Bài giảng xác suất thống kê chương 1 đại cương về xác suất

 Không gian mẫu và biến cố  Định nghĩa xác suất  Xác suất có điều kiện  Công thức nhân xác suất  Các biến cố độc lập  Công thức Bayes Chương 1 ĐẠI CƯƠNG VỀ XÁC SUẤT... • Tập h

 Không gian mẫu và biến cố

 Định nghĩa xác suất

 Xác suất có điều kiện

 Công thức nhân xác suất

 Các biến cố độc lập

 Công thức Bayes

Chương 1 ĐẠI CƯƠNG VỀ XÁC SUẤT

• Phép thử là một khái niệm cơ bản không định nghĩa Ta hiểu phép thử là một thí nghiệm hay quan sát nào đó

• Phép thử được gọi là ngẫu nhiên nếu ta không

dự báo trước kết quả nào sẽ xảy ra

• Thường trong mỗi phép thử có thể có nhiều kết quả khác nhau

• Tập hợp gồm tất cả các kết quả của phép thử được gọi là không gian mẫu của phép thử và được ký hiệu là S

Không gian mẫu và biến cố

• Mỗi tập con của không gian mẫu được gọi là một biến cố

• Biến cố chỉ gồm một kết quả được gọi là biến cố

sơ cấp

• Chú ý: Thông thường ta xem biến cố sơ cấp và kết quả là một

• Ký hiệu:  : biến cố sơ cấp

S : Không gian mẫu

A, B, C,…: biến cố

Không gian mẫu và biến cố

Ví dụ : Gieo một con xúc xắc một lần Gọi là kết

quả “Mặt trên của nó có i chấm” Xác định không gian mẫu

Ví dụ : Gieo một đồng tiền xu một lần Xác định

không gian mẫu

Ví dụ : Gieo một đồng tiền xu hai lần Xác định

không gian mẫu

Ví dụ : Gieo một con xúc xắc liên tiếp hai lần Xác

định không gian mẫu

i

B

Ví dụ : Gieo một con xúc xắc một lần Gọi A là

biến cố “mặt trên của con xúc xắc có số chấm chẵn” Xác định A

Không gian mẫu và biến cố

• Phép thử có không gian mẫu S và biến cố A Biến cố A xảy ra khi có một kết quả nào đó của A xảy ra

• S được gọi là biến cố chắc chắn; được gọi là biến cố không



• Quan hệ kéo theo: A  B

• Quan hệ tương đương:  

• Xung khắc:

A   S A,

• Đối lập: A   B A.B, A.B   A B

Không gian mẫu và biến cố

mà các biến cố sơ cấp đồng khả năng

 1, 2, , n

Phép thử có không gian mẫu

Biến cố A gồm m là số biến cố sơ cấp có xác suất là

A

m P(A)

n

 



Số m được gọi là số trường hợp thuận lợi cho A

Ví dụ : Gieo con xúc xắc cân đối và đồng chất Tính

a Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ lô hàng Tính xác

suất để lấy được sản phẩm tốt

b Lấy ngẫu nhiên, không hoàn lại, 4 sản phẩm từ

lô hàng Tính xác suất để trong 4 sản phẩm lấy

ra có đúng 2 sản phẩm tốt

Định nghĩa xác suất cổ điển

Độ đo: Ta gọi độ đo của một tập trên một đường là

độ dài, trong một mặt là diện tích, trong không gian

là thể tích của tập đó

Quy ước: Trong một mặt phẳng, tập nằm trên

đường có độ đo bằng 0; trong một không gian, tập nằm trên mặt có độ đo bằng 0

Định nghĩa: Cho tập S, khác rỗng và D là tập con

của S Gọi A là biến cố “điểm M thuộc D” Ta định nghĩa

m(D) P(A)

m(S)



m(D) độ đo của D

Định nghĩa xác suất bằng hình học

Giả sử ta thực hiện n lần một phép thử, biến cố A xuất hiện k lần Ta gọi

là tần suất của biến cố A trong n phép thử

P(A) lim f (A)





Ví dụ : Quan sát 10 000 em bé mới sinh, thấy có

5097 bé trai Gọi A là biến cố em bé mới sinh là con trai Tính P(A)

Định nghĩa xác suất bằng thống kê

Ví dụ : Một lớp có 50 học sinh trong đó có 20 học

sinh giỏi văn, 25 học sinh giỏi toán, 10 học sinh giỏi

cả văn và toán Chọn ngẫu nhiên một học sinh của lớp Tính xác suất học sinh này giỏi văn hoặc giỏi toán

Ví dụ : Một hộp đựng 10 bi, trong đó có 4 bi đỏ Lấy

ngẫu nhiên 3 bi từ hộp Tính xác suất để:

a Không có bi đỏ

b Có ít nhất 1 bi đỏ

Công thức cộng xác suất

Ví dụ : Gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất

hai lần Gọi A là biến cố “lần gieo đầu xuất hiện mặt một chấm”, B là biến cố “tổng số chấm trong hai lần gieo không vượt quá 3”.Ta thấy

2 36 3 36

2 P(AB) P(A | B)

P(AB)

P(A | B) P(B) 

là xác suất của biến cố A với điều kiện biến cố B

đã xảy ra

Xác suất có điều kiện

Ví dụ: Một lớp có 50 sinh viên trong đó có 20 nữ

và 30 nam Trong kỳ thi môn Toán có 10 sinh viên đạt điểm giỏi, gồm 6 nam và 4 nữ Gọi tên ngẫu nhiên một sinh viên trong danh sách lớp Tìm xác suất gọi được sinh viên giỏi môn Toán biết rằng sinh viên đó là nữ

