Đang tải... (xem toàn văn)
Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 3: Một số quy luật phân phối xác suất cung cấp cho người học các kiến thức: Phân phối nhị thức, phân phối siêu bội H, liên hệ giữa B(n,p) và H(N,M A,n), phân phối Poisson P,... Mời các bạn cùng tham khảo.
10/29/2019 Chương 3: MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Giảng viên: Phan Trung Hiếu I Phân phối nhị thức B(n,p): -Thực phép thử n lần độc lập -Trong lần thử, ta quan tâm đến biến cố A (xảy hay khơng xảy ra) với p P( A) số không đổi, không phụ thuộc vào phép thử Gọi X: số lần biến cố A xảy Khi đó: X có phân phối nhị thức, ký hiệu: X ~ B ( n, p ) LOG O X {0,1,2, , n} Nếu X ~ B(n, p) ta có: P(X k ) Cnk p k q n k , k 0,1, 2, , n q p E(X) n p 2 Var(X) n p.q n p q Mod(X) n p p Giải Gọi X số hạt nảy mầm 10 hạt A: “Hạt nảy mầm” P( A) 0,8 Phép thử: Gieo hạt đậu Gieo 10 hạt đậu nghĩa thực phép thử 10 lần độc lập X ~ B(10; 0,8) với n=10; p=P(A)=0,8; q=0,2 a) Xác suất có hạt nảy mầm: P(X 8) C10 (0,8)8 (0, 2)10 8 Ví dụ 1: Gieo 10 hạt đậu Xác suất nảy mầm hạt 0,8 Tính xác suất để 10 hạt: a) có hạt nảy mầm b) có từ đến 10 hạt nảy mầm c) có hạt nảy mầm d) có hạt nảy mầm e) có nhiều hạt nảy mầm f) có hạt khơng nảy mầm b) Xác suất có từ đến 10 hạt nảy mầm: P (8 X 10 ) P(X 8) P(X 9) P(X 10) 9 10 10 0, 3019 C10 (0,8) (0, 2) C10 (0,8) (0, 2) 0, 3019 0, 2684 0,1074 0, 6777 c) Xác suất có hạt nảy mầm: d) Xác suất có hạt nảy mầm: C108 (0,8)8 (0, 2)2 0,3019 10/29/2019 e) Xác suất có nhiều hạt nảy mầm: f) Xác suất có hạt khơng nảy mầm Ví dụ 3: Một xạ thủ bắn viên đạn vào mục tiêu với xác suất bắn trúng mục tiêu lần bắn 0,5 Gọi X số đạn trúng mục tiêu xạ thủ Chọn câu đúng: a) X khơng có phân phối nhị thức b) X ~ B(1; 0,5) c) X ~ B(3; 0,5) d) X ~ B(0,5; 3) Ví dụ 5: Một người ngày bán hàng chỗ khác Xác suất bán hàng chỗ 0,3 a) Tìm xác suất người bán hàng ngày b) Mỗi năm người bán hàng 300 ngày, tìm số ngày bán hàng nhiều khả năm 11 Ví dụ 2: Xác suất để máy sản xuất sản phẩm loại tốt 0,8 Cho máy sản xuất sản phẩm Gọi X số sản phẩm loại tốt có sản phẩm máy sản xuất Chọn câu đúng: a) X khơng có phân phối nhị thức b) X ~ B(5; 0,8) c) X ~ B(0,8; 5) d) X ~ B(1; 5) Ví dụ 4: Có cầu thủ ném bóng vào rổ (mỗi người ném quả) Xác suất ném trúng rổ cầu thủ thứ nhất, thứ hai, thứ ba tương ứng là: 0,9; 0,8; 0,6 Gọi X số lần ném trúng rổ cầu thủ X có phân phối nhị thức hay không? 