Bài giảng xác suất thống kê đại học chương 2: biến ngẫu nhiên

 Chương Biến ngẫu nhiên §1 Biến ngẫu nhiên hàm mật độ §2 Hàm phân phối xác suất §3 Tham số đặc trưng biến ngẫu nhiên …………………………………………………………………………… §1 BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ HÀM MẬT ĐỘ 1.1 Khái niệm biến ngẫu nhiên 1.2 Hàm mật độ  Chương Biến ngẫu nhiên §1 BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ HÀM MẬT ĐỘ 1.1 Khái niệm biến ngẫu nhiên Xét phép thử với không gian mẫu W Giả sử, ứng với biến cố sơ cấp w Ỵ W ta liên kết , với số thực X ( w) Î ¡ , X gọi biến ngẫu nhiên (đại lượng ngẫu nhiên)  Chương Biến ngẫu nhiên Tổng quát, biến ngẫu nhiên (BNN) X phép thử với không gian mẫu W ánh xạ X : W® ¡ w a X ( w) = x Giá trị x gọi giá trị biến ngẫu nhiên X  Chương Biến ngẫu nhiên VD Người A mua loại bảo hiểm tai nạn năm với phí 70 ngàn đồng Nếu bị tai nạn cơng ty chi trả triệu đồng Gọi X số tiền người A có sau năm mua bảo hiểm Khi đó, ta có Phép thử là: “mua bảo hiểm tai nạn” Biến cố T : “người A bị tai nạn” Không gian mẫu W= {T , T } Vậy X (T ) = 2, 93 (triệu), X (T ) = - 0, 07 (triệu)  Chương Biến ngẫu nhiên • Nếu X (W tập hữu hạn {x 1, x , , x n } hay vô hạn ) đếm X gọi biến ngẫu nhiên rời rạc Để cho gọn, ta viết X = {x 1, x , , x n , } • Nếu X ( W khoảng ¡ (hay ¡ ) X ) gọi biến ngẫu nhiên liên tục  Chương Biến ngẫu nhiên • Cho biến ngẫu nhiên X hàm số y = j (x ) Khi đó, biến ngẫu nhiên Y = j (X ) gọi hàm biến ngẫu nhiên X  Chương Biến ngẫu nhiên 1.2 Hàm mật độ a) Biến ngẫu nhiên rời rạc Cho BNN rời rạc X : W® ¡ , X = {x 1, x , , x n , } Giả sử x < x < < x n < với xác suất tương ứng P ({w : X ( w) = x i }) º P (X = x i ) = pi , i = 1, 2, Ta định nghĩa • Bảng phân phối xác suất X X x1 x … x n … P p1 p2 … pn …  Chương Biến ngẫu nhiên • Hàm mật độ X ì p x = x , ï i i f (x ) = ï í ï x ¹ x i , " i ï î Chú ý  pi ³ ; å pi = 1, i = 1, 2,  Nếu x Ï {x 1, x 2, , x n , } P ( X = x ) =  P (a < X £ b) = å a < xi £ b pi  Chương Biến ngẫu nhiên VD Cho BNN rời rạc X có bảng phân phối xác suất: X –1 P 3a a 0,1 2a 0,3 1) Tìm a tính P (- < X £ 3) 2) Lập bảng phân phối xác suất hàm Y = X  Chương Biến ngẫu nhiên  Chương Biến ngẫu nhiên VD 14 Cho BNN X có hàm mật độ xác suất: ì ï ï , x Ỵ [1; 2] ï f (x ) = í x ï ï 0, x Ï [1; 2] ï ï ỵ Tính EY với Y = X ? X  Chương Biến ngẫu nhiên  Chương Biến ngẫu nhiên 3.3 PHƯƠNG SAI 3.3.1 Định nghĩa Phương sai (Variance hay Dispersion) biến ngẫu nhiên X , ký hiệu V arX hay D (X ), số thực không âm xác định bởi: 2 V arX = E (X - EX ) = E ( X ) - (EX )  Chương Biến ngẫu nhiên  Nếu BNN X rời rạc P ( X = x i ) = pi thì: V arX = å i ổ ữ x i pi - ỗồ x i pi ữ ỗ ữ ỗ ữ ố ø i  Nếu BNN X liên tục có hàm mật độ f (x ) thì: +¥ V arX = ũ - Ơ + ổƠ ử2 