Bài giảng Xác suất thống kê: Chương 6 - Nguyễn Văn Tiến (2019)

Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 6: Ước lượng tham số cung cấp cho người học các kiến thức: Ước lượng, thống kê mẫu và ước lượng điểm, ước lượng điểm, ước lượng khoảng, ước lượng phương sai,... Mời các bạn cùng tham khảo.

3/11/2019 ƯỚC LƯỢNG CHƯƠNG • Ước lượng điểm • Ước lượng khoảng trung bình, tỷ lệ, phương sai • Ước lượng chênh lệch hai trung bình, chênh lệch hai tỷ lệ • Ước lượng tỷ số hai phương sai ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019 Ước lượng Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019 • Định nghĩa Một thống kê mẫu T(X1, X2, , Xn) sử dụng để ước lượng cho tham số  gọi ước lượng điểm  nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019 Ước lượng khơng chệch (ƯLKC) • Dùng giá trị để thay cho giá trị tham số  chưa biết tổng thể • Giá trị giá trị cụ thể thống kê T mẫu ngẫu nhiên • Cùng với mẫu ngẫu nhiên xây dựng nhiều thống kê mẫu để ước lượng cho tham số  • Ta dựa vào tiêu chuẩn sau: không chệch, hiệu quả, vững … Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019 • Định nghĩa Cho mẫu ngẫu nhiên (X1, X2, …, Xn) tổng thể Một hàm biến ngẫu nhiên X1, X2, , Xn gọi thống kê mẫu (statistic) 6.1 Ước lượng điểm nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019 Thống kê mẫu Ước lượng điểm • Tổng thể có tham số  chưa biết • Ta muốn xác định tham số • Lấy mẫu ngẫu nhiên cỡ n • Từ mẫu tìm cách xác định gần giá trị tham số  tổng thể • Ước lượng điểm: dùng giá trị • Ước lượng khoảng: dùng khoảng nguyenvantien0405.wordpress.com nguyenvantien0405.wordpress.com • Thống kê T(X1;X2;…;Xn) gọi ước lượng không chệch tham số  nếu: E(T)   • Nếu E(T) ước lượng T gọi ước lượng chệch (ƯLC) tham số  • Độ chệch ước lượng: E(T)   nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019 3/11/2019 Ví dụ Ước lượng KC tốt • Cho X, Y hai ULKC tham số  • Có nghĩa là: E  X    • Theo lý thuyết mẫu ta có:   E X  E S *2     E S X la ULKC cua  F la ULKC cua p  n  1   E S2    2 S la UL chech cua  E F   p Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019 nguyenvantien0405.wordpress.com • Thì Y ước lượng tốt X (do phương sai nhỏ nên mức độ tập trung xung quanh tham số  nhiều hơn) nguyenvantien0405.wordpress.com • Cho mẫu ngẫu nhiên (X1,X2, …, Xn) a) CMR: thống kê sau: Z2  X1  X2 ; Zn  • Thống kê T(X1;X2;…;Xn) gọi ước lượng hiệu tham số  nếu: • T ULKC  • V(T) nhỏ so với ULKC khác xây dựng mẫu ngẫu nhiên X1  X2   Xn n ước lượng khơng chệch  • Ta thường dùng bất đẳng thức Crammer-Rao để đánh giá b) Trong ước lượng ước lượng tốt Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019 nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019 Ước lượng hiệu Ví dụ Z1  X1; V  X   V Y  • Nếu: S *2 , S la ULKC cua  n E Y    nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019 10 BĐT Cramer-Rao Ví dụ • Biến nn gốc X có hàm mật độ cơng thức tính xác suất có chứa tham số θ dạng f(x,θ) thỏa mãn số điều kiện định • Cho T ƯLKC θ Ta ln có: • Cho mẫu ngẫu nhiên (X1,X2, …, Xn) lấy từ tổng thể có kì vọng  phương sai 2 Xét thống kê: V T     ln  f  X ,     nE       • Vậy ULKC thỏa mãn dấu “=“ ULHQ nguyenvantien0405.wordpress.com Z1  X  X   nX n X  X   X n ;X n  n  1 n Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019 a) CMR: thống kê ước lượng không chệch  b) Trong hai ước lượng ước lượng tốt 11 nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019 12 3/11/2019 Ví dụ Ví dụ Cho tổng thể có phân phối chuẩn N(μ;σ2) CMR: 𝑋 ước lượng hiệu tham số μ Giải Dễ thấy, 𝑋 ước lượng không chệch và:   Var X  Hàm ppxs tổng thể:    ln f  x,     x   2 13   nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019 14 n • Ta chứng minh