10 Ví dụ 6: Một nhà máy có dây chuyền sản xuất loại sản phẩm Xác suất để sản phẩm sản xuất từ dây chuyền phế phẩm tương ứng 0,04 0,03 Sản phẩm dây chuyền đóng hộp (mỗi hộp 10 sản phẩm) Biết suất dây chuyền thứ gấp đôi dây chuyền thứ hai Lấy ngẫu nhiên hộp sản phẩm nhà máy sau ca làm việc để kiểm tra Tính xác suất hộp sản phẩm có phế phẩm 12 10/29/2019 Ví dụ 7: Một hộp chứa 10 bi gồm bi xanh bi đỏ Chọn ngẫu nhiên liên tiếp (có hồn lại) bi Gọi X số bi xanh nhận lần lấy a) Tìm Mod(X) b) Lập bảng phân phối xác suất cho X c) Tính kỳ vọng phương sai X Định lý tổng phân phối nhị thức độc lập: Xi ~B(ni ,p), i = 1,2,…,m Xi độc lập m m X X i ~ B n ni , p i 1 i 1 “ Nếu ví dụ trên, giả thiết lấy mẫu khơng hồn lại sao? ” 14 13 II Phân phối siêu bội H(N,M,n): Lấy khơng hồn lại (Lấy lúc) Tính chất A MA N: tổng thể n phần tử Gọi X: số phần tử có tính chất A n phần tử X có phân phối siêu bội X ~ H ( N , M A , n) X {0,1,2, , n} 15 P(X k ) MA C N M A n N E(X) n p M với p A : tỉ lệ phần tử có tính chất A N N n Var(X) n p.q N 1 với q p : tỉ lệ phần tử khơng có tính chất A 16 Ví dụ 8: Giải lại ví dụ trường hợp lấy mẫu khơng hồn lại Giải a) X ~ H (10; 6; 3) với N=10; MA=6; n=3 Ta có: X {0,1, 2,3} C k C 3 k P(X k ) 310 6 C10 P(X 0) P(X 2) P(X 1) P(X 3) 17 Nếu X ~ H(N, MA,n) ta có: C k C n k X P b) 18 10/29/2019 Nhận xét ví dụ ví dụ 8: X N=10, M=6, có hoàn lại, 0,064 X ~ B (3; 0,6) N=10, M=6, P khơng hồn lại, 0,033 X ~ H (10; 6; 3) N=100, M=60, P khơng hồn lại, 0,061 X ~ H (100; 60; 3) P 0,288 0,432 0,216 0,3 0,5 0,17 III Liên hệ B(n,p) H(N,MA,n): Khi tổng thể N lớn, cỡ mẫu n nhỏ so với N phân phối nhị thức phân phối siêu bội cho kết gần Nói cách khác, ta có N lớn X ~ H ( N , M A , n ) X ~ B (n, p ) n N 0,289 0,438 0,211 19 với p M A / N Khi N lớn so với n việc lấy n phần tử từ tổng thể N phần tử theo phương thức có hồn lại hay khơng hồn lại, coi 20 Ví dụ 9: Từ lơ thuốc lớn, có tỉ lệ thuốc hỏng 0,2 Lấy ngẫu nhiên lọ Gọi X số lọ hỏng lọ lấy Lập bảng phân phối xác suất cho X IV Phân phối Poisson P( ): Trong thực tế, có nhiều mơ hình thỏa phân phối Poisson, ví dụ: -Số gọi đến tổng đài điện thoại phút -Số người truy cập vào trang web www.sgu.edu.vn 30 phút -Số lỗi in sai xuất trang sách Đặc điểm chung: đề cập đến “cường độ” xuất (số lần xuất hiện) biến cố đơn vị thời gian khơng gian 21 Nếu toán thỏa điều kiện: -Số lần xuất biến cố A khoảng thời gian hay khơng gian khơng ảnh hưởng đến số lần xuất biến cố A khoảng thời gian hay khơng gian sau -Cường độ xuất biến cố A không đổi, số Gọi X: số lần xuất biến cố A khoảng thời gian t hay không gian h X có phân phối Poisson, ký hiệu: X ~ P ( ) X {0,1,2, , n, } 23 22 Chú ý: Trong trường hợp chưa biết trước , ta dựa vào thông tin cường độ xuất (số lần xuất hiện) để xác định : Số lần biến cố A xuất trung bình khoảng thời gian t hay khơng gian h Nếu X ~ P ( ) ta có: k e P(X k ) k! E(X) Var(X) Mod(X) 24 10/29/2019 Ví dụ 10: Ở tổng đài Bưu điện, cú điện thoại gọi đến xuất ngẫu nhiên, độc lập với tốc độ trung bình gọi phút Tìm xác suất để: a) Có cú điện thoại phút b) Khơng có cú điện thoại khoảng thời gian 30 giây c) Có cú điện thoại khoảng thời gian 10 giây 25 Ví dụ 10: Một trạm bơm xăng trung bình có 12 xe máy đến