Bài giảng Xác suất thống kê: Chương 1 - Nguyễn Văn Tiến (2019)

Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 1: Biến cố vầ xác suất cung cấp cho người học các kiến thức: Phép thử và biến cố, quan hệ các biến cố, xác suất của biến cố. Bài giảng cũng cung cấp nhiều ví dụ minh họa để người học có thể củng cố kiến thức.

2/13/2019 CHƯƠNG 1.1 Phép thử biến cố • • • • • BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 Phép thử Biến cố (kết quả, kết cục) Không gian mẫu Ký hiệu: Ω Phân loại biến cố Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 nguyenvantien0405.wordpress.com Biến cố ngẫu nhiên • • • • Biểu diễn • Không gian mẫu: chứa tất kết phép thử • Biến cố: tập không gian mẫu, chứa vài kết phép thử Biến cố sơ cấp wi Biến cố (ngẫu nhiên) Ký hiệu: A, B, C, A1, A2 … Biến cố ngẫu nhiên chứa vài biến cố sơ cấp  A nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 nguyenvantien0405.wordpress.com 1.2 Quan hệ biến cố • • • • • • • B  A B biến cố không gian mẫu Ω  B chứa nhiều kết A  Các kết nằm A nằm B Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 Quan hệ kéo theo • Định nghĩa Biến cố A gọi kéo theo biến cố B A xảy B xảy • Ký hiệu: AB, • Ta nói A biến cố thuận lợi cho B Kéo theo Tương đương Tổng (Hợp) Đối lập Tích (Giao) Xung khắc Hiệu nguyenvantien0405.wordpress.com • Biểu diễn:  A Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 nguyenvantien0405.wordpress.com B Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 2/13/2019 Ví dụ • • • • • • • Quan hệ tương đương • Định nghĩa Biến cố A tương đương với biến cố B A xảy B xảy ngược lại • Kí hiệu: A=B Theo dõi bệnh nhân điều trị Gọi Ai: có i bệnh nhân khỏi bệnh (i=0,1,2,3) B: có nhiều bệnh nhân khỏi bệnh Xét quan hệ kéo theo cặp biến cố sau: A2 B A3 B A1 B nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 A  B A B B  A • • • • Ví dụ Mua ngẫu nhiên bóng đèn A: bóng hỏng B: nhiều bóng tốt A B có tương đương? nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 Biến cố tổng Ví dụ • • • • • Định nghĩa Biến cố C gọi tổng (union) hai biến cố A B C xảy có hai biến cố A B xảy • Kí hiệu C=A∪B hay C=A+B • Biến cố C xảy A B xuất phép thử nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 Mua ngẫu nhiên bóng đèn A: biến cố bóng hỏng B: biến cố bóng hỏng Hãy mô tả biến cố A+B? nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 Biến cố đối lập • Khi gieo xúc sắc • Gọi A: bc số chấm chẵn 𝐴 bc số chấm lẻ   1, 2,3, 4,5,6  A  2, 4,6 A nguyenvantien0405.wordpress.com 10 Ví dụ • Biến cố đối lập biến cố A, kí hiệu 𝐴 biến cố xảy A không xảy • Ta có: Ω 𝐴 = Ω\ Ω𝐴 A  A  1,3,5   \  A A Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 11 nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 12 2/13/2019 Biến cố tích Ví dụ • Định nghĩa Biến cố C gọi tích hai biến cố A B nến C xảy hai biến cố A B đồng thời xảy • Ký hiệu C=A.B Sinh viên thi mơn Tốn Cao cấp Ngun lý Cho biến cố sau • A: sinh viên đậu Tốn Cao cấp • B: sinh viên đậu Nguyên lý a) A.B biến cố nào? b) Biểu diễn biến cố sau theo A, B i C: Sinh viên không đậu hai môn ii D: Sinh viên đậu mơn Tốn Cao cấp Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 nguyenvantien0405.wordpress.com 13 nguyenvantien0405.wordpress.com Quan hệ xung khắc AB   P  AB   Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 15 • Định nghĩa Các