Bài giảng xác suất thống kê đại học chương 4: vector ngẫu nhiên

 Chương Vector ngẫu nhiên §1 Phân phối xác suất vector ngẫu nhiên rời rạc §2 Phân phối xác suất vector ngẫu nhiên liên tục ………………………………………………… §1 PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA VECTOR NGẪU NHIÊN RỜI RẠC 1.1 Bảng phân phối xác suất đồng thời (X, Y) 1.2 Phân phối xác suất thành phần (phân phối lề) 1.3 Phân phối xác suất có điều kiện  Chương Vector ngẫu nhiên 1.1 Bảng phân phối xác suất đồng thời (X, Y) Y X x1 x2 M xi M xm y1 y2 L yj … yn p11 p12 L p1j … p1n p21 p22 L p2j … p2n M M M M M M pi pi L pij … pin M M M M M M pm pm L pm j … pmn Tổng cột p• p• L p• j … p• n Tổng dịng p1• p2• M pi • M pm •  Chương Vector ngẫu nhiên ( ) Trong P X = x i ; Y = y j = pij m n å å i= j =1 pij =  Chương Vector ngẫu nhiên 1.2 Phân phối xác suất thành phần (phân phối lề) • Bảng phân phối xác suất X X x1 x L xm P p1• p2• L pm • Trong pi • = pi + pi + L + pin (tổng dòng i bảng phân phối xác suất đồng thời)  Chương Vector ngẫu nhiên Kỳ vọng X EX = x 1p1• + x p2• + L + x m pm •  Chương Vector ngẫu nhiên • Bảng phân phối xác suất Y Y y1 y L y n P p• p• L p• n Trong p• j = p1 j + p2 j + L + pm j (tổng cột j bảng phân phối xác suất đồng thời) Kỳ vọng Y EY = y 1p• + y p• + L + y n p• n  Chương Vector ngẫu nhiên VD Phân phối xác suất đồng thời vector ngẫu nhiên (X ,Y ) cho bảng: Y X 0,10 0,05 0,15 0,05 0,15 0,10 0,10 0,20 0,10 ( ) 1) Tính P (X = 6) P X ³ 7, Y ³ 2) Lập bảng phân phối xs thành phần tính EX , EY  Chương Vector ngẫu nhiên { 1) Đặt D = (x , y ) Ỵ ¡ Giải :0£ y £ x £ } Chiếu D lên Ox , ta được: D = £ x £ 1, £ y £ x { }  Chương Vector ngẫu nhiên Suy ra: +¥ +¥ ị ị f (x , y )dxdy = òò f (x, y )dxdy D - ¥ - ¥ = x 5x 2dx ò 2ydy = ò 0 5x 4dx = 1■ ò  Chương Vector ngẫu nhiên ì ï xü ï (x , y ) : £ y £ x £ 1, y ³ ï ï 2) Đặt D = í ý ï 2ï ï ù ợ ỵ Chiu D lờn Ox , ta c: ì ü ï x ï £ x £ 1, £ y £ x ï ï D= í ý ù ù ù ù ợ ỵ Chng Vector ngu nhiờn ổ ữ P ỗ X ữ= Y ỗ ữ ỗ ữ ố ứ òò f (x , y )dxdy D x = ò 5x dx ò 2ydy = x  Chương Vector ngẫu nhiên { } 3) Khi £ x £ 1, ta có: D = £ x £ 1, £ y £ x Suy ra: x +¥ fX ( x ) = ị - ¥ f (x , y )dy = 10x 2ydy = 5x ị ì 5x , £ x £ 1, ï ï Vậy fX (x ) = í ï 0, nơi c ï ỵ ï  Chương Vector ngẫu nhiên ì 10 ï ï y (1 - y ) , £ y £ 1, Tương tự, fY (y ) = ï í ï ï 0, nơi c ï ỵ  Chương Vector ngẫu nhiên { 4) Trên miền D = (x , y ) Ỵ ¡ 2 f ( x, y ) 3x • f X (x | y ) = = fY (y ) 1- y3 f (x , y ) 2y • fY (y | x ) = = fX ( x ) x } : £ y £ x £ , ta có:  Chương Vector ngẫu nhiên ì 3x ï ï , £ y £ x £ 1, ï ï Vậy: fX (x | y ) = í - y ï ï 0, nơi c ï ï ỵ ì 2y ï ï , (x , y ) Ỵ D , ï fY (y | x ) = í x ï ï 0, nơi c ï ï ỵ  Chương Vector ngẫu nhiên 5) Từ câu 4, ta có: ì ï ỉ ï 32y , £ y £ , çy x = ÷ = ï fY ç ÷ ữ ù ỗ ữ ù 0, nụi khaự ố ứ c ù ợ ổ 1ữ Vy P ỗ < X = ữ = Y ỗ ữ ỗ ỗ 4ữ ố ứ ò 32ydy =  Chương Vector ngẫu nhiên VD Cho hàm mật độ đồng thời vector ( X ,Y ) là: ì 6x , < x < 1; < y < - x , ï f (x , y ) = ï í ï 0, nơi c ï ỵ 1) Tính trung bình thành phần X , Y ( ) 2) Tính xác suất P X > 0, Y = 0,  Chương Vector ngẫu nhiên Giải 1) Tính E {fX (x )} E {fY (y )} , • Đặt D = {0 < x < 1, < y < - x } , ta có: 1- x +¥ fX ( x ) = ò f (x , y )dy = - ¥ ị 6xdy = 6x (1 - x ), < x < +Ơ ị E { X (x )}= f ị - ¥ 1 xf X (x )dx = ò x 6x (1 - x )dx =  Chương Vector ngẫu nhiên { } • Đặt D = < y < 1, < x < - y , ta có: 1- y fY (y ) = ị 6xdx = 3(1 - y ) , < y < +Ơ ị E {Y (x )}= f ị - ¥ 1 yfY (y )dy = ò y 3(1 - y ) dy =  Chương Vector ngẫu nhiên 2) Trên D = {0 < x < 1, < y < - x } , ta có: f (x , y ) 2x fX x y = = fY (y ) (1 - y )2 ì 8x , < x < 0, ï Þ fX x y = 0, = ï í ï 0, nơi c ï ỵ ( ) ( ) 0,5 ( ) ò 8xdx = 0, 64 Vậy P X > 0, Y = 0, = 0,3  Chương Vector ngẫu nhiên VD Tuổi thọ X (năm) thời gian chơi thể thao Y (giờ) có hàm mật độ đồng thời cho sau: ì 15 ï ï x (1 - y ), £ y < x £ 1, f (x , y ) = ï í ï ï 0, nơi c ï ỵ Thời gian chơi thể thao trung bình là: A 0,3125 giờ; B 0,5214 giờ; C 0,1432 giờ; D 0,4132  Chương Vector ngẫu nhiên Hướng dẫn 15 15 2 fY (y ) = ò x (1 - y )dx = (1 - y ) , £ y < y éf (y )ù= 15 (1 - y )2 ydy = 0, 3125 Þ A Þ E êY ú ë û ò …………………………………………………………… ...  Chương Vector ngẫu nhiên §2 PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA VECTOR NGẪU NHIÊN LIÊN TỤC 2.1 Hàm mật độ đồng thời (X, Y) 2.2 Hàm mật độ thành phần 2.3 Hàm mật độ có điều kiện  Chương Vector ngẫu nhiên. .. (tổng dòng i bảng phân phối xác suất đồng thời)  Chương Vector ngẫu nhiên Kỳ vọng X EX = x 1p1• + x p2• + L + x m pm •  Chương Vector ngẫu nhiên • Bảng phân phối xác suất Y Y y1 y L y n P p•... pm •  Chương Vector ngẫu nhiên ( ) Trong P X = x i ; Y = y j = pij m n å å i= j =1 pij =  Chương Vector ngẫu nhiên 1.2 Phân phối xác suất thành phần (phân phối lề) • Bảng phân phối xác suất