Bài giảng xác suất thống kê đại học chương 5: định lý giới hạn trong xác suất

 Chương Định lý giới hạn xác suất §1 Một số loại hội tụ xác suất định lý §2 Các loại xấp xỉ phân phối xác suất ……………………………………………………………………… §2 CÁC LOẠI XẤP XỈ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT 2.1 Xấp xỉ phân phối Siêu bội Nhị thức 2.2 Xấp xỉ phân phối Nhị thức Poisson 2.3 Xấp xỉ phân phối Nhị thức phân phối Chuẩn  Chương Định lý giới hạn xác suất 2.1 Xấp xỉ phân phối Siêu bội Nhị thức Xét BNN X có phân phối Siêu bội H (N ; N A ; n ) • Nu p c nh, N đ Ơ v k n C N C N kN A n CN A d NA N ắ ắđ đ p = - q thì: k k n- k Cn p q  Chương Định lý giới hạn xác suất ỨNG DỤNG Nếu N lớn n nhỏ so với N X : B (n ; p ), p = NA N Chú ý Khi cỡ mẫu n nhỏ so với kích thước N (khoảng 5%N ) tổng thể việc lấy mẫu có hồn lại hay khơng hồn lại  Chương Định lý giới hạn xác suất Đỏ: X Ỵ H (10.000; 4.000; 10) , Xanh: X Î B (10; 0, 4)  Chương Định lý giới hạn xác suất VD Một vườn lan có 10.000 nở hoa, có 1.000 hoa màu đỏ 1) Tính xác suất để chọn ngẫu nhiên 20 lan có hoa màu đỏ 2) Tính xác suất để chọn ngẫu nhiên 50 lan 10 có hoa màu đỏ 3) Có thể tính xác suất để chọn ngẫu nhiên 200 lan có 50 hoa màu đỏ khơng ?  Chương Định lý giới hạn xác suất  Chương Định lý giới hạn xác suất  Chương Định lý giới hạn xác suất 2.2 Xấp xỉ phân phối Nhị thức Poisson Xét biến ngẫu nhiên X có phân phối Nhị thức B (n ; p) ã Khi n đ Ơ , nu p ® np ® l thì: k k n- k Cn p q e - l l k d ắ ắđ k! ã ng dng, t l = np Nếu n đủ lớn p gần (hoặc gần 1) thì: X : P (l )  Chương Định lý giới hạn xác suất Xanh: X Ỵ B (1.000; 0, 005) , Đỏ: X Ỵ P (5)  Chương Định lý giới hạn xác suất VD Giải câu 3) VD Giải Ta có: X Ỵ H (10.000; 1.000; 200) Ta xấp xỉ X : B (200; 0, 1) , với p = 0, Tiếp tục xấp xỉ X : P (20) , với l = np = 20 Vậy P ( X = 50) » p50 = e - 20 50 20 - = 7, 6.10 50 !  Chương Định lý giới hạn xác suất Tóm tắt loại xấp xỉ rời rạc p= X Ỵ H (N , N A , n ) l = n NA N (n < 5%N ) NA N Sai số lớn X Ỵ P (l ) X Ỵ B (n , p ) é < np ê ê < nq ê ë l = np  Chương Định lý giới hạn xác suất 2.3 Xấp xỉ phân phối Nhị thức phân phối Chuẩn a) Định lý giới hạn địa phương Moivre – Laplace Xét biến ngẫu nhiên X có phân phối Nhị thức B (n ; p) k - np Với k = 0, 1, , n x = , ta cú : npq lim nđ Ơ npq Pn (X = k ) 2p x e =  Chương Định lý giới hạn xác suất b) Định lý giới hạn tích phân Moivre – Laplace Xét biến ngẫu nhiên X có phân phối Nhị thức B (n ; p) Với a, b Ỵ ¡ a < b , ta có: b- np lim P (a £ X £ b) = nđ Ơ 2p npq ũ a - np npq x2 e dx  Chương Định lý giới hạn xác suất c) Ứng dụng xấp xỉ Cho X Ỵ B (n ; p) Nếu n