biến cố A1, A2,…,An gọi xung khắc đôi hai biến cố n biến cố xung khắc với • Ví dụ Tổ có sinh viên, nhóm biến cố xung khắc đôi số biến cố sau • A1: có nam A2: có nam • A3: tất nam A4: có nam • A5: có nam nữ nguyenvantien0405.wordpress.com Biến cố hiệu Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 16 Ví dụ • Định nghĩa Biến cố xuất biến cố A không xuất biến cố B gọi biến cố hiệu A B, ký hiệu A\B • Ta có: A \ B  A.B • Nghĩa là:  A 14 Xung khắc đơi • Định nghĩa Hai biến cố A, B gọi xung khắc với A B đồng thời xảy phép thử • Ngược lại hai biến cố gọi khơng xung khắc • Nếu hai biến cố A, B xung khắc thì: nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 B • • • • • • • Sinh viên thi mơn Tốn Cao cấp Nguyên lý A: sinh viên đậu Toán Cao cấp B: sinh viên đậu Nguyên lý Mô tả biến cố: A\B; A+B B\A; A + B; A + B ; A B Nhận xét về: A + B A B A\B nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 17 nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 18 2/13/2019 Ví dụ Tính chất i) ii ) A A  A A A  A A B  B  A A.  A A   A.B  B A A.   A  A • Có xạ thủ bắn vào mục tiêu • A, B, C bc xạ thủ 1,2,3 bắn trúng Biểu diễn biến cố sau theo A, B, C phép tốn (các quan hệ) a) Có xạ thủ bắn trúng b) Có nhiều xạ thủ bắn trúng c) Có xạ thủ bắn trúng iii ) A  B  C   AB  AC iv) A   B.C    A  B   A  C  v)  A  A vi ) A  B  A.B A.B  A  B vii ) A  B  C  A.B.C A.B.C  A  B  C nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 19 Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 nguyenvantien0405.wordpress.com 20 1.3 Xác suất biến cố Ví dụ • Khái niệm • Các định nghĩa a) Xác định biến cố X từ đẳng thức sau: X  A X  A  B b) Cho sản phẩm Gọi A bc sp tốt B bc có phế phẩm Cho biết ý nghĩa bc sau: A, B, A  B, AB, AB AB, A  B, A  B, A  B, A.B nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 21 nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 22 Khái niệm Định nghĩa cổ điển • Xác suất biến cố số đặc trưng cho khả xuất biến cố phép thử • Kí hiệu xác suất: P(A) • Tính chất: • Xác suất xuất biến cố A tỷ số số biến cố thuận lợi cho A tổng số biến cố đồng khả xảy i) n(A) Số biến cố thuận lợi cho A = n(Ω) Số biến cố xảy  P  A  ii ) P     0, nguyenvantien0405.wordpress.com 𝑃 𝐴 = P   Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 23 nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 24 2/13/2019 Ví dụ 10 QUI TẮC ĐẾM Cơ quan có 50 người, có 25 người học đại học kinh tế, 20 người học kỹ thuật, 10 người học hai, lại khơng học đại học Tìm xác suất chọn ngẫu nhiên người người đó: a) Chỉ học ĐH ngành b) Học ĐH ngành c) Học ngành người có học đại học nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 25 • • • • • Quy tắc cộng Quy tắc nhân Tổ hợp chập k n phần tử Chỉnh hợp chập k n phần tử Hoán vị n phần tử nguyenvantien0405.wordpress.com Ví dụ 11 Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 Một nhóm gồm n người Tìm xác suất để nhóm có người có ngày sinh (cùng ngày tháng) 27 nguyenvantien0405.wordpress.com • Nếu phép thử có khơng gian mẫu  biểu diễn miền hình học  biến cố A biểu diễn miền hình học A: nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 28 Ví dụ 13 Định nghĩa hình học P  A  26 Ví dụ 12 • Một khách hàng chọn mua hộp gồm 12 sản phẩm Ông ta chọn ngẫu nhiên sản phẩm hộp để kiểm tra, khơng có phế phẩm mua hộp sản phẩm • Tính xác suất người mua hộp sản phẩm biết hộp có phế phẩm nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 • https://brilliant.org/wiki/1-dimensional-geometric-probability/ • Your bus is coming at a random time between 12 pm and pm If you show up at 12:30 pm, how likely are you to catch the bus? Độ đo miền A s  A   Độ đo miền  s    Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 29 nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 30 2/13/2019 Ví dụ 14 Ví dụ 15 • Both the bus and you get to the bus stop at random times between 12 pm and pm When the bus arrives, it waits for minutes before leaving When you arrive, you wait for 20 minutes before leaving if the bus doesn't come What is the probability that you catch the bus? • Hai người hẹn gặp địa điểm từ 19h đến 20h Mỗi người đến (chắc chắn đến) điểm hẹn độc lập nhau, chờ khoảng 20 phút; không thấy người đến bỏ Tìm xác suất để người gặp nguyenvantien0405.wordpress.com 31 Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 Ví dụ 16 nguyenvantien0405.wordpress.com 32 Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 Định nghĩa thống kê • Tần suất xuất biến cố n phép thử tỷ số số phép thử biến cố xuất tổng số phép thử thực • Ta có: x, y thời điểm đến người • A: bc hai người gặp Như vậy: x y  • Biểu diễn: f  A  P  A     x, y  :19  x  20;19  y  20 n  A n 1  A   x, y  :19  x  20;19  y  20; x  y   3  nguyenvantien0405.wordpress.com 33 Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 nguyenvantien0405.wordpress.com Định nghĩa thống kê Ví dụ 17 • Xác suất xuất biến cố A phép thử số p không đổi mà tần suất f xuất biến cố n phép thử dao động xung quanh số phép thử tăng lên vô hạn p  P  A  f  A P  A   lim n  34 Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 n  A n • Nghiên cứu khả xuất mặt sấp gieo đồng xu cân đối, đồng chất Người tung Buyffon Pearson Pearson Số lần tung 4040 12000 24000 Số lần sấp 2048 6019 12012 Tần suất 0,5069 0,5016 0,5005 • Tần suất dần tới 0.5 • https://seeing-theory.brown.edu/basicprobability/index.html#section2 nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 35 nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 36 2/13/2019 Nguyên lý xác suất nhỏ - lớn Ví dụ 18 • Nguyên lý xác suất nhỏ (nguyên lý biến cố hiếm): Nếu biến cố có xác suất gần thực tế xem phép thử biến cố khơng xảy • Lớp có 50 sinh viên Giáo viên gọi ngẫu nhiên sinh viên sinh viên khơng làm tập • Hãy ước lượng số sinh viên không làm lớp? (sử dụng nguyên lý xác suất nhỏ) • Nguyên lý xác suất lớn: Nếu biến cố có xác suất gần thực tế xem biến cố xảy phép thử nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 37 nguyenvantien0405.wordpress.com 1.4 Các cơng thức tính xác suất • • • • • • Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 • Định nghĩa Xác suất biến cố A tính với điều kiện biến cố B xảy gọi xác suất có điều kiện A hay xác suất A điều kiện B • Kí hiệu: P(A|B) 39 Tính độc lập P  B A  P  B  nguyenvantien0405.wordpress.com   P  B A  P  B  P A B  P  A Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 40 Độc lập đôi độc lập tồn phần • Định nghĩa Hai biến cố A B gọi độc lập với việc xảy hay không xảy biến cố không làm thay đổi xác suất xảy biến cố ngược lại • Nếu hai biến cố A, B độc lập thì: P  A B   P  A 38 Xác suất điều kiện Xác suất điều kiện Công thức nhân Công thức cộng Công thức Bernoulli Công thức xác suất đầy đủ Công thức Bayes nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 41 • Các biến cố A1, A2,…,An gọi độc lập đôi (pairwise independence) cặp hai biến cố n biến cố độc lập với • Các biến cố A1, A2,…,An gọi độc lập toàn phần (mutual independence) biến cố độc lập với tổ hợp biến cố lại nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 42 2/13/2019 Công thức nhân xác suất Công thức nhân mở rộng • Hai biến cố • Các biến cố P  A1 A2 An   P  A1  P  A2 A1  P  An A1.A2 An 1  P  A.B   P  A  P  B A   P  B  P  A B  • Các biến cố độc lập tồn phần • Hai biến cố độc lập P  A1 A2 An   P  A1  P  A2  P  An  P  AB   P  A  P  B  nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 43 nguyenvantien0405.wordpress.com Cơng thức xác suất điều kiện nguyenvantien0405.wordpress.com • Xác suất chuyến bay khởi hành 0,83 • Xác suất chuyến bay đến 0,82 • Xác suất chuyến bay vừa khởi hành vừa đến 0,78 • a) XS chuyến bay đến biết khởi hành • b) Khởi hành biết đến không P  AB  neu P ( B )  P  B Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 44 Ví dụ 19 • Công thức: P  A B  Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 45 Ví dụ 19 nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 46 Công thức cộng xác suất • Hai biến cố P  A  B   P  A   P  B   P  A.B  • Hai biến cố xung khắc P  A  B   P  A  P  B  nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 47 nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 48 2/13/2019 Ví dụ 20 Ví dụ 21 Xác suất để xạ thủ bắn bia trúng điểm 10 0,1; trúng điểm 0,2; trúng điểm 0,25 điểm 0,45 Tìm xác suất để xạ thủ điểm nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 49 Công thức cộng mở rộng • Sinh viên A tốt nghiệp Sau tham gia hội chợ việc làm trường, công ty vấn đánh sau: • Xs công ty A chọn 0,8 • Xs công ty B chọn 0,6 • Xs cơng ty chọn 0,5 • Tính xác suất chọn cơng ty? nguyenvantien0405.wordpress.com Cơng thức cộng mở rộng • Các biến cố xung khắc đơi • Cho biến cố: P  A1  A2   An   P  A1   P  A2    P  An  • Các biến cố tùy ý P( A1  A2  A3 )  P ( A1 )  P( A2 )  P  A3   P  A1 A2   P  A2 A3   P  A3 A1   P  A1 A2 A3  • Cho n biến cố: P  A1  A2   An   ??? P( A1  A2   An )   P  Ai    P  Ai Aj  n n i 1 i j   P  Ai Aj Ak     1 n i j k nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 51 nguyenvantien0405.wordpress.com P  A A  ii ) P   A   1, P   A   iii ) P  B  C A   P  B A   P  C A   P  BC A   iv) P  B A    P B A nguyenvantien0405.wordpress.com  Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 P  A1 A2 An  52 • Trong đợt đấu giải tennis, A gặp B sau A gặp C Xác suất A thắng B 0,6 xác suất A thắng C 0,7 • Nếu A thắng B xác suất A thắng C 0,85 • Tính xác suất: • a) A thắng B lẫn C • b) A thắng hai người • c) A thắng người • Khi cố định điều kiện A với P(A)>0 Ta có: P  B A   0, Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 n 1 Ví dụ 22 Tính chất xác suất điều kiện i) 50 Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 53 nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 54 2/13/2019 Ví dụ 23 Dãy phép thử Bernoulli • Hộp có bóng trắng bóng đen • Hộp có 10 trắng đen • Lấy ngẫu nhiên bóng từ hộp bỏ vào hộp (khơng nhìn bóng lúc bỏ) • Tính xác suất lấy ngẫu nhiên bóng từ hộp ta bóng màu đen • i) Các phép thử độc lập • ii) Chỉ quan tâm biến cố A 𝐴 • iii) Xác suất xuất biến cố A phép thử nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 55   P  A  p nguyenvantien0405.wordpress.com P A  1 p  q Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 56 Công thức Bernoulli Ví dụ 24 Xác suất để biến cố A xuất k lần dãy n phép thử Bernoulli là: • Một người bán hàng nơi độc lập, xác suất bán nơi 0,8 Tính xác suất người đó: • A) Bán nơi • B) Bán nơi • C) Bán nơi Pn  k   Cnk p k q nk nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 57 Ví dụ 25 Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 58 Công thức xác suất đầy đủ • Một sinh viên thi trắc nghiệm mơn Ngoại Ngữ gồm có 10 câu hỏi Mỗi câu có phần để lựa chọn trả lời, có phần Giả sử sinh viên làm cách chọn ngẫu nhiên phần câu hỏi Tính xác suất trường hợp sau: • a) Sinh viên vừa đủ điểm đậu (5 điểm) • b) Sinh viên chọn câu hỏi nguyenvantien0405.wordpress.com nguyenvantien0405.wordpress.com 59 • Hệ biến cố đầy đủ i) Ai Aj  , i  j ii ) A1  A2   An   • “ln có biến cố hệ xảy thực phép thử” nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 60 10 2/13/2019 Công thức xác suất đầy đủ Cơng thức Bayes • Biến cố A phụ thuộc vào hệ biến cố đầy đủ Hi • Xác suất biến cố A: https://www.bayestheorem.net/ P A B  n P  A   P  H i  P  A H i  i 1 P  H i A  P  B A P  A P B P  Hi  P  A Hi  n  PH P A H  i 1 nguyenvantien0405.wordpress.com 61 Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 nguyenvantien0405.wordpress.com Ví dụ 26 HỘP phẩm phế phẩm 10 phẩm phế phẩm • Lấy ngẫu nhiên hộp từ lấy ngẫu nhiên sản phẩm Tính xác suất để lấy phẩm phế phẩm? Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 63 nguyenvantien0405.wordpress.com Tính xác suất biến cố Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 62 Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 64 Bài tập chương • Gọi tên biến cố, xác định rõ phép thử dẫn đến biến cố • Biểu diễn biến cố thơng qua quan hệ để đơn giản hóa • Xác định cơng thức tính (cần ý điều kiện công thức sử dụng) nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 • Cơng ty có máy sản xuất sản phẩm Tương ứng máy B1, B2, B3 sản xuất 30%; 45% 25% sản phẩm cơng ty Theo đánh giá có 2%; 3% 1% sản phẩm máy tương ứng chất lượng • Chọn ngẫu nhiên sản phẩm Xác suất sản phẩm chất lượng bao nhiêu? • Giả sử sp chọn sp tốt Khả cao sp máy sx ra? 15 phẩm phế phẩm nguyenvantien0405.wordpress.com i Ví dụ 27 HỘP HỘP i 65 • • • • 1.1; 1.3; 1.8;1.9; 1.17 1.19;1.22;1.23;1.24;1.27;1.29;1.30; 1.33;1.37 1.38;.139;1.42; 1.46; 1.48;1.49;1.50 1.51;1.52;1.56;1.59;1.61;1.63 nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 66 11 ... 1. 17 1. 19 ;1. 22 ;1. 23 ;1. 24 ;1. 27 ;1. 29 ;1. 30; 1. 33 ;1. 37 1. 38; .13 9 ;1. 42; 1. 46; 1. 48 ;1. 49 ;1. 50 1. 51; 1.52 ;1. 56 ;1. 59 ;1. 61; 1.63 nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2 019 66 11 ... phẩm? Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2 019 63 nguyenvantien0405.wordpress.com Tính xác suất biến cố Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2 019 62 Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2 019 64 Bài tập chương. .. B Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2 019 44 Ví dụ 19 • Cơng thức: P  A B  Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2 019 45 Ví dụ 19 nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2 019