Bài giảng Xác suất thống kê: Chương 4 - Nguyễn Văn Tiến (2019)

Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 4: Biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc cung cấp cho người học các kiến thức: Khái niệm, hàm khối xác suất đồng thời, phân phối lề, sự độc lập, kỳ vọng có điều kiện (hồi quy),... Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

2/19/2019 Chương Yêu cầu • • • • • Biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 Phân phối xác suất đồng thời Phân phối lề (tính từ ppxs đồng thời) Phân phối xác suất điều kiện Sự độc lập hai biến ngẫu nhiên Các tham số đặc trưng Khái niệm Ví dụ • Là có thứ tự (X,Y) với X, Y biến ngẫu nhiên • Nếu X Y rời rạc ta có bnn hai chiều rời rạc • Nếu X Y liên tục ta có bnn hai chiều liên tục • Nếu biến rời rạc biến liên tục phức tạp nên ta không xét trường hợp nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 • Một nhà máy sản xuất loại sản phẩm Nếu kích thước sản phẩm đo chiều rộng X chiều dài Y ta có bnn hai chiều (X, Y) • Nếu xét thêm chiều cao Z ta có bnn chiều (vec tơ ngẫu nhiên chiều) (X,Y,Z) • Nếu quan tâm đến trọng lượng W thể tích V sản phẩm ta có bnn hai chiều (W,V) Bảng ppxs đồng thời (X,Y) • Joint probability mass function (p.m.f.) • Cho X, Y hai biến ngẫu nhiên rời rạc Gọi S tập hợp giá trị X Y • Ký hiệu: pX,Y(x,y) … yj … ym ∑ x1 p11 p12 … p1j … p1m p1● x2 p21 p22 … p2j … p2m p2● … … pi1 … pi2 … … pij … … pim … pi● … pn2 … … … pnj … xn … pn1 … … pnm … pn● ∑ p●1 p●2 … p●j … p●m … p X ,Y  x, y   nguyenvantien0405.wordpress.com y2 xi i )  p X ,Y  x, y    x , y S y1 X p X ,Y  x, y   P  X  x, Y  y  iii ) P   X , Y   A    x , y A p X ,Y  x, y  , Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 nguyenvantien0405.wordpress.com Hàm khối xác suất đồng thời ii ) Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 nguyenvantien0405.wordpress.com AS Y nguyenvantien0405.wordpress.com … … Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 2/19/2019 Bảng ppxs đồng thời (X,Y) Phân phối lề • Trong đó: • Marginal Probability Mass Function • Phân phối lề X: i ) pij  p X ,Y  xi , y j   P  X  xi , Y  y j  n ii ) m  p ij i 1 j 1 1 p X  x    p X ,Y  x, y   P  X  x  , x  S1 y m n j 1 i 1 iii ) pi   pij ; p j   pij • Phân phối lề Y: pY  y    p X ,Y  x, y   P Y  y  , y  S2 x nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 nguyenvantien0405.wordpress.com Sự độc lập Ví dụ Hai biến ngẫu nhiên X, Y gọi độc lập nếu: P  X  x, Y  y   P  X  x   P  Y  y  , Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 Cho hàm khối xác suất đồng thời sau: p X ,Y  x, y   x  S1 , y  S • Dấu hiệu: Trong đó: • Hai hàng tỷ lệ • Hai cột tỷ lệ xy 13 S  1,1 , 1,  ,  2,  a) Lập bảng phân phối xác suất đồng thời b) Hai biến ngẫu nhiên X, Y có độc lập? nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 nguyenvantien0405.wordpress.com The Trinomial Distribution 10 Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 Ví dụ • Sinh viên đọc thêm X: chiều dài (mm) Y: chiều rộng (mm) 15 16 129 0,12 0,08 130 0,42 0,28 131 0,06 0,04 • Tìm xác suất CD có chiều dài 130mm biết chiều rộng 15mm • Tìm phân phối xác suất X với điều kiện Y =15 nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 11 nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 12 2/19/2019 Ppxs có điều kiện Kỳ vọng có điều kiện (hồi quy) • Giả sử bnn chiều (X,Y) có hàm khối xác suất đồng thời hàm khối xác suất thành phần: • Kỳ vọng X với điều kiện Y=y (còn gọi hồi quy X theo Y Y=y) p X ,Y  x, y  ; pX  x  ; pY  y  E  X | Y  y    x p X | y  x    X | y • PPXS điều kiện X cho Y=y là: pX  x | y   x p X ,Y  x, y  • Kỳ vọng Y với điều kiện X=x (còn gọi hồi quy Y theo X X=x) pY  y  • PPXS điều kiện Y cho X=x là: pY  y | x   nguyenvantien0405.wordpress.com E Y | X  x    y pY | x  y   Y |x p X ,Y  x, y  pX  x  y 13 Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 Phương sai có điều kiện Ví dụ • Phương sai X với điều kiện Y=y  x V  X | Y  y    x2 pX | y y X: chiều dài (mm)  p  x  x      V  X | Y  y    x  X y Y: chiều rộng (mm) X |y X y X y • Tương tự cho Y nguyenvantien0405.wordpress.com 14 Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 nguyenvantien0405.wordpress.com 