tiếp xăng Tìm xác suất để có 15 xe đến tiếp xăng Giải Gọi X số xe máy đến tiếp xăng X ~ P( ) với 12 Xác suất để có 15 xe đến tiếp xăng: 15 P(X>15) 1-P(X 15) =1- P(X=k ) 15 12k.e 12 k 0 1 0,1556 k! k 0 26 Định lý tổng phân phối Poisson độc lập: Xi ~P(i ), i = 1,2,…,m Xi độc lập m m X X i ~ P i i 1 i 1 28 27 V Liên hệ B(n,p) P( ): n lớn p bé X ~ B (n, p ) X ~ P ( ) n 50 p 0,1 với n p Ví dụ 12: Trong lơ thuốc, tỉ lệ thuốc hỏng 0,003 Kiểm tra 1000 ống a) Tính xác suất để gặp ống bị hỏng b) Tính xác suất để gặp 60 ống bị hỏng 29 Ví dụ 13: Mỗi chuyến xe chở 1000 chai bia Xác suất để môt chai bia bị vỡ vận chuyển 0,001 a) Tìm xác suất vận chuyển có chai vỡ b) Tìm xác suất vận chuyển có số chai vỡ khơng c) Tìm số chai vỡ trung bình vận chuyển 30 10/29/2019 VI Phân phối chuẩn N( , 2): Biến ngẫu nhiên liên tục X gọi có phân phối chuẩn với kỳ vọng phương sai , kí hiệu X ~ N (, 2 ) , hàm mật độ có dạng: f ( x) e 2 ( x )2 2 , x 31 32 Đặc biệt, X ~ N (0,1)ta nói X có phân phối chuẩn tắc (phân phối Gauss) Khi đó, ta có 6.1 Hàm Gauss: Hàm Gauss f(x) hàm mật độ biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn tắc X ~ N(0,1) 2x f ( x) e , x 2 33 (*) 34 Cách tìm giá trị hàm Gauss điểm xo: -Cách 1: Tính trực tiếp cách thay x xo công thức (*) -Cách 2: Tra bảng giá trị hàm Gauss Chú ý: Nếu x > 4,09 lấy f (x) 0,0001 Ví dụ 14: Tìm a) f (1,09) = 0,2203 b) f (-2,8) = 0,0079 c) f (6,12) = 0,0001 Tính chất: Hàm Gauss hàm chẵn f ( x ) f ( x ) 36 35 10/29/2019 6.2 Hàm Laplace: Hàm Laplace ( x ) hàm số xác định x t ( x) e dt , x (**) 2 0 Tính chất: Hàm Laplace hàm lẻ ( x) ( x) 37 38 Cách tìm giá trị hàm Laplace điểm xo: -Cách 1: Tính trực tiếp cách thay x xo công thức (**) -Cách 2: Tra bảng giá trị hàm Laplace Chú ý: Nếu x > 4,09 lấy ( x ) 0,5 Ví dụ 15: Tìm a) (0,40) = 0,1554 b) (2,58) (2,58) = -0,4951 c) (6,12) = 0,5 d) () =0,5 e) ( ) () =-0,5 39 Quy tắc k – sigma: P(| X | k ) 2 k Nếu k = ta có quy tắc - sigma: P(| X | 3) 2 3 0,9974 nghĩa là: sai số X không 3 gần chắn (xác suất gần 1) 41 6.3 Các cơng thức tính xác suất phân phối chuẩn: Nếu X ~ N (, ) b a P(a X b) P(| X | ) 2 , 40 Ví dụ 16: Khối lượng bò trưởng thành biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với trung bình 300kg độ lệch chuẩn 50kg Tính tỉ lệ bị có khối lượng: a) Nằm khoảng từ 275kg đến 425kg b) Nhẹ 200kg c) Nặng 375kg Giải Gọi X(kg): khối lượng bò trưởng thành Ta có X ~ N (; 2 ) với 300 50 42 10/29/2019 a) 425 300 275 300 P(275 X 425) 50 50 2,5 0,5 2,5 0,5 Ví dụ 17: Thời gian để sản xuất sản phẩm loại A (đơn vị: phút) biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với 10 Tìm khoảng thời gian cần thiết để sản xuất sản phẩm loại A 0, 4938 0,1915 0, 6853 43 Ví dụ 18: Trọng lượng X loại sản phẩm (đơn vị: gam) có phân phối chuẩn Biết 65% số sản phẩm có trọng lượng lớn 