được:    Var X X la ULHQ cua  S , S *2 la ULHQ cua  F la ULHQ cua p • Vậy thống kê 𝑋 ƯLKC có phương sai nhỏ ước lượng không chệch tham số μ tổng thể Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019 15 Ước lượng hợp lý tối đa Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019 nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019 16 6.2 Ước lượng khoảng Giả sử tổng thể có tham số  chưa biết Dựa vào mẫu ngẫu nhiên ta tìm khoảng (a; b) cho: P(a <  30 nguyenvantien0405.wordpress.com P   z /2  Z  z /2     • Ta có: X   Z 20 Khoảng tin cậy cho phân phối chuẩn • Tổng thể có phân phối chuẩn • Ước lượng điểm khơng chệch: 𝑋 • Độ tin cậy: − 𝛼 • Phân phối thống kê mẫu: X   Z Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019 nguyenvantien0405.wordpress.com • Khoảng tin cậy hai phía_ biết σ  X ; X     z   /2 • Từ đó: 1      t  n  1;  2      X   P  t  n  1;     2 S  nguyenvantien0405.wordpress.com  n  /2 • Khoảng tin cậy hai phía_ chưa biết σ Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019  S    t  n  1;   X ; X     t  n  1;  2      t  n  1;         n   ??? 23 • Chú ý:   t  n  1;   Z /2 2  nguyenvantien0405.wordpress.com  Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019  n n  30 24 3/11/2019 Độ xác, độ tin cậy, cỡ mẫu 6.2.2 Ước lượng hiệu hai kỳ vọng tốn • Sinh viên tự tính tốn • Xét riêng trường hợp • Khi ước lượng hai phía, sai số hay độ xác:   z  n hay  S    t  n  1;    n • Để xác định kích thước mẫu, ta dùng:  2      S  t  n  1;    2   z /2     n  1 n  1   2        nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019 25 6.2.2 Ước lượng hiệu hai kỳ vọng tốn • Trường hợp mẫu cặp • Paired t-Interval nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019 26 6.2.3 Ước lượng phương sai • Tổng thể có phân phối chuẩn • Ước lượng điểm khơng chệch: S*2 hay S2 • Độ tin cậy: − 𝛼 • Phân phối thống kê mẫu: Z nS *2 2 ~  n Z  n  1 S ~  n     • Chú ý: 𝜒2(n) hội tụ N(n;2n) n>30 nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019 27 Khoảng tin cậy nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019 28 6.2.4 Ước lượng tỷ số hai phương sai • Khoảng tin cậy hai phía – biết µ    nS *2  nS *2   ;    n;     n;1         2      • Khoảng tin cậy hai phía – chưa biết µ     n  1 S  n  1 S   ;    n  1;     n  1;1          2      nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019 29 nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019 30 3/11/2019 6.2.5 Ước lượng xác suất p Ước lượng hai phía cho p • Bài tốn hai phía Tổng thể có tỷ lệ p chưa biết (về tính chất A đó) • Ta lấy mẫu cỡ n (trên 30) • Tìm (a,b) cho: • B1 Với độ tin cậy (1-α), ta chọn α1; α2 • B2 KƯL thống kê Z P a  p  b  1  Z nguyenvantien0405.wordpress.com  F  p  n ~ N 0;1   p 1  p  Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019  z /2 F ; F     z 31 • B3 KƯL tham số p sau biến đổi xấp xỉ z /2 nguyenvantien0405.wordpress.com P  F    Z  F     1 𝑣ớ𝑖 𝜀 = 𝑧𝛼 𝐹 1−𝐹 𝑛 Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019 32 Độ xác, độ tin cậy, cỡ mẫu • Khi ước lượng hai phía, độ dài khoảng ước lượng: F 1  F  P   z /2  Z  z /2      /2 Z ~ N  0;1 Khoảng tin cậy cho p • Hai phía: 1     /2 2  z n F 1  F  F 1  F  n   z • Sai số (độ xác ước lượng): n • Để xác định kích thước mẫu, ta dùng:  F 1  F  z    n  1 2   nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019 33 nguyenvantien0405.wordpress.com  z    n   2  1 4   Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019 6.2.6 Ước lượng hiệu hai xác suất 34 Bài • Trong kho hàng xí nghiệp A có nhiều sản phẩm Lấy nn 100 sp cân lên ta thấy Xi (gr) 800-850 850-900 900-950 950-1000 1000-1050 1050-1100 1100-1150 ni 10 20 30 10 20 a) Các sp từ 1050 gr trở lên sp loại Ước lượng