Đáp số : 0,2

Hướng dẫn: A là biến cố “gọi được sinh viên nữ”,

B là biến cố “gọi được sinh viên đạt điểm giỏi môn Toán” Tính p(B/A)

Xác suất có điều kiện

Định lý: Với A, B là hai biến cố bất kỳ, ta có

P(AB)  P(B)P(A | B)

P(AB)  P(A)P(B | A)

Ví dụ: Một hộp có 5 bi đỏ và 3 bi xanh Lấy ngẫu

nhiên ra một bi Sau đó lấy tiếp một bi từ số bi còn lại Tính xác suất được hai bi đỏ

P(ABC)  P(A)P(B | A)P(C | AB)

Ví dụ: Một hộp có 10 sản phẩm, gồm 8 chính

phẩm và 2 phế phẩm Một người lấy ngẫu nhiên từng sản phẩm cho tới khi gặp phế phẩm thì dừng Tính xác suất để người này dừng lại ở lần thứ ba

Công thức nhân xác suất

Ví dụ: Một lô hàng gồm 12 sản phẩm trong đó có

8 sản phẩm tốt và 4 sản phẩm xấu

1 Rút ngẫu nhiên liên tiếp không hoàn lại hai sản phẩm từ lô hàng Tìm xác suất để cả hai sản phẩm đó là sản phẩm tốt

2 Rút ngẫu nhiên một sản phẩm từ lô hàng và không để ý tới sản phẩm đó Rút tiếp sản phẩm thứ hai Tìm xác suất để sản phẩm lấy ra lần thứ hai là sản phẩm tốt

Ví dụ: Một lô hàng gồm 100 sản phẩm trong đó có

90 sản phẩm tốt và 10 phế phẩm Kiểm tra ngẫu nhiên liên tiếp không hoàn lại 5 sản phẩm từ lô hàng Nếu có ít nhất một phế phẩm trong 5 sản phẩm kiểm tra đó thì không nhận lô hàng Tìm xác suất để nhận lô hàng

Đáp số :

Hướng dẫn: là biến cố “sản phẩm lấy ra lần i là

sản phẩm tốt”, i=1,…,5; B là biến cố “nhận lô hàng”

iA

1 2 3 4 5

B  A A A A A

Công thức nhân xác suất

Định nghĩa: Hai biến cố A, B được gọi là độc lập

nếu



P(AB) P(A)P(B)

Định lý: Hai biến cố A, B độc lập nếu và chỉ nếu

P(A | B)  P(A) hoặc P(B | A)  P(B)

Ví dụ: Tung 2 đồng xu Gọi A = “đồng xu thứ nhất

sấp”, B = “đồng xu thứ hai sấp”, C = “có ít nhất một mặt sấp” Hỏi A và B có độc lập?

Các biến cố độc lập

Định nghĩa: Dãy n biến cố được gọi là

độc lập toàn thể nếu ta lấy ra một dãy con bất kỳ các biến cố từ n biến cố trên thì xác suất của tích các biến cố của dãy con bằng tích xác suất của từng biến cố

Các biến cố độc lập

Ví dụ: Một phân xưởng có 3 máy hoạt động độc

lập Xác suất các máy trong ngày bị hỏng là : 0,1;0,2;0,15 Tính xác suất có một máy hỏng trong ngày

Ví dụ: Một nhà máy sản xuất bóng đèn có hai phân xưởng: I và II Phân xưởng II sản xuất gấp 4 lần phân xưởng I Tỷ lệ bóng hư của phân xưởng I

là 10%, của phân xưởng II là 20% Mua một bóng đèn do nhà máy này sản xuất

a.Tính xác suất để mua được bóng tốt

b.Biết rằng mua được bóng tốt, tính xác suất để bóng đèn do phân xưởng I sản xuất

Công thức Bayes

 A(B1 B2  B )nCông thức Bayes

Ví dụ: Có 3 lô sản phẩm, tỷ lệ phế phẩm của từng

lô tương ứng là 6%, 2%, 1% Chọn ngẫu nhiên

một lô, rồi từ lô này chọn ngẫu nhiên một sản

phẩm

1 Tìm xác suất để lấy được phế phẩm

2 Biết lấy được phế phẩm Tìm xác suất được

Ví dụ: Trong một trạm cấp cứu phỏng có 80%

bệnh nhân phỏng do nóng và 20% phỏng do hóa chất Loại phỏng do nóng có 30% bị biến chứng Loại phỏng do hóa chất có 50% bị biến chứng

1 Tính xác suất khi bác sĩ mở tập hồ sơ của bệnh

nhân gặp một bệnh án của bệnh nhân bị biến chứng

2 Biết gặp bệnh án của bệnh nhân bị biến chứng

Tính xác suất do:

a Nóng gây nên;

b Hóa chất gây nên

Công thức Bayes

Ví dụ: Trong một đám đông người mà số đàn ông

bằng nửa số đàn bà Xác suất để một người đàn ông bị bệnh bạch tạng là 0,06 và xác suất người đàn bà bị bệnh bạch tạng là 0,0036

1 Tính xác suất để một cá thể bất kì bị bệnh bạch

tạng

2 Tính xác suất để một người bị bệnh bạch tạng

trong đám đông đó là đàn ông

Ví dụ: Tỉ số ô tô tải và ô tô con đi qua đường có

trạm bơm dầu là 2,5 Xác suất để một ô tô tải qua đường nhận được dầu là 0,1; xác suất để ô tô con qua đường nhận được dầu là 0,2 Có một ô tô vào trạm nhận dầu Tìm xác suất để đó là ô tô tải