20 gam 8% số sản phẩm có trọng lượng lớn 30 gam a) Nếu sản phẩm chấp nhận có trọng lượng nhỏ 25 gam tỉ lệ sản phẩm bị loại bao nhiêu? b) Cần quy định trọng lượng tối thiểu để tỉ lệ sản phẩm bị loại nhỏ 2% 44 VII Liên hệ B(n,p) N( , 2): np nq X ~ B (n, p ) X ~ N (, 2 ) với n p Khi đó: n p.q P(X k ) k f b 0, a 0, P(a X b) 45 Chú ý: Các biến cố (a X b), (a X b), (a X b) đưa dạng (a X b) sau (a X b) (a X b 1) ( a X b) ( a X b) (a X b) (a X b 1) 47 46 Ví dụ 19: Xác suất sinh em bé gái 0,52 Tính xác suất cho 300 em bé sinh a) có 170 bé trai b) số bé trai vào khoảng từ 150 đến 170 c) số bé trai 170 48 10/29/2019 VIII Phân phối U(a,b): Biến ngẫu nhiên liên tục X gọi có phân phối khoảng (a,b), kí hiệu X~U(a,b), hàm mật độ có dạng f ( x) b a 0 x [a, b] x [a, b] Nếu X~U(a,b) E(X) Ví dụ 20: Giả sử xe buýt ghé trạm đón khách khoảng thời gian từ 10 đến 10 30 thời điểm ghé trạm biến ngẫu nhiên có phân phối Nếu bạn đến trạm lúc 10 a) Thời gian trung bình bạn phải chờ bao nhiêu? b) Xác suất bạn phải chờ ô tô 10 phút bao nhiêu? ab (b a)2 ; Var(X) 12 50 49 Giải X: số phút tính từ 10 đến 10 30 ô tô đến trạm X~U(0,30) với a=0, b=30 Ta có hàm mật độ 1 f ( x ) 30 0 b) Xác suất phải chờ ô tô 10 phút là: 30 P(10 X 30) 30 f ( x ) dx 10 30 dx 0, 6667 10 x [0,30] x [0,30] a) E( X ) 30 15 (phút) 51 52 IX Phân phối mũ E( ): Biến ngẫu nhiên liên tục X gọi có phân phối mũ với tham số , kí hiệu X~E( ), hàm mật độ có dạng f ( x) x e x x Ví dụ 21: Tuổi thọ X(năm) mạch điện tử máy tính biến ngẫu nhiên có phân phối mũ, trung bình 6,25 Thời gian bảo hành mạch điện tử năm Tính tỉ lệ mạch điện tử bán phải thay Giải 1 X~E( ) với 0,16 E(X) 6,25 Hàm mật độ: Nếu X~E( ) 1 E(X) ; Var(X) 53 0 f ( x) 0,16 x 0,16e x x 54 10/29/2019 Xác suất mạch điện tử bán phải thay là: P(X 5) f ( x) dx 0,16e 0,16 x dx 0, 5507 55, 07% X Định lý giới hạn trung tâm Giả sử X1, X2…, Xn dãy biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối xác suất với E ( X i ) , Var ( X i ) , i Khi n X X i N n., n. i 1 55 56 Ví dụ 22: Trọng lượng loại sản phẩm biến ngẫu nhiên có trung bình 50g, độ lệch tiêu chuẩn 10g Các sản phẩm đóng thành hộp, hộp 100 sản phẩm Hộp có trọng lượng 4,85kg đạt tiêu chuẩn Tính tỉ lệ hộp đạt tiêu chuẩn 57 10 ... từ 10 đến 10 30 ô tô đến trạm X~U(0 ,30 ) với a=0, b =30 Ta có hàm mật độ 1 f ( x ) 30 0 b) Xác suất phải chờ ô tô 10 phút là: 30 P(10 X 30 ) 30 f ( x ) dx 10 30 dx 0, 6667... thuốc, tỉ lệ thuốc hỏng 0,0 03 Kiểm tra 1000 ống a) Tính xác suất để gặp ống bị hỏng b) Tính xác suất để gặp 60 ống bị hỏng 29 Ví dụ 13: Mỗi chuyến xe chở 1000 chai bia Xác suất để môt chai bia bị... B(1; 0,5) c) X ~ B (3; 0,5) d) X ~ B(0,5; 3) Ví dụ 5: Một người ngày bán hàng chỗ khác Xác suất bán hàng chỗ 0 ,3 a) Tìm xác suất người bán hàng ngày b) Mỗi năm người bán hàng 30 0 ngày, tìm số ngày