lớn, np ³ nq ³ 2 ; X : N ( m s ) với m= np, s = npq Khi đó: ổ - mử ữ ỗk P ( X = k ) = f ỗ ữ ữ ỗ s ứ ÷ s è (giá trị cho bảng A với f (- x ) = f (x ) )  Chương Định lý giới hạn xác suất ỉ - mư ỉ - mư k2 ÷- j çk1 ÷ ç ÷ ÷ P ( k1 £ X Ê k ) = j ỗ ỗ ữ ỗ s ữ ỗ s ữ ữ ỗ ỗ ố ứ è ø (giá trị cho bảng B với j (- x ) = - j (x ) ) Chú ý Khi k = m ta sử dụng công thức hiệu chỉnh: , P ( X = k ) » P (k - 0, £ X £ k + 0, 5)  Chương Định lý giới hạn xác suất Xanh: X Ỵ B (30; 0, 6), Đỏ: X Ỵ N (18; 7, 2)  Chương Định lý giới hạn xác suất VD Trong đợt thi tuyển công chức thành phố có 1.000 người dự thi với tỉ lệ thi đạt 80% Tính xác suất để: 1) có 172 người khơng đạt; 2) có khoảng 170 đến 180 người không đạt  Chương Định lý giới hạn xác suất  Chương Định lý giới hạn xác suất  Chương Định lý giới hạn xác suất VD Trong 10.000 sản phẩm dây chuyền sản xuất có 2.000 sản phẩm khơng kiểm tra chất lượng Tìm xác suất để 400 sản phẩm sản xuất ra: 1) có 80 sản phẩm khơng kiểm tra; 2) có từ 70 đến 100 sản phẩm không kiểm tra  Chương Định lý giới hạn xác suất  Chương Định lý giới hạn xác suất VD Một khách sạn nhận đặt chỗ 325 khách hàng cho 300 phịng vào ngày 1/1 theo kinh nghiệm năm trước cho thấy có 10% khách đặt chỗ không đến Biết khách đặt phịng, tính xác suất: 1) có 300 khách đến vào ngày 1/1 nhận phòng; 2) tất khách đến vào ngày 1/1 nhận phòng Hướng dẫn: X Î B (325; 0,9) Þ m= 292, 5; s = 29, 25 Þ X : N (292, 5; 29, 25) 1) P ( X = 300) = 0, 0281; 2) P (0 £ X £ 300) = 0, 9177  Chương Định lý giới hạn xác suất VD Một cửa hàng bán cá giống có 20.000 cá loại da trơn để lẫn 4.000 cá tra Một khách hàng chọn ngẫu nhiên (1 lần) 1.000 từ 20.000 cá da trơn Tính xác suất khách chọn từ 182 đến 230 cá tra ? A 0,8143; B 0,9133; C 0,9424; D 0,9765 Hướng dẫn: • Dùng xấp xỉ Siêu bội – Nhị thức – Chuẩn • Đáp án: B  Chương Định lý giới hạn xác suất Tóm tắt xấp xỉ Chuẩn cho Nhị thức X Ỵ B (n , p ) EX = np V arX = npq ì np ³ ï ï ù nq ù ợ X ẻ N ( m, s ) m = np EX = m s = npq V arX = s …………………………………… ... xác suất để: 1) có 172 người khơng đạt; 2) có khoảng 170 đến 180 người không đạt  Chương Định lý giới hạn xác suất  Chương Định lý giới hạn xác suất  Chương Định lý giới hạn xác suất VD Trong. .. Tính xác suất để chọn ngẫu nhiên 50 lan 10 có hoa màu đỏ 3) Có thể tính xác suất để chọn ngẫu nhiên 200 lan có 50 hoa màu đỏ không ?  Chương Định lý giới hạn xác suất  Chương Định lý giới hạn xác. .. Chương Định lý giới hạn xác suất Đỏ: X Ỵ H (10.000; 4.000; 10) , Xanh: X Ỵ B (10; 0, 4)  Chương Định lý giới hạn xác suất VD Một vườn lan có 10.000 nở hoa, có 1.000 hoa màu đỏ 1) Tính xác suất