất cổ điển

• Giả sử một phép thử T có tất cả n kết quả

đồng khả năng, trong đó m kết quả thuận lợi cho biến cố A (tức là |Ω| = n, |ΩA| = m) Khi đó

P(A) =

n

m

Nói cách khác, P(A) bằng tỉ số của số kết quả thuận lợi cho A trên số kết quả có thể xảy ra

Ví dụ

T = gieo một con xúc xắc cân đối

A = “Ra số chấm chẵn”,

B = “Ra số chấm chia hết cho 3”

Ta có P(A) =

6

3

và P(B) =

6

2

Chú ý

Từ tính đối xứng của phép thử (đồng tiền cân đối, con xúc xắc cân đối,…) ta suy ra các kết quả của

nó đồng khả năng

b) Định nghĩa xác suất theo hình học

Bài toán Hai người hẹn gặp nhau tại một địa điểm

đã định trước trong khoảng thời gian từ 19 đến 20

giờ Mỗi người có thể đến điểm hẹn một cách ngẫu nhiên tại một thời điểm trong khoảng thời gian nói trên và họ qui ước rằng người đến trước sẽ chỉ đợi

người đến sau trong vòng 10 phút Tính xác suất để hai người này có thể gặp nhau

Phân tích Gọi x và y lần lượt là thời điểm (tính

điểm hẹn x và y thuộc [0; 60]

Ở đây phép thử là hành động hai người gặp nhau, còn mỗi cặp thời điểm (x; y) là một kết quả Trong

mặt phẳng (Oxy) tập hợp các cặp thời điểm này là

Biến cố A = “ hai người gặp nhau” xảy ra khi và chỉ

khi |x – y| ≤ 10 hay x – 10 ≤ y ≤ x + 10

Tập hợp các kết quả thuận lợi cho A được biểu

diễn bởi miền hình học ΩA gạch chéo

Xác suất của biến cố A được tính theo định nghĩa sau đây

• Giả sử một phép thử T có vô hạn biến cố sơ

cấp đồng khả năng có thể biểu diễn như các

điểm của một miền hình học Ω nào đó, các

biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố A được

biểu diễn như các điểm của miền hình học ΩA Khi đó

P(A) = độ đo của ΩA/độ đo của Ω

Độ đo sẽ là độ dài, diện tích hay thể tích tùy theo

Ω là đoạn thẳng, miền phẳng hay khối không gian

Trong bài toán trên

P(A) = 2 2 2

60

50

60 −

= 36 11

c) Định nghĩa xác suất bằng tần suất

Việc tính: khả năng để một máy nào đó sản xuất

ra một phế phẩm, khả năng để doanh nghiệp đạt được doanh số tối thiểu 50 triệu đ/tháng,…rõ ràng

phải dựa vào quan sát thực tế để giải quyết nên không thể dùng hai định nghĩa trên

• Giả sử phép thử T có thể được thực hiện lặp lại

rất nhiều lần trong những điều kiện giống hệt nhau Nếu trong n lần thực hiện T, biến cố A

xuất hiện m(A) lần thì tỉ số f n(A) =

n

A

m )(

được

gọi là tn sut xut hin của biến cố A trong n

phép thử Khi số phép thử n tăng ra vô hạn,

nếu f n(A) dần tới một con số p thì

P(A) = p

Ví dụ

người gieo số lần gieo số lần sấp tần suất để sấp

Pearson 24000 12012 0.5005

Tần suất dần tới số 0.5

Ví dụ

Thống kê của Đacnon tại Pháp

tần suất sinh con gái 0.485 0.484 0.485 0.487 0.488 0.489

Trên thực tế lấy P(A) ≈ f n(A) với n đủ lớn

Ví dụ

Muốn xác định xác suất để một máy sản xuất ra

một phế phẩm, người ta theo dõi 100000 sản

phẩm do nó sản xuất và thấy có 138 phế phẩm

Vậy xác suất cần tìm xấp xỉ bằng

100000 138

Trong 3 định nghĩa trên:

• 0 ≤ P(A) ≤ 1 ;

• P(∅) = 0, P(Ω) = 1 ;

• Nếu P(A) > P(B) thì khả năng xuất hiện

của A cao hơn khả năng xuất hiện của B

d) Nguyên lý xác suất nhỏ

Qua thực nghiệm và quan sát thực tế, người ta

thấy rằng các biến cố có xác suất bé sẽ khó xảy ra khi chỉ thực hiện một hay một vài phép thử Chẳng

hạn việc một vé số trúng giải độc đắc là rất hiếm

Từ đó người ta thừa nhận nguyên lý sau đây

Nguyên lý xác suất nhỏ: Nếu một biến cố có xác

suất rất nhỏ thì thực tế có thể cho rằng trong một phép thử biến cố đó sẽ không xảy ra

Tương tự như vậy, ta có

Nguyên lý xác suất lớn: Nếu một biến cố có xác

suất gần bằng 1 thì thực tế có thể cho rằng biến cố

đó sẽ xảy ra trong một phép thử

Hai nguyên lý này được ứng dụng rộng rãi trong đời

sống khi xét sự tin cậy của khẳng định nào đó

Ví dụ

Trong một lớp có 50 người, nhất định có các bạn sinh nhật trùng nhau, bởi vì biến cố "Không có 2

người nào có ngày sinh giống nhau" có xác suất rất

bé (xấp xỉ 0,0295)