Bài giảng Xác suất thống kê: Chương 3 - Nguyễn Văn Tiến (2019)

Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 3: Quy luật phân phối xác suất thường gặp cung cấp cho người học các kiến thức: Biến ngẫu nhiên rời rạc, biến ngẫu nhiên liên tục, định lý giới hạn trung tâm. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

2/15/2019 Chương Chương QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THƯỜNG GẶP Phân phối Không – 3.1 Biến ngẫu nhiên rời rạc • • • • Luật “không - một” A(p) Bernoulli Luật nhị thức B(n,p) Binomial Luật Poisson P() Poisson Luật siêu bội H(N,M, n) Hypergeometric • Ký hiệu khác: X~A(p) • Cịn gọi phân phối Bernoulli • Bảng ppxs: X P • Tham số đặc trưng: EX   p q p V  X   pq Phân phối Nhị thức (Binomial) Khi có phân phối B(n,p) • Định nghĩa Một biến ngẫu nhiên rời rạc X gọi có phân phối Nhị thức nếu: • Một thí nghiệm phép thử thực điều kiện n lần • Trong phép thử có biến cố Một biến cố gọi “thành công” biến cố “thất bại” • n phép thử độc lập • Xác suất thành công, ký hiệu p, phép thử Xác suất thất bại q=1-p • Biến ngẫu nhiên X = số lần thành công n phép thử • Kí hiệu: X~B(n,p) • Hàm khối xác suất: p  x   Cnk p x q n x • x={0,1,2,3…n} • n,p gọi tham số (parameter) 2/15/2019 Ví dụ Ví dụ • Một đồng xu chế tạo cho xác suất xuất mặt ngửa lần tung 70% Tung đồng xu 100 lần, theo cách y hệt Gọi X số lần đồng xu xuất mặt ngửa X có phải biến ngẫu nhiên có phân phối Nhị thức? • Một giảng viên đại học lấy mẫu ngẫu nhiên sinh viên tìm thấy bốn sinh viên tình nguyện mùa hè xanh Đặt X số sinh viên lấy mẫy X có phải biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức khơng? • Một khảo sát với cỡ mẫu n = 1000 người Mỹ trưởng thành ngẫu nhiên tiến hành Đặt X số người sở hữu xe thể thao đa dụng (SUV) mẫu X có phải biến ngẫu nhiên nhị thức khơng? • Một nhân viên kiểm sốt chất lượng điều tra lô gồm 15 sản phẩm Anh ta lấy mẫu ngẫu nhiên (không thay thế) sản phẩm từ lô Đặt X số sản phẩm đạt yêu cầu X có phải biến ngẫu nhiên nhị thức không? Effect of n and p on Shape For small p and small n, the binomial distribution is what we call skewed right Effect of n and p on Shape For p = 0.5 and large and small n, the binomial distribution is what we call symmetric For large p and small n, the binomial distribution is what we call skewed left Tham số đặc trưng For small p and large n, the binomial distribution approaches symmetry 10 Ví dụ • Xác suất để bệnh nhân chữa khỏi điều trị bệnh gặp máu 0,4 Nếu 15 người đồng ý chữa trị xác suất: • A) Có 10 người khỏi • B) Có từ đến người khỏi • C) Có người khỏi Là bao nhiêu? • Cho bnn X~B(n,p) Ta có: i ) E  X   np ii ) VX  npq iii )  n  1 p   ModX   n  1 p 11 12 2/15/2019 Ví dụ Ví dụ • Một chuỗi cửa hàng bán lẻ lớn mua loại thiết bị điện tử để bán Nhà sản xuất cho biết tỷ lệ bị hư hỏng loại thiết bị 3% a) Bộ phận kiểm tra lấy ngẫu nhiên 20 thiết bị từ lô hàng giao Xác suất có thiết bị hỏng bao nhiêu? b) Giả sử cửa hàng nhập 10 lô hàng tháng với lô hàng kiểm tra ngẫu nhiên 20 thiết bị Xác suất có lơ hàng có chứa thiết bị hỏng số 20 thiết bị kiểm tra? • Có giả thiết cho 30% giếng nước vùng nơng thơn có tạp chất Để tìm hiểu kỹ người ta xét nghiệm số giếng (vì khơng đủ tiền xét nghiệm hết) • A) Giả sử giả thiết đúng, tính xác suất có giếng có tạp chất • B) Xác suất có nhiều giếng có tạp chất? • C) Giả sử 10 giếng kiểm tra có giếng có tạp chất Có thể kết luận giả thiết trên? 13 14 Phân phối siêu bội Phân phối siêu bội • Định nghĩa Nếu ta chọn ngẫu nhiên n phần tử, khơng hồn lại, tập hợp gồm N phần tử với: • NA phần tử thuộc loại, giả sử loại A • Và N- NA phần tử lại thuộc loại khác • Gọi X số phần tử loại A số n phần tử chọn Khi PDF X dạng p  x  • Các giá trị bnn X thỏa mãn: i) x  n ii ) x  N A p  x  iii ) n  x  N  N A CNx A CNnxN A CNn • Biến ngẫu nhiên X gọi có phân phối siêu bội • Ký hiệu: X~H(N,NA,n) CNx A CNnxN A CNn 15 16 Các tham số đặc trưng ModX • Ta có: Cho bnn X~H(N,NA,n) ta có: E  X   np; V  X   npq N n N 1 k0  ModX  k0  • Với Trong đó: k0  p NA ; N q  1 p  N A  1 n  1  N 2 • Cơng thức cho ta khoảng chứa ModX 17 18 2/15/2019 Ví dụ Ví dụ • Một hồ có 600 cá, 80 đánh dấu nhà khoa học Một nhà nghiên cứu chọn ngẫu nhiên 15 từ hồ Hãy tìm công thức cho hàm P.M.F biến ngẫu nhiên X, với X số cá đánh dấu có mẫu lấy • Giả sử có người, có bạn người bạn bạn, xếp hàng cách ngẫu nhiên Gọi X biến ngẫu nhiên thể số người bạn bạn Hãy xác định PMF X dạng bảng Hãy kiểm ta tính hợp lý hàm PMF X P 0,4 0,3 0,2 0,1 19 20 Ví dụ Ví dụ 10 • Kiện hàng chứa 40 sản phẩm Bên mua không mua kiện hàng có từ sản phẩm lỗi trở lên Để tiện, bên mua quy ước lấy sản phẩm kiểm tra, có sản phẩm lỗi khơng mua lơ hàng Xác suất tìm thấy sản phẩm lỗi biết lơ hàng có sản phẩm lỗi bao nhiêu? Trong cửa hàng bán 100 bóng đèn có bóng hỏng Một người mua ngẫu nhiên bóng Gọi X số bóng hỏng người mua phải a) X pp theo qui luật gì? Viết biểu thức? b) Tính kì vọng, phương sai bnn X? c) Tính ModX? 21 Ví dụ 11 22 Quan hệ Nhị thức siêu bội Một hộp có 20 sản phẩm có phế phẩm Lấy ngẫu nhiên sp từ hộp Gọi X số phế phẩm sp a) Luật phân phối xác suất X X ~ H  N , N A, n P X  k   23 X ~ B  n, p  N>20n b) Tính E(X), Var(X)? c) Tìm Mod(X) n0 • Kí hiệu: X~ P(λ) 27 Các tham số tính chất 28 Một số ví dụ • Số lần truy cập vào máy chủ web phút • Số điện thoại trạm điện thoại phút • Số lượng bóng đèn bị cháy khoảng thời gian xác định • Số lần gõ bị sai đánh máy trang giấy • Số lần động vật bị chết xe cộ cán phải đơn vị độ dài đường • Số lượng thơng đơn vị diện tích rừng hỗn hợp • Cho X~ P(λ) Ta có: i) E  X    ii ) V  X    iii )    ModX   • X1, X2 hai bnn độc lập X1~ P(λ1); X2~ P(λ2) Ta có: X  X ~ P  1  2  29 30 2/15/2019 Ví dụ 13 Ví dụ 14 Trong nhà máy dệt, biết số ống sợi bị đứt có phân phối Poisson với trung bình Tính xác suất có a Đúng ống sợi bị đứt ( biến cố A) b Có ống sợi bị đứt.( bc B) Một trạm điện thoại trung bình nhận 300 gọi Tính xác suất: a) Trạm nhận gọi vòng phút b) Trạm nhận gọi vòng phút 31 32 Xấp xỉ B(n,p) P(λ) Ví dụ 15 • Khi n lớn p nhỏ ta xấp xỉ phân phối Nhị thức phân phối Poisson • Nghĩa là: x Cnx p x q n x  e   • Trong đó:   n p  E  X  • Điều kiện để xấp xỉ tốt: n  20   p  0,05 hay  x! • Năm phần trăm (5%) bóng đèn thơng Giáng sinh cơng ty sản xuất bị lỗi Giám đốc phận kiểm sốt chất lượng cơng ty quan ngại lấy mẫu ngẫu nhiên 100 bóng đèn khỏi dây chuyền lắp ráp Gọi X số bóng đèn mẫu bị lỗi Xác suất mà mẫu chứa nhiều ba bóng đèn bị lỗi bao nhiêu? n  100   p  0,1 33 Phân phối 3.2 Biến ngẫu nhiên liên tục • • • • • • 34 Định nghĩa Một biến ngẫu nhiên X gọi có phân phối U(a,b) hàm mật độ có dạng: Phân phối U(a, b) Uniform Phân phối lũy thừa Exponential Phân phối chuẩn Normal Phân phối Student Phân phối Khi bình phương Chi-squared, Phân phối Fisher f ( x)  ba Trong đó: 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 F ( x)  35 xa ba 36 2/15/2019 Phân phối Ứng dụng phân bố • Bài Lớp có 40 sinh viên, giảng viên cần chia thành nhóm nhóm 20 sinh viên Làm cách chia nhóm cách ngẫu nhiên? • Bài Làm cách chọn ngẫu nhiên 100 sinh viên toàn sinh viên học FTU2 (giả sử gồm 4000 sinh viên) để tham gia khảo sát chất lượng giảng dạy • Các tham số đặc trưng i) E  X   ab ii ) ModX  x0   a, b  b  a  Var  X   12 ab MedX  2 • Xem viết gốc tại: • https://newonlinecourses.science.psu.edu/stat 414/node/137/ 37 38 Biểu đồ Q-Q (quantile-quantile plot) Ví dụ 17 • Làm đánh giá tập hợp liệu cụ thể tuân theo phân phối xác suất cụ thể? • Cách 1: so sánh số đặc trưng  khơng đủ • Cách 2: dùng Q-Q plot (biểu đồ so sánh phân vị) • Tập hợp 19 số phát sinh ngẫu nhiên từ phân phối U(0,1) phần mềm Minitabs Hãy xem xét xem số có phù hợp với mơ hình xác suất cho f(x)=1 với 0