trọng lượng trung bình sp loại với độ tin cậy 98% (giả sử trọng lượng sp có pp chuẩn) nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019 35 nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019 36 3/11/2019 Bài Bài • Mức hao phí nhiên liệu cho đơn vị sản phẩm bnn có pp chuẩn Xét 25 sản phẩm ta có kết sau: b) Nếu muốn ước lượng tỷ lệ sp loại với độ tin cậy 98% độ xác 3% cần điều tra thêm sản phẩm c) Giả sử kho để nhầm 1000sp xí nghiệp B 100 sp lấy có sp xí nghiệp B Hãy ước lượng số sp xí nghiệp A kho với độ tin cậy 82% nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019 37 X 19,5 20 20,5 ni 18 • Hãy ước lượng phương sai với độ tin cậy 95% trường hợp: a) Biết kỳ vọng 20? b) Không biết kỳ vọng? nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019 Bài Bài • Năng suất lúa vùng (tạ/ha) bnn có phân phối chuẩn Thu hoạch ngẫu nhiên 100 ta có số liệu sau: x  37,9;  100 i 1 xi  x  Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019 • Lấy ngẫu nhiên 15 bao bột máy đóng bao sản xuất ta có: x  39,8;  1059 • Ước lượng suất lúa trung bình vùng với độ tin cậy 95% • Tìm khoảng tin cậy với hệ số tin cậy 95% cho phương sai suất nguyenvantien0405.wordpress.com 38 39 s  0,144 • Giả thiết trọng lượng bao bột bnn có phân phối chuẩn Hãy ước lượng trọng lượng trung bình  với độ tin cậy 95% nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019 40 Bài Bài • Một lơ hàng có 5000 sản phẩm Chọn ngẫu nhiên 400 sản phẩm từ lơ hàng thấy có 360 sản phẩm loại A a) Hãy ước lượng số sản phẩm loại A lô hàng với độ tin cậy 96%? b) Nếu muốn ước lượng số sản phẩm loại A lơ hàng đạt độ xác 150 sản phẩm độ tin cậy 99% phải kiểm tra sản phẩm? • Để ước lượng số cá hồ người ta đánh bắt 2000 con, đánh dấu thả xuống hồ Sau người ta đánh lên 400 thấy có 40 bị đánh dấu Với độ tin cậy 95%, số cá hồ khoảng con? nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019 41 nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019 42 3/11/2019 Bài Bài • Một tổ chức nghiên cứu tiếp thị thuê để ước lượng số trung bình lãi suất cho vay ngân hàng đặt vùng phía tây Hoa Kỳ • Một mẫu ngẫu nhiên gồm n = 50 ngân hàng chọn nội vùng này, lãi suất ghi nhận cho ngân hàng • Trung bình độ lệch chuẩn cho 50 lãi suất x = 1.8 % s = 0.24 • A) Hãy ước lượng số trung bình lãi suất cho tồn khu vực, tìm biên sai số với ước lượng • B) Tìm khoảng tin cậy 90% cho số trung bình tỷ lệ cho vay • Một gia tăng tỷ lệ tiết kiệm người tiêu dùng thường gắn chặt với thiếu tin tưởng vào kinh tế cho báo xu hướng suy thoái kinh tế • Chọn mẫu ngẫu nhiên n = 200 tài khoản tiết kiệm cộng đồng địa phương cho thấy gia tăng trung bình tài khoản tiết kiệm 7.2% vòng 12 tháng qua độ lệch chuẩn 5.65 • Ước lượng gia tăng tỷ lệ phần trăm trung bình giá trị tài khoản tiết kiệm 12 tháng qua người gởi tiền cộng đồng Hãy tính biên sai số ước lượng nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019 43 nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019 44 Bài tập • 4.2 – 4.13 • 4.15; 4.19; 4.20 nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019 45 ...  Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019 6. 2 .6 Ước lượng hiệu hai xác suất 34 Bài • Trong kho hàng xí nghiệp A có nhiều sản phẩm Lấy nn 100 sp cân lên ta thấy Xi (gr) 80 0-8 50 85 0-9 00 90 0-9 50 95 0-1 000... nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019 25 6. 2.2 Ước lượng hiệu hai kỳ vọng tốn • Trường hợp mẫu cặp • Paired t-Interval nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019 26 6.2.3... nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019 29 nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019 30 3/11/2019 6. 2.5 Ước lượng xác suất p Ước lượng hai phía cho p • Bài tốn hai