Đang tải... (xem toàn văn)
Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 2: Biến ngẫu nhiên một chiều cung cấp cho người học các kiến thức: Khái niệm và phân loại, quy luật phân phối xác suất, hệ số biến thiên, chuẩn hóa biến ngẫu nhiên. Mời các bạn cùng tham khảo.
2/14/2019 CHƯƠNG 2.1 Khái niệm phân loại BIẾN NGẪU NHIÊN MỘT CHIỀU • Khái niệm Biến số gọi biến ngẫu nhiên (random variable) kết phép thử nhận giá trị có tùy thuộc vào tác động nhân tố ngẫu nhiên • Ký hiệu: X, Y, Z … hay X1,X2,… • Giá trị có bnn: chữ thường x, y, z, … • {X≤x} {Y=y} biến cố ngẫu nhiên Ví dụ Phân loại bnn • X: Lượng khách vào cửa hàng ngày • Y: Tuổi thọ điện thoại • Trả ngẫu nhiên mũ bảo hiểm cho người Gọi Z: số mũ bảo hiểm trả người • T: Số sản phẩm hỏng 100 sản phẩm nhập • U: Chiều cao sinh viên gọi ngẫu nhiên lớp Phân loại Ví dụ Biến ngẫu nhiên • Hộp có viên bi gồm trắng vàng Lấy ngẫu nhiên viên bi từ hộp Đặt Y số viên bi vàng có viên lấy • Khi Y biến ngẫu nhiên • Ta có: Y 0;1; 2 Rời rạc - Hữu hạn giá trị - Vô hạn đếm giá trị - Xác suất tập trung điểm giá trị Liên tục - Giá trị lấp đầy hay vài khoảng hữu hạn vô hạn - Xác suất khoảng giá trị - Xác suất không tập trung điểm P(X=a)=0 với a • “Y=0”, “Y=1”, “YV(Y) thì: – X biến động, dao động, phân tán Y – Y ổn định, đồng X • Trong kỹ thuật phương sai đặc trưng cho sai số thiết bị Trong kinh tế, phương sai đo độ rủi ro định 41 42 2/14/2019 Ví dụ 16 Ví dụ 17 • Tiền lãi đầu tư tỷ đồng vào ngành A, B bnn độc lập X, Y: X P 0,3 15 0,5 30 0,2 Y P -2 0,2 15 35 0,45 0,35 • Muốn lãi trung bình cao đầu tư vào ngành nào? • Muốn rủi ro thấp đầu tư vào ngành nào? • Muốn rủi ro thấp chia vốn đầu tư theo tỷ lệ nào? X P 0,3 15 0,5 30 0,2 Y P -2 0,2 15 35 0,45 0,35 • Đầu tư a tỷ vào ngành A b tỷ vào ngành B tháng Tìm trung bình phương sai tổng tiền lãi tháng? • Đầu tư tỷ vào ngành A tháng Tìm trung bình phương sai tiền lãi thu • Mỗi tháng đầu tư vào ngành A tỷ, độc lập Tìm trung bình phương sai tổng tiền lãi tháng Tính xác suất tổng tiền lãi khơng 50 triệu • Tìm xác suất đầu tư vào A lãi cao B? 43 Độ lệch chuẩn 44 Ví dụ 18 • Định nghĩa Độ lệch chuẩn (standard deviation) bnn X, ký hiệu (X) hay X, bậc hai phương sai X V X • Độ lệch chuẩn đo mức độ phân tán, dao động bnn X có ý nghĩa tương tự phương sai • Độ lệch chuẩn có đơn vị với bnn X 45 Ví dụ 19 46 Chuẩn hóa biến ngẫu nhiên • Cho X bnn có kỳ vọng độ lệch chuẩn >0 • Đặt: X Z • Ta có: E Z V Z 1 • Biến Z gọi bnn chuẩn hóa bnn X 47 48 2/14/2019 Hệ số biến thiên Ví dụ 20 Tuổi thọ loại côn trùng M biến ngẫu nhiên X (đơn vị: tháng) với PDF sau: f x kx x , • Định nghĩa Hệ số biến thiên (coefficient of variation) X ký hiệu CV(X) tính theo cơng thức: • Kí hiệu: CV(X) CV X x 4 X EX E X 0 100% • Hệ số biến thiên có đơn vị % • Hệ số biến thiên đo độ phân tán tương đối • Có thể so sánh hệ số biến thiên nhiều bnn khác nhau, không cần đơn vị, ý nghĩa, khơng có kỳ vọng • Tìm số k? • Xác định CDF? • Tính tuổi thọ trung bình loại trùng 49 50 Median (Trung vị) Mode X • Định nghĩa Trung vị bnn X, ký hiệu MedX, me giá trị nằm phân phối xác suất • Nếu X rời rạc: P X me 