ữ ỗ x f (x )dx - ỗ ũ x f (x )dx ữ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ- Ơ ố ứ Chng Bin ngu nhiên VD 15 Cho BNN X có bảng phân phối xác suất: X P 0,2 0,7 0,1  Chương Biến ngẫu nhiên VD 16 Tính phương sai X , biết hàm mật độ: ì3 ï ï (x + 2x ), x Ỵ [0; 1] f (x ) = ï í ï 0, ï x Ï [0; 1] ï ỵ  Chương Biến ngẫu nhiên  Chương Biến ngẫu nhiên VD 17 Cho BNN X có hàm mật độ xác suất: ì3 ï ï (1 - x ), x £ f (x ) = ï í ï ï 0, x > ï ỵ Tính phương sai Y , cho biết Y = 2X  Chương Biến ngẫu nhiên  Chương Biến ngẫu nhiên 3.3.2 Tính chất Phương sai 1) V arC = 0, C Ỵ ¡ ; 2) V ar (CX ) = C V arX ; 3) V ar (X ± Y ) = V arX + V arY X Y độc lập  Chương Biến ngẫu nhiên 3.3.3 Ý nghĩa Phương sai • (X - EX )2 bình phương sai biệt giá trị X so với trung bình Và phương sai trung bình sai biệt này, nên phương sai cho ta hình ảnh phân tán số liệu: phương sai nhỏ số liệu tập trung xung quanh trung bình chúng • Trong kỹ thuật, phương sai đặc trưng cho độ sai số thiết bị Trong kinh doanh, phương sai đặc trưng cho độ rủi ro đầu tư  Chương Biến ngẫu nhiên • Do đơn vị đo V arX bình phương đơn vị đo X nên để so sánh với đặc trưng khác, người ta đưa vào khái niệm độ lệch tiêu chuẩn (standard deviation) s = V arX  Chương Biến ngẫu nhiên VD 18 Năng suất (sản phẩm/phút) hai máy tương ứng BNN X Y , có bảng phân phối xác suất: X Y P 0,3 0,1 0,5 0,1 P 0,1 0,4 0,4 0,1 Từ bảng phân phối xác suất, ta tính được: EX = 2, ; V arX = 1, 04; EY = 3, ; V arY = 0, 65 Vì EX < EY , V arX > V arY nên phải chọn mua hai loại máy ta chọn mua máy Y  Chương Biến ngẫu nhiên Chú ý ì EX < EY ì EX > EY ï ï ï Trong trường hợp í hay ï í ï V arX < V arY ï V arX > V arY ï ï ỵ ỵ ta khơng thể so sánh Để giải vấn đề này, s thực tế người ta dùng tỉ số tương đối 100% ( m m trung bình) để so sánh ổn định BNN X Y Tỉ số tương đối nhỏ độ ổn định cao  Chương Biến ngẫu nhiên VD 19 Điểm thi hết môn XSTK lớp A B tương ứng BNN X Y Người ta tính được: EX = 6, 25; V arX = 1, 25 ; EY = 5, 75; V arY = 0, 75 Ta có: sy sx 100% = 15, 06% 100% = 17, 89%; EX EY Vậy lớp B học (ổn định) lớp A ………………………………………………………………………………………… ... phối xác suất hàm mật độ X ?  Chương Biến ngẫu nhiên  Chương Biến ngẫu nhiên  Chương Biến ngẫu nhiên  Chương Biến ngẫu nhiên b) Biến ngẫu nhiên liên tục Hàm số f : ¡ ® ¡ gọi hàm mật độ biến ngẫu. .. Chương Biến ngẫu nhiên  Chương Biến ngẫu nhiên  Chương Biến ngẫu nhiên §3 THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN Những thông tin cô đọng phản ánh phần biến ngẫu nhiên giúp ta so sánh đại lượng... S  Chương Biến ngẫu nhiên ì 4x , x Ỵ [0; 1] ï ï VD Chứng tỏ f (x ) = í hàm mật độ ï 0, x Ï [0; 1] ï ỵ ï biến ngẫu nhiên X tính P (0, £ X < 3) ?  Chương Biến ngẫu nhiên  Chương Biến ngẫu nhiên