129 0,12 0,08 15 16 130 0,42 0,28 131 0,06 0,04 • Tìm E(Y|X=129) V(Y|X=129) Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 15 nguyenvantien0405.wordpress.com 16 Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 Ví dụ Ví dụ • Chọn ngẫu nhiên cục pin, khơng hồn lại, từ 12 cục pin, bao gồm cục mới, cục sử dụng cục bị hỏng • Gọi X số pin chọn • Gọi Y số pin sử dụng chọn • Lập bảng ppxs đồng thời (X,Y) • Tìm E(X), E(Y) • Cho biến ngẫu nhiên (X,Y) có bảng phân phối xác suất: Y X 2 0,10 0,15 0,25 0,05 0,10 0,35 • Tìm luật ppxs biến X Y nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 17 nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 18 2/19/2019 Ví dụ Ví dụ • Phân phối xác suất đồng thời biến ngẫu nhiên (X,Y) cho bảng sau: • Phân phối xác suất đồng thời biến ngẫu nhiên (X,Y) cho bảng sau: Y X X 0,10 0,05 0,15 0,05 0,15 0,10 0,10 0,20 0,10 • Tính P(X=6) P(X ≥ 7, Y ≥2) • Lập bảng ppxs thành phần tính E(X), E(Y) nguyenvantien0405.wordpress.com 0,10 0,05 0,15 0,05 0,15 0,10 0,10 0,20 0,10 • Lập bảng ppxs X với đk Y=2 Tính E(X|Y=2)? • Lập bảng ppxs Y với đk X=8 Tính E(Y|X=8)? 19 Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 Y 20 Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 nguyenvantien0405.wordpress.com Ví dụ Ví dụ • Chi phí quảng cáo X (triệu đồng) doanh thu Y (triệu đồng) cơng ty có bảng ppxs đồng thời sau: • Nếu doanh thu quảng cáo 700 triệu đồng chi phí quảng cáo trung bình bao nhiêu? Y X 500 700 900 (400-600) (600-800) (800-1000) 30 50 80 nguyenvantien0405.wordpress.com 0,10 0,15 0,05 0,05 0,20 0,05 A 60,5 B 48,3333 C 51,6667 D 76,25 0,05 0,35 21 Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 Ví dụ 10 Ví dụ 10 • Lãi suất cổ phiếu tính 100 USD đầu tư vào hai ngân hàng A B năm tương ứng X, Y )(đơn vị %) có ppxs đồng thời sau: Y X -1 -2 10 0,10 0,15 0,05 0,05 0,20 0,05 0,05 0,35 • A) Lập bảng phân phối biên X, Y Tính lãi trung bình ngân hàng nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 22 Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 nguyenvantien0405.wordpress.com 23 Y -2 10 0,10 0,15 0,05 0,05 0,20 0,05 0,05 0,35 X -1 • B) Khi Y=5% tính lãi cổ phần trung bình X? • C) X Y có độc lập khơng • D) Lập bảng ppxs T=X+Y Tìm E(T), V(T) nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 24 2/19/2019 Kỳ vọng hàm theo X,Y Ví dụ 11 • Cho X,Y có phân phối biết Đặt Z=h(X,Y) biến • Ta có: E  h  X , Y     h  xi , y j  P  X  xi , Y  y j  i j • Cho bnn rời rạc X, Y có phân phối xác suất đồng thời sau: Y X E  h  X , Y     h  x, y  p X ,Y  x, y  x y 0,10 0,25 0,15 0,20 0,1 0,2 • Tìm kỳ vọng h(X,Y)=X.Y2 nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 25 Ví dụ 12 (0;0) 0,1 26 Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 Hiệp phương sai (Covariance) • Cho Z=X+Y bảng ppxs đồng thời sau: (X,Y) pij nguyenvantien0405.wordpress.com • Hiệp phương sai hai biến ngẫu nhiên X Y, ký hiệu cov(X,Y), kỳ vọng tốn tích sai lệch bnn kỳ vọng tốn chúng (0;1) (0;2) (1;0) (1;1) (1;2) 0,2 0,3 0,05 0,15 0,2 cov  X , Y   E  X   X Y  Y    XY E  Z   E  X  Y      0,1    1 0, cov  X , Y   E  XY    X Y     0,3  1   0, 05  1  1 0,15  1   0,  1, 75 nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 27 nguyenvantien0405.wordpress.com 28 Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 Tính chất Covariance Ví dụ 13 1) cov  X , Y   cov Y , X  2) cov  X , X   V  X  3) cov  X  X ', Y   cov  X , Y   cov  X ', Y  Y X 4) cov  kX , Y   k cov  X , Y  -1 5) cov  aX  c, bY  d   ab cov  X , Y  nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 29 nguyenvantien0405.wordpress.com -2 10 0,10 0,15 0,05 0,05 0,20 0,05 0,05 0,35 Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 30 2/19/2019 Tính chất Covariance Hệ số tương quan • Hệ số tương quan hai biến ngẫu nhiên X, Y ký hiệu Corr(X,Y) định nghĩa cơng thức: 6) Nếu X Y độc lập cov  X , Y   0, ngược lại không Corr  X , Y   7) V  X  Y   V  X   V Y   cov  X , Y  8) V  aX  bY   a 2V  X   b 2V Y   2ab cov  X , Y  9) cov  X , Y    V  X  V Y  nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019   X ,Y  ; r  X ,Y  31 nguyenvantien0405.wordpress.com   X ,Y neáu ab>0 iii )  aX  c ,bY  d     X ,Y neáu ab0 a