0,5 P X me 0,5 • Nếu X liên tục: me • Định nghĩa Mốt (mode) bnn X, ký hiệu mo giá trị ứng với xác suất lớn (X rời rạc) hàm mật độ f(x) lớn (X liên tục) • BNN X có mod, nhiều mod khơng có mod • Nếu X rời rạc: P X m0 max P x xi i f x dx 0,5 • Nếu X liên tục: f m0 max f x xR 51 Ví dụ 21 Ví dụ 22 • Cho bnn X có hàm mật độ xác suất Cho bnn X Ta có: X P 0,1 X F(X) 0,1 Vậy 52 3 x 2 x f x 0 0,2 0,15 0,3 0,25 0,3 0,45 0,75 ,0 x , x 0, 2 • Tìm MedX ModX? Med X Mod X 53 54 2/14/2019 Phân vị mức (1-𝛼) Giá trị tới hạn • Định nghĩa Với bnn X liên tục, phân vị (percentile) mức − 𝛼 ký hiệu 𝑥1−𝛼 số thực thỏa mãn: P X x1 • Định nghĩa Với bnn X liên tục, giá trị tới hạn (critical value) mức 𝛼 (0 ≤ 𝛼 ≤ 1) ký hiệu 𝑥𝛼 số thực thỏa mãn: P X x 𝛼 x 55 56 Ví dụ 23 Ví dụ 24 Tuổi thọ loại trùng X (tháng) có hàm mật độ kx x , x 0;4 f x , x 0;4 0 Cho bnn X có hàm mật độ a) Tìm số k b) Tìm Mod(X) c) Tìm xác suất trùng chết trước tháng tuổi E(X)=0,6; V(X)=0,06 a) Tìm a,b,c? b) Đặt Y=X3 Tính E(Y) ax bx c f x 0 , x 0;1 , x 0;1 57 58 Ví dụ 25 Ví dụ 25 • Giả sử cửa hàng sách định nhập số truyện trinh thám Nhu cầu hàng năm loại sách sau: Nhu cầu (cuốn) 30 31 32 33 P 0,3 0,15 0,3 0,25 • Cửa hàng mua sách với giá 7USD cuốn, bán với giá 10USD đến cuối năm phải hạ giá với giá 5USD 59 Nhu cầu (cuốn) 30 31 32 33 P 0,3 0,15 0,3 0,25 • Nếu nhập 32 lợi nhuận bán trung bình bao nhiêu? • Xác định số lượng nhập cho lợi nhuận kì vọng lớn 60 10 2/14/2019 Anscombe's quartet Bài tập chương • • • • • Anscombe's quartet 2.1; 2.2; 2.6; 2.7; 2.9; 2.10; 2.11; 2.14; 2.15; 2.17; 2.18; 2.10; 2.23; 2.24; 2.25 2.26; 2.27; 2.30; 2.31; 2.32 2.33; 2.34; 2.37 I • Tất 23 II III IV x y x y x y x y 10.0 8.04 10.0 9.14 10.0 7.46 8.0 6.58 8.0 6.95 8.0 8.14 8.0 6.77 8.0 5.76 13.0 7.58 13.0 8.74 13.0 12.74 8.0 7.71 9.0 8.81 9.0 8.77 9.0 7.11 8.0 8.84 11.0 8.33 11.0 9.26 11.0 7.81 8.0 8.47 14.0 9.96 14.0 8.10 14.0 8.84 8.0 7.04 6.0 7.24 6.0 6.13 6.0 6.08 8.0 5.25 4.0 4.26 4.0 3.10 4.0 5.39 19.0 12.50 12.0 10.84 12.0 9.13 12.0 8.15 8.0 5.56 7.0 4.82 7.0 7.26 7.0 6.42 8.0 7.91 5.0 5.68 5.0 4.74 5.0 5.73 8.0 6.89 61 62 Anscombe's quartet Anscombe's quartet Value Accuracy Mean of x Property exact Sample variance of x 11 exact Mean of y 7.50 to decimal places Sample variance of y 4.125 ±0.003 Correlation between x and y 0.816 to decimal places y = 3.00 + 0.500x to and decimal places, respectively 0.67 to decimal places Linear regression line Coefficient of determination of the linear regression 63 64 11 ... • • Anscombe''s quartet 2. 1; 2. 2; 2. 6; 2. 7; 2. 9; 2. 10; 2. 11; 2. 14; 2. 15; 2. 17; 2. 18; 2. 10; 2. 23; 2. 24; 2. 25 2. 26; 2. 27; 2. 30; 2. 31; 2. 32 2.33; 2. 34; 2. 37 I • Tất 23 II III IV x y x y x y x y 1... xác suất Rời rạc (PMF) Hàm mật độ xác suất (PDF) Xác suất bên trái Tỷ lệ bên trái F(x) Xác suất điểm p(x) f(x) Liên tục Mật độ xác suất • Hàm phân phối xác suất (Cumulative Distribution Function),... 11 12 2/14 /20 19 Hàm khối xác suất Bnn Rời rạc - Bảng ppxs • Probability Mass Function (PMF) • Bảng phân phối xác suất X pX x P X x • Tính chất: i) pX x x1 … x2